第5章窄带系统和窄带随机信号


本章将要讨论一种特殊的线性系统和一种特殊的随机信号，即窄带系统和窄带随机信号。在电子系统中，窄带系统是很多的，如一般通信系统中的高频和中频放大器就是窄带系统。当随机信号通过窄带系统后，输出随机信号的功率谱密度函数常常被限制在窄带系统中心频率ω0附近一个很窄的频率范围Δω内(且ω0Δω)，这样的随机信号称为窄带随机信号或窄带随机过程，它是在雷达、通信中经常遇到并需要处理的一种极为重要的信号。
5.1窄带系统及其特点
5.1.1窄带系统及其包络线特性

窄带系统的幅频特性如图5.1所示。这种窄带系统只允许靠近高频ω0附近的频率分量通过。


图5.1窄带系统的幅频特性


下面，用信号与系统里学过的复频域分析法，对窄带系统的系统函数H(s)进行分析。一个实际的线性时不变系统的系统函数H(s)，必是复变量s的实有理函数，这是系统函数的最基本的性质。
设窄带系统输入为x(t)，输出为y(t)，x(t)和y(t)的拉普拉斯变换分别为X(s)和Y(s)。当系统结构已知时，其系统函数


H(s)=Y(s)X(s)=A(s-z1)(s-z2)…(s-zm)(s-p1)(s-p2)…(s-pn)(m<n)(5.1.1)


式中，分母多项式为零时方程的根p1，p2，…，pn，称为系统函数H(s)的极点，分子多项式为零时方程的根z1，z2，…，zm称为系统函数H(s)的零点。所以，极点和零点或者位于s平面的实轴上，或者成对地位于与实轴对称的位置上。
把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就成为系统函数的极零点分布图，简称极零图。极零图也和频率特性一样，能够用来表示系统的特性。
物理可实现的无源网络，其系统函数H(s)的极点只能在左半平面或虚轴上。只有理想和纯电抗网络，才能在虚轴上有一阶极点，而实际的无源网络都是有损耗的，所以它的极点只能在左半平面上。
由于窄带系统是低耗的无源网络，因此，它的系统函数H(s)的极点一定是靠近虚轴的。又因窄带系统有ω00和ω0Δω，则H(s)的极点远离原点且各通带内极点紧密成簇。
若系统是窄带的，且其极点簇关于中心线jω＝±jω0对称，则该系统为窄带对称系统。窄带对称系统的幅频特性和极点分布分别如图5.1和图5.2所示。
例如，如图5.3所示的RLC电路，该电路的频率特性具有对称的带通特性，若选择合适的参数，使其中心频率远大于它的带宽，则可构成一个窄带对称系统。下面以它为例来说明窄带系统的包络线特性。



图5.2窄带对称系统函数的极点分布




图5.3RLC电路


图5.3所示的RLC电路的系统函数为


H(s)=1sCR+sL+1sC=1LC1s2+RLs+1LC=1LC1(s-p1)(s-p2)(5.1.2)


其中，


p1,2=-RL±RL2-41LC2=-R2L±j1LC1-CR24L
=-α±jω01-14Q20(5.1.3)


式中，α=R2L为电路的衰减因子，ω0=1LC为电路的谐振频率，Q0=1RLC为电路的品质因数。一般地，有Q01。所以


p1,2≈-α±jω0(5.1.4)


所以


H(s)=1LC1(s-p1)(s-p2)
=1LC1p1-p21(s-p1)-1p1-p21(s-p2)(5.1.5)


则系统的冲激响应为


h(t)=1LC1p1-p2(ep1t-ep2t)u(t)
=1LC1j2ω0e(-α+jω0)t-e(-α-jω0)tu(t)
=1j2LCω0e-αtejω0t-e-jω0tu(t)
=ω20j2ω0e-αt2jsinω0tu(t)
=ω0e-αtsinω0tu(t)(5.1.6)



由式(5.1.6)可知，RLC电路的频率特性为


H(jω)=ω20(α+jω)2+ω20(5.1.7)


只要选择合适参数，使ω00，则RLC电路的幅频特性具有如图5.1所示的特性，即该电路为一个窄带对称系统。


图5.4窄带对称系统的冲激响应

从式(5.1.6)可以看出，由RLC电路构成的窄带对称系统的冲激响应由慢变化的指数衰减部分ω0e-αtu(t)和高频正弦振荡相乘构成。这一特点具有普遍意义。实际上，对于任何窄带对称系统，系统的冲激响应函数h(t)总可以表示为


h(t)=hE(t)cos(ω0t+φ)(5.1.8)


也就是说，h(t)可以分解成慢变化部分hE(t)和快速变化部分cos(ω0t+φ)，如图5.4所示。hE(t)称为窄带对称系统冲激响应的包络。
5.1.2窄带对称系统的包络线定理
由式(5.1.8)可知，窄带对称系统的冲激响应可以表示为一个包络hE(t)和高频正弦振荡cos(ω0t+φ)相乘，那么，是否可以通过寻求包络hE(t)来确定窄带对称系统的冲激响应h(t)呢？包络线定理给出了解决这个问题的方法。
包络线定理的做法是先求得H(s)，取出它的包络hE(t)所对应的HE(s)，对其进行拉普拉斯反变换，得到hE(t)，再用hE(t)恢复h(t)。这里拉普拉斯反变换的对象是比H(s)简单得多的HE(s)，当然问题被大大简化了。
包络线定理的证明比较复杂，这里只给出定理的具体步骤，而不予以证明。包络线定理的具体步骤是： 
(1) 求出系统的系统函数H(s)。例如，有一个三对共轭极点的系统，其系统函数为


H(s)=A(s-p1)(s-p2)(s-p3)(s-p*1)(s-p*2)(s-p*3)(5.1.9)



(2) 求出H(s)的极点分布图。式(5.1.9)的极点分布图如图5.5所示。

(3) 去掉一个极点簇(如去掉第三象限的极点簇)，把余下的极点簇(如第二象限的极点簇)沿虚轴平移，使其极点簇中心对称线与实轴重合。例如，由图5.5可得到图5.6。图5.6就是H(s)派生出来的包络线HE(s)的极点分布图，也称为H(s)的包络平面。根据包络平面可求得包络的系统函数


