第5章连续时间信号与系统的复频域分析






5．0引言

前面章节分别在时域和频域对信号与系统进行了分析。由于时域是真实的物理世界，所以时域分析求解很直观。频域属于变换域，侧重分析信号与系统的频率特性。在自然界，频率具有明确的物理意义，因此频域分析过程所体现出来的物理概念很强。
可以说，信号的时域描述和频域描述是从不同的角度观察同一事物，虽然看起来不同，本质却是一样的。而且对于现实中的很多信号，频域的表现比时域更加明了、易于解读。因此，傅里叶分析是信号与系统非常重要的分析方法。
但是，由于傅里叶变换的收敛条件比较严格，一些有用的信号无法进行傅里叶变换； 而且傅里叶分析也只能针对稳定系统。法国数学家拉普拉斯(PierreSimon Laplace，1749—1827)，放宽了傅里叶被积函数的范围。在自然界，指数信号e-σt是衰减最快的信号之一，将信号乘上e-σt之后，很容易满足绝对可积条件，因此，原本无法进行傅里叶变换的信号也可以进行傅里叶积分了，这就是拉普拉斯变换。而且至关重要的是，拉普拉斯变换能将微分方程变成代数方程，在18世纪末、19世纪初计算机还远未发明的年代，其意义非常重大。原本在时域或频域非常烦琐的系统响应求解问题，通过拉普拉斯变换变得异常轻松。
拉普拉斯变换和傅里叶变换一样，是一个线性变换。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上。而且拉普拉斯变换的另一个重要贡献是用系统函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。
有意思的是，信号与系统中的两大变换——傅里叶变换和拉普拉斯变换的创立者傅里叶和拉普拉斯是同时代的法国人，当时正处拿破仑执政时代，国力昌盛，科技发达。拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶是当时最著名的三位科学大师，他们的工作极大地推动了人类进步。





5．1拉普拉斯变换公式推导
5．1．1从傅里叶变换到拉普拉斯变换

傅里叶变换公式



F(jω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt

其收敛条件是f(t)绝对可积。但是，工程中一些很有用的信号，如直流E、u(t)、eatu(t)等，它们的傅里叶积分并不收敛，但如果将信号f(t)乘上一个衰减因子e－σt后再求傅里叶变换，f(t)e－σt的傅里叶积分就可能收敛。



∫+∞－∞f(t)e－σte－jωtdt=∫+∞－∞f(t)e－(σ+jω)tdt=F(σ+jω)(51)


作变量代换，令


s=σ+jω(52)

则式(51)变成


F(s)=∫+∞－∞f(t)e－stdt(53)

这就是双边拉普拉斯变换的公式，用符号LBf(t)或FB(s)表示。
5．1．2拉普拉斯变换与傅里叶变换的比较
由于拉普拉斯变换是原信号乘上衰减因子e－σt后再作傅里叶变换，因此很多不存在傅里叶变换的信号存在拉普拉斯变换。例如单边指数增长信号


f(t)=eatu(t)，a>0

它不存在傅里叶变换，但存在拉普拉斯变换



FB(s)=∫+∞－∞eatu(t)e－stdt=∫+∞0eate－stdt=1s－a


当然，该积分收敛是有条件的，由积分表达式



∫+∞0eate－stdt=∫+∞0e(a－σ)te－jωtdt


图51s平面



如果上述积分收敛，要求a－σ<0，即σ>a，或Re(s)>a。这也称为f(t)的拉普拉斯变换的收敛域。
另外，重要的是，傅里叶变换是时域到频域的变换，即t→ω的变换，ω是角频率，是实变量。拉普拉斯变换是t→s的变换，s=σ+jω是复变量，称为s平面，如图51所示。

需要注意的是，s的虚部jω就是傅里叶变换的ω，因此，拉普拉斯变换是时域到复频域的变换。






5．2单边拉普拉斯变换及其性质
5．2．1单边拉普拉斯变换

对于连续时间域，工程中更多的是因果信号和因果系统，即



当t<0时，f(t)=0或h(t)=0

由此，拉普拉斯变换变成单边积分，一般称为单边拉普拉斯变换，即


F(s)=∫+∞0f(t)e－stdt

对于连续时间信号与系统，单边拉普拉斯具有更广泛的应用。
单边拉普拉斯变换的积分下限为0，但是，取0+还是0-呢？对于大多数信号，两者没有差别，但对于δ函数的拉普拉斯变换，积分下限取0+还是0-所得的结果完全不同。



F(s)=∫+∞0+δ(t)e－stdt=∫+∞0+δ(t)dt=0
F(s)=∫+∞0－δ(t)e－stdt=∫+∞0－δ(t)dt=1


为了明确在t=0具有跳变的信号的拉普拉斯变换的积分限，同时考虑到连续时间系统的起始条件，单边拉普拉斯变换积分下限选取0-，并用符号L［ ］表示单边拉普拉斯变换，即


F(s)=Lf(t)=∫+∞0－f(t)e－stdt(54)

提示： 单边拉普拉斯变换只能处理因果信号(单边信号)和因果系统，双边信号和非因果系统可用双边拉普拉斯变换分析处理。
本章在5.12节分析双边拉普拉斯变换，之前只对因果信号和因果系统进行单边拉普拉斯变换，得出的结论也都是基于因果信号和因果系统。因果信号拉普拉斯变换的收敛域都在收敛轴的右边平面(见5．12节)，为简便起见，单边拉普拉斯变换略去收敛域。
5．2．2典型信号的拉普拉斯变换
本节对一些典型信号求拉普拉斯变换，之后可以作为公式使用。
1． 单位冲激信号δ(t)



Lδ(t)=1(55)

2． 单位阶跃信号u(t)



Lu(t)=∫+∞0u(t)e－stdt=∫+∞0e－stdt=1s(56)


3． 单边指数信号e－atu(t)




Le－atu(t)=∫+∞0e－ate－stdt=∫+∞0e－(s+a)tdt=1s+a(57)


4． 单边正弦信号sin(ω0t)u(t)



Lsin(ω0t)u(t)=∫+∞0sin(ω0t)e－stdt =∫+∞012jejω0t－e－jω0te－stdt
=12j－1s－jω0e－(s－jω0)t+∞0+1s+jω0e－(s+jω0)t+∞0
=ω0s2+ω20(58) 


5． 单边余弦信号cos(ω0t)u(t)
同样计算可得



Lcos(ω0t)u(t)=ss2+ω20(59)






5．2．3拉普拉斯变换的性质
1． 线性

拉普拉斯变换属于线性变换，若



Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)

则



LK1f1(t)+K2f2(t)=K1F1(s)+K2F2(s)(510)

其中,K1、K2是常数。
例如，电阻元件，v(t)=Ri(t)，则V(s)=RI(s)。其s域模型见图52。



图52电阻元件的s域模型



2． 原函数微分
若Lf(t)=F(s)，则



Lddtf(t)=sF(s)－f(0－)(511)


证明： 应用分部积分法




Lddtf(t)=∫+∞0－ddtf(t)e－stdt
=f(t)e－st+∞0－－∫+∞0－f(t)(－se－st)dt
=－f(0－)+sF(s)

依次可证明高阶微分的拉普拉斯变换



Lf′(t)′=ssF(s)－f(0－)－f′(0－)


即



Ld2dt2f(t)=s2F(s)－sf(0－)－f′(0－)(512)
Ldndtnf(t)=snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2f′(0－)－…－f(n－1)(0－)(513)


通过拉普拉斯变换，时域中的微分关系变成了s域中的代数关系，除此之外，单边拉普拉斯变换的微分性质只需要起始条件f(k)(0－)，不涉及0－到0+的跳变，这将大大简化系统的分析。通过拉普拉斯变换分析求解连续时间系统既简单又有效。
【例题5．1】求δ′(t)的拉普拉斯变换。
解： 



Lδ′(t)=s×1－δ(0－)=s(514)


同样，考虑到δ(k)(0－)=0，可知


Lδ(k)(t)=sk(515)

单位冲激信号的高阶导数的拉普拉斯变换是s的多项式。
【例题5．2】建立电感和电容元件的s域等效模型。
解： 对于电感元件



vL(t)=LddtiL(t)

两端进行拉普拉斯变换


VL(s)=L［sIL(s)－iL(0－)］=LsIL(s)－LiL(0－)

画出电感元件的时域和s域模型，如图53所示。



图53电感元件的s域等效模型



在s域的等效模型中，电感L变成了Ls，增加了由电感起始条件引起的恒压源－LiL(0－)。电感元件的电压电流之间的微分关系变成了代数关系(可理解为阻抗)，因此将大大简化分析计算。
同样的分析方法可以应用到电容元件，电容的电流和电压关系


iC(t)=CddtvC(t)

两端进行拉普拉斯变换


IC(s)=C［sVC(s)－vC(0－)］=CsVC(s)－CvC(0－)

画出电容元件的时域和s域模型，如图54所示。



图54电容元件的s域等效模型



同样的，电容元件C在s域以1Cs的形式表现为“阻抗”，与一个反向的电流源－CvC(0－)并联构成s域等效模型，电流与电压之间的微分关系也变成了代数关系，将极大地简化电路的分析。


想一想： 
在图53(b)和图54(b)中，对等效电压源－LiL(0－)和等效电流源－CvC(0－)可能会产生困惑，为什么起始电流乘以电感变成了电压源－LiL(0－)？为什么起始电压乘以电容变成了电流源－CvC(0－)？
其实，s域仅仅是一个数学架构，所谓的等效电流源或等效电压源也仅仅是一个数学模型，并不是真实的物理世界。有时可以将s等同于算子符号处理。

3． 积分的拉普拉斯变换
若Lf(t)=F(s)，则




L∫t0－f(τ)dτ=F(s)s(516)
L∫t－∞f(τ)dτ=F(s)s+f(－1)(0)s(517)


其中，


f(－1)(0)=∫0－－∞f(τ)dτ


证明： 



∫t－∞f(τ)dτ=∫0－－∞f(τ)dτ+∫t0－f(τ)dτ=f(－1)(0)+∫t0－f(τ)dτ

两边进行单边拉普拉斯变换



L∫t－∞f(τ)dτ=Lf(－1)(0)+L∫t0－f(τ)dτ

而



Lf(－1)(0)=f(－1)(0)s
L∫t0－f(τ)dτ=∫+∞0－∫t0－f(τ)dτe－stdt
=－e－sts∫t0－f(τ)dτ+∞0－+1s∫+∞0－f(t)e－stdt=F(s)s


【例题5．3】应用积分性质建立电感和电容元件的s域模型。
解： 对于电容，电压是电流的积分


vC(t)=1C∫t－∞iC(τ)dτ

两端进行拉普拉斯变换



VC(s)=1C1sIC(s)+1s∫0－－∞iC(τ)dτ=1CsIC(s)+1svC(0－)

画出s域模型，如图55所示。这是电容元件在s域的另一个模型(串联形式)。



图55电容元件的s域模型


对于电感，电流是电压的积分



iL(t)=1L∫t－∞vL(τ)dτ


两端进行拉普拉斯变换，得



IL(s)=1L1sVL(s)+1s∫0－－∞vL(τ)dτ=1LsVL(s)+1siL(0－)

画出电感s域的另一模型，见图56，“阻抗”Ls与一个等效电流源并联。



图56电感元件的s域模型


4． 时域延时
若Lf(t)=F(s)，则


Lf(t－t0)u(t－t0)=e－st0F(s)(518)


证明： 


L［f(t－t0)u(t－t0)］=∫+∞0－f(t－t0)u(t－t0)e-stdt
=∫+∞t0f(t－t0)e－stdt

令τ=t－t0，则



Lf(t－t0)u(t－t0)=e－st0∫+∞0f(τ)e－sτdτ=e－st0F(s)


