第3章
CHAPTER 3


直流电路基本定律分析法









视频讲解




引子： 基于等效原理的电路等效化简分析法对一些结构简单的电路或局部电路的分析是行之有效的。但在实际工作中，常常需要了解一些结构复杂的电路的全电路特性，也就是要求解的未知量（变量）比较多。此时，等效化简分析法就显得力不从心。那么，能否找到适合全电路或复杂电路的分析方法？

3.12b分析法

分析一个电路，其实就是要计算出其每条支路的电压和电流，从而全面了解电路特性。

对于任一个具有n个节点和b条支路的电路（网络），因为共有2b个未知量（b个支路电压和b个支路电流），所以需要列写2b个独立的电路方程并求解，才能完成对该电路的分析工作。那么，如何列写所需的2b个电路方程呢？

可以证明： 

（1） 电路必然有（n－1）个独立节点，可列出（n－1）个独立KCL方程。

（2） 电路必然有（b－n+1）个网孔或独立回路，可列出（b－n+1）个独立KVL方程。

（3） b条支路必然有b个独立的支路伏安方程。

这样，以上总数为2b个独立方程就构成了全面分析该电路的一个方程组。对该方程组求解就可得到b个支路电压和b个支路电流。因此，有如下结论： 

2b分析法： 基于KCL和KVL列写2b个多元一次方程组求解电路变量的方法。

虽然2b分析法因方程数目较多、计算相对烦琐而很少采用，但它包含了电路分析的基本概念和思路，是其他基本定律分析法的基础，因此，具有重要的理论意义。

这里的“独立”指“线性无关”，即独立方程不能用其他方程的线性组合表示。

3.2支路电流法

根据数学知识可知，要想简化方程组的计算，就必须减少变量或方程个数。因此，人们提出了支路电流分析法，简称“支路电流法”。

支路电流法： 先列出b个支路电流变量方程并求出b个支路电流，再利用伏安关系求出b个支路电压，进而完成2b个电路变量求解的方法。

其中，
b个支路电流方程=（n－1）个独立的KCL方程+（b－n+1）个独立的KVL方程。

相对于2b法，支路电流法的方程数减少一半，故可称为“1b法”。当然，也可以先求出支路电压再求出支路电流，相应的方法就是“支路电压法”。两种方法可统称为“支路分析法”。因为它们具有对偶性，所以这里只介绍支路电流法。

用支路电流法分析电路的一般步骤如下。

（1） 确定电路的节点数和网孔数，以便确定独立的KCL和KVL方程数。

（2） 设定各支路电流的符号及参考方向。

（3） 选取参考点，列写（n－1）个KCL方程。

（4） 选取（b－n+1）个网孔并设定网孔方向，列写各网孔的KVL方程。





（5） 联立求解上述b个方程，得到b条支路的电流。

（6） 根据每条支路的伏安关系，再求出b条支路的电压。

（7） 根据已求得的支路电流和支路电压，可再求得其他变量，如功率、效率等。

【例题31】求如图31（a）所示电路中各支路电流、电压Uab及9V电源发出的功率。



图31例题31和例题32图


解： （1） 电路共有n=2个节点和b=3条支路。

（2） 设各支路电流的符号和方向如图31（a）所示。

（3） 选取节点b为参考点，可列出节点a的KCL方程


I1－I2+I3=0（3.21）


（4） 电路的网孔数为2。列出网孔Ⅰ和网孔Ⅱ的KVL方程分别为


15×I1－1×I3=15－9（3.22）
1.5×I2+1×I3=9－4.5（3.23）


（5） 联立上述3式，可求得各支路电流


I1=0.5A，I2=2A，I3=1.5A


（6） 支路电压为


Uab=9－1×I3=9－1.5=7.5（V）


当然，Uab也可由另外2条支路求出。

（7）  9V电源发出的功率


P=9×I3=9×1.5=13.5（W）



如果电路中含有受控源，可将受控源当作独立源处理，先按上述方法列写电路方程，再补充一个受控源的受控关系方程，即可联立求解。请看下例。

【例题32】在如图31（b）所示的电路中，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=4Ω，US=10V，试用支路电流法求I1、I2、I3。