HE(s)=1(s-p′1)(s-p′2)(s-p′3)(5.1.10)


式中，p′1=p1-jω0，p′2=p2-jω0，p′3=p3-jω0。



图5.5H(s)极点分布图





图5.6HE(s)极点分布图


容易理解，HE(s)是该窄带系统等效低通网络的系统函数。
(4) 对HE(s)进行拉普拉斯反变换得到hE(t)。


hE(t)=L-1HE(s)2AK(5.1.11)


式中，K=(j2ω0)n，n是HE(s)的极点的数。
(5) 由hE(t)求h(t)。


h(t)=hE(t)cos(ω0t-θK)u(t)(5.1.12)


式中，θK=∠K，即K的辐角。u(t)是单位阶跃函数。
包络线定理给出了一个求解窄带对称系统冲激响应的简单办法。特别是在许多情况下，只关心h(t)的包络hE(t)，这时，包络线定理就显得更重要了。此时，并不需要首先从H(s)求h(t)，然后设法整理成式(5.1.8)的形式来求得hE(t)，而可以用包络线定理，从H(s)的s平面导出HE(s)的s平面，然后根据式(5.1.11)求得hE(t)，省去很多麻烦的运算。
例如，用包络线定理的方法求图5.3所示的RLC电路的冲激响应h(t)，可使计算大大简化。
根据图5.3所示的RLC电路的系统函数式(5.1.2)，画出H(s)的极点分布图，如图5.7所示，再派生得到HE(s)的极点分布图，如图5.8所示。

因此，HE(s)的极点为


p′1=p1-jω0=-α


则


HE(s)=1s-α(5.1.13)





图5.7H(s)极点分布图




图5.8HE(s)极点分布图



由式(5.1.13)知，K=j2ω0，因而


|K|=2ω0，θK=∠K=π2


所以


hE(t)=2A|K|e-αtu(t)=2ω202ω0e-αtu(t)=ω0e-αtu(t)(5.1.14)


由式(5.1.12)得


h(t)=hE(t)cos(ω0t-θK)u(t)=ω0e-αtsinω0tu(t)(5.1.15)


可以看出，式(5.1.15)与式(5.1.6)是完全一样的。而用包络线定理的方法求h(t)比直接由H(s)求h(t)简单得多。
5.2窄带随机信号的基本概念
5.2.1窄带随机信号的定义

窄带随机信号是在通信、雷达等电子系统中经常遇到并需要处理的一类特殊的随机信号。窄带随机信号的定义如下。
定义一个平稳随机信号X(t)，若它的功率谱密度函数SX(ω)具有如下形式： 


SX(ω)=SX(ω)ω0-Δω2≤|ω|≤ω0+Δω2

0(其他)(5.2.1)


而且信号的带宽Δω满足Δωω0，则称此随机信号为窄带随机信号或窄带随机过程。ω0为窄带随机信号的中心频率。
图5.9给出了典型窄带随机信号的功率谱密度。


图5.9窄带随机信号的功率谱密度


由此可知，窄带随机信号的功率谱分布在一个很窄的频率范围内，且它的频带宽度远小于其中心频率。
显然，当具有均匀功率谱密度的白噪声通过窄带系统后，输出即为窄带随机信号。
5.2.2窄带随机信号的准正弦振荡表示
从示波器上来观测窄带随机信号的样本函数波形，可看到如图5.10所示的类似于正弦波的波形，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化。因此，窄带随机信号表现为具有角频率ω0，幅度与相位对于角频率ω0而言缓慢变化的正弦振荡形式。因此，可以把窄带随机信号表示为


n0(t)=R(t)cos［ω0t+θ(t)］(5.2.2)




图5.10窄带随机信号的样本函数

式中，R(t)是窄带随机信号的慢变化幅度，称为窄带随机信号的包络； θ(t)是信号的慢变化相位，称为窄带随机信号的随机相位，它们都是随机过程。称式(5.2.2)为准正弦振荡。这看起来形似一个调幅的正弦波，调幅包络是一个随机起伏过程，频率的瞬时相位也不是确定的，这可以从图5.10中过横轴点之间的距离不相等看出来。
下面通过分析具有均匀功率谱密度的理想白噪声通过窄带系统时发生的物理现象，来进一步说明窄带随机信号为什么可以表示为准正弦振荡。
如前所述，当窄带系统的输入端加入高斯白噪声ni(t)时，窄带系统输出即为窄带随机信号，如图5.11所示。


图5.11高斯白噪声输入窄带系统


高斯白噪声ni(t)是由大量δ型脉冲的随机叠加而成的，可表示为


ni(t)=∑Nk=1akδ(t-tk)(5.2.3)


当δ冲激函数作用于窄带系统时，由式(5.1.8)可知，窄带系统输出端的响应为


h(t)=hE(t)cos(ω0t+φ)(5.2.4)



根据线性时不变系统的性质，大量δ冲激函数，一个接一个地作用于窄带系统，其输出n0(t)为


n0(t)=∑Nk=1akh(t-tk)=∑Nk=1akhE(t-tk)cos［ω0(t-tk)+φ］(5.2.5)


式中的每一项akhE(t-tk)cos［ω0(t-tk)+φ］都是一个衰减的正弦振荡，其振荡频率等于窄带系统本身的中心频率ω0，振荡振幅由作用脉冲的面积ak决定。由于δ型脉冲的面积一般情况下是随机的，因此，每一个衰减的正弦振荡的起始振荡振幅也将是随机的。此外，窄带系统是有损耗的，因此在这种窄带系统中的自由振荡将是衰减的。