该性质有两点需要注意，首先，式(518)是单边拉普拉斯变换的位移性质，因此要求t0>0(在证明过程中已经体现)，表示的是延时； 如果t0<0，波形左移，那么将有t0，0－部分没有包含在积分区间内。其次，延时性质指的是f(t－t0)u(t－t0)的拉普拉斯变换，不是f(t－t0)u(t)的拉普拉斯变换。如果f(t)本身是单边的，f(t－t0)u(t)和f(t－t0)u(t－t0)一致，但如果f(t)是双边信号，f(t－t0)u(t－t0)就不等同于
f(t－t0)u(t)，当然它们的单边拉普拉斯变换也不相等。
5． s域平移
若Lf(t)=F(s)，则



Le－atf(t)=F(s+a)(519)



证明： 



Le－atf(t)=∫+∞0－e－atf(t)e－stdt=∫+∞0－f(t)e－(a+s)tdt=F(s+a)


【例题5．4】应用性质求f(t)=e－atcos(ω0t)u(t)和f(t)=e－atsin(ω0t)u(t)的拉普拉斯变换。
解： 前已求得



Lcos(ω0t)u(t)=ss2+ω20，Lsin(ω0t)u(t)=ω0s2+ω20


则



Le－atcos(ω0t)u(t)=s+a(s+a)2+ω20(520)
Le－atsin(ω0t)u(t)=ω0(s+a)2+ω20(521)


6． 展缩变换
若Lf(t)=F(s)，则


Lf(at)=1aFsa，a>0(522)

如果时域压缩或扩展，s域将扩展或压缩。

证明： 



Lf(at)=∫+∞0－f(at)e－stdt=∫+∞0－f(τ)e－s/aτdτ/a=1aFsa


考虑单边拉普拉斯变换，因此在证明过程中，a>0。





7． s域中的微分和积分
1) s域微分
若Lf(t)=F(s)，则



L－tf(t)=ddsF(s)(523)
L(－t)nf(t)=dndsnF(s)(524)


【例题5．5】求tu(t)的拉普拉斯变换。
解：  Lu(t)=1s，应用s域微分性质，有


L－tu(t)=dds1s=－1s2

故



Ltu(t)=1s2(525)

同样可得


Lt2u(t)=2s3(526)

一般，


Ltnu(t)=n!sn+1(527)


2)  s域积分
若Lf(t)=F(s)，且limt→0f(t)t存在，则



Lf(t)t=∫+∞sF(v)dv(528)


证明： 



∫+∞sF(v)dv=∫+∞s∫+∞0－f(t)e－vtdtdv=∫+∞0－f(t)∫+∞se－vtdvdt
=∫+∞0－f(t)te－stdt

故


∫+∞sF(v)dv=Lf(t)t

8． 初值定理
在时域求f(t)的初值f(0+)，往往是从f(0－)到f(0+)，通过物理概念或数学演算找到0－到0+的跳变量。应用拉普拉斯变换，可以直接通过取极限得到信号的初值。
若Lf(t)=F(s)，且F(s)是有理真分式，则



f(0+)= lims→∞sF(s)(529)


证明： 应用微分性质，有



Lf′(t)=sF(s)－f(0－)

而



Lf′(t)=∫+∞0－f′(t)e－stdt=∫0+0－f′(t)e－stdt+∫+∞0+f′(t)e－stdt
=f(0+)－f(0－)+∫+∞0+f′(t)e－stdt

即


sF(s)－f(0－)=f(0+)－f(0－)+∫+∞0+f′(t)e－stdt

则


f(0+)=sF(s)－∫+∞0+f′(t)e－stdt

当s→∞时，∫+∞0+f′(t)e－stdt=0，故



f(0+)= lims→∞sF(s)


需要注意的是，如果F(s)不是有理真分式，需要先对F(s)进行化简，化成多项式和有理真分式之和，对其中的有理真分式部分应用式(529)，求得的值才是f(t)的初值f(0+)。

想一想： 
为什么需要这么做呢？
由式(515)可知，δ(k)(t)的拉普拉斯变换为sk，因此，拉普拉斯变换的多项式部分对应的反变换应该为δ(k)(t)，而δ(k)(t)在t=0+时为零，因此，这部分不会影响f(0+)。
【例题5．6】求下列拉普拉斯变换对应的时间函数f(t)的初值。
(1) F(s)=s+2s2+2s+1(2) F(s)=2ss+1
解： 
(1) F(s)是有理真分式，可直接应用初值定理。



f(0+)= lims→∞sF(s)= lims→∞s2+2ss2+2s+1=1


(2) F(s)不是真分式，需要先化成真分式和多项式之和，对真分式部分应用初值定理。



F(s)=2ss+1=2(s+1)－2s+1=2－2s+1

则


f(0+)= lims→∞s－2s+1=－2

对于第(2)小题，如果直接应用初值定理公式，会得到如下结果


f(0+)= lims→∞s2ss+1=∞

这是错误的，因为F(s)=2ss+1所对应的时间信号是


f(t)=2δ(t)－2e－tu(t)

由于δ(t)|t=0+=0，所以有f(0+)=－2，如图57所示。



图57例题5．6 (2)所对应的时间信号


提示： 当F(s)不是有理真分式时，不能直接应用式(529)求解初值。
9． 终值定理
若Lf(t)=F(s)，则



f(+∞)= limt→+∞f(t)= lims→0sF(s)(530)



证明： 在初值定理的证明中，已得


f(0+)=sF(s)－∫+∞0+f′(t)e－stdt

两端取极限s→0，有



f(0+)= lims→0sF(s)－lims→0∫+∞0+f′(t)e－stdt= lims→0sF(s)－∫+∞0+f′(t)dt


即


f(0+)= lims→0sF(s)－f(+∞)+f(0+)

故有


f(+∞)= lims→0sF(s)


注意： sF(s)在jω轴上(除去坐标原点)或s右半平面解析，才可应用终值定理。否则，F(s)对应的时间函数为正弦振荡信号或增长信号，终值定理并不适用。
【例题5．7】已知F(s)=ss2+1，求f(t)的终值。
解： 当s=±j时，F(s)的分母等于零，因此F(s)在jω轴上不解析，此时不能应用终值定理求时间信号的终值； 否则，将得到错误的结果。
事实上，F(s)对应的时间信号f(t)=cos(t)u(t)，其终值并不存在。
而如果F(s)=1s，F(s)只在坐标原点不收敛，此时可以应用终值定理，



f(+∞)= lims→0sF(s)= lims→0s1s=1


又如，F(s)=1s－1，其f(t)=etu(t)，信号不断增长直至无穷大，不能应用终值定理。
10． 卷积定理
1) 时域卷积
若Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，则



Lf1(t)f2(t)=F1(s)F2(s)(531)

和傅里叶变换的时域卷积定理一样，时域卷积，s域相乘。

证明： 



Lf1(t)f2(t)=∫+∞0f1(t)f2(t)e－stdt
=∫+∞0∫+∞0f1(τ)f2(t－τ)dτe－stdt
=∫+∞0f1(τ)e－sτ∫+∞0f2(t－τ)e－s(t－τ)dtdτ
=∫+∞0f1(τ)e－sτF2(s)dτ
=F2(s)∫+∞0f1(τ)e－sτdτ
=F1(s)·F2(s)

【例题5．8】求单边周期信号的拉普拉斯变换。
解： 先求单边周期性冲激信号的拉普拉斯变换



L∑+∞n=0δ(t－nT)=∑+∞n=0Lδ(t－nT)=∑+∞n=0e－snT=11－e－sT(532)



对于一般周期信号


fT1(t)=∑+∞k=0f1(t－kT1)

其中f1(t)是主周期，周期信号与其主周期信号的关系为



fT1(t)=∑+∞k=0f1(t－kT1)=f1(t)∑+∞k=0δ(t－kT1)


应用时域卷积定理，可得单边周期信号的拉普拉斯变换



FT1(s)=F1(s)·L∑+∞k=0δ(t－kT1)=F1(s)11－e－sT1 (533)


提示： 一般信号的拉普拉斯变换是有理分式(或多项式)，当拉普拉斯变换的分母出现1－e－sT1时，一般表示这是一个单边周期信号。
时域卷积定理是信号与系统中最有力的分析工具，其最重要的应用是系统的滤波分析以及求系统的零状态响应。
在时域求解零状态响应，需要卷积积分运算，即


r(t)=e(t)h(t)

根据时域卷积定理，有


R(s)=E(s)H(s)

因此，在s域只需作乘法运算，这将极大地简化分析过程。
2)  s域卷积
若Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，则



Lf1(t)f2(t)=12πjF1(s)F2(s)(534)


这个性质表明，时域相乘，s域卷积。
在结束本节内容之前，将常用的典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯变换的性质列于表51和表52中。


表51典型信号的拉普拉斯变换



序号
信号f(t)
拉普拉斯变换F(s)
1
δ(t)
1
2u(t)1s
3
e－atu(t)
1s+a
4
cos(ω0t)u(t)
ss2+ω20
5
sin(ω0t)u(t)
ω0s2+ω20
6
e－atcos(ω0t)u(t)
s+a(s+a)2+ω20
7
e－atsin(ω0t)u(t)
ω0(s+a)2+ω20


表52单边拉普拉斯变换的性质



序号
时域(t>0)
s域
1
K1f1(t)+K2f2(t)
K1F1(s)+K2F2(s)
2
ddtf(t)

d2dt2f(t)
sF(s)－f(0－)

s2F(s)－sf(0－)－f′(0－)
3
∫t－∞f(τ)dτ
F(s)s+f(－1)(0)s
4
f(t－t0)u(t－t0)
e－st0F(s)
5
e－atf(t)
F(s+a)
6
f(at)，a>0
(1/a)F(s/a)，a>0
7
(－t)nf(t)
dndsnF(s)
8
f(t)t
∫+∞sF(v)dv
9
f1(t)f2(t)
F1(s)F2(s)
10
∑+∞k=0f1(t－kT1)
F1(s)11－e－sT1
11
初值定理
f(0+)= lims→∞sF(s)
12
终值定理
limt→+∞f(t)= lims→0sF(s)







5．3拉普拉斯反变换

一般情况下，拉普拉斯反变换最简单有效的求解方法是“部分分式展开法”结合“典型信号的拉普拉斯变换”以及“拉普拉斯变换性质”，类似于一种比对的方法。求得的反变换f(t)，t>0。
5．3．1观察法
本方法适于一些简单的拉普拉斯变换形式，例如，分母是单因子、单阶，简单整理后只需比对一些典型信号的拉普拉斯变换，结合拉普拉斯变换的性质，就可以直接得到时间信号。
【例题5．9】已知F(s)=1－2e－a(s+1)s+2，求拉普拉斯反变换。
解： 先将F(s)整理，得



F(s)=1－2e－a(s+1)s+2=1s+2－2e－as+2e－as


应用典型信号e－atu(t)的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的延时性质，可得



f(t)=e－2tu(t)－2e－ae－2(t－a)u(t－a)=e－2tu(t)－2eae－2tu(t－a)

5．3．2部分分式展开法
一般信号的拉普拉斯变换都是有理分式，这从表51和表52中可以得到印证。



F(s)=A(s)B(s)=amsm+am+1sm+1+…+a1s+a0bnsn+bn-1sn－1+…+b1s+b0(535)


这种情况下，最简单的求解拉普拉斯反变换的方法是部分分式展开法，将有理分式展开成单因子的部分分式，再利用典型信号的拉普拉斯变换(见表51)即可得到时间信号。对于重根的情况可以再利用s域微分性质。
在求解拉普拉斯反变换之前，先介绍两个概念——零点和极点。
将F(s)的分子、分母进行因式分解