解： 选取节点b为参考点，可列出节点a的KCL方程


I1=I2+I3（3.24）


网孔Ⅰ和网孔Ⅱ的电压方程分别为


R1I1+R2I2=US（3.25）

R3I3－R2I2=2U1（3.26）


再补充一个受控关系方程 


U1=R1I1 （3.27）


联立以上4式，可解出


I1=6A，I2=2A，I3=4A


3.3网络的独立变量


对于一个需要求解多个未知量的电路，要想通过最少的变量个数或联立方程个数求得全部未知量，就必须选择一组完备的独立变量。

完备变量： 可以求得电路中所有未知量的一组变量，而这组变量如果少一个都不能完成求解任务。

独立变量： 不能被其他变量的线性组合所表示的变量。

比如，一个节点的全部支路电流就不独立，因为根据KCL，其中任何一个支路电流都可由其他支路电流组合得到。又比如，一个回路全部元件的端电压也不独立，因为根据KVL，其中任何一个元件的端电压都可由其他元件端电压组合得到。因此，找到一组完备独立变量既可保证联立方程个数不多余，又能够满足求得电路全部电流和电压未知量的需求。

那么，对于一个有b条支路和n个节点的网络，如何找到这样一组完备的独立变量呢？

1．  完备独立电压变量

从第1章的拓扑图知识中可知，若选一个电网络的树支电压为变量，则它们一定是一组完备独立变量。因为树支不包含回路，任何一个树支电压都不可能由其他树支电压组合得到； 同时，所有连支电压却均可由树支电压组合得到。因此，可以得到如下结论： 

对于一个给定的网络，任何一个树的全部树支电压都是一组完备独立的方程变量。其个数等于树支个数，即n－1。

也就是说，用完备独立电压变量求解，需要列写n－1个联立方程式。

另外，需要注意的是，由于所有节点被树支连接，若设其中一个的电压为零，即设为参考点，则n－1个树支电压变量可以用n－1个节点电压变量取代。换句话说，
n－1个节点电压也是一组完备独立的方程变量。

2．  完备独立电流变量

因为每个节点至少有一个树支，也就是说，任何一个连支电流都不能由其他连支电流组合表示，而所有树支电流却都可由连支电流的组合求出，所以，可以得到如下结论： 

对于一个给定的网络，任何一个树的全部连支电流都是一组完备独立的方程变量。其个数等于连支个数，即b－n+1。

也就是说，用完备独立电流变量求解，需要列写b－n+1个联立方程式。

由基本回路的概念可知，若选定一个树，则基本回路也就确定了。若设每个基本回路有一个虚拟的回路电流，则该电流与该基本回路的连支电流相同，也就是说，基本回路电流是一组可以取代连支电流的完备独立变量。而网孔也是基本回路，因此，

b－n+1个网孔电流也是一组完备独立的方程变量。

显然，上述结论并不涉及构成网络的具体元件，具有普遍意义，而这正是研究电路拓扑图的奥秘所在。



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3.4节点电压法

与2b法相比，支路分析法已经减少了一半的方程数，但人们仍不满足，提出了能否进一步减少方程数的疑问。节点电压法和网孔电流法回答了这个问题。

3.4.1节点电压法步骤

如图32所示的电路由6个电导和4个电流源组成，有a、b、c、d共4个节点和6条支路（因电流源的电流已知，故可不作为待求支路考虑）。由于n=4，b=6，若要计算6条电导支路的支路电流，就需要列出3个独立的KCL方程和3个独立的KVL方程。仔细分析该电路可以发现，只要求得4个节点两两之间的电压，即可利用伏安关系（欧姆定律）求得各支路电流。若设一个节点为参考点，则只需解出另外3个节点与参考点的电压（也就是电位），再利用伏安关系求得支路电流即可完成分析任务。



图32节点电压法原理例图


由于一个电路的节点个数通常小于支路个数，这就为人们在支路分析法基础上进一步减少方程个数提供了一个新思路——用较少的节点电压代替较多的支路电压作未知量建立方程，从而达到减少方程数的目的。这就是“节点电压法”的基本概念。

节点电压法： 基于KCL列写(n－1)个以节点电压为未知量的节点电流方程，然后求得(n－1)个节点电压，进而完成对电路全面分析的方法。

显然，要列写节点电压方程，先要确定节点电压。

节点电压： 电路中除参考节点外的其他节点电位。

在图32中，选取节点d为参考点，即ud=0V，则支路电压uad、ubd和ucd就是节点电压ua、ub和uc。根据欧姆定律，各电导支路的电流可用节点电压表示，有



i1=G1ua
i2=G2ub
i3=G3uc
i4=G4uab=G4(ua－ub)
i5=G5ubc=G5(ub－uc)
i6=G6uac=G6(ua－uc)（3.41）


由式（3.41）可知，只需求得3个未知量ua、ub和uc，即可得到i1、i2、i3、i4、i5和i6。显然，用节点电压法分析电路，只需列写(n－1)个KCL方程即可，比支路分析法减少了(b－n+1)个回路KVL方程。