图5.12随机衰减矢量叠加示意图

根据电路理论的知识，可以用幅度衰减的旋转矢量来表示一个衰减的正弦振荡akhE(t-tk)cos［ω0(t-tk)+φ］。这样，总和旋转矢量R(t)就是这些幅度衰减的旋转矢量之和。这些旋转矢量都是相同的角速度ω0，并有相同的衰减规律。若坐标系以ω0旋转，则旋转矢量可以画成并不旋转的矢量，如图5.12所示。
随着时间的推移，在随机的角度位置上，不断地会出现幅度为akhE(t-tk)的新矢量，与原来的总和矢量相叠加，图5.12表示了这样的发展过程。
假定这个累加过程从t=0开始，这样，矢量的数量随着时间的增长而增多，它们的叠加构成总和矢量。
由于所有矢量都是衰减的，因此，总和矢量的长度R(t)不会因为矢量个数的增加而无限地增长下去，而是当R(t)增至一定长度时，趋于上升的倾向与自然衰减的倾向互相平衡，而达到相对稳定状态。
这个所谓相对稳定状态，并不是确定地稳定于一个值上的，有时有可能增长的因素大于衰减的因素，有时则可能出现相反的情况。但是，一旦振幅大于“相对稳定状态值”,衰减的倾向就加强； 而一旦振幅小于“相对稳定状态值”，衰减的倾向就减弱。这将有利于使振幅回升到“相对稳定状态”。这些不断出现的新矢量，将不断地随机改变总和矢量的长度，它们在平均意义上补足总矢量的长度，并且也不断地随机地改变总矢量的方位角，但是，总的来说，总矢量基本上还是一个大体上稳定的旋转的矢量，它相当于一个振幅和相位不断缓慢随机起伏的正弦波，称为准正弦波。因此，窄带随机信号的波形是如图5.10所示的准正弦振荡的波形。
5.2.3窄带随机信号的莱斯表示
为了后面的讨论方便，可以将图5.12中每一小矢量分解为水平方向和垂直方向的两个矢量。同样，总和矢量R(t)也可看成由水平方向分量X(t)和垂直方向分量Y(t)的矢量和。这样，总和矢量的水平方向长度X(t)由各水平小矢量长度xk(t)累加而得，垂直方向分量长度Y(t)由各垂直小矢量长度yk(t)累加而得。
设第k个小矢量的振幅为rk(t)，与横坐标之间的夹角为θk(t)，则有


X(t)=∑Nk=1xk(t)=∑Nk=1rk(t)cosθk(t)=R(t)cosθ(t)(5.2.6)
Y(t)=∑Nk=1yk(t)=∑Nk=1rk(t)sinθk(t)=R(t)sinθ(t)(5.2.7)


显然


R(t)=X2(t)+Y2(t)(5.2.8)
θ(t)=arctanY(t)X(t)(5.2.9)


于是，窄带随机信号还可以表示为


n0(t)=R(t)cos［ω0t+θ(t)］
=R(t)cosθ(t)cosω0t-R(t)sinθ(t)sinω0t
=X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t(5.2.10)


称式(5.2.10)为窄带随机信号的莱斯表示式。
由于包络R(t)和相位θ(t)都是时间的随机函数，所以X(t)和Y(t)也是时间的随机函数，它们分别也是随机过程。下面不加证明，给出随机过程X(t)和Y(t)的一些性质。设窄带随机信号n0(t)为零均值的宽平稳随机信号，那么
(1) X(t)和Y(t)分别是宽平稳随机过程，且X(t)和Y(t)是联合宽平稳的； 
(2) X(t)和Y(t)的均值都为0，即X(t)=Y(t)=0=n0(t)； 
(3) X(t)和Y(t)的自相关函数相等，即BX(τ)=BY(τ)； 
(4) X(t)和Y(t)的功率谱密度相等，即SX(ω)=SY(ω)； 
(5) X(t)和Y(t)的平均功率相等，它们也等于窄带随机信号n0(t)的平均功率，即BX(0)=BY(0)=Bn0(0)=σ2； 
(6) BXY(τ)=-BYX(τ)； 
(7) BXY(0)=-BYX(0)=0； 
(8) SXY(ω)=-SYX(ω)。
由此可见，对于零均值的平稳窄带随机信号n0(t)，其包络的水平和垂直分量X(t)和Y(t)是零均值的平稳随机过程，X(t)与Y(t)两个分量与n0(t)具有相同的平均功率，X(t)与Y(t)有相同的自相关函数和功率谱密度函数。
5.3窄带高斯随机信号的包络和相位的分布
窄带高斯随机信号是在电子信息和通信系统中最常遇到的窄带信号。在许多实际应用中，常常需要检测窄带随机信号包络或相位的信息。下面研究窄带高斯随机信号包络和相位的统计特性。
5.3.1窄带高斯随机信号的包络和相位的一维分布
在5.2节讲过，具有均匀功率谱密度的理想白噪声通过窄带系统，其输出n0(t)为窄带随机信号，可表示为


n0(t)=∑Nk=1akh(t-tk)=R(t)cos［ω0t+θ(t)］
=X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t(5.3.1)


这里，设n0(t)为零均值的平稳窄带高斯信号，其方差为σ2(通常称为窄带高斯噪声)。


X(t)=∑Nk=1xk(t)(5.3.2)
Y(t)=∑Nk=1yk(t)(5.3.3)


由于各δ型脉冲相互独立，使得各akh(t-tk)也相互独立。所以，各xk(t)和各yk(t)也相互独立。根据中心极限定理： 假设被研究的随机变量可以表示成大量独立随机变量之和，其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则这个总和随机变量服从高斯分布。因此，X(t)和Y(t)都服从高斯分布，且相互独立。即


X(t)~N(0,σ2)
Y(t)~N(0,σ2)


所以，X(t)和Y(t)的一维概率密度函数分别为


fX1(x)=12πσe-x22σ2(-∞<x<+∞)(5.3.4)
fY1(y)=12πσe-y22σ2(-∞<y<+∞)(5.3.5)


X(t)和Y(t)的二维联合概率密度函数为


f2(x,y)=fX1(x)fY1(y)=12πσe-x22σ212πσe-y22σ2
=12πσ2e-x2+y22σ2(-∞<x<+∞,-∞<y<+∞)(5.3.6)