F(s)=am(s－z1)(s－z2)…(s－zm)bn(s－p1)(s－p2)…(s－pn)

令F(s)=0，得s=z1，z2，…，zm，称为F(s)的零点。所谓“零点”指的是在s平面上，使F(s)等于零的s点(s值)。
同样地，令F(s)→∞，得s=p1，p2，…，pn，称为F(s)的极点，所谓“极点”指的是在s平面上，使F(s)趋于∞的s点(s值)。
提示： 用部分分式展开法求解拉普拉斯反变换时，需要先判断分子、分母的阶次。对于有理真分式和非有理真分式的情况，求解思路是有差异的。
1． F(s)是有理真分式
有理真分式，指的是F(s)的分子阶次比分母阶次低。对于真分式，根据F(s)的极点情况进一步划分。
1) F(s)的极点是实数，且为一阶
将F(s)展开成单阶的部分分式



F(s)=K1s－p1+K2s－p2+…+Kns－pn(536)


式中，K1，K2，…，Kn为待定系数。
将上式两端同乘以s－pi，并令s=pi，有



F(s)(s－pi)s=pi=K1s－p1(s－pi)s=pi+K2s－p2(s－pi)s=pi+…+


Kis－pi(s－pi)s=pi+…+Kns－pn(s－pi)s=pi

=Ki

因此


Ki=(s－pi)F(s)s=pi(537)

这就是部分分式Kis－pi的系数Ki的求解公式。实际上，Ki(i=1，2，…，n)是极点pi处的留数。
系数Ki确定后，根据典型信号(指数信号)的拉普拉斯变换，可以直接写出时间信号的表达式


f(t)=(K1ep1t+K2ep2t+…+Knepnt)u(t)(538)


2) F(s)极点为共轭复数且无重根的情况
如果F(s)的分母因式分解时出现如下形式



F(s)=A(s)(s+α)2+β2(s－p1)(s－p2)…(s－pn－2)


式中，p1，p2，…，pn－2为单实根，-α±jβ为共轭复数根。
将F(s)部分分式展开，共轭复数根部分不再进一步分解，得到下式



F(s)=K1s－p1+K2s－p2+…+Kn－2s－pn－2+Cs+D(s+α)2+β2(539)


式中，K1，K2，…，Kn-2以及C和D为待定系数，其中单实根部分的系数



Ki=(s－pi)F(s)s=pi， i=1，2，…，n－2


对应的反变换参见情况1)。
下面求共轭复数极点部分的反变换。
将Ki代入式(539)，通分可得系数C和D。对于复数根部分，设


F1(s)=Cs+D(s+α)2+β2

利用式(520)和式(521)，经过匹配整理



F1(s)=Cs+D(s+α)2+β2=C(s+α)+βD－Cαβ(s+α)2+β2
=Cs+α(s+α)2+β2+D－Cαββ(s+α)2+β2(540)


即得F1(s)的反变换



f1(t)=Ce－αtcos(βt)+D－Cαβe－αtsin(βt)u(t)


【例题5．10】已知F(s)=s2+3(s2+2s+5)(s+2)，求f(t)。
解： 进行部分分式展开



F(s)=K0s+2+K1s+K2s2+2s+5
K0=(s+2)s2+3(s2+2s+5)(s+2)s=－2=75


则



F(s)=7/5s+2+K1s+K2s2+2s+5=7/5s+2+(－2/5)s－2s2+2s+5
=7/5s+2+(－2/5)(s+1)(s+1)2+22+(－4/5)·2(s+1)2+22

故



f(t)=75e－2tu(t)+－25e－tcos(2t)－45e－tsin(2t)u(t)


3) F(s)为有理真分式且极点为高阶(重极点)情况
设


F(s)=A(s)(s－p1)rD(s)

其中D(s)可分解成单阶因子。对于F(s)的重根部分，进行部分分式展开时，要展开成r项。



F(s)= A11(s－p1)r+A12(s－p1)r－1+…+A1rs－p1+E(s)D(s)(541)


式(541)两端乘以(s－p1)r，有



(s－p1)rF(s)=A11+A12(s－p1)+…+A1r(s－p1)r－1+(s－p1)rE(s)D(s)(542)

令s=p1，得


A11=(s－p1)rF(s)s=p1

对式(542)求一阶导数，并令s=p1，得



A12=dds［(s－p1)rF(s)］s=p1
一般系数


A1i=1(i－1)!di－1dsi－1［(s－p1)rF(s)］s=p1(543)

【例题5．11】已知F(s)=s－2s(s+1)2，求f(t)。
解： 先进行部分分式展开



F(s)=K0s+A11(s+1)2+A12s+1

K0=ss－2s(s+1)2s=0=－2
A11=(s+1)2s－2s(s+1)2|s=－1=3
A12=dds(s+1)2s－2s(s+1)2s=－1=2


所以



F(s)=－2s+3(s+1)2+2s+1

设F1(s)=1s+1，即f1(t)=e－tu(t)。由于


ddsF1(s)=－1(s+1)2

故


3(s+1)2=－3ddsF1(s)

即



L－13(s+1)2=3tf1(t)=3te－tu(t)

则


f(t)=(－2+3te－t+2e－t)u(t)


2． 当m≥n时，F(s)分子多项式阶次等于或大于分母多项式阶次
这种情况下需要先将F(s)分解成有理多项式和有理真分式之和，即


F(s)=R(s)+P(s)Q(s)

其中R(s)为多项式，P(s)Q(s)是有理真分式。有理真分式部分的反变换同1.中所述方法。而对于多项式部分的反变换，考虑公式



LAδ(t)=A
LAδ(k)(t)=Ask

【例题5．12】求F(s)=s2+3s+1s+1的拉普拉斯反变换。
解： F(s)的分子阶次大于分母阶次，需要将F(s)展开成多项式和有理真分式之和。


F(s)=s(s+1)+2(s+1)－1s+1=s+2－1s+1

则


f(t)=δ′(t)+2δ(t)－e－tu(t)

5．4用拉普拉斯变换求解微分方程和分析电路
本章前3节的内容是信号的s域分析，实际上属于基础部分。从本节开始，进入本章的核心内容——在s域分析求解连续时间系统。包括两方面的内容，一是作为工具，利用拉普拉斯变换求解微分方程和电路的响应； 二是在s域分析系统的特性。
拉普拉斯变换的微分性质显示，时域的求导运算在s域变成了代数运算。因此，在时域曾经非常困难的微分方程和电路的求解问题，在s域将变得异常简单。





5．4．1用拉普拉斯变换求解微分方程
在用拉普拉斯变换求解微分方程时，需要用到微分性质



Lddtf(t)=sF(s)－f(0－)
Ld2dt2f(t)=s2F(s)－sf(0－)－f′(0－)


【例题5．13】连续时间系统的微分方程d2dt2r(t)+3ddtr(t)+2r(t)=ddte(t)+3e(t)，e(t)=u(t)，r(0－)=1，r′(0－)=2，用拉普拉斯变换求系统的响应r(t)。
解： 微分方程两端进行拉普拉斯变换，根据微分性质，得



s2R(s)－sr(0－)－r′(0－)+3sR(s)－r(0－)+2R(s)

=sE(s)－e(0－)+3E(s)


其中，e(0－)=u(t)t=0－=0。整理得


s2+3s+2R(s)=sr(0－)+r′(0－)+3r(0－)+(s+3)E(s)

代入r(0－)和r′(0－)的值，并将e(t)进行拉普拉斯变换


E(s)=1s

得


R(s)=s2+6s+3s(s2+3s+2)=2s+1－5/2s+2+3/2s

则系统响应


r(t)=2e－t－52e－2t+32u(t)

显然，拉普拉斯变换将微分方程变成了代数方程，因此求解微分方程的响应变得非常简单。
另外，根据零输入响应和零状态响应的概念，在s域求解ZIR和ZSR也变得非常容易。
对于一般的微分方程



dndtnr(t)+a1dn－1dtn－1r(t)+…+anr(t)=b0dmdtme(t)+b1dm-1dtm－1e(t)+…+bme(t)

两端进行拉普拉斯变换


snR(s)－∑n－1k=0sn－k－1r(k)(0－)+a1sn－1R(s)－∑n－2k=0sn－k－2r(k)(0－)+…+anR(s)

=b0smE(s)+b1sm－1E(s)+…+bmE(s)

整理得



R(s)=∑n－1k=0sn－k－1r(k)(0－)+a1∑n－2k=0sn－k－2r(k)(0－)+…+an－1r(0－)sn+a1sn－1+a2sn－2+…+an+

b0sm+b1sm－1+…+bmsn+a1sn－1+a2sn－2+…+anE(s)

式中，等号右端第一项与输入信号E(s)无关，仅仅由起始条件r(k)(0－)决定，因此，这部分属于零输入响应； 第二项由E(s)决定，与起始条件无关，因此属于零状态响应。
因此有



Rzi(s)=∑n－1k=0sn－k－1r(k)(0－)+a1∑n－2k=0sn－k－2r(k)(0－)+…+an－1r(0－)sn+a1sn－1+a2sn－2+…+an(544)

Rzs(s)=b0sm+b1sm－1+…+bmsn+a1sn－1+a2sn－2+…+anE(s)(545)


分别经过拉普拉斯反变换，即可得到零输入响应和零状态响应。
【例题5．14】求例题5．13的微分方程的零输入响应和零状态响应。
解： 微分方程两端进行拉普拉斯变换


s2R(s)－sr(0－)－r′(0－)+3sR(s)－r(0－)+2R(s)=sE(s)+3E(s)

整理得



R(s)=sr(0－)+r′(0－)+3r(0－)s2+3s+2+s+3s2+3s+2E(s)

所以，


Rzi(s)=sr(0－)+r′(0－)+3r(0－)s2+3s+2
Rzs(s)=s+3s2+3s+2E(s)

代入r(0－)和r′(0－)的值，得零输入响应



Rzi(s)=s+5s2+3s+2=4s+1－3s+2
rzi(t)=(4e－t－3e－2t)u(t)

代入E(s)=1s，得零状态响应



Rzs(s)=s+3s2+3s+2·1s=3/2s+－2s+1+1/2s+2
rzs(t)=32－2e－t+12e－2tu(t)

因此，完全响应


r(t)=rzi(t)+rzs(t)=32+2e－t－52e－2tu(t)

最终结果与例题5．13的结果一致。
本题在第2章曾用时域方法求解(见例题2．29)，相比于时域解法，拉普拉斯变换求解微分方程要简单得多。尤其是零状态响应的求解，在时域是最烦琐的，而在s域却是最简单的。





5．4．2用拉普拉斯变换分析电路
拉普拉斯变换作为一种非常强大的线性系统分析工具，不仅求解微分方程异常简单，对于电路，在s域分析也很容易。
在5．2节拉普拉斯变换的性质中，根据线性性质、微分性质和积分性质，已经推导出电阻、电容、电感等电路元件的s域模型，时域里动态元件的电压、电流之间的微分、积分关系在s域中变成了代数关系，电路元件在s域可作为“阻抗”处理。
图58表示的是三个电路元件的s域模型。


图58电路元件的s域等效模型


【例题5．15】电路如图59所示，e1(t)=2V，e2(t)=e－2t，C=1/2F，R=2/5Ω，L=1/2H。 t<0时开关位于1，电路达到稳态。t=0时开关由1转到2的位置，求电感两端的电压。



图59例题5．15图


解： 
(1) 确定开关转换前t=0－时刻储能元件的起始状态。t≤0－时电源e1(t)=2V，电路达到稳态，因此，iL(0－)=0A，vC(0－)=2V。
(2) 将t>0的激励源e2(t)=e－2tu(t)进行拉普拉斯变换，得