下面根据图32推导出列写节点电压方程的具体步骤。

（1） 列出6条支路电流与3个节点电压的关系，如式（3.41）所示。

（2） 利用KCL列写出3个节点的电流方程。

对节点a，有


i1+i4+i6=iS1－iS4


对节点b，有


i2－i4+i5=iS2


对节点c，有


i3－i5－i6=iS3+iS4


（3） 将式（3.41)代入上述3式，得到



G1ua+G4(ua－ub)+G6(ua－uc)=iS1－iS4
G2ub－G4(ua－ub)+G5(ub－uc)=iS2
G3uc－G5(ub－uc)－G6(ua－uc)=iS3+iS4


整理后，得到



（G1+G4+G6）ua－G4ub－G6uc=iS1-iS4
（G2+G4+G5）ub－G4ua－G5uc=iS2
（G3+G5+G6）uc－G6ua－G5ub=iS3+iS4（3.42）



（4） 将连接于一个节点的电导之和称为“自电导”，则节点a、b、c的自电导分别为


Gaa=G1+G4+G6
Gbb=G2+G4+G5
Gcc=G3+G5+G6



（5） 将连接于两个节点的电导之和称为“互电导”，则节点a、b、c的互电导分别为


Gab=Gba=G4
Gac=Gca=G6
Gbc=Gcb=G5


（6） 再设iSa=iS1－iS4、iSb=iS2、iSc=iS3+iS4是指流入各节点所有电流源的代数和，并规定流入节点的电流源取正值，流出节点的电流源取负值。

（7） 这样，式（3.42)就可写成



Gaaua－Gabub+Gacuc=iSa
Gbbub－Gbaua+Gbcuc=iSb
Gccuc－Gcaua+Gcbub=iSc（3.43）


式（3.43）就是如图32所示电路的节点电压方程。为便于记忆，将其写为一般形式:

自电导×本节点电压-∑(互电导×相邻节点电压)=本节点所有电流源的代数和 （3.44）



对上述内容进行概括、提炼，可以给出利用节点电压法分析电路的一般步骤。

（1） 选取参考节点，给其他独立节点编号。

（2） 确定自电导和互电导，按式（3.44）列写各节点电压方程的左端。

（3） 设流入节点的电流源为正，流出为负，列出各节点电压方程的右端。

（4） 求解节点电压方程组，得到各节点电压。

（5） 根据各节点电压，再求其他电路未知量，如支路电流、功率、元件参数等。

综上所述，可得如下结论： 

（1） 通过节点电压（未知量）分析（求解）电路是以KVL为依据的。即回路中各支路电压的代数和为零，而所有支路电压均可用节点电压表示。

（2） 以节点电压为未知量的方程是基于KCL列写的。即一个节点的电流代数和为零。

（3） “节点电压方程”强调的是方程未知量为“节点电压”，但方程的实质是基于KCL的“节点电流方程”。


【例题33】在图32所示电路中，若G1=G2=G3=2S，G4=G5=G6=1S，iS1=1A，iS2=4A，iS3=7A，iS4=2A，求各支路电流。

解： 将已知量代入式（3.42）,有



4ua－ub－uc=－1
－ua+4ub－uc=4
－ua－ub+4uc=9


可解得


ua=1V，ub=2V，uc=3V


各支路电流为


i1=G1ua=2×1=2（A），i2=G2ub=2×2=4（A），i3=G3uc=2×3=6（A）

i4=G4(ua－ub）=－1A，i5=G5(ub－uc）=－1A，i6=G6(ua－uc）=－2A



因为节点电压方程的本质是基尔霍夫电流定律，即∑i出=∑i入，所以，在节点电压方程中，方程的左边是与节点相连的电导上流出该节点的电流之和，方程的右边则是与节点相连的电流源流入该节点的电流之和。若某个电流源上串有电导，则该电导就不能再计入自电导和互电导之中，因为该电导上的电流就是与它串联的电流源电流，而该电流已经计入方程右边了，换句话说，忽略与电流源串联的电导，对该电导之外的电路分析没有影响。这也与前面“对外电路而言，与电流源串联的元件可以去掉”的结论相吻合。

【例题34】试列出如图33（a）所示电路的节点电压方程。



图33例题34和例题35图


解： 忽略电阻R1，则节点a和节点b的节点电压方程分别为


1R2+1R4ua－1R4ub=iS1－iS3
1R3+1R4ub－1R4ua=iS2



为便于分析，可把只有两个节点的电路称为“单节偶电路”。在列写节点电压方程时，任取一个节点为参考点，则另一个节点(独立节点)的电压方程为


∑Gu=∑iS（3.45）


式中，∑G是独立节点的自电导； u是独立节点的节点电压，即与参考点之间的电压，可称为“节偶电压”，∑iS是流入独立节点的所有电流源电流的代数和。由该式可得

弥尔曼定理： 对于只有两个节点的单节偶电路，节偶电压等于流入独立节点的所有电流源电流的代数和除以节偶中所有电导之和。


u=∑iS∑G（3.46）



【例题35】有如图33（b）所示电路，求电流I1。

解： 电路只有两个节点，是单节偶电路。由弥尔曼定理可得节偶电压


Ua=∑IS∑G=5+8－1015+110=10（V）


则电流I1为


I1=Ua5=105=2（A）


3.4.2特殊情况的处理

节点电压法是在电路中只含有电流源的前提下推导得出的。那么，当电路中出现以下情况时，节点电压方程又该如何列写呢?