因为


X(t)=R(t)cosθ(t)(5.3.7)
Y(t)=R(t)sinθ(t)(5.3.8)


因此，随机过程X(t)和Y(t)在孤立时刻t所处的状态与随机过程R(t)和θ(t)在孤立时刻t所处的状态满足如下函数关系： 



x=Rcosθ(5.3.9)
y=Rsinθ(5.3.10)


通过二维随机变量的函数变换可求得R(t)和θ(t)的二维联合概率密度φ2(R,θ)。
根据概率密度函数的定义，有


φ2(R,θ)|dSRθ|=f2(x,y)|dSxy|(5.3.11)


其中，dSxy是xOy平面的微面积，而dSRθ是ROθ平面的微面积。则


φ2(R,θ)=f2(x,y)dSxydSRθ=f2(x,y)|J|(5.3.12)


这里，J是微面积变换关系的雅可比行列式


J=XRYR

XθYθ=cosθsinθ

-RsinθRcosθ=R(5.3.13)


所以


φ2(R,θ)=Rf2(x,y)=R2πσ2e-R22σ2(R≥0,0≤θ≤2π)(5.3.14)


因此，随机过程R(t)的一维概率密度函数为


fR1(R)=∫2π0φ2(R,θ)dθ=∫2π0R2πσ2e-R22σ2dθ=Rσ2e-R22σ2(R≥0)(5.3.15)


式(5.3.15)表明，窄带高斯信号的包络的一维分布服从瑞利分布。
随机过程θ(t)的一维概率密度函数为


fθ1(θ)=∫+∞0φ2(R,θ)dR=∫+∞0R2πσ2e-R22σ2dR


令t=R22σ2


fθ1(θ)=∫+∞012πe-tdt=12π(0≤θ≤2π)(5.3.16)


式(5.3.16)表明，窄带高斯信号的相位的一维分布是均匀分布的。
比较式(5.3.14)、式(5.3.15)和式(5.3.16)可得


φ2(R,θ)=fR1(R)fθ1(θ)(5.3.17)


即窄带高斯信号的包络和相位在同一时刻的状态是两个统计独立的随机变量。但是，这并不意味着窄带高斯信号的包络R(t)和相位θ(t)这两个随机过程是相互独立的。
5.3.2窄带高斯随机信号的包络和相位的二维分布
按照5.3.1节推导窄带高斯随机过程包络和相位的一维分布的思路，可以首先求得包络和相位的四维联合概率密度函数φ4(R1，R2； θ1，θ2)，然后通过求边缘概率密度函数，推导出窄带高斯随机信号包络和相位的二维概率密度函数fR1R2(R1，R2)和fθ1θ2(θ1，θ2)。
当平稳窄带高斯信号n0(t)均值为零、方差为σ2时，其包络的水平和垂直分量X(t)和Y(t)也是均值为零、方差为σ2高斯平稳过程，且相互独立。
取任意两个不相等的时刻t1和t2，则X(t1)、X(t2)、Y(t1)、Y(t2)都是均值为零、方差为σ2高斯随机变量，因此，有X(t1)、X(t2)、Y(t1)、Y(t2)的四维联合概率密度函数为


f4(x1,x2； y1,y2)=1(2π)2|C|1/2e-xTC-1x2(5.3.18)


其中，x=(x1,x2； y1,y2)T，C是四阶协方差矩阵。


C=E［X(t1)2］E［X(t1)X(t2)］E［X(t1)Y(t1)］E［X(t1)Y(t2)］

E［X(t2)X(t1)］E［X(t2)2］E［X(t2)Y(t1)］E［X(t2)Y(t2)］

E［Y(t1)X(t1)］E［Y(t1)X(t2)］E［Y(t1)2］E［Y(t1)Y(t2)］

E［Y(t2)X(t1)］E［Y(t2)X(t2)］E［Y(t2)Y(t1)］E［Y(t2)2］


根据上述条件，有


E［X(t1)2］=E［X(t2)2］=E［Y(t1)2］=E［Y(t2)2］=σ2

E［X(ti)Y(tj)］=0(i,j=1,2； i≠j)

E［X(t1)X(t2)］=E［X(t2)X(t1)］=BX(τ)=CovX(τ)

E［Y(t1)Y(t2)］=E［Y(t2)Y(t1)］=BY(τ)=CovY(τ)

CovX(τ)=CovY(τ)


则


C=σ2CovX(τ)00

CovX(τ)σ200

00σ2CovY(τ)

00CovY(τ)σ2


可以看出，矩阵C是一个对称矩阵，可方便地求出其行列式值|C|和各代数余子式Cij为


|C|=［σ4-Cov2X(τ)］2
C11=C22=C33=C44=σ2σ4-Cov2X(τ)
C12=C21=C34=C43=-CovX(τ)σ4-Cov2X(τ)
C13=C31=C14=C41=C23=C32==C24=C42=0


所以，矩阵C的逆矩阵为


C-1=C*|C|=1σ4-Cov2X(τ)σ2-CovX(τ)00

-CovX(τ)σ200

00σ2-CovY(τ)

00-CovY(τ)σ2


因此


f4(x1,x2； y1,y2)=14π2［σ4-Cov2X(τ)］e-σ2(x21+x22+y21+y22)-2CovX(τ)(x1x2+y1y2)2［σ4-Cov2X(τ)］(5.3.19)


式中，R1>0,R2>0； 0≤θ1,θ2≤2π。

因此


φ4(R1，R2； θ1，θ2)=|J|f4(x1,x2； y1,y2)(5.3.20)


由于


x1=R1cosθ1

x2=R2cosθ2

y1=R1sinθ1

y2=R2sinθ2(5.3.21)


可得


J=x1R1x2R1y1R1y2R1

x1R2x2R2y1R2y2R2

x1θ1x2θ1y1θ1y2θ1

x1θ2x2θ2y1θ2y2θ2
=cosθ10sinθ10

0cosθ20sinθ2

-R1sinθ10R1cosθ10

0-R2sinθ20R2cosθ2=R1R2(5.3.22)