E2(s)=1s+2

(3) 画出t≥0+时电路的s域等效模型(见图510)，在s域中电路元件等同于阻抗，通过“阻抗”元件的分压、分流关系可以得到关于输出Vo(s)的方程。



图510电路的s域等效模型


(4) 根据s域等效电路，列写节点电流方程



Vo(s)Ls+Vo(s)R=E2(s)－1svC(0－)－Vo(s)1Cs


代入参数，得



Vo(s)s/2+Vo(s)2/5=1s+2－2/s－Vo(s)2/s


整理得



Vo(s)=2ss2+5s+4·－(s+4)2(s+2)=－s(s+1)(s+2)



(5) 求拉普拉斯反变换
将Vo(s)部分分式展开



Vo(s)=1s+1+－2s+2

得



vo(t)=(e－t－2e－2t)u(t)

本题就是例题2．27的电路系统，在第2章曾用时域方法分析求解，本章在s域求解，解题过程明显简单很多。
5．5系统函数及零极点
拉普拉斯变换作为连续时间系统分析和设计的一种强大工具，不仅用于求解微分方程和电路的响应，更重要的是对系统进行分析。通过系统函数的零极点分布，分析系统的内在特性。
连续时间系统有三种描述方式，一是系统的数学模型——微分方程； 二是系统的物理模型——框图。当然，电路是真实的物理系统。除了上述描述方式，还有第三种，就是本节阐述的系统函数，这也是拉普拉斯变换的重要贡献之一——用系统函数代替时域的微分方程来表示系统。
实际上，第2章的单位冲激响应h(t)和系统函数是同一种描述方式，一个是系统的时域表征，一个是系统的s域表征，是同一概念在不同域的不同表示。
从本节开始，通过系统函数对系统进行分析。在控制系统中，系统函数也称为传递函数。






5．5．1系统函数
对于LTI系统，系统函数定义为单位冲激响应的拉普拉斯变换，图511描述了系统函数与单位冲激响应之间以及任意输入与其输出之间的关系。



图511LTI系统的时域和s域


由图511可得



H(s)=Lh(t)=R(s)E(s)(546)


H(s)称为系统函数，等于零状态条件下输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。系统函数是系统的s域表征，是系统固有的，与外加激励无关，与系统的状态无关。
【例题5．16】系统微分方程d2dt2r(t)+3ddtr(t)+2r(t)=ddte(t)+3e(t)，求系统函数和单位冲激响应。
解： 微分方程两端进行拉普拉斯变换，注意零状态条件下，r(0－)=0，r′(0－)=0，则


s2R(s)+3sR(s)+2R(s)=sE(s)+3E(s)

得系统函数


H(s)=R(s)E(s)=s+3s2+3s+2

将H(s)进行部分分式展开


H(s)=2s+1+－1s+2

则


h(t)=2e－t－e－2tu(t)

系统函数和微分方程都是系统的描述，它们之间有着唯一互相对应的关系。
对于n阶微分方程



dndtnr(t)+a1dn－1dtn－1r(t)+…+anr(t)=b0dmdtme(t)+b1dm－1dtm－1e(t)

+…+bme(t)
(547)


两端进行拉普拉斯变换(零状态条件下)，有


snR(s)+a1sn－1R(s)+…+anR(s)=b0smE(s)+b1sm－1E(s)+…+bmE(s)

则系统函数


H(s)=R(s)E(s)=b0sm+b1sm－1+…+bmsn+a1sn－1+…+an(548)

观察式(547)和式(548)，H(s)与微分方程系数之间的对应关系一目了然。
提示： 系统函数作为系统的重要描述，是连接微分方程、物理系统、单位冲激响应之间
的桥梁。实际上，系统的单位冲激响应最简单的解法是先求系统函数H(s)，再进行拉普拉斯反变换。
【例题5．17】求例题5．15所示电路(见图59)的系统函数，在s域建立电路的微分方程。
解： 画出零状态条件下电路的s域模型，如图512所示。



图512零状态条件下电路的s域模型




H(s)=Vo(s)E(s)=R·LsR+Ls1Cs+R·LsR+Ls

代入参数，得


H(s)=Vo(s)E(s)=s2s2+5s+4

故


s2+5s+4Vo(s)=s2E(s)
可得电路的微分方程



d2dt2vo(t)+5ddtvo(t)+4vo(t)=d2dt2e(t)


结果与第2章求得的结果一致，但通过系统函数建立微分方程既简单又有效。
可以进一步得到图59所示电路的单位冲激响应。



H(s)=s2s2+5s+4=1+1/3s+1－16/3s+4

则


h(t)=δ(t)+13e－t－163e－4tu(t)

另外，由系统函数求解零状态解也非常简单，由


rzs(t)=e(t)h(t)

则


R(s)=E(s)·H(s)

【例题5．18】系统微分方程d2dt2r(t)+3ddtr(t)+2r(t)=ddte(t)+3e(t)，e(t)=u(t)，求系统的零状态响应。
解： 由微分方程直接写出系统函数


H(s)=s+3s2+3s+2

激励信号的拉普拉斯变换


E(s)=1s

则


Rzs(s)=E(s)·H(s)=1s·s+3s2+3s+2=3/2s+－2s+1+1/2s+2

因此，零状态响应


rzs(t)=32－2e－t+12e－2tu(t)






5．5．2系统的零极点分布图
系统的零点和极点是指系统函数的零点和极点。在s平面上，将系统的零点和极点标示出来，这样的图形就是系统的零极点分布图。
对于n阶LTI系统，系统函数一般是有理分式，将分子分母因式分解，得



H(s)=am(s－z1)(s－z2)…(s－zm)bm(s－p1)(s－p2)…(s－pn)(549)


令H(s)=0，得s=z1，z2，…，zm，即系统的零点； 令H(s)→∞，得s=p1，p2，…，pn，即系统的极点。将s=z1，z2，…，zm和s=p1，p2，…，pn标示在s平面上，零点用“○”表示，极点用“×”表示，得到的就是系统的零极点分布图。
【例题5．19】系统函数H(s)=s2－2s+2s2(s+1)，画出系统的零极点分布图。


图513零极点分布



解： 令H(s)=0，即s2－2s+2=0，得到系统的零点z1=1+j，z2=1－j。
令H(s)→∞，即s2(s+1)=0，得到系统的极点p1,2=0(二阶)，p3=－1。
在s平面上画出系统的零极点分布图，如图513所示。

实际上，用零极点分布图可以直接表示系统(等同于系统函数的图形描述)，再限定一些其他条件，就可以唯一确定系统函数，也即确定了系统。
【例题5．20】系统的零极点分布如图514所示，且limt→+∞h(t)=10，求H(s)。



图514例题5．20图


解： 根据零极点分布，写出系统函数


H(s)=Ks－1s(s+1)

由终值定理，得


limt→+∞h(t)= lims→0sH(s)= lims→0Ks(s－1)s(s+1)=－K=10

即K=－10。故


H(s)=－10s－1s(s+1)

读者可以通过求h(t)并计算h(+∞)自行验证。
对于LTI系统，由系统的零极点分布可以分析系统的很多特性，如时间特性、频率特性、稳定性等，还可以进一步确定系统的各种响应。因此，系统的零极点分析是LTI系统分析的重要内容。






5．6系统的零极点分布与时间特性
本节分析系统的零极点分布与系统时间特性之间的关系，这里所说的时间特性指的是系统的时域表征h(t)。因此，本节的内容实际上是分析“系统函数H(s)的零极点分布与系统单位冲激响应h(t)之间的关系”。
将系统函数表示为


H(s)=K∏mj=1(s－zj)∏ni=1(s－pi)

其中，pi为系统的极点； zj为系统的零点。当极点、零点位于s平面不同位置时，h(t)的波形形状、幅度或相位有着怎样的变化，这是本节要分析的内容。
5．6．1极点分布与时域波形
下面通过一些实例，分析极点对h(t)波形的影响。为了更有说服力，在分析过程中，系统一般只含有极点，不含有零点。
1． 极点位于s左半平面
1) 单阶极点
对于单阶实极点的情况，例如


H(s)=1s+a，a>0

则


h(t)=e－atu(t)

可知h(t)是单调衰减的，如图515(a)所示。
对于单阶复极点的情况，例如


H(s)=ω0(s+a)2+ω20，a>0

则


h(t)=e－atsin(ω0t)u(t)

h(t)振荡衰减，如图515(b)所示。
2) 多阶极点
例如



H(s)=1(s+a)2，a>0


可知


h(t)=te－atu(t)

h(t)的波形总体是衰减的，如图515(c)所示。



图515s左半平面的极点


由此得出第一个结论，如果极点位于s左半平面，h(t)的波形是衰减的。
2．  极点位于右半平面
1) 单阶极点
对于单阶实极点的情况，例如


H(s)=1s－a，a>0

则


h(t)=eatu(t)

h(t)的波形单调增长，如图516(a)所示。
对于单阶复极点的情况，例如



H(s)=ω0(s－a)2+ω20，a>0

则


h(t)=eatsin(ω0t)u(t)

h(t)的波形振荡增长，如图516(b)所示。
2) 多阶极点
例如


H(s)=1(s－a)2

可知


h(t)=teatu(t)

h(t)的波形也是增长的，而且增长速度更快，如图516(c)所示。

由此得出第二个结论，如果极点位于s右半平面，h(t)的波形是增长的。




图516s右半平面的极点



3． 极点位于jω轴上
1) 单阶极点
对于单阶实极点，例如


H(s)=1s
则


h(t)=u(t)

h(t)是阶跃函数，波形单调等幅，如图517(a)所示。


图517jω轴上的单阶极点


对于单阶复数极点，例如


H(s)=ω0s2+ω20

则


h(t)=sin(ω0t)u(t)

h(t)的波形是振荡等幅的，如图517(b)所示。


由此得出第三个结论，如果单阶极点位于jω轴上，h(t)的波形是等幅的。
2) jω轴上的高阶极点
对于jω轴上的高阶实极点，例如


H(s)=1s2

可知


h(t)=tu(t)

h(t)的波形单调增长，如图518(a)所示。

对于jω轴上的高阶复数极点，例如


H(s)=2ω0s(s2+ω20)2

则


h(t)=tsin(ω0t)u(t)

h(t)的波形振荡增长，如图518(b)所示。


图518jω轴上的高阶极点



由此得出第四个结论，位于jω轴上的高阶极点，h(t)的波形是增长的。
实际上，系统的极点决定h(t)的波形形状。左半平面的极点，波形衰减； 右半平面的极点，波形增长； jω轴上的单阶极点，波形等幅； jω轴上的高阶极点，波形增长。而实数极点对应的波形是单调变化的，复数极点对应的波形是振荡变化的。
5．6．2零点影响波形的幅度和相位
为了证明这个结论，考虑两个具有相同极点而零点不同的系统


Hi(s)=s+a(s+a)2+ω20
Hj(s)=s+b(s+a)2+ω20

系统Hi(s)和系统Hj(s)具有相同的极点－a±jω0，根据前面的分析可知，这两个系统的h(t)具有相同的波形形状——振荡衰减。不同的是，两个系统的零点不同，分别是zi=－a和zj=－b。不同的零点会导致什么不同呢？下面分别求两个系统的h(t)。


hi(t)=e－atcos(ω0t)u(t)

而



hj(t)=e－atcos(ω0t)+b－aω0e－atsin(ω0t)u(t)
=ω20+(b－a)2ω20e－atcos(ω0t+φ)u(t)