1． 电路中包含有伴电压源

若电路中包含有伴电压源，则直接将有伴电压源等效成有伴电流源即可。

2． 电路中包含无伴电压源

如果电路中包含无伴电压源，则要根据无伴电压源在电路中的不同位置分别处理。

（1） 电压源的一端与参考点相连。在这种情况下，另一端的节点电压就是电压源电压。这样，电路的节点电压方程就会减少一个，电路的计算更简单了。

（2） 电压源的两端都不与参考点相连。此时电压源的两端跨接两个独立节点，可以把电压源当作电流源看待，然后设定电压源的电流，按式（3.44)列写节点电压方程。这时，所列方程中必然多出一个未知量，即电压源的电流值。为了能解出方程，应利用“电压源的电压等于其跨接的两个独立节点的节点电压之差”的结论，再补充一个方程式，然后联立求解。

3． 电路中包含受控源

若电路中包含受控源，则将受控源当作独立源看待列写节点电压方程。若受控源的控制量不是某个节点电压时，则需补充一个反映控制量与节点电压之间关系的方程式。

【例题36】有如图34（a）所示电路，求出电流I3。

解： 选b节点为参考点。列出a节点的节点电压方程为


13+19+115+6//6Ua=6－4+0.9I3（3.47）


根据欧姆定律，补充受控参数方程为


I3=Ua3（3.48）


联立式（3.47）和式（3.48），解得


Ua=10V,I3≈3.3A




图34例题36和例题37图




【例题37】有如图34（b）所示电路，试用节点电压法求出电压U3。

解： 设d点为参考点，a、b、c三点电压为U1、U2、U3，受控电压源用电流I替代。

节点a电压方程为


U1=141+2U2+I（3.49）


节点b电压方程为


12+1U2－12U3=－I（3.410）


节点c电压方程为


12+12U3－12U2=－2U2（3.411）


根据KVL，补充受控电压源方程


3I3=U2－U1（3.412）


由欧姆定律得


I3=U32（3.413）


利用式（3.49）和式（3.410）消去I，利用式（3.412）和式（3.413）消去I3，结合式（3.411）可解得


U1=13V，U2=4V，U3=－6V




【例题38】写出如图35所示电路的节点电压方程。



图35例题38图


解： 特别注意电路中含有受控电流源βi，无伴电压源uS1，与电流源iS1串联的电阻R2以及有伴电压源uS2。对uS1支路用电流i0替代，去掉R2，则有



1R1+1R3ua－1R3uc=βi+i0+iS1
1R4+1R5ub－1R5uc=－iS1
－1R3ua－1R5ub+1R3+1R5+1R6uc=－i0+uS2R6（3.414） 


而



i=uc－ubR5
ua－uc=uS1（3.415）


在式（3.414）中，利用第1和第3个方程消去电流i0，再将式（3.415）中的i代入，消去i。然后，与式（3.414）中的第2个方程及式（3.415）中的第2个方程联立，得到



1R1ua+β－1R5ub+1－βR5+1R6uc=iS1+uS2R6
1R4+1R5ub－1R5uc=－iS1
ua－uc=uS1


3.5网孔电流法

节点电压法告诉我们，基于KCL列写节点电压方程可以减少分析电路的难度。那么根据对偶原理，基于KVL列写网孔电流方程是否具有同样的效果呢？回答是肯定的。

3.5.1网孔电流法步骤

对于一个具有n个节点b条支路的待解电路，若选择网孔作为回路，就能列写出(b－n+1)个回路电流方程用于电路求解，这就是“网孔电流法”的基本思路。

网孔电流法： 基于KVL列写(b－n+1)个以网孔电流为未知量的回路电压方程，然后求得(b－n+1)个网孔电流，进而完成对电路全面分析的方法。

显然，要列写网孔电流方程，先要确定网孔电流及其正方向。

网孔电流： 假设在网孔中沿着构成该网孔各条支路流动的电流。

在图36所示电路中，共有n=4个节点，b=6条支路，网孔数为b－n+1=3个。其中ia、ib和ic就分别是网孔a、b、c的网孔电流。



图36网孔电流法原理例图


有了网孔电流，电路中任何一个支路电流就都可用它们表示。相邻两网孔间的公共支路电流可用两个网孔电流的代数和表示（网孔电流方向与支路电流的相同取正值； 反之，取负值）。因此，有