所以


φ4(R1，R2； θ1，θ2)=R1R24π2［σ4-Cov2X(τ)］e-σ2(R21+R22)-2CovX(τ)R1R2cos(θ2-θ1)2［σ4-Cov2X(τ)］(5.3.23)


对式(5.3.23)求边缘密度函数，可导出包络和相位的二维概率密度函数fR1R2(R1，R2)和fθ1θ2(θ1，θ2)。


fR1R2(R1，R2)=∫2π0∫2π0φ4(R1，R2； θ1，θ2)dθ1dθ2
=R1R2σ4-Cov2X(τ)I0R1R2CovX(τ)σ4-Cov2X(τ)e-σ2(R21+R22)2σ4-Cov2X(τ)R1>0,R2>0

(5.3.24)


式中，I0(x)=12π∫2π0excosθdθ是第一类零阶修正贝塞尔函数的积分表达式。



fθ1θ2(θ1，θ2)=∫+∞0∫+∞0φ4(R1，R2； θ1，θ2)dR1dR2
=σ4-Cov2X(τ)4πσ2(1-λ)12+λ(π-arccosλ)(1-λ2)32(0≤θ1,θ2≤2π)

(5.3.25)


其中，λ=CovX(τ)σ2cos(θ2-θ1)。
若令θ1=θ2，代入式(5.3.23)、式(5.3.24)和式(5.3.25)，不难看出


φ4(R1，R2； θ1，θ2)≠fR1R2(R1，R2)fθ1θ2(θ1，θ2)(5.3.26)


这说明，窄带高斯随机信号的包络和相位不是彼此独立的。
5.3.3窄带高斯随机信号的包络平方的概率分布
在通信系统中，平方律检波是被广泛采用的小信号检波方式。平方律检波检测出的是输入信号包络的平方。为此，简要讨论窄带高斯信号包络平方的概率分布。
窄带高斯随机信号的包络服从瑞利分布，即


fR1(R)=Rσ2e-R22σ2(R≥0)(5.3.27)


设包络的平方为


A(t)=R2(t)(R≥0)(5.3.28)


因此，仍然可用求随机变量函数的概率分布的方法求出包络平方的一维概率密度。
由式(5.3.28)可知，随机过程A(t)在孤立时刻t所处的状态a与随机过程R(t)在孤立时刻t所处的状态满足如下函数关系


a=R2(R≥0)(5.3.29)


即a与R是单调的函数关系。所以，随机过程A(t)的一维概率密度为


fA1(a)=fR1(R)dRdaR=a=12σ2e-a2σ2(a≥0)(5.3.30)


式(5.3.30)表明，窄带高斯随机信号包络平方的一维分布服从指数分布。特别地，当σ2=1时，有


fA1(a)=12e-a2(a≥0)(5.3.31)


此时，其均值和方差分别为


E［A(t)］=2
D［A(t)］=4


5.4窄带随机信号包络的自相关特性
由于在通信系统中，包络检波器应用得十分广泛，因此本节将讨论窄带随机信号n0(t)的包络线R(t)的自相关特性。
以图5.3所示的RLC电路为例，来说明不自相关的白色过程作用于窄带系统，其输出窄带随机信号n0(t)为什么会有自相关性。
图5.3所示的系统的冲激响应为


h(t)=ω0e-αtsinω0tu(t)(5.4.1)


这时的h(t)有一个尾迹。它的衰减因子为α，α越大，衰减越快，h(t)的尾迹越短； 反之，α1越小，衰减越慢，h(t)的尾迹拖得越长。
由于输入是白色过程，也就是说，一个接一个的δ冲激函数应用于该窄带系统，第一个冲激响应的尾迹还没衰减为0，后续的冲激函数产生的输出冲激响应又来了，那么，各h(t)的尾迹相叠加，使得n0(t)有了自相关性。
显然，冲激响应h(t)的尾迹的长短体现在它的包络hE(t)上，各hE(t)的叠加，形成了窄带随机信号n0(t)的包络R(t)，因此，包络线R(t)的自相关性的强弱完全取决于hE(t)衰减的快慢。
冲激响应h(t)的包络hE(t)衰减的快慢，由衰减因子α决定。而α=R2L，也就是说，电阻R越大，系统的损耗越大，系统的通频带越宽，惯性越小，此时hE(t)的衰减就越快，那么，由各hE(t)的叠加形成的n0(t)的包络R(t)起伏就越大，表示R(t)的自相关性越弱。反之，系统损耗越小，系统的通频带就越窄，惯性越大，hE(t)的衰减就越慢，那么，R(t)的起伏频繁程度就越低，这时，R(t)的自相关性就越强。
综上所述，R(t)自相关性的强弱只取决于h(t)的包络hE(t)，而与其高频振动项sinω0t无关。这样一来，利用窄带对称系统的包络线定理的概念，若用冲激响应hE(t)的低通系统等效替代窄带系统，则该系统在白色过程的作用下，其输出响应必为R(t)。因此，有


BE(τ)=BX(τ)βhE(τ)(5.4.2)


式中，BE(τ)为n0(t)的包络R(t)自相关函数，βhE(τ)是冲激响应h(t)的包络hE(t)的自相关积分。


βhE(τ)=∫+∞-∞hE(t)hE(t+τ)dt(5.4.3)


从上面的分析中也可以看出，n0(t)自相关性由它的包络R(t)决定，R(t)的自相关性越弱，n0(t)变化越快； 反之，R(t)的自相关性越强，n0(t)变化越缓慢。那么，它们之间究竟存在一个什么关系呢？下面通过两个例子来说明它们之间的关系。
例5.1如图5.3所示的RLC窄带网络，设输入白噪声的功率谱密度为N02。求： 
(1) 输出窄带随机信号n0(t)的自相关函数B0(τ)； 
(2) 输出窄带随机信号包络R(t)的自相关函数BE(τ)。
解： (1) 由题知