对比hi(t)和hj(t)，可以发现，二者的幅度和相位不同。因此，零点影响h(t)波形的幅度和相位。





5．7因果系统的稳定性
本节所讨论的系统稳定性指的是因果系统的稳定性，对于非因果系统，在5．12节进行分析。
5．7．1因果稳定系统的s域特征
在第2章，已经分析过BIBO系统稳定性的时域特征，即


∫+∞－∞h(t)dt<∞

对于因果稳定系统，有


∫+∞0h(t)dt<∞

由此可知


limt→+∞h(t)=0

因果稳定系统要求h(t)的波形总的趋势是衰减的。根据5.6节H(s)的极点与时域波形的关系可知，极点只有位于s左半平面，波形才是衰减的。因此，LTI因果稳定系统的s域特征是系统的极点全部位于s左半平面。这是判断因果连续系统是否稳定的一个准则。需要注意的是，如果有零极点相消，在利用系统函数进行稳定性分析之前消去零极点对，但可能存在潜在不稳定的状况。
5．7．2稳定性的分类
根据因果系统是否具有稳定性，将系统分为三类。第一种是稳定系统，系统函数的所有极点都位于s左半平面，h(t)的波形衰减。第二种是临界稳定系统，系统的一个或多个极点位于jω轴上且为单阶，此时h(t)的波形不随时间衰减，也不随波形增长，而是等幅变化，这种系统称为临界稳定系统。第三种是不稳定系统，系统有多重极点位于jω轴上或有极点位于s右半平面，此时h(t)的波形随着时间增长而增长，当t→∞时，h(t)→∞，系统不稳定。临界稳定系统是不稳定系统的一种特例。
【例题5．21】电路如图519所示，假设图中运算放大器的输入阻抗为∞，输出阻抗为零。为使系统稳定，求A的取值范围。如果要求电路处于临界稳定状态，求电路的单位冲激响应。

图519例题5．21图




解： 为了便于分析，设v1(t)，如图519所示。由于运算放大器的输入阻抗无穷大而输出阻抗为零，故有


Vo(s)=－AVi(s)－V1(s)
V1(s)=1/Cs1/Cs+RVo(s)

消去中间变量V1(s)，得系统函数




H(s)=Vo(s)Vi(s)=－s+1/RCAs+1－ARC

极点p1=－1－ARC，极点为实数，为使系统稳定，极点需要落在s左半平面，故


－1－ARC<0

即A<1。
实际上，该电路中的电阻R反馈到了放大器正端，A<1使系统稳定就易于理解了； 反之，如果A>1，会导致信号不断增强，系统不稳定。
临界稳定要求极点落在jω轴上且为单阶，因此


p1=－1－ARC=0

即A=1，此时


H(s)=－s+1/RCs=－1－1RC·1s

此时电路的单位冲激响应为


h(t)=－δ(t)－1RCu(t)





5．8由零极点分析系统的响应
5．8．1自由响应与强迫响应

对于n阶系统，微分方程


dndtnr(t)+a1dn－1dtn－1r(t)+…+anr(t)=b0dmdtme(t)+b1dm－1dtm－1e(t)+…+bme(t)

特征方程


αn+a1αn－1+a2αn－2+…+an=0(550)

因式分解


(α－α1)(α－α2)…(α－αn)=0

可得特征根α=α1，α2，…，αn。
另一方面，由微分方程可得系统函数


H(s)=b0sm+b1sm－1+…+bmsn+a1sn－1+a2sn－2+…+an

令


sn+a1sn－1+a2sn－2+…+an=0(551)

因式分解


(s－p1)(s－p2)…(s－pn)=0

可得极点s=p1，p2，…，pn。
事实上，式(550)和式(551)的方程相同，因此有


p1=α1，p2=α2，p3=α3，…，pn=αn

一个有意思的现象出现了，微分方程的特征根就是系统函数的极点。明白“极点”的含义了吧？对，极点就是特征根。
明确了系统极点就是微分方程的特征根之后，就可以在s域根据极点分布确定自由响应和强迫响应。
微分方程两边进行拉普拉斯变换



snR(s)－∑n－1k=0sn－k－1r(k)(0－)+a1sn－1R(s)－∑n－2k=0sn－k－2r(k)(0－)+…+anR(s)
=b0smE(s)+b1sm－1E(s)+…+bmE(s)

整理得



R(s)=∑n－1k=0sn－k－1r(k)(0－)+a1∑n－2k=0sn－k－2r(k)(0－)+…+an－1r(0－)sn+a1sn－1+a2sn－2+…+an+


b0sm+b1sm－1+…+bmsn+a1sn－1+a2sn－2+…+anE(s)

令



A(s)=∑n－1k=0sn－k－1r(k)(0－)+a1∑n－2k=0sn－k－2r(k)(0－)+…+an－1r(0－)
H(s)=b0sm+b1sm－1+…+bmsn+a1sn－1+a2sn－2+…+an=B(s)∏ni=1(s－pi)
E(s)=C(s)∏vj=1(s－pj)

其中，pi是H(s)的极点； pj是E(s)的极点。
则



R(s)=A(s)∏ni=1(s－pi)+B(s)∏ni=1(s－pi)·C(s)∏vj=1(s－pj)
=D(s)∏ni=1(s－pi)∏vj=1(s－pj)(552)

在有理真分式的情况下，R(s)部分分式展开为


R(s)= ∑ni=1Ais－pi自由响应+ ∑vj=1Bjs－pj强迫响应(553)

由于pi是系统函数的极点，也即微分方程的特征根，因此，∑ni=1Ais－pi对应的是齐次解，即自由响应； 而pj是激励信号的拉普拉斯变换的极点，因此，∑vj=1Bjs－pj对应的是特解，即强迫响应。
因此，自由响应



rh(t)=∑ni=1Aiepit，t>0

强迫响应


rp(t)=∑vj=1Bjepjt，t>0

提示： H(s)的极点形成自由响应部分，E(s)的极点形成强迫响应部分。
【例题5．22】系统微分方程d2dt2r(t)+3ddtr(t)+2r(t)=ddte(t)+3e(t)，r(0－)=1，r′(0－)=2，e(t)=u(t)，用拉普拉斯变换求自由响应和强迫响应。
解： 由微分方程，得


H(s)=s+3s2+3s+2

系统极点为p1=－1，p2=－2。
输入信号的拉普拉斯变换E(s)=1s，输入信号的极点为p3=0。
微分方程两端拉普拉斯变换，有


s2R(s)－sr(0－)－r′(0－)+3sR(s)－r(0－)+2R(s)=sE(s)+3E(s)

代入参数并整理得


R(s)=s2+6s+3s(s2+3s+2)=2s+1－5/2s+2+3/2s

前两项对应H(s)的极点，属于自由响应部分； 第三项对应激励信号的极点，属于强迫响应部分。
因此，自由响应


Rh(s)=2s+1－5/2s+2
rh(t)=2e－t－52e－2tu(t)

强迫响应


Rp(s)=3/2s
rp(t)=32u(t)

读者可自行用时域方法求解本题的自由响应和强迫响应进行验证。
【例题5．23】系统的零极点分布如图520所示，h(0+)=－4，求e(t)=u(t)时的自由响应和强迫响应。



图520例题5．23图


解： 由零极点写出系统函数


H(s)=Ks(s－2)(s+1)2+4=K－K(4s+5)(s+1)2+4

根据初值定理


h(0+)= lims→∞s·－K(4s+5)(s+1)2+4=－4K=－4

得K=1。所以，


H(s)=s(s－2)(s+1)2+4

由e(t)=u(t)得E(s)=1s，故



R(s)=E(s)H(s)=1s·s(s－2)(s+1)2+4=s－2(s+1)2+4
=s+1(s+1)2+4－(3/2)2(s+1)2+4
r(t)=e－tcos(2t)－32sin(2t)u(t)

本题由于E(s)的极点被H(s)的零点抵消掉，R(s)中的极点只剩下H(s)的极点，故没有强迫响应，只有自由响应。即


rh(t)=e－tcos(2t)－32sin(2t)u(t)
rp(t)=0

5．8．2暂态响应和稳态响应
在系统的响应中，暂态响应指的是当t→∞时，响应r(t)中消失的部分。而稳态响应指的是当t→∞时，响应r(t)中依然稳定存在的部分。因此，暂态响应的时间函数必是随着时间而衰减，工程中有意义的稳态响应的时间函数应该是随着时间的延续最后趋于恒定。
考虑极点的影响，由于左半平面的极点对应的波形是衰减的，因此R(s)中由左半平面的极点决定的响应属于暂态响应，表示为Rts(s)； 位于jω轴上的单阶极点，对应的波形等幅，当t→∞时不会消失，属于稳态响应，表示为Rss(s)。
完全响应


R(s)=Rts(s)+Rss(s)

在例题5．22中，可知



R(s)= 2s+1－5/2s+2暂态响应+3/2s稳态响应

暂态响应


rts(t)=2e－t－52e－2tu(t)

稳态响应


rss(t)=32u(t)

由于该因果系统H(s)的极点p1=－1和p1=－2位于s左半平面，因此，该系统是稳定系统。对于因果稳定系统，单位阶跃信号产生的稳态响应依然是阶跃信号，其终值将趋于常数。
而例题5．23中，虽然输入信号也是单位阶跃信号u(t)，但由于零极点相抵消，输入信号的极点被H(s)的零点抵消掉，因此没有剩下稳态响应，只有暂态响应过程。


rts(t)=e－tcos(2t)－32sin(2t)u(t)
rss(t)=0

【例题5．24】系统微分方程d2dt2r(t)+4r(t)=ddte(t)，r(0－)=1，r′(0－)=2，e(t)=e－tu(t)，求暂态响应和稳态响应。
解： 微分方程两端作拉普拉斯变换


［s2R(s)－sr(0－)－r′(0－)］+4R(s)=sE(s)
E(s)=1s+1

代入起始条件及E(s)，并整理得


R(s)=s2+4s+2(s2+4)(s+1)=－1/5s+1+6/5s+14/5s2+4

式中，第一项的极点在左半平面，属于暂态响应，第二项的极点位于jω轴上且为一阶，对应稳态响应。故


Rts(s)=－1/5s+1

即暂态响应rts(t)=－15e－tu(t)。
而稳态响应


Rss(s)=(6/5)s+14/5s2+4

即rss(t)=65cos(2t)+75sin(2t)u(t)。
与例题5．22和例题5．23不同的是，本题的稳态响应是由于系统的一阶极点位于jω轴上引起的。这是一个临界稳定系统。
思考一下，本题的自由响应是什么？ 





5．8．3正弦信号和单边正弦信号通过稳定系统的响应
单边正弦信号指的是在t=0开始加入的正弦信号，即


e(t)=Acos(ω0t)u(t)

而正弦信号存在于整个时间域(－∞<t<+∞)，即


e(t)=Acos(ω0t)

下面分析这两种信号通过稳定系统的响应。
1． 单边正弦信号通过稳定系统
激励信号为单边正弦信号


e(t)=Acos(ω0t)u(t)

其拉普拉斯变换为


E(s)=Ass2+ω20=As(s+jω0)(s－jω0)

设稳定系统的系统函数为


H(s)=∏mj=1b0(s－zj)∏ni=1(s－pi)

由于系统稳定，故极点pi落在s左半平面。
那么，e(t)通过稳定系统H(s)的响应为



R(s)=E(s)·H(s)=As(s+jω0)(s－jω0)·H(s)

=As(s+jω0)(s－jω0)·∏mj=1b0(s－zj)∏ni=1(s－pi)(554)

部分分式展开



R(s)=K1s+jω0+K2s－jω0+∑ni=1Bis－pi(555)