i1=ia，i2=ib，i3=－ic，i4=ia－ic，i5=ia+ib，i6=ib+ic


显然，原来6个支路电流未知量就变成3个网孔电流未知量，只需列写3个KVL方程。

网孔a电流方程为 


R1ia+R5(ia+ib)+R4(ia－ic)+uS4－uS1=0


网孔b电流方程为


R2ib+R5(ia+ib)+R6(ib+ic)－uS2=0


网孔c电流方程为 


R3ic+R4(ic－ia)+R6(ib+ic)－uS4－uS3=0


整理得



(R1+R4+R5)ia+R5ib－R4ic=uS1－uS4
R5ia+(R2+R5+R6)ib+R6ic=uS2
－R4ia+R6ib+(R3+R4+R6)ic=uS3+uS4（3.51）


根据式（3.51），可以解出3个网孔电流ia、ib和ic。再根据网孔电流与支路电流的关系，即可求得所有支路电流。

若把一个网孔所包含的全部电阻称为该网孔的“自电阻”并用Rxx表示，把相邻两个网孔间的公共电阻称为“互电阻”并用Rxy表示，把一个网孔内所有电压源的代数和用uSx表示，则有Raa=R1+R4+R5，Rbb=R2+R5+R6，Rcc=R3+R4+R6，Rab=Rba=R5，Rbc=Rcb=R6，Rac=Rca=－R4，uSa=uS1－uS4，uSb=uS2，uSc=uS3+uS4。

那么，式（3.51）可写为



Raaia+Rabib+Racic=uSa
Rbaia+Rbbib+Rbcic=uSb
Rcaia+Rcbib+Rccic=uSc（3.52）


根据式（3.52）可以得到网孔电流方程的一般形式： 


自电阻×本网孔电流±∑(互电阻×相邻网孔电流)=本网孔电压源沿电位升方向的代数和（3.53）



说明： 

（1） 自电阻全为正值。

（2） 相邻两网孔电流方向一致时，互电阻为正； 反之，互电阻为负。

（3） 电压源的电位升方向与网孔电流方向一致时，该电压源取正值； 反之，取负值。

全电路欧姆定律： 若电路只有一个回路，其中有若干个电阻和电压源，则回路电流等于沿回路电流方向所有电压源电位升的代数和（反方向电位降的代数和）除以所有电阻之和。


i=∑eS∑R=∑uS∑R（3.54）


至此，可以给出网孔电流法的分析步骤如下。

（1） 确定网孔数并编号，同时标出网孔电流及其方向。通常，为方便计，所有网孔电流取向一致，或顺时针或逆时针。

（2） 确定自电阻和互电阻，按式（3.53）列写各网孔电流方程的左端。

（3） 确定电压源的正负号，列写各网孔电流方程的右端。

（4） 求解网孔电流方程组，得到各网孔电流。

（5） 根据各网孔电流，再求其他电路未知量，如支路电流、电压、功率、元件参数等。

仔细观察式（3.44）和式（3.53），可以发现节点电压与网孔电流是对偶的，节点电压方程与网孔电流方程是对偶的，弥尔曼定理与全电路欧姆定律是对偶的。这也验证了第2章“对偶定理”的结论。

综上所述，可得如下结论： 

（1） 通过网孔电流（未知量）分析（求解）电路是以KCL为依据的。即节点上各支路电流的代数和为零，而所有支路电流均可用网孔电流示。

（2） 以网孔电流为未知量的方程是基于KVL列写的。即一个回路的电压代数和为零。

（3） “网孔电流方程”强调的是方程未知量为“网孔电流”，但方程的实质是基于KVL的“回路电压方程”。

【例题39】求如图37（a）所示电路中的各支路电流。已知R1=20Ω，R2=10Ω，R3=20Ω，US1=30V，US2=10V。



图37例题39图


解： 设回路电流和支路电流如图37（b）所示。

自电阻和互电阻为


Raa=R1+R3=40Ω，Rbb=R2+R3=30Ω，Rab=－R3=－20Ω


网孔方程为



40Ia－20Ib=30
－20Ia+30Ib=－10


可解出


Ia=I1=0.875A，Ib=I2=0.25A，I3=Ia+Ib=1.125A


3.5.2特殊情况的处理

网孔电流法是在电路中只包含电压源的前提下推导而成的。那么，当电路中出现以下情况时，网孔电流方程又该如何列写呢?

