···························································· 第5 章 chapter5 连续时间信号与系统的复频域分析 5.1 引 言 傅里叶变换提供了一套在时域和频域中处理信号的强有力工具。信号的某些特性 在频域中反而比在时域中更容易确定。但仍有一部分信号不存在傅里叶变换,因而无法 使用频域分析法。而且傅里叶反变换求解比较复杂,即从频域到时域的转换比较复杂。 本章介绍一种新的变换域方法,即拉普拉斯变换(LaplaceTransform,LT),简称拉氏变 换。该变换将时域映射到复频域,为连续时间信号与系统的分析提供了比傅里叶变换更 为广泛的特性描述。 本章从傅里叶变换入手,介绍拉普拉斯变换的定义,详细描述利用拉普拉斯变换进 行连续时间信号与系统的复频域分析,并针对实际应用介绍系统函数及其特性,最后描 述系统的复频域方框图和流图的表示。 5.2 拉普拉斯变换 5.2.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 在信号的频域分析中,如果信号满足狄利克雷条件,那么信号的傅里叶变换就一定 存在。某些特殊信号,如单位阶跃信号、斜坡信号等,虽然不满足狄利克雷条件,但是借 助广义函数仍然可以求出傅里叶变换,只是变换式中包含冲激信号。一部分常见信号, 如单边指数增长信号,不满足狄利克雷条件,因此,傅里叶变换并不存在。对于此类信 号,如果想定性了解其频域特性,是不能直接进行傅里叶变换的。但是,如果将这类增长 型信号乘以一个指数衰减因子e-σt,当σ 满足一定条件,使f(t)e-σt 成为指数衰减信号 时,就可以对相乘后的信号进行傅里叶变换。本节从另一个角度说明信号的特性。 信号f(t)e-σt的傅里叶变换为 F [f(t)e-σt]=∫∞ -∞ f(t)e-σte-jωtdt=∫∞ -∞ f(t)e-(σ+jω)tdt 令s=σ+jω,上式可以写成 1 52 ◆信号与系统（第2 版） F[f(t)e-σt]=∫∞ -∞ f(t)e-stdt 用F(s)表示上式,得 F(s)=∫∞ -∞ f(t)e-stdt (5-2-1) 式(5-2-1)称为信号f(t)的拉普拉斯正变换,表示为 L [f(t)]=F(s)=∫∞ -∞ f(t)e-stdt (5-2-2) 信号f(t)e-σt的傅里叶反变换为 f(t)e-σt =F -1[F(σ+jω)]= 1 2π∫+∞ -∞ F(σ+jω)ejωtdω 两边同乘eσt,得 f(t)= 1 2π∫∞ -∞ F(σ+jω)e(σ+jω)tdω (5-2-3) 同样,令s=σ+jω,可得dω=ds/j。当ω=±∞时,s=σ±j∞,代入式(5-2-3),得 f(t)= 1 2πj∫σ+j∞ σ-j∞ F(s)estds (5-2-4) 式(5-2-4)称为信号f(t)的拉普拉斯反变换,表示为 f(t)=L-1[F(s)]= 1 2πj∫σ+j∞ σ-j∞ F(s)estds (5-2-5) 将式(5-2-2)和式(5-2-5)合起来就是一对拉普拉斯变换对,简称拉氏变换对,表示为 L [f(t)]=F(s) L-1[F(s)]=f(t) 或者 f(t)←→L F(s) 从上述傅里叶变换推导出拉普拉斯变换的过程中可以看出,f(t)的拉普拉斯变换 F(s)即为f(t )e-σt的傅里叶变换F(σ+jω)。换句话说,将不满足绝对可积条件的信号 f(t)乘以e-σt之后如果满足绝对可积条件,则可对乘积信号进行傅里叶变换,该傅里叶 变换也称为广义傅里叶变换,即双边拉普拉斯变换。因此,拉普拉斯变换的引入扩大了 信号变换的范围。 拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本差别在于:傅里叶变换将时域函数f(t)变换为 频域函数F(ω),或作相反的变换,这里时域变量t 和频域变量ω 都是实数;而拉普拉斯 变换则是将时域函数f(t)变换为复频域函数F(s),或作相反的变换,这里时域变量t 是 实数,复频域变量s 是复数。