式(555)前两项的极点±jω0是输入信号E(s)的极点，位于jω轴上，且为单阶极点，故对应的波形是等幅振荡的，属于稳态响应。而后面的∑项的极点pi是系统函数H(s)的极点，由于系统稳定，pi落在s左半平面，对应的波形是衰减的，属于暂态响应。
因此，暂态响应


Rts(s)=∑ni=1Bis－pi

即


rts(t)=∑ni=1Biepit，t>0

稳态响应



Rss(s)=K1s+jω0+K2s－jω0

下面确定系数K1和K2，根据式(554)



K1=(s+jω0)R(s)|s=－jω0=A2H(－jω0)
K2=(s－jω0)R(s)|s=jω0=A2H(jω0)

则



Rss(s)=A2H(－jω0)s+jω0+A2H(jω0)s－jω0

反变换得到稳态响应



rss(t)=A2H(－jω0)e－jω0t+A2H(jω0)ejω0t，t>0(556)

将H(jω0)表示成幅度、相位形式



H(jω0)=H(jω0)ejargH(jω0)

根据傅里叶变换的共轭对称性，有



H(－jω0)=H(jω0)e－jargH(jω0)

则式(556)成为



rss(t)=A2H(jω0)e－jargH(jω0)e－jω0t+A2H(jω0)ejargH(jω0)ejω0t
=A2H(jω0)［e－jω0t+argH(jω0)+ejω0t+argH(jω0)］
=AH(jω0)cos［ω0t+argH(jω0)］，t>0

因此，当输入信号为单边正弦信号


e(t)=Acos(ω0t)u(t)

经过稳定系统，得到的稳态响应为



rss(t)=AH(jω0)cosω0t+argH(jω0)u(t)(557)

其中


H(jω0)=H(s)s=jω0(558)

单边正弦信号通过稳定系统的响应包括两部分，一部分属于暂态响应，由H(s)的极点决定衰减速度； 另一部分是稳态响应，由激励信号(单边正弦信号)的极点引起，而且是与激励信号同频率的正弦信号，其幅度和相位由系统在正弦信号频率点的频率响应加权。幅频H(jω0)加权于正弦输出的幅度，相频argH(jω0)加权于正弦输出的相角。
【例题5．25】输入信号e(t)=cos(100t)u(t)，通过系统h(t)=2e－100tu(t)，求稳态响应和暂态响应。
解：  


H(s)=2s+100

极点p=－100落于s左半平面，系统稳定。

输入信号的频率ω0=100，则


H(jω0)=H(j100)=2j100+100=2100e－jπ4

根据式(558)，得稳态响应


rss(t)=2100cos100t－π4u(t)

下面求暂态响应。
输入信号的拉普拉斯变换


E(s)=ss2+1002

则


R(s)=E(s)·H(s)=ss2+1002·2s+100=K1s+100+K2s+K3s2+1002
K1=(s+100)ss2+1002·2s+100s=－100=－1100

故暂态响应



Rts(s)=－1/100s+100
rts(t)=－1100e－100tu(t)

稳态响应与输入信号同频率，暂态响应由系统的极点决定衰减速度。
对于任意角频率ω，式(558)可以表示为


H(jω)=H(s)s=jω(559)

式(559)是系统频率响应的另一种表示，对于BIBO稳定系统，系统的频率响应H(jω)等于系统函数H(s)在jω轴上的取值。
例题5.25的系统的频率响应


H(jω)=H(s)s=jω=2jω+100

实际上，在傅里叶积分收敛的情况下，jω轴上的拉普拉斯变换等于傅里叶变换。因此，一般也将s平面的jω轴称为频率轴，将s域分析称为复频域分析。
提示： 对于因果稳定信号或系统，jω轴上的拉普拉斯变换就是其傅里叶变换。
2． 正弦信号通过稳定系统
如果激励信号为正弦信号


e(t)=Acos(ω0t)

这是双边信号，不能用单边拉普拉斯变换求解。下面用傅里叶分析方法求解正弦信号通过稳定系统的响应。
激励信号的傅里叶变换为



E(jω)=Aπδ(ω+ω0)+πδ(ω－ω0)


对于BIBO稳定系统


H(jω)=H(s)s=jω

故



R(jω)=E(jω)·H(jω)
=Aπδ(ω+ω0)+πδ(ω－ω0)·H(jω)
=AπH(－jω0)δ(ω+ω0)+πH(jω0)δ(ω－ω0)(560)

令


H(jω0)=H(jω0)ejargH(jω0)
H(－jω0)=H(jω0)e－jargH(jω0)

代入式(560)，得



R(jω)=AπH(jω0)e－jargH(jω0)δ(ω+ω0)+πH(jω0)ejargH(jω0)δ(ω－ω0)
=AH(jω0)πe－jargH(jω0)δ(ω+ω0)+ πejargH(jω0)δ(ω－ω0)

对上式进行傅里叶反变换，考虑



F－12πδ(ω+ω0)=e－jω0t


F－12πδ(ω－ω0)=ejω0t


则



r(t)=AH(jω0)e－jargH(jω0)·12e－jω0t+ejargH(jω0)·12ejω0t
=12AH(jω0)e－jω0t+argH(jω0)+ejω0t+argH(jω0)
=AH(jω0)cosω0t+argH(jω0)(561)


这就是正弦信号Acos(ω0t)通过BIBO稳定系统的响应，这是一个稳态解，输出依然是同频率的正弦信号，只是幅度和相位被正弦信号的频率点处的频率响应加权。

深层分析： 
有趣的是，正弦信号Acos(ω0t)通过稳定系统的响应与单边正弦信号Acos(ω0t)u(t)通过稳定系统的稳态响应完全一样，这是为什么？
因为Acos(ω0t)从t=－∞开始加入并作用于系统，那么，到任何有限时刻t0时暂态分量已经消失(从t=－∞到t0经历了无限长时间)，留下的当然仅仅是稳态分量了。






5．9系统的零极点分布与频率特性
本节分析系统的零极点分布与系统的频率响应之间的关系，即H(s)的零极点怎样决定H(jω)。
对于因果稳定系统，H(s)的极点全部位于s左半平面，其单位冲激响应h(t)随着t的增大而衰减，系统函数



H(s)=∫+∞0h(t)e－stdt

以及频率响应


H(jω)=∫+∞0h(t)e－jωtdt

都是存在的(积分收敛)，而且满足


H(jω)=H(s)s=jω

因此，稳定系统的频率响应H(jω)可以通过系统函数H(s)得到，只要令s=jω即可。这就是系统频率响应的零极点确定法的缘由所在。
5．9．1稳定系统频率响应的几何确定法
将H(s)表示成零极点的形式


H(s)=K(s－z1)(s－z2)…(s－zm)(s－p1)(s－p2)…(s－pn)

令s=jω，得到系统的频率响应



H(jω)=K(jω－z1)(jω－z2)…(jω－zm)(jω－p1)(jω－p2)…(jω－pn)(562)

实际上，s平面(s=σ+jω)的虚轴jω就是傅里叶变换的自变量频率ω。为了画出系统的频率响应特性曲线，在具有零极点分布的s平面上，将s限制为jω，即s的取值范围仅仅在s平面的虚轴上。
对于任意的ω，式(562)的分子、分母的每个因子都可看作s平面的矢量。当频率ω改变时，矢量也随之改变，自然，矢量的长度和相角也随之在变，如图521所示。



图521几何法确定系统的频率响应


将矢量表示成幅度和相角


jω－zk=jω－zkejψk
jω－pi=jω－piejθi

则系统频率响应的幅度，即幅频特性为



H(jω)=|K||jω－z1||jω－z2|…|jω－zm||jω－p1||jω－p2|…|jω－pn|(563)


式(563)表明，H(jω)由“每个零点的矢量长度之积”除以“每个极点的矢量长度之积”并乘以系数K得到。
系统频率响应的相位，即相频特性



∠H(jω)=∠K+∠jω－z1+∠jω－z2+…+∠jω－zm－
∠jω－p1+∠jω－p2+…+∠jω－pn(564)

∠H(jω)由系数K的相位加上“每个零点的矢量的相角之和”再减去“每个极点的矢量的相角之和”得到。K是常数，其相位


∠K=0，K>0



±π，K<0(565)

当频率从直流开始增大直至无穷大频率时，相当于ω从ω=0开始增大直至ω→∞，各个矢量的终点将从坐标原点沿着jω轴向上移动直至无穷远点。那么，各个矢量的长度和相角都将发生变化。画出H(jω)ω的关系曲线就是系统的幅频特性，∠H(jω)ω的关系曲线就是系统的相频特性。
将H(jω)表示成


H(jω)=H(jω)ejφ(ω)

用Mk表示分子矢量的长度，ψk为分子矢量的相角； Ni表示分母矢量的长度，θi是分母矢量的相角，则根据式(562)，有



H(jω)=|K|M1M2…MmN1N2…Nn(566)
φ(ω)=∠K+(ψ1+ψ2+…+ψm)－(θ1+θ2+…+θn)(567)

5．9．2系统的频率响应分析举例
【例题5．26】 RC电路如图522所示，分析该电路的频率响应特性。



图522例题5．26图


解： 


H(s)=RR+1/(Cs)=ss+1/RC

零点z=0，极点p=－1/RC，系统稳定，画出零极点分布图，如图523所示。



图523电路的零极点分布



H(jω)=M1N1，φ(ω)=ψ1－θ1

当ω=0时，jω位于坐标原点，与零点重合，见图524(a)，此时H(jω)的分子等于零，即M1=0； 分母矢量长度N1=1/RC，则


H(jω)=M1N1=0

当频率从正的一侧趋近于零时，分子矢量的相角为π/2，而分母矢量的相角趋近于零，即ψ1=π/2，θ1=0，故


φ(ω)=ψ1－θ1=π/2

当频率ω增大时，矢量终点沿着jω轴向上移动，见图524(b)，M1增大，N1也增大，但M1的增大速度大于N1的增大速度，因此，随着ω的增大，幅频特性H(jω)将增大。另外，随着ω的增大，分子矢量的相角为π/2不变，但分母矢量的相角增大，因此，相频特性φ(ω)=ψ1－θ1将变小。
当ω=1/RC时，M1=1/RC，N1=21/RC，ψ1=π/2，θ1=π/4，因此


H(jω)=1/2，φ(ω)=ψ1－θ1=π/4

当频率ω趋于正无穷大时，见图5．24(c)，此时，分子、分母的矢量长度都趋于无穷大，幅频特性


H(jω)=M1N1→1

此时，分子矢量的相角为π/2，分母矢量的相角也趋于π/2，因此，相频特性φ(ω)=ψ1－θ1趋于0。

画出幅频特性曲线和相频特性曲线，如图525所示。


图524频率响应的几何确定法





图525例题5．26电路的频响特性曲线






由此判断，该电路系统是一个高通滤波器。实际上，从电路结构以及输入输出关系也容易判断该RC电路具有高通特性。
问题思考，如果系统的输出不是电阻R两端的电压，而是电容C两端的电压，该电路具有什么滤波特性？系统函数以及零极点又是怎样的？
【例题5．27】系统的零极点分布如图526所示，画出系统的幅度频响特性和相位频响特性，指出该系统是哪种滤波器。