1． 电路中包含有伴电流源

若电路中包含有伴电流源，则直接将有伴电流源等效成有伴电压源即可。

2． 电路中包含无伴电流源

如果电路中包含无伴电流源，则应视无伴电压源在电路中的不同位置分别处理。

（1） 电流源处于电路的边界支路上。这时电流源所在网孔的网孔电流就是电流源电流，因此，可以少列一个网孔方程。显然，这种情况反而使问题更简单了。

（2） 电流源处于电路中两个相邻网孔的公共支路上。通常是设电流源两端的电压为变量，把电流源当作电压源处理，列写网孔方程。这样，所列的方程中必然多出一个未知量，即电流源的电压。这时可利用电流源电流与网孔电流之间的KCL关系再补充一个方程。

3． 电路中包含受控源

若电路中包含受控源，则将受控源当作独立源看待列写网孔电流方程。若受控源的控制量不是某个网孔电流，则需补充一个反映控制量与网孔电流之间关系的方程式。

【例题310】在如图38所示电路中，求电流源的端电压U。



图38例题310图


解： 设3个网孔电流如图38所示。网孔电流I1等于电流源2A，则网孔电流方程为



I1=2
－2I1+(2+2+4)I2－4I3=0
－4I2+4I3=4（3.55）


网孔1中1Ω和2Ω电阻的电压分别为1×(－I1）=－I1和2(I2－I1)，则电流源端电压为


U=－I1+2(I2－I1)（3.56）


联立式（3.55）和式（3.56），可解得


I2=2A，I3=3A，U=－2V



【例题311】在如图39所示电路中，求各支路电流。



图39例题311图


解： 该电路有2个受控源，控制量均为2Ω电阻上的电压U。因为存在无伴受控电流源2U，所以设其端电压为UX，则网孔方程为



2Ia－2Ic=3－UX
2Ib－Ic=－6+UX
5Ic－2Ia－Ib=U（3.57）


根据欧姆定律和KVL，可得控制量与受控源的关系方程



2U=Ia－Ib
UX－3+U=0（3.58）


将式（3.58）代入式（3.57），整理后得



3Ia+Ib－4Ic=0
Ia+3Ib－2Ic=－6
－5Ia－Ib+10Ic=0


解出


Ia=I1=97A，Ib=I2=－157A，Ic=I3=37A


再由KCL可得


I4=Ia－Ic=67A，I5=Ic－Ib=－187A，I6=Ia－Ib=247A



【例题312】在如图310（a）所示电路中，利用网孔电流法求电流i0。



图310例题312图


解： 将受控、独立电流源均等效为电压源并给出网孔电流及其方向，见图310（b）。

列出两个网孔的电流方程



5ia－2ib=10

－2ia+6ib=－2i－6（3.59）


补充受控电源方程


i=－ia（3.510）


将式（3.510）代入式（3.59），消去i，再消去ia，解得


ib=511mA


求i0必须回到原电路中，因为i1=ib，所以，根据KCL得


i0=2+i1=2+511=2711≈2.45（mA）



该题的关键是要记住电源等效不适用于内部，即2mA电流源和3kΩ电阻等效为6V有伴电压源后，i0不等于流过该电压源的电流。

本题也可用节点电压法求解。设c点为参考点，将电压源转化为电流源，可得方程



13+12+1ua－ub=103+2i
－ua+13+1ub=2－2i（3.511）


补充受控源方程


i=ua－103（3.512）


将式（3.512）代入式（3.511），消去i，再消去ua，可得


ub=8111V


根据欧姆定律有


i0=ub3=813×11=2711≈2.45（A）


通常，要对一个电路的求解，节点电压法和网孔电流法均可采用。若网孔数大于或等于节点数，则应优先采用节点电压法。

3.6回路电流法

若选择的基本回路不是网孔而是回路，则“网孔电流法”就变成了“回路电流法”。

比如在图311中，除了网孔a、b和c，还有回路d、e、f和g。显然，只要在其中任选3个基本回路，就可以按照“网孔电流法”的步骤分析电路。



图311回路电流法原理例图


那么，回路电流法与网孔电流法有何异同点呢？答案是这样的： 

（1） 在电路中“网孔”比“回路”更容易识别。因此，通常直接选用“网孔”作为独立回路并列写其电流方程。

（2） 网孔法只适合平面电路，对于非平面电路就必须采用回路法。

（3） 网孔法中的公共支路（互电阻）只涉及两个网孔电流，而回路法中的公共支路可能涉及大于两个的回路电流。

（4） 一个给定的平面电路的网孔是确定的，所列写的网孔电流方程是唯一的。但因为确定的树不同，基本回路就不同，所以，可列写的基本回路电流方程组就不唯一。这一特点虽然给列写方程带来了一定困难，但也为分析电路提供了选择空间，增加了解题的灵活性。比如，若两个网孔的公共支路上含有无伴电流源，那么，按网孔电流法，就有两个网孔电流为未知量； 但是在回路电流法中，可以另选一个回路避开无伴电流源，让无伴电流源只属于一个网孔或回路方程，这样，该网孔（回路）的网孔（回路）电流就是电流源的大小，从而减少了一个电路变量。