概括地说,傅里叶变换建立了时域和频域间的联系,而拉普 拉斯变换则建立了时域与复频域间的联系。 5.2.2 单边拉普拉斯变换 实际工程应用中遇到的信号一般是因果信号,即当t<0时,f(t)=0;或者信号虽然 不是因果信号,但是问题的讨论只需考虑t≥0的情况。因此,拉普拉斯变换式(5-2-2) 第◆5 章 连续时间信号与系统的复频域分析1 53 可以变为 F(s)=L [f(t)]=∫∞ 0- f(t)e-stdt (5-2-6) 为以示区别,式(5-2-2)称为双边拉普拉斯变换,式(5-2-6)称为单边拉普拉斯变 换。无论单边还是双边拉普拉斯变换,它的反变换都是式(5-2-5)。 式(5-2-6)中积分下限选取0- 的目的是在复频域分析0时刻时包含冲激信号。单 边拉普拉斯变换对可以表示成 L [f(t)]=F(s)=∫∞ 0- f(t)e-stdt (5-2-7) L-1 [F(s)] =f(t)= 1 2πj∫σ+j∞ σ-j∞ F(s)estds (5-2-8) 除了特别说明,一般积分下限0- 简写成0,含义相同。如无特别说明,本章所讲拉普 拉斯变换均是指单边拉普拉斯变换。 5.2.3 单边拉普拉斯变换的收敛域 从前面的分析可以看出,拉普拉斯变换是将信号f(t)乘以指数衰减因子e-σt,当乘 积f(t )e-σt满足绝对可积条件时对其进行傅里叶变换所得。即当函数f(t )e-σt满足绝 对可积条件时,信号f(t)的拉普拉斯变换才存在。因此,σ 的取值范围有一定的限制。 对于单边信号f(t),当t→∞时,如果存在一个值σ0,使得σ>σ0 时函数f(t)e-σt的极限 为0,则f(t)e-σt在σ>σ0 时的全部范围内满足绝对可积条件。此时,信号f(t)的拉普拉 斯变换存在。通常将拉普拉斯变换存在的σ 取值范围称为拉普拉斯变换的收敛域 (RegionOfConvergence,ROC)。而σ 为复变量s 的实部,在复频域平面上通常以σ 为 横坐标,以jω 为纵坐标,通过σ0 值点作垂直于σ 轴的一条直线,满足所有σ>σ0 的σ 取 值范围即是收敛域;σ0 值点称为收敛坐标;通过σ0 值点作的垂直于σ 轴的直线称为收敛 轴。单边拉普拉斯变换的收敛域如图5-2-1所示。 下面对不同时域信号f(t)的拉普拉斯变换的收敛域举例加以说明。 (1)如果f(t)是有限持续期的,则其拉普拉斯变换F(s)的收敛域是整个s 平面,如 图5-2-2所示。 图5-2-1 单边拉普拉斯变换的收敛域 图5-2-2 有限持续期信号的拉普拉斯变换的收敛域 【例5-2-1】 求单位冲激信号δ(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。 解: L [δ(t)]=∫∞ -∞ δ(t)e-stdt=e-st t=0=e-s(0)=1 (5-2-9) 1 54 ◆信号与系统（第2 版） 显然,δ(t)的拉普拉斯变换独立于复变量s。因此,对所有复变量s,收敛域为整个s 平面。即 δ(t)←→L 1 (2)如果f(t)是右边信号,则其拉普拉斯变换F(s)的收敛域为Re[s]=σ>σ0,如 图5-2-3所示。其中,σ0 为某一实数。 【例5-2-2】 求因果实指数信号f(t)=Aeatu(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。 解: F(s)=∫∞ -∞ f(t)e-stdt=∫∞ -∞ Aeatu(t)·e-stdt =A∫∞ 0e(a-s)tdt=A ·e(a-s)t a -s ∞ 0 = A s-a, Re[s]>a 即 Aeatu(t)←→L A s-a, Re[s]>a (5-2-10) 【例5-2-3】 求阶跃信号f(t)=Au(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。 