解： 系统稳定，用几何确定法分析频响特性，如图527所示。


图526例题5．27图





图527频率响应的几何确定法




幅度频响特性


H(jω)=|K|M1N1N2

对于相位频响特性，由于系统没有给出其他条件确定系数K，为简单起见，这里假设K> 0。因此，相频特性


φ(ω)=ψ1－θ1+θ2

(1) 当ω=0时，M1=0，N1=N2=α2+β2，ψ1=π/2，θ1=－θ2，故有



H(jω)=0，φ(ω)=π/2

(2) 当ω从0开始增大时，M1增大，N1减小，N2增大，而且M1的增长速度很快，因此，H(jω)将增大。ψ1=π/2不变，θ1减小，θ2增大，故φ(ω)=ψ1－θ1+θ2将变小。
(3) 当ω→∞时，M1→∞，N1→∞，N2→∞，因此H(jω)=KM1N1N2→0； ψ1=π/2不变，θ1→π/2，θ2→π/2，故φ(ω)=ψ1－θ1+θ2→－π/2。
画出幅度频响特性和相位频响特性，如图528所示。



图528系统的频响特性曲线


由幅频特性可知，这是一个带通滤波器。


小结： 
(1) 由零极点确定系统的频率响应，采用几何确定法既简单又有效。但是，需要注意的是，此方法只适于BIBO稳定系统。因为，只有BIBO稳定系统才满足


H(jω)=H(s)s=jω

(2) 上述例题中，只画出了正频率部分的频率响应，这是系统真实的频响特性。当然，也可以根据幅频偶对称、相频奇对称的特点，画出完整的频率响应特性。
(3) 不难总结出零极点分布与系统频率响应的一些特点，例如，如果坐标原点处有零点，
则H(j0)=0，系统会滤除直流成分。又如，对于一阶系统(只有一个极点)，低通滤波器只能在负实轴上有一个极点，没有零点； 高通滤波器在负实轴上有一个极点，在坐标原点处有一个零点。而一阶系统无法实现带通或带阻滤波器，等等，读者可自己加以分析总结。






5．10全通系统和最小相位系统
5．10．1全通系统

一般的实际系统，幅频特性H(jω)是ω的函数，或具有低通滤波特性,或具有高通、带通等其他滤波性能，信号通过系统后频率成分将被改变。



R(jω)=E(jω)H(jω)

但是，如果系统的幅频特性是常数，即


H(jω)=K(568)

则


R(jω)=KE(jω)

这种系统允许信号的频率成分全部等量地通过，这种系统即全通系统。


图529全通系统的幅频

特性曲线


全通系统的幅频特性如图529所示。


那么，什么样的零极点分布会使得幅频特性是常数呢？首先要保证系统是稳定的，因此，极点全部位于s左半平面，如果零点全部位于s右半平面，且与极点关于jω轴镜像对称，如图530所示，那么根据几何确定法，由于N1=M1，N2=M2，N3=M3，有



H(jω)=KN1N2N3M1M2M3=K


系统的幅频特性为常数，即全通系统。




图530全通系统的零极点分布


因此，全通系统的零极点分布特征是，系统函数的极点全部位于s左半平面，零点全部位于s右半平面，且零极点关于jω轴呈镜像对称分布。
这样分布的零极点，其相频特性


φ(ω)=(ψ1+ψ2+ψ3)－(θ1+θ2+θ3)
随着ω的变化，相频特性呈现单调衰减的变化趋势。零极点的位置不同(实数零极点或复数零极点)，相频特性曲线会有所不同，但随着ω增加单调下降是全通系统相频特性一致的规律。

5．10．2最小相位系统
在实际应用中，很多时候希望信号通过某个系统的延时最小。在信号与系统的频域分析中，时域的延时在频域中体现的是相位特性。最小相位系统具有最小的延时； 反之，最大相位系统对信号的延时最大。
在5．6节零极点与时间特性的关系中，零点影响波形的幅度和相位，因此，对于具有一致的时间特性和滤波特性的系统来讲，最小相位系统或最大相位系统应该考虑的是零点。
下面考虑三个系统，如图531所示，它们的极点完全相同，因此这三个系统的波形是一致的。零点分别处于三种情况，全部位于s左半平面、分别位于s左右平面以及全部位于s右半平面。虽然位置不同，但它们相对应的零点的矢量长度是相等的。因此三个系统的幅频特性也相同，即它们具有相同的滤波特性。

相频特性


φ(ω)=(ψ1+ψ2+ψ3)－(θ1+θ2+θ3)

由于极点相同，所以三个系统的(θ1+θ2+θ3)相同，不同的是(ψ1+ψ2+ψ3)。不难发现，图531(a)的(ψ1+ψ2+ψ3)最小，图531(b)次之，图531(c)的(ψ1+ψ2+ψ3)最大。因此，三个系统的相位特性关系是φa(ω)<φb(ω)<φc(ω)。也就是说，具有同样的波形形状、同样的滤波特性的三个系统，图531(a)系统具有最小的相位，图531(c)系统具有最大的相位，图531(b)系统介于二者之间。
一般将图531(a)系统称为最小相位系统，这种系统对信号产生最小的延时； 将图531(c)系统称为最大相位系统，对信号产生最大的延时，图531(b)系统称为非最小相位系统。或者将图531(b)和图531(c)系统统称为非最小相位系统。因此，当系统的零点仅仅位于s左半平面或jω轴上时，该系统是最小相位系统。

对于一个非最小相位系统，可以表示成最小相位系统与全通系统的级联，如图532所示。



H(s)=Hmin(s)·Hall(s)(569)

【例题5．28】系统零极点分布如图533所示，分析系统是否是最小相位系统？如果不是，将其化成最小相位系统和全通系统的级联。

解： 由于右半平面有零点，所以不是最小相位系统。
将右半平面的零点镜像移到左半平面，为了保持原系统的系统函数不变，需要级联一个全通系统。



图531最小相位系统以及非最小相位系统的零极点分布





图532非最小相位系统





图533例题5．28图




H(s)=K［s－(1+j)］［s－(1－j)］［s－(－2+j2)］［s－(－2－j2)］
=K［s－(1+j)］［s－(1－j)］［s－(－2+j2)］［s－(－2－j2)］·［s－(－1+j)］［s－(－1－j)］［s－(－1+j)］［s－(－1－j)］
= K［s－(－1+j)］［s－(－1－j)］［s－(－2+j2)］［s－(－2－j2)］最小相位系统· ［s－(1+j)］［s－(1－j)］［s－(－1+j)］［s－(－1－j)］全通系统
Hmin(s)=K［s－(－1+j)］［s－(－1－j)］［s－(－2+j2)］［s－(－2－j2)］
=Ks2+2s+2s2+4s+8


最小相位系统在右半平面没有零点，如图534(a)所示。


Hall(s)=［s－(1+j)］［s－(1－j)］［s－(－1+j)］［s－(－1－j)］=s2－2s+2s2+2s+2

全通系统的零极点关于jω轴镜像对称，如图534(b)所示。



图534最小相位系统和全通系统


需要注意的是，在将非最小相位系统化成最小相位系统与全通系统的级联时，jω轴上的零点无须处理。
5．11连续时间系统的物理模型
在系统分析中，除电路等实际物理系统外，很多时候是以框图的形式来表示系统，这就是系统的物理模型。本节介绍系统的基本结构形式，以及怎样由系统的数学模型得到其物理模型。





5．11．1系统的基本结构
1． 系统的级联

在时域，级联系统的单位冲激响应等于子系统单位冲激响应作“卷积”运算。而且，交换子系统的前后顺序不影响系统总的单位冲激响应。


h(t)=h1(t)h2(t)

根据时域卷积定理，在s域，级联子系统的系统函数等于子系统的系统函数作“乘法”运算，即


H(s)=H1(s)H2(s)


R(s)=E(s)H1(s)H2(s)(570)

级联结构如图535所示。



图535系统的级联结构


2． 系统的并联
并联系统的单位冲激响应等于子系统单位冲激响应作“加法”运算，即


h(t)=h1(t)+h2(t)

两端拉普拉斯变换，可知在s域，并联系统的系统函数等于子系统的系统函数相加。


H(s)=H1(s)+H2(s)


R(s)=E(s)H1(s)+H2(s)(571)

并联结构如图536所示。



图536系统的并联结构



3． 反馈系统
图537所示为反馈系统的结构，其中，G(s)为前向通路的转移函数，Q(s)为反向通路的转移函数，ε(s)为误差函数。


图537反馈系统的结构


根据结构图可以写出


ε(s)=E(s)－Q(s)·R(s)

R(s)=ε(s)·G(s)

消去ε(s)，得


H(s)=R(s)E(s)=G(s)1+G(s)Q(s)(572)

反馈系统是一种非常有用而且常见的系统结构，反馈系统的作用很多，可以通过反馈系统求系统的逆系统； 反馈系统还可以改善系统的非线性、拓宽系统的通频带、改善系统的稳定性等。
【例题5．29】如图538所示的系统结构，a和b都大于零，如果系统稳定，求K的取值范围。



图538例题5．29图


解： 



H(s)=G(s)1+G(s)Q(s)=bs－a1+bs－aK=bs－a+bK


极点p=a－bK。如果系统稳定，则a－bK<0，即K>a/b。
实际上，如果没有反馈，由于bs－a的极点在s右半平面(p1=a，a>0)，系统本来不稳定，加入一个负反馈，使得不稳定系统变成稳定系统。
在实际工程中，一个系统往往是既有级联、并联又有反馈等的复合结构。
*5．11．2连续时间系统的模拟
为什么要进行系统模拟？
在系统分析中，对系统进行数学描述和分析无疑是非常重要的，但是，在实际中，一个庞大而复杂的系统如果遵循“建立数学模型，然后求解”这样的分析思路，难度可能很大。如果将系统分解成一些基本单元，由基本单元再组成复杂系统，通过对基本单元的分析进而对系统整体分析，就可以大大简化分析过程。因此，建立系统的物理模型是必要的。另外，有时也需要对系统进行模拟实验，通过显示设备将结果显示出来。这样，当系统的参数或输入信号改变时，系统响应的变化就能通过实验来进行观察，从而便于确定最佳的系统参数和工作条件。这里所说的系统模拟，并不是指在实验室里仿制该系统，而是数学意义上的模拟，用来模拟的装置和原系统在输入输出的关系上可以用同样的微分方程来描述。
因此，系统的模拟是指根据系统的数学模型用一定的元件来仿真实际系统，进而可以通过实验手段进行参数分析，达到优化系统的目的。在系统的数学描述中，微分方程是系统的数学模型，系统函数是系统的s域表征； 而系统模拟得到的就是系统的物理模型——框图。本节的内容是由微分方程或系统函数画出系统的框图，即根据系统的数学描述得到物理模型。
连续LTI系统的数学模型是微分方程，一个线性常系数微分方程包括加法运算、乘法运算和微分运算，因此，系统模拟需要的元件应该包括加法器、标量乘法器和微分器。但在实际应用中，微分器对噪声和误差较为敏感，因此一般使用积分器。图539示出了连续时间系统模拟所需要的元件。


为了简化表示，标量乘法器也可以简化成图540。


图539连续时间系统的元件模型




图540标量乘法器



下面以一个例子来说明用积分器、标量乘法器和加法器来模拟连续时间LTI系统的过程及方法。
假设某系统的数学模型为



d2dt2r(t)+a1ddtr(t)+a2r(t)=b1ddte(t)+b2e(t)(573)



为了用积分器模拟，对上式进行两次积分，得


r(t)+a1∫r(τ)dτ+a2∫∫r(τ)dτ=b1∫e(τ)dτ+b2∫∫e(τ)dτ

设中间变量x(t)，即


b1∫e(τ)dτ+b2∫∫e(τ)dτ=x(t)(574)

以及


r(t)+a1∫r(τ)dτ+a2∫∫r(τ)dτ=x(t)(575)