（5） 回路法的特殊情况处理方法与网孔法一样，但回路法有可能通过选择不同的回路减少一些特殊情况的影响，从而简化求解过程。

（6） 网孔法可以解决的问题，回路法也一定胜任； 但回路法可以解决的问题，网孔法却不一定能够解决。

（7） 因为当选择的基本回路都是网孔时，回路法就是网孔法，所以有些教材不区分它们，统一称为“回路法”。

显然，回路法比网孔法适用面更广，使用更灵活，但方程列写难度也较大。可以认为网孔法是回路法的特例，而回路法是网孔法的推广和延伸。两种方法的实质是一样的，都是利用KVL列写回路电流方程。

回路法的分析步骤与网孔法一样。为便于记忆，我们依然给出其分析步骤如下： 

（1） 根据具体情况，选择相应的基本回路并标出回路电流及其方向。通常，为方便计，所有回路电流取向一致，或顺时针或逆时针。

（2） 确定自电阻和互电阻，按式（3.53）列写各回路电流方程。

（3） 根据回路电流方程求解出各回路电流。

（4） 根据回路电流求解出各支路电流及其他未知量。

下面通过例题说明回路法的应用。

【例题313】求如图312（a）所示电路中的各支路电流。



图312例题313图


解： 若采用网孔法，因8A电流源属于两个网孔，所以两个网孔电流I11和I22均为未知量，可得网孔电流方程



14+15I11－15I33=5+U1
1+13I11－I33=1－U1
－15I11－I22+1+15I33=－5+I18
I1=I11，I11－I22=8


解得


I11=8A； I22=0A； I33=－2A； U1=－1V


各支路电流为


I1=I11=8A； I2=I11－I33=10A； I3=I22－I33=2A； 
I4=I22=0A； I5=I33=－2A


若采用回路法，另外选择一个回路2列方程如图312（b）所示。因8A电流源只属于回路1，即回路电流I11=8A是已知的，只有I22和I33为未知量，所以回路电流方程为



I11=8
14+15I11+13+1+14+15I22－1+15I33=1+5
－15I11－1+15I22+1+15I33=－5+I18
I1=I11+I22


解得


I22=0A； I33=－2A



可见，该题应用回路电流法比网孔电流法简单。

【例题314】求如图313所示电路中的电流I及受控电流源的功率P。



图313例题314图


解： 观察电路可知，网孔1和网孔2之间有5A电流源，若按网孔法列方程，比较麻烦。现选回路2如图313中实线所示，则回路1的回路电流I11=5A为已知。回路2的回路电流也可认为与受控电流源相等，即


I22=0.25U2


回路3的回路电流方程为


7I33－5I11+I22=－23


再补写一个受控参数方程（5Ω电阻的端电压）


U2=(I33－I11)×5


联立上述3式并将I11=5A代入，可求得


I22=－5A，I33=1A，U2=－20V
I=－(I22+I33)=－(－5+1)=4（A）


设受控源端电压U如图313所示，则在回路2中，根据KVL可得


－U+5I22+10(I11+I22)+4+(I22+I33)×1=0


解得


U=－25V


则受控源发出的功率为


P=UI22=－25×(－5)=125（W）



【例题315】求如图314所示电路中的电压U0。



图314例题315图


解： 若按网孔法求解，可列写出3个网孔电流方程和1个辅助方程



2I11+U=10
3I22－2I33－U=0
－2I22+4I33=0
I22－I11=5


解得


I33=2.5A，U0=2.5V


若按回路法求解，可列写出3个回路（见实线回路）电流方程



5I11+3I22－2I33=10
I22=5
－2I11－2I22+4I33=0


同样，可解得


I33=2.5A，U0=2.5V



显然，用回路法更简单。注意： 此题中回路3的2Ω电阻支路就是3个回路的公共支路。

3.7结语

综上所述，可以得到如下结论： 

（1）  无论是1b法、节点电压法、网孔电流法还是回路电流法都可有效减少一次求解未知量的个数，从而大大降低了电路分析的复杂度和难度。但必须认识到，分析电路的工作量并没有减少，仍然需要求解2b个未知量。

（2） 上述四种方法相对于2b法只不过是将2b个未知量分为两步求解而已，也就是说，先求解以支路电流或电压、节点电压或网孔电流为未知量的方程（方程数小于2b），然后再根据KCL和KVL列写剩余未知量的方程，最后求得全部2b个未知量。