SX(ω)=N02



则BX(τ)=N02δ(τ)


h(t)=ω0e-αtsinω0tu(t)=hE(t)sinω0tu(t)
βh(τ)=∫+∞-∞h(t)h(t+τ)dt
=∫+∞-∞ω0e-αtsinω0tu(t)ω0e-α(t+τ)sinω0(t+τ)u(t+τ)dt


当τ≥0时，有


βh(τ)=ω20∫+∞0e-αtsinω0te-α(t+τ)sinω0(t+τ)dt
=ω20e-ατ∫+∞0e-2αt12cosω0τ-cosω0(2t+τ)dt
=12ω20e-ατcosω0τ∫+∞0e-2αtdt-∫+∞0e-2αtcosω0(2t+τ)dt


当网络为窄带时，必有ω0|α|，则上式的前一积分∫+∞0e-2αtdt必定远大于后一积分∫+∞0e-2αtcosω0(2t+τ)dt。因为cos(2ω0t+ω0τ)因子的正负取值时的积分大体上是相抵消的，因此在窄带情况下，近似有


βh(τ)≈12ω20e-ατcosω0τ∫+∞0e-2αtdt=12ω20e-ατcosω0τ12α=ω204αe-ατcosω0τ


由于自相关积分的偶对称性，则当τ<0时，有


βh(τ)=ω204αeατcosω0τ


所以，系统冲激响应的自相关积分为


βh(τ)=ω204αe-α|τ|cosω0τ


系统输出窄带随机信号n0(t)的自相关函数为


B0(τ)=BX(τ)βh(τ)=N02δ(τ)ω204αe-α|τ|cosω0τ=N0ω204αe-α|τ|cosω0τ2(5.4.4)


(2) 窄带系统冲激响应的包络为


hE(t)=ω0e-αtu(t)


则冲激响应包络的自相关积分为


βhE(τ)=∫+∞-∞hE(t)hE(t+τ)dt=∫+∞-∞ω0e-αtu(t)ω0e-α(t+τ)u(t+τ)dt


当τ≥0时，有


βhE(τ)=ω20∫+∞0e-αte-α(t+τ)dt=ω20e-ατ∫+∞0e-2αtdt=ω202αe-ατ


所以βhE(τ)=ω202αe-α|τ|
根据式(5.4.2)，窄带随机信号包络R(t)的自相关函数为


BE(τ)=BX(τ)βhE(τ)=N0ω204αe-α|τ|(5.4.5)


比较式(5.4.4)和式(5.4.5)，可以看出


B0(τ)=BE(τ)cosω0τ2(5.4.6)


图5.13给出了该窄带随机信号的自相关函数。此图表示B0(τ)是包络线BE(τ)乘以cosω0τ2，而该包络线BE(τ)正是窄带网络输出n0(t)的包络线R(t)的自相关函数。


图5.13RLC窄带网络输出窄带随机信号的自相关函数


例5.2如图5.14所示理想带通滤波器，在通带内，|H(jω)|值为1，通带宽度2Δω0，设输入白噪声的功率谱密度为N02。求： (1)输出窄带随机信号n0(t)的自相关函数B0(τ)； (2)输出窄带随机信号包络R(t)的自相关函数BE(τ)。



图5.14理想带通滤波器




图5.15等效低通特性


解： (1) 由题知


H(jω)=1（ω0-Δ≤|ω|≤ω0+Δ）

0（其他）


βh(τ)与|H(jω)|2互为傅里叶变换对，即


βh(τ)=1π∫+∞0|H(jω)|2cosωτdω=1π∫ω0+Δω0-Δcosωτdω
=1πτ{sin［(ω0+Δ)τ］-sin［(ω0-Δ)τ］}
=1πτ2cosω0τsinΔτ=4ΔπSa(Δτ)cosω0τ2


输入白噪声的自相关函数为


BX(τ)=N02δ(τ)


所以，输出窄带随机信号的自相关函数为


B0(τ)=BX(τ)βh(τ)=2N0ΔπSa(Δτ)cosω0τ2(5.4.7)


(2) 由于理想带通滤波器的通带宽度2Δω0，则此理想带通滤波器为窄带系统。由包络线定理可知，理想带通滤波器冲激响应包络的等效低通特性H′E(jω)如图5.15所示，则


H′E(jω)=1（|ω|≤Δ）

0（其他）


由式(5.1.11)知，冲激响应包络hE(t)与H′E(jω)不构成一个傅里叶变换对，而差一个常数2A|K|。而本题没有给出具体的网络，不能得到它的系统函数H(s)，也就无法知道H(s)极点数，因此不可能找出常数2A|K|，暂令该常数为C，这样就有


hE(t)=12π∫+∞-∞CH′E(jω)ejωtdω


hE(t)的能量谱密度为C2|H′E(jω)|2，hE(t)自相关积分与它的能量谱密度互为傅里叶变换对，所以，有


βhE(τ)=1π∫+∞0|CH′E(jω)|2cosωτdω=C2π∫Δ0cosωτdω
=C2πτsinΔτ=C2ΔπSa(Δτ)


所以，输出窄带随机信号包络的自相关函数为


BE(τ)=BX(τ)βhE(τ)=N0C2Δ2πSa(Δτ)(5.4.8)


比较式(5.4.7)和式(5.4.8)，不难发现，若常数C＝2，同样可得到式(5.4.6)的结果。现在就来看看，常数C该不该等于2呢？若常数C＝2，表示什么意义呢？
由包络线定理可知，若一个窄带系统的传输特性是H(jω)，则H′E(jω)是其等效低通网络的传输特性。容易理解，等效低通网络的带宽只有窄带系统的带宽的一半，若要窄带系统与其等效低通网络等效，则它们的输出功率应相等，在带宽减小一半的情况下，只有把H′E(jω)的幅度增大一倍，两个系统的输出功率才可能相等。这样常数C应该为2。图5.16给出了等效的示意图。图5.16(a)为窄带系统的传输特性H(jω)，图5.16(b)为其等效低通的传输特性HE(jω)，对于窄带系统输出窄带随机信号的包络而言，两系统的输出功率相等。