解:利用例5-2-2的结果,令a=0,得 Au(t)←→L A s , Re[s]>0 (5-2-11) (3)如果f(t)是左边信号,则其拉普拉斯变换F(s)的收敛域为Re[s]=σ<σ0,如 图5-2-4所示。其中,σ0 为某一实数。 图5-2-3 右边信号的拉普拉斯变换的收敛域 图5-2-4 左边信号的拉普拉斯变换的收敛域 【例5-2-4】 求反因果实指数信号f(t)=Aeatu(-t)的拉普拉斯变换及其收敛域。 解: F(s)=∫∞ -∞ f(t)e-stdt=∫∞ -∞ Aeatu(-t)·e-stdt =A∫0 -∞e(a-s)tdt=A ·e(a-s)t a -s 0 -∞ =- A s-a, Re[s]<a 即 Aeatu(-t)←→L - A s-a, Re[s]<a 当a=0时,有 Au(-t)←→L -A s , Re[s]<0 第◆5 章 连续时间信号与系统的复频域分析1 55 (4)如果f(t)是双边信号,则其拉普拉斯变换F(s)的收敛域为σ1<Re[s]<σ2,其 中,σ1 和σ2 均为实数,且σ1<σ2。 【例5-2-5】 求双边实指数信号f(t)=e-b t (b>0)的拉普拉斯变换及其收敛域。 解: f(t)=e-b t =e-btu(t)+ebtu(-t) 显然,f(t)由因果实指数信号e-btu(t)和反因果实指数信号ebtu(-t)组成,称f(t) 为非因果信号。 因为 e-btu(t)←→L 1 s+b, Re[s]>-b ebtu(-t)←→L - 1 s-b, Re[s]<b 所以,当b>0时,有 e-b t ←→L 1 s+b - 1 s-b, -b < Re[s]<b 其收敛域如图5-2-5所示。 图5-2-5 双边实指数信号的拉普拉斯变换的收敛域 (5)F(s)的收敛域之内不含极点,收敛域的边界由极点限定,或延伸到无穷远。 综上所述,可以得出以下结论:右边信号的收敛域在s 平面上最右极点的右边;左边 信号的收敛域在s 平面上最左极点的左边;双边信号的收敛域在平行于虚轴的一个带状 区域之内。 【例5-2-6】 设拉普拉斯变换为F(s)= 1 (s+1)(s+2),绘出其可能的收敛域。 解:F(s)= 1 (s+1)(s+2)存在3种收敛域情况,如图5-2-6所示。 图5-2-6 F(s)的收敛域 1 56 ◆信号与系统（第2 版） 5.2.4 典型信号的拉普拉斯变换 利用式(5-2-1),可以求出任意信号的拉普拉斯变换。 1.复指数信号Ae(a+jω0)tu(t) 根据 Aeatu(t)←→L A s-a, Re[s]>a 得 Ae(a+jω0)tu(t)←→L A s-a -jω0, Re[s]>a (5-2-12) 2.正弦信号Asinω0tu(t) L [Asinω0tu(t)]=L A2 j(ejω0t -e-jω0t)u(t) é . êê ù . úú =A2 j 1 s-jω0 - 1 s+jω0 . è . . . ÷ = Aω0 s2 +ω20, Re[s]>0 即 Asinω0tu(t)←→L Aω0 s2 +ω20, Re[s]>0 (5-2-13) 3.余弦信号Acosω0tu(t) L [Acosω0tu(t)]=L A2 (ejω0t +e-jω0t)u(t) é . êê ù . úú=A2 1 s-jω0 + 1 s+jω0 . è . . . ÷ = As s2 +ω20, Re[s]>0 即 Acosω0tu(t)←→L As s2 +ω20, Re[s]>0 (5-2-14) 4.