（3） 1b法、节点电压法、网孔电流法和回路电流法能够简化求解过程的实质就是“化整为零，分而治之”。

本章主要概念和内容框图及思维导图


本章主要概念和内容框图及思维导图如图315所示。



图315第3章主要概念和内容框图及思维导图


实践拓展——日光灯的工作原理

日光灯是一种常见的照明设备，由灯管、启辉器和镇流器3个部分组成，如图316所示。灯管是一个内壁涂有一层荧光物质、两端装有灯丝电极（灯丝上涂有受热后易发射电子的氧化物）、内部充有稀薄惰性气体及水银蒸气的玻璃管。启辉器由一个小氖泡和一个小容量电容组成。氖泡内有一个静触片电极和一个由两个膨胀系数不同的金属制成的U形动触片电极。当温度升高时，U形电极的两个金属片因膨胀系数不同，导致其向膨胀系数低的一侧弯曲，从而与静触片接触，接通两个电极； 温度降低后，又可以离开静触片恢复原来的位置，断开两个电极。镇流器是一个带有铁芯的电感线圈。



图316日光灯原理图


当打开电源开关接通220V市电时，由于灯管没有点亮（无电流），启辉器的氖泡（固定触头与倒U形双金属片之间）就会因承受220V电压而放电，使倒U形双金属片受热弯曲与固定触头接触，接通了镇流器、灯丝及启辉器的电流回路，形成“启动电流”。

灯丝在启动电流的作用下被加热而发射电子。同时，氖泡的倒U形双金属片由于辉光放电结束而冷却，与固定触头分离，使电路突然断开。在此瞬间，镇流器产生的高感应电压与电源电压叠加为高于电源电压的启动电压（400～600V）就会加在灯管两端，迫使管内发生弧光放电而导通，使灯管被点亮。灯管点亮后，由于镇流器的限流作用，灯管两端的电压会变低（30W的灯管约为100V）。此时，启辉器因电压较低而不工作，相当于开路。

可见，启辉器就是一个自动开关，可自动瞬间切断电路，使得镇流器产生感应电动势，为灯管的点燃提供高电压。实际中，为节约用电，可用一个人工按钮开关代替启辉器，当断电后再通电，日光灯不会自动点亮，除非有人按一下按钮。

哲言智语

因为懂得了全局性的东西，就更会使用局部性的东西，因为局部性的东西是隶属于全局性的东西的。——《中国革命战争的战略问题》

大家明白，不论做什么事，不懂得那件事的情形，它的性质，它和它以外的事情的关联，就不知道那件事的规律，就不知道如何去做，就不能做好那件事。——《中国革命战争的战略问题》




视频讲解


本章习题

31为什么说节点电压法的实质是KCL，而网孔电流法的实质是KVL？

32网孔电流法的互电阻为何有正负之分，而节点电压法的互电导却总取负值？

33怎样做可以使网孔电流法的互电阻始终取负值？

34用节点电压法求图317所示电路的各支路电流。（1.8A，2.2A，0.8A）

35用节点电压法求图318所示电路中的U和I。（8V，1A）



图317习题34图



图318习题35图


36如图319所示电路，用节点电压法求电压U。（-1V）

37如图320所示电路，问R为何值时，I=0？（3Ω）



图319习题36图




图320习题37图



38用节点电压法求如图321所示电路的各支路电流。（2V，1/3，2，1，2/3A； Ua=12/7V，Ub=20/7V）




图321习题38图


39如图322所示电路，网络N的端口特性为I=－3U+6。用戴维南定理或诺顿定理和节点电压法求电流I1。（3A）

310如图323所示电路，用节点电压法求各支路电流。（0.8，4.8，-2，2，2/3，-2.13A）



图322习题39图




图323习题310图



311用网孔电流法求如图324所示电路中的I和Uab。（3A，-3V）

312用网孔电流法求如图325所示电路中的各支路电流。（-4A，0，4A）



图324习题311图




图325习题312图



313如图326所示电路，用网孔电流法求流过8Ω电阻的电流。（-3.83A）

314如图327所示电路，用网孔电流法求电压U。（3.75V）

315如图328所示电路，用网孔电流法求电路中的电流I。（5A）

316如图329所示电路，用网孔电流法求电路中的电压U。（7V）



图326习题313图




图327习题314图






图328习题315图




图329习题316图



317已知某电路的网孔电流方程为



3I11－I22－2I33=1
－I11+6I22－3I33=0
－2I11－3I22+6I33=6


试画出相应的电路图。

318如图330所示电路，用回路法求4Ω电阻的功率。（64W）

319如图331所示电路，用回路法求电流I。（-0.25A）



图330习题318图




图331习题319图



320求如图332所示电路中的电流I。（4/3A）

321如图333所示电路，若要Uba=1V，请确定IS的大小。（5A）



图332习题320图




图333习题321图