图5.16窄带系统及其等效低通系统的传输特性


因此，可以得出这样的结论： 白色过程通过窄带线性系统后，输出准正弦过程包络的自相关函数等于该过程的自相关函数的包络。即


B0(τ)=BE(τ)cosω0τ2(5.4.9)


5.5正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布
设随机相位的正弦信号为


S(t)=Pcos(ω0t+ψ)(5.5.1)


式中，P、ω0为常数，ψ是在［0,2π］区间均匀分布的随机变量。
均值为0、方差为σ2的窄带高斯噪声可表示为


n0(t)=R(t)cos［ω0t+θ(t)］=X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t(5.5.2)


此时，正弦信号与窄带高斯噪声的叠加成为


n0(t)+S(t)=X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t+Pcos(ω0t+ψ)
=X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t+Pcosω0tcosψ-Psinω0tsinψ
=［Pcosψ+X(t)］cosω0t-［Psinψ+Y(t)］sinω0t(5.5.3)


令


ξ(t)=Pcosψ+X(t)

η(t)=Psinψ+Y(t)(5.5.4)


则


n0(t)+S(t)=ξ(t)cosω0t-η(t)sinω0t(5.5.5)


式(5.5.5)可表示为


n0(t)+S(t)=Q(t)cos［ω0t+θQ(t)］(5.5.6)


其中，


Q(t)=ξ2(t)+η2(t)

θQ(t)=arctanη(t)ξ(t)(5.5.7)



从式(5.5.6)可以看出，准正弦随机过程叠加上正弦信号后的合成信号仍然是准正弦随机信号，合成信号的包络Q(t)和初始相位θQ(t)也是在作随机变化的随机过程。
n0(t)的两个正交分量X(t)和Y(t)为


X(t)=R(t)cosθ(t)
Y(t)=R(t)sinθ(t)


它们是独立且同分布的，即X(t)和Y(t)都服从均值为零、方差为σ2的高斯分布。因而对于给定的ψ=φ值，ξ(t)和η(t)也必然是高斯分布的，而且相互独立。在给定的ψ=φ的条件下，ξ(t)和η(t)的均值和方差为


E［ξ(t)|ψ=φ］=Pcosφ(5.5.8)
E［η(t)|ψ=φ］=Psinφ(5.5.9)
D［ξ(t)|ψ=φ］=D［η(t)|ψ=φ］=σ2(5.5.10)


所以有


ξ~N(Pcosφ,σ2)
η~N(Psinφ,σ2)


在给定的ψ=φ的条件下，ξ(t)和η(t)的一维概率密度分别为


fξ1(ξ|φ)=12πσ2e-(ξ-Pcosφ)22σ2(-∞<ξ<+∞)(5.5.11)
fη1(η|φ)=12πσ2e-(η-Psinφ)22σ2(-∞<η<+∞)(5.5.12)


因此，在信号相位ψ=φ为条件下，ξ(t)和η(t)的二维联合概率密度函数为


f2(ξ,η|φ)=12πσ2e-(ξ-Pcosφ)22σ212πσ2e-(ξ-Pcosφ)22σ2
=12πσ2e-(ξ-Pcosφ)2+(ξ-Pcosφ)22σ2(-∞<ξ<+∞,-∞<η<+∞)

(5.5.13)


利用式(5.5.7)给出的ξ(t)、η(t)和合成信号包络Q(t)、相位θQ(t)在同一时刻的关系式，有


Q=ξ2+η2(Q≥0)(5.5.14)
θQ=arctanηξ(5.5.15)


则


ξ=QcosθQ(5.5.16)
η=QsinθQ(5.5.17)


通过二维随机变量的函数变换，可得合成包络Q(t)和相位θQ(t)的二维联合概率密度函数



g2(Q,θQ|φ)=|J|f2(ξ,η|φ)(5.5.18)


其中，


J=ξQηQ

ξθQηθQ=cosθQsinθQ

-QsinθQQcosθQ=Q


所以


g2(Q,θQ|φ)=Qf2(ξ,η|φ)=Q2πσ2e-Q2-2PQcos(θQ-φ)+P22σ2Q≥0,0≤θQ≤2π(5.5.19)


于是，在信号相位ψ=φ为条件下，合成信号包络Q(t)的一维概率密度函数为


fQ1(Q|φ)=∫2π0g2(Q,θQ|φ)dθQ=Q2πσ2e-Q2+P22σ2∫2π0ePQcos(θQ-φ)σ2dθQ
=Qσ2e-Q2+P22σ2I0PQσ2(Q≥0)(5.5.20)


式中，I0PQσ2是零阶修正贝塞尔函数，即


I0PQσ2=12π∫2π0ePQcos(θQ-φ)σ2dθQ(5.5.21)



贝塞尔函数I0(x)可用无穷级数表示为


I0(x)=∑+∞n=0x2n22n(n!)2=1+x22+14x24+…(5.5.22)


且


I0(0)=1(5.5.23)


当x1时，有


I0(x)≈ex24(5.5.24)


当x1时，有


I0(x)≈ex2πx(5.5.25)


由式(5.5.20)可以看出，合成信号包络Q(t)的一维概率分布与φ无关，所以式(5.5.20)可以直接写成


fQ1(Q)=Qσ2e-Q2+P22σ2I0PQσ2(Q≥0)(5.5.26)


式(5.5.26)称为莱斯分布的概率密度函数。也就是说随机相位正弦信号与窄带高斯噪声叠加的合成信号包络服从莱斯分布。

为了下面的作图和讨论方便，引入下列变量。

令


v=Qσ，a=Pσ(5.5.27)


则式(5.5.26)变为


fQ1(σv)=vσe-v2+a22I0(av)(5.5.28)


以a为参变量的vfQ1(σv)曲线如图5.17所示。


图5.17随机相位正弦信号与窄带高斯噪声叠加合成包络的分布


下面分三种情况对式(5.5.28)进行讨论。
(1) 当a=0时，即P=0，此时无信号，而噪声总是有的，有


fQ1(σv)=vσe-v22I0(0)=vσe-v22(5.5.29)