先模拟式(574)，得到如图541所示的框图。接下来模拟式(575)，将其整理成


r(t)=x(t)－a1∫r(τ)dτ－a2∫∫r(τ)dτ

得到图542所示的框图。




图541式(574)的物理模型




图542式(575)的物理模型





将两个子系统合到一起，如图543所示。



图543总的物理模型


实际上，对于二阶微分方程，一般只需两个动态元件(积分器)就可以了。而且对于LTI系统，可以交换级联子系统的次序，系统函数不变，即系统的输入输出关系不变。为此将左右两个子系统交换顺序，得到如图544所示的结构。


图544交换子系统的顺序


省却其中一套背靠背的积分器，就得到如图545所示的系统结构。



图545省却一对积分器


将图形逆时针旋转90°，画成习惯画法，如图546所示。



图546微分方程的物理模型


这就是式(573)微分方程表示的系统的模拟框图，也即该系统的物理模型。
其实，微分方程和其模拟框图之间有着内在的对应关系，找到对应关系，就可以由微分方程直接画出系统的框图。
首先根据微分方程写出系统函数


H(s)=b1s+b2s2+a1s+a2

将H(s)写成积分器(1/s)的形式


H(s)=b1/s+b2/s21+a1/s+a2/s2(576)

其对应的模拟框图如图547所示，1/s表示积分器。



图547物理模型


对比积分器形式的系统函数与系统框图之间的关系，不难发现，当系统函数H(s)的分母常数项归一化后，H(s)的分母对应框图的反馈回路部分，正负号相反； H(s)的分子对应框图的前向通路部分，正负号一致。按此规律，就可以画出任意阶微分方程的模拟框图。
例如，


dndtnr(t)+a1dn－1dtn－1r(t)+…+anr(t)

=b0dmdtme(t)+b1dm－1dtm－1e(t)+…+bme(t)(577)

则



H(s)=b0sm+b1sm－1+…+bmsn+a1sn－1+a2sn－2+…+an


=b0/sn－m+b1/sn－m+1+b2/sn－m+2+…+bm－1/sn－1+bm/sn1+a1/s+a2/s2+…+an－1/sn－1+an/sn(578)

其模拟框图如图548所示。



图548微分方程的模拟框图


需要说明的是，对于一个LTI系统，其数学描述(微分方程、系统函数)是唯一确定的,但其物理模型(系统的结构框图)却不是唯一的。改变系统的内部结构，只要保证端口的输入输出关系不变，都是该系统的模拟框图。实际上，微分方程和系统函数属于系统的端口分析。
【例题5．30】系统的微分方程为


d2dt2r(t)+3ddtr(t)+2r(t)=d2dt2e(t)+ddte(t)

至少画出系统的两种结构。
解： 由微分方程得到系统函数


H(s)=s2+ss2+3s+2=1+1/s1+3/s+2/s2

按照前述规律直接画出系统的一种结构，如图549(a)所示。

其实，可以将H(s)整理成另外一种表达形式，如


H(s)=s(s+1)(s+1)(s+2)=ss+1·s+1s+2=11+1/s·1+1/s1+2/s


图549例题5．30图



据此画出另一种结构，如图549(b)所示。
这两种结构具有相同的微分方程和相同的系统函数。
读者可自行思考一些其他的结构。


*5．12双边拉普拉斯变换
5．12．1拉普拉斯变换的收敛域


双边拉普拉斯变换的公式为


FB(s)=∫+∞－∞f(t)e－stdt

拉普拉斯变换的收敛域指的是在s平面上使拉普拉斯变换积分存在的那些s域的集合。当信号的时间取值范围不同时，其拉普拉斯变换的收敛域不同。
1． f(t)是因果信号
因果信号满足


f(t)=0，t<0(579)

例如，f(t)=eatu(t)，其拉普拉斯积分


FB(s)=∫+∞0f(t)e－stdt=∫+∞0e(a－σ)te－jωtdt

如果积分收敛，要求a－σ<0，即σ>a，或Re(s)>a。
而f(t)的拉普拉斯变换为


FB(s)=1s－a

极点为p=a。
因此，收敛域是最右边极点(p=σ0)所在的收敛轴的右半平面，这就是因果信号的拉普拉斯变换的收敛域，如图550所示。



图550因果信号的拉普拉斯变换的收敛域


2． f(t)是反因果信号



f(t)=0，t>0(580)


例如，f(t)=eatu(－t)，其拉普拉斯积分



FB(s)=∫+∞－∞f(t)e－stdt=∫0－∞eate－stdt=－1s－a


极点为p=a。
如果积分收敛，要求a－σ>0，即σ<a，或Re(s)<a。
因此反因果信号的双边拉普拉斯变换的收敛域为最左边极点(p=σ0)所在的收敛轴的左半平面，如图551所示。



图551反因果信号的拉普拉斯变换的收敛域


3．  f(t)是双边(非因果)信号
可以将信号表示成因果信号和反因果信号之和，即


f(t)=f1(t)u(t)+f2(t)u(－t)(581)

其中，f1(t)u(t)的收敛域为某个收敛轴的右半平面(σ>σ1)，而f2(t)u(－t)的收敛域为某个收敛轴的左半平面(σ<σ2)。此时会出现两种情况，当σ1<σ2时，存在拉普拉斯变换，收敛域为σ1<σ<σ2，是带状收敛域。而当σ1<0且σ2>0时，收敛域包含jω轴，如图552所示。当σ1>σ2时，没有公共的收敛域，此时拉普拉斯变换不存在。




图552双边信号拉普拉斯变换的收敛域


4． f(t)是时限信号
拉普拉斯变换为


FB(s)=∫τ2τ1f(t)e－stdt

此时，f(t)的收敛域为全s平面，即全平面收敛，如图553所示。

当然，还有一些信号属于永远不收敛的情况，如f(t)=et2或f(t)=eet，它们不存
在拉普拉斯变换。实际上，这些信号几乎没有工程上的意义。


图553时限信号拉普拉斯变换的收敛域



5．12．2因果系统、稳定系统的s域特征
对于LTI系统，系统函数的收敛域也会因系统的因果与否而分三种情况。因果系统h(t)=0，t<0的收敛域为收敛轴的右半平面； 反因果系统h(t)=0，t>0的收敛域为收敛轴的左半平面； 非因果系统h(t)为双边函数的收敛域为带状收敛域。
对于稳定系统，其时域特征为


∫+∞－∞h(t)dt<∞

如果系统稳定，则在jω轴上的拉普拉斯变换


H(s)s=jω=∫+∞－∞h(t)e－jωtdt<∞

即在jω轴上收敛。
因此，对于稳定系统，不论是因果的还是非因果的，其收敛域包含jω轴，jω轴上不能有极点。
对于因果稳定系统，同时考虑因果性和稳定性。因果性要求收敛域在收敛轴的右半平面，而稳定性又要求收敛域包含jω轴，因此，因果稳定系统的s域特征是所有极点全部位于s左半平面，这与前面5．7节是吻合的。
5．12．3双边拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
傅里叶变换公式


F(jω)=∫+∞－∞f(t)e－jωtdt

双边拉普拉斯变换公式


F(s)=∫+∞－∞f(t)e－stdt

如果令s=jω，两个积分表达式是一致的。因此，对于绝对可积信号或稳定系统，由于收敛域包含jω轴，傅里叶积分和拉普拉斯积分都收敛，即傅里叶变换和拉普拉斯变换都存在，且


F(jω)=F(s)s=jω(582)

也就是说，对于绝对可积信号或稳定系统，傅里叶变换是jω轴上的拉普拉斯变换。
本章知识MAP见图554。



图554连续时间信号与系统的s域分析框图









本章结语

时域是真实世界，拉普拉斯变换仅仅是一个数学架构。有些在时域难以分析求解的问题，例如微分方程和电路，在s域变得异常简单。除此之外，拉普拉斯变换的另一个重要贡献是，用系统函数代替时域的微分方程来表示系统，通过系统函数或零极点来分析、设计系统。
本章的核心内容包括三大部分，第一部分为基础，也是信号的s域分析，包括拉普拉斯变换、拉普拉斯变换的性质以及拉普拉斯反变换。第二部分是将拉普拉斯变换作为工具求解电路或微分方程的响应。第三部分是系统函数及零极点分析，通过系统函数及零极点分析系统的时域特性、频域特性、因果稳定性以及分析系统的各种响应。
除此之外，借助于系统函数，可以建立系统的物理模型——框图。
实际上，系统函数作为系统分析的重要函数，是连接微分方程、单位冲激响应、系统结构框图之间的桥梁。而连续时间系统的s域分析方法更多的是“套数”，按照分析“路数”分析即可，无须考虑太多的物理概念。
至此，信号与系统的端口分析方法和理论建立完毕。系统的描述方法有三种，一是系统的数学模型； 二是系统的物理模型； 三是系统的表征函数——单位冲激响应和系统函数。实际上，单位冲激响应和系统函数是同一概念在不同域的不同表示，一个是系统的时域表征，一个是系统的变换域表征。
本章知识解析


知识解析



习题

51求下列信号的拉普拉斯变换。
(1) f(t)=2δ(t)+3e－2tu(t)（2）  f(t)=e－tcos(2t)u(t)
(3) f(t)=te－2tu(t)(4) f(t)=sin(2t)u(t－1)
52求下列拉普拉斯变换所对应的时间函数的初值与终值。
（1） F(s)=s－1s+2（2） F(s)=3s+2s(s2+4)  
53求下列信号的拉普拉斯反变换。
(1) F(s)=4s+5s2+5s+6(2) F(s)=1s(s2+5)
(3) F(s)=2s2+6ss2+3s+2  (4)  F(s)=s(s+α)2+β2
54系统微分方程ddtr(t)+2r(t)=e(t)，已知r(0－)=0，e(t)=u(t)。求零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应以及完全响应。
55LTI系统的微分方程为ddtr(t)+3r(t)=3u(t)，当完全响应为r(t)=12e－3t+1u(t)时，求系统的零输入响应。
56电路如题图56所示，t<0时，开关K闭合，且电路达到稳态；t=0，开关K断开。求
t>0时，开关K两端的电压vab(t)。


题图56



57LTI系统的系统函数H(s)=s+2s2+5s+6，求下列各项。
(1) 系统的单位冲激响应。
(2) 输入信号为e(t)=e－2tu(t)的零状态响应。
(3) 列写系统的微分方程。
58求下列微分方程所描述系统的单位冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)。
(1)  d2dt2r(t)+3ddtr(t)+2r(t)=ddte(t)+3e(t)
(2)  d2dt2r(t)+2ddtr(t)+2r(t)=d2dt2e(t)+3ddte(t)
59题图59所示的是一个反馈系统，建立该系统的微分方程。


题图59



510根据题图510 所示的反馈系统分析下列问题： 
(1) 写出H(s)=V2(s)V1(s)。
(2) K满足什么条件时系统稳定？
(3) 在临界稳定条件下，求系统的冲激响应h(t)。


题图510



511系统的零点z1=0，z2=1，极点p1,2=－1±j2，且h(0+)=3。
(1) 求系统函数。
(2) 建立系统的微分方程。
(3) 分析系统的滤波特性。
512LTI系统的微分方程为d2dt2r(t)+3ddtr(t)+2r(t)=d2dt2e(t)－ddte(t)。
(1) 求系统函数，画出系统的零极点图。
(2) 分析系统的滤波特性。
(3) 判断系统是否是最小相位系统？如果是，说明原因；如果不是，将它化成最小相位系统与全通系统的级联形式。
513系统的微分方程为d2dt2r(t)+5ddtr(t)+4r(t)=ddte(t)－2e(t)。
(1) 画出系统的一种模拟框图。
(2) 分析系统是否是最小相位系统？如果不是，用数学表达式将其表示成最小相位系统和全通系统的级联。
(3) 画出最小相位系统的结构。
(4) 分别画出结构(1)和结构(3)的幅频特性和相频特性。