余弦衰减信号Aeatcosω0tu(t) L [Aeatcosω0tu(t)]=L A2 eat(ejω0t +e-jω0t)u(t) é . êê ù . úú =L A2 (e(a+jω0)t +e(a-jω0)t)u(t) é . êê ù . úú =A2 1 s- (a +jω0)+ 1 s- (a -jω0) . è . . . ÷ = A(s-a) (s-a)2 +ω20, Re[s]>a 第◆5 章 连续时间信号与系统的复频域分析1 57 即 Aeatcosω0tu(t)←→L A(s-a) (s-a)2 +ω20, Re[s]>a (5-2-15) 5.幂指数信号Atnu(t)(n 为正整数) L [Atnu(t)]=∫∞ -∞ Atnu(t)e-stdt=∫∞ 0 Atne-stdt =∫∞ 0 Atn -1s . è . . . ÷ de-st =-A s tne-st 0∞-∫∞ 0e-stn·tn-1dt =An s∫∞ 0 tn-1e-stdt =An s L [tn-1u(t)], Re[s]>0 依此类推,得 L [Atnu(t)]=An s ·n -1 s ·n -2 s …2s ·1s ·1s =An! sn+1 即 L [Atnu(t)]=An! sn+1 , Re[s]>0 (5-2-16) 当n=1时,斜坡信号Atu(t)的拉普拉斯变换为 L [Atu(t)]=A s2 , Re[s]>0 (5-2-17) 6.反因果余弦衰减信号Aeatcosω0tu(-t) L [Aeatcosω0tu(-t)]=L A2eat(ejω0t +e-jω0t)u(-t) é . êê ù . úú =A2 L [(e(a+jω0)t +e(a-jω0)t)u(-t)] 根据Aeatu(-t)←→L -A s-a,Re[s]<a,有 L [Aeatcosω0tu(-t)]=A2 -1 s- (a +jω0)+ -1 s- (a -jω0) é . êê ù . úú = -A(s-a) (s-a)2 +ω20, Re[s]<a 即 Aeatcosω0tu(-t)←→L -A(s-a) (s-a)2 +ω20, Re[s]<a (5-2-18) 表5-2-1列出了典型信号的拉普拉斯变换对及其收敛域。 1 58 ◆信号与系统（第2 版） 表5-2-1 典型信号的拉普拉斯变换对 序号单边信号f(t),t>0 F(s)=L[f(t)] ROC 1 δ(t) 1 整个s 平面 2 δ(n)(t) sn (n=1,2,3,…) 整个s 平面 3 u(t) 1s Re[s]>0 4 tnu(t) n! sn+1 Re[s]>0 5 e-αtu(t) 1 s+α Re[s]>-α 6 sinω0tu(t) ω0 s2+ω20 Re[s]>0 7 cosω0tu(t) s s2+ω20 Re[s]>0 8 e-αtsinω0tu(t) ω0 (s+α)2+ω20 Re[s]>-α 9 e-αtcosω0tu(t) s+α (s+α)2+ω20 Re[s]>-α 10 te-αtu(t) 1 (s+α)2 Re[s]>-α 11 tne-αtu(t) n! (s+α)n+1 Re[s]>-α 12 tsinω0tu(t) 2ω0s (s2+ω20)2 Re[s]>0 13 tcosω0tu(t) s2-ω20 (s2+ω20)2 Re[s]>0 5.3 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的关系。由于拉普拉斯变换是广义的傅里 叶变换,因此,这两种变换的性质在很多方面是相似的,而且利用其性质可使时域函数的 拉普拉斯变换及拉普拉斯反变换的求取更为方便简捷。但在进行拉普拉斯变换时,其收 敛域不可忽略。下面介绍拉普拉斯变换的性质,其中类同于傅里叶变换的性质不予 证明。 5.3.1 线性性质 设 f1(t)←→L F1(s), Re[s]>σ1 f2(t)←→L F2(s), Re[s]>σ2 第◆5 章 连续时间信号与系统的复频域分析1 59 则 af1(t)+bf2(t)←→L aF1(s)+bF2(s),Re[s]> max(σ1,σ2) (5-3-1) 其中,a、b 均为常数,Re[s]>max(σ1,σ2)表示F1(s)与F2(s)收敛域的交集。 