即


fQ1(Q)=Qσ2e-Q22σ2(Q≥0)(5.5.30)


这是瑞利分布的概率密度形式。也就是说，此时合成包络服从瑞利分布。
(2) 当a不大时，说明信号和噪声互相都不能忽略，此时合成包络服从莱斯分布。
(3) 当a1，即Pσ1时，此时说明信噪比大，信号比噪声强得多，输出合成包络主要取决于信号振幅P。
当a1时，有P≈Q，则有av1。由式(5.5.25)得


I0(av)≈eav2πav(5.5.31)


把它代入式(5.5.28)，得到


fQ1(σv)≈vσe-v2+a22eav2πav=12πσvae-(v-a)22
=12πσQσPσe-v-Pσ22=12πσQPe-(σv-P)22σ2
≈12πσe-(Q-P)22σ2(5.5.32)


此时，合成包络趋于以P为均值的高斯分布。
通过上面的分析看到，当一个随机相位正弦波受到零均值平稳窄带高斯噪声干扰时，其合成信号的包络服从莱斯分布。当信噪比很低时，其包络的分布将趋于瑞利分布； 而当信噪比很高时，其包络的分布将趋于以P为均值的高斯分布。
类似地，可以得到在信号相位ψ=φ为条件下，相位θQ(t)的一维概率密度函数


fθQ1(θQ|φ)=∫+∞0g2(Q,θQ|φ)dQ=∫+∞0Q2πσ2e-Q2-2PQcos(θQ-φ)+P22σ2dQ
=∫+∞0Q2πσ2e-Q2-2PQcos(θQ-φ)+［Pcos(θQ-φ)］2-［Pcos(θQ-φ)］2+P22σ2dQ
=12πe-P2-［Pcos(θQ-φ)］22σ2∫+∞0Qσ2e-［Q-Pcos(θQ-φ)］22σ2dQ(5.5.33)


经积分运算后，得


fθQ1(θQ|φ)=12πe-P22σ2+Pcos(θQ-φ)σ2πΦPcos(θQ-φ)σe-P2-［Pcos(θQ-φ)］22σ2

(5.5.34)


其中，Φ(x)是标准高斯分布函数


Φ(x)=12π∫+∞xe-t22dt(5.5.35)


利用式(5.5.27)进行变量代换，得


fθQ1(θQ|φ)=12πe-a22+acos(θQ-φ)2πΦ［acos(θQ-φ)］e-a2sin2(θQ-φ)2(0≤θQ≤2π)(5.5.36)


下面讨论两种特殊情况。
(1) 当a=0时，即P=0，此时无信号，则有


fθQ1(θQ|φ)=12π(0≤θQ≤2π)(5.5.37)


这时，相位分布为［0,2π］区间的均匀分布，信号中只包含窄带高斯噪声。
(2) 当a1时，信噪比很大，有Φ［acos(θQ-φ)］≈1，则相位的条件概率密度近似为


fθQ1(θQ|φ)≈acos(θQ-φ)2πe-a2sin2(θQ-φ)2(0≤θQ≤2π)(5.5.38)



式(5.5.38)说明，在大信噪比情况下，正弦信号叠加窄带高斯噪声的相位主要集中在信号相位φ附近。图5.18给出了合成信号相位的概率分布与信噪比的关系。


图5.18随机相位正弦信号叠加窄带高斯噪声的相位分布


习题
5.1对于均值为零、方差为1的窄带平稳随机信号X(t)=R(t)cos［ω0t+θ(t)］，试求包络R(t)在任意时刻所给出的随机变量的均值和方差。
5.2设均值为零、方差为σ2的窄带平稳高斯随机信号X(t)=R(t)cos［ω0t+θ(t)］，令随机过程Y(t)=R2(t)，求随机过程Y(t)的一维概率密度函数。
5.3窄带高斯噪声的包络超过其均方值3倍的概率是多少？
5.4对于窄带随机信号


n(t)=X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t


证明： Bn(τ)=BX(τ)cosω0τ+BXY(τ)sinω0τ。
5.5如题5.5图所示电路，设无噪网络输入阻抗为无穷大，它的传输函数H(jω)也如图中所示，且ω02Δ，求网络输出端噪声电压的自相关函数和噪声电压的均方值。


题5.5图


5.6将一功率谱密度函数为N0/2的白噪声输入到一单位冲激响应如下的滤波器


h(t)=αe-αtcosω0tu(t)(α>0，ω00)


试求输出噪声的自相关函数和平均功率。
5.7功率谱密度为S0的平稳白噪声经电容耦合加到矩形带通滤波器，滤波器的中心频率为f0，通带宽度为B，通带内的电压增益为A。在滤波器后加有一理想线性包络检波器，试求检波器输出波形的一维概率密度函数以及其均值和均方值。
5.8某一噪声过程N(t)的功率谱密度如题5.8图所示，且f0B，将N(t)作用于一个理想线性包络检波器，试求检波器输出波形的一维概率密度函数、均值和均方值。
5.9如题5.9图所示系统，X(t)为白噪声，测得Y(t)的平均功率为1W。试求Z(t)<2V时的概率。



题5.8图




题5.9图


5.10如题5.10图所示同步检波器。设X(t)为窄带平稳噪声，其自相关函数为


BX(τ)=σ2e-β|τ|cosω0τ(βω0)


而Y(t)=Asin(ω0t+φ)，其中A为常数，φ是与X(t)独立的且在(0,2π)区间均匀分布的随机变量。试求该检波器输出的自相关函数和平均功率。


题5.10图


5.11如题5.11图(a)所示系统，已知随机相位正弦波X(t)=cos(ω0t+θ)，其中θ为(0,2π)区间均匀分布的随机变量，白噪声N(t)的功率谱密度为N0/2，带通滤波器特性|H(jω)|2如题5.11图(b)所示，且ω0Δ。试求： (1)Y(t)的功率谱密度和自相关函数； (2)Z(t)的一维概率密度函数。


题5.11图