需要指出的是,两个信号经过线性运算后,其拉普拉斯变换的收敛域有时会超出这 些交集。下面举例说明。 【例5-3-1】 已知 f1(t)←→L F1(s)= 1 s+1, Re[s]>-1 f2(t)←→L F2(s)= 1 (s+1)(s+2), Re[s]>-1 求f1(t)-f2(t)的拉普拉斯变换F(s)。 解:F1(s)、F2(s)的收敛域分别如图5-3-1(a)、(b)所示。 F(s)=F1(s)-F2(s)= 1 s+1- 1 (s+1)(s+2) = s+1 (s+1)(s+2)= 1 s+2, Re[s]>-2 其收敛域如图5-3-1(c)所示。 图5-3-1 F1(s)、F2(s)和F1(s)-F2(s)的收敛域 信号f1(t)与f2(t)线性组合后,在s=-1的极点被s=-1的零点所抵消;而收敛 域总是由极点或者无限远点确定。因此,信号线性组合后的收敛域向左延伸,说明如遇 零点和极点相抵消,线性运算后的收敛域将扩大。 5.3.2 尺度变换性质 设 f(t)←→L F(s),a >0, Re[s]>σ0 则 f(at)←→L 1a F s a . è . . . ÷ , Re[s]>aσ0 (5-3-2) 证明:当a>0时,有 L [f(at)]=∫∞ -∞ f(at)e-stdt=∫∞ -∞ f(τ)e-sτ adτ a . è . . . ÷ 1 60 ◆信号与系统（第2 版） =1 a∫∞ -∞ f(τ)e-s aτdτ=1a F s a . è . . . ÷ , Re[s]>aσ0 其中,a>0确保了f(at)是因果信号。 【例5-3-2】 求信号f(t)=δ(at)的拉普拉斯变换,其中,a>0。 解:因为δ(t)←→L 1,所以有δ(at)←→L 1/a。 5.3.3 时域平移性质 设 f(t)←→L F(s), Re[s]>σ0 则 f(t-t0)u(t-t0)←→L F(s)e-st0 ,t0 ≥0, Re[s]>σ0 (5-3-3) 需要说明的是,单边拉普拉斯变换之所以要限定t0≥0以及f(t-t0)u(t-t0),是因 为单边拉普拉斯变换的积分区间是[0,+∞)。当信号f(t)在时间轴上移动时,有可能使 积分区间的信号发生变化,因此,要加以限定,使移动后的信号波形与原始信号f(t)的波 形形状相同。例如,信号f(t)如图5-3-2(a)所示,在t0>0时向右移动t0 个单位,如 图5-3-2(b)所示。很明显看到,对于单边拉普拉斯变换来说,图5-3-2(a)和(b)所示信 号在积分区间[0,+∞)的波形并不相同,而图5-3-2(a)所示信号在积分区间[0,+∞)的 波形和图5-3-2(c)所示信号在积分区间[t0,+∞)的波形是相同的。 图5-3-2 拉普拉斯变换时域平移特性在积分区间的变化 【例5-3-3】 已知f(t)←→L F(s),Re[s]>σ0,a>0,求L [f(at-t0)]u(at-t0)。 解:由于f(t)←→L F(s),Re[s]>σ0,其中,a>0,根据尺度变换性质和时域平移性 质,得 f(t-t0)←→L F(s)e-st0 , Re[s]>σ0 f(at-t0)←→L 1a F s a . è . . . ÷ e-s t0a , Re[s]>aσ0 另一种方法为 f(at)←→L 1a F s a . è . . . ÷ , Re[s]>aσ0 f(at-t0)=f[a(tt0a )]←→L 1a F s a . è . . . ÷ e-s t0a , Re[s]>aσ0 【例5-3-4】 分别求f1(t)=tu(t)、f2(t)=t-t0、f3(t)=(t-t0)u(t)、f4(t)= tu(t-t0)和f5(t)=(t-t0)u(t-t0)的拉普拉斯变换。 解:信号f1(t)、f2(t)、f3(t)、f4(t)、f5(t)的波形分别如图5-3-3(a)、(b)、(c)、