第3章一元积分


本章解读





本章题目考点解读







试题编号亮点1亮点2

第1题定积分的奇偶对称反常积分
第2题有理函数积分积分结果不含反三角函数
第3题非对称图形旋转体体积第4题极限函数反常积分
第5题定积分计算图形面积定积分计算旋转体体积第6题含对数的反常积分审敛含三角函数的反常积分审敛
第7题原函数的存在性变限函数的导数第8题定积分的奇偶对称周期函数的积分
第9题积分递推关系夹逼定理第10题利用二阶导比较积分值
第11题积分比较大小第12题含变限函数的分部积分高阶导数
第13题含导函数的分部积分第14题函数平均值
第15题确定积分的上限第16题含反正切的积分
第17题微分等式有理函数积分第18题含指数的积分分段积分
第19题含暇点的积分由秩求矩阵参数第20题反常积分收敛求参数
第21题反常积分收敛的个数第22题极坐标曲线围成的面积
第23题双纽线面积矩阵等价第24题按x分段的积分伴随矩阵的行列式
第25题参数方程曲线围成的面积旋转体体积第26题定积分求图形面积
第27题旋转体体积第28题积分中值定理积分极限
第29题含对数的反常积分审敛第30题旋转体体积极值点个数
第31题函数平均值






试题编号亮点1亮点2


第32题积分值比较大小
第33题曲线弧长曲线的曲率第34题曲线形心的横坐标
第35题余割的积分第36题区间再现
第37题射线对质点引力的计算第38题抽水做功的计算
第39题水压力的计算第40题含对数的反常积分审敛
第41题伽马函数第42题定积分抵消
第43题互补的定积分第44题变限函数的渐近线
第45题反常积分审敛第46题绕非坐标轴旋转的旋转体体积
第47题周期函数的平均值周期函数的积分







1. 下列积分计算正确的有()。



① 由奇函数积分性质可得∫1－11sinxdx=0

② 由奇函数积分性质可得∫+∞－∞xex2dx=0

③ 由偶函数积分性质可得∫1－11ln1+x2dx=2∫101ln1+x2dx

④ 由偶函数积分性质可得∫1－111－x2dx=2∫1011－x2dx

(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个






2. 若不定积分∫3x+a(x－1)2x2+x+1dx的结果中不含反三角函数，则常数a满足。






3. 曲线y=ex与直线x+y=e+1及y轴所围成的平面图形为D，则图形D绕直线y=e旋转一周得到的旋转体体积V为。






4. 设函数f(x)=limn→∞n2x1n－x1n+1，其中x>0，则∫+∞1f(x)(1+x)2dx=。




5. 设由曲线y=lnx、该曲线过原点的切线和y轴围成的无界图形为D，若D的面积为A，图形D绕y轴旋转一周得到的立体体积为V，VA=()。

(A) πe2(B) 2πe(C) πe3(D) 3πe




6. 关于反常积分，下列说法正确的有()。

① 设m,n是正整数,则反常积分∫10mln21－xnxdx的收敛性与m,n取值均无关

② 设f(x)=1(x－1)α－1,1<x<e

1xlnα+1x,x≥e，若反常积分∫+∞1f(x)dx收敛，则0<α<2

③ 反常积分∫+∞0xlnxk2+x2dxk∈－∞,+∞的敛散性与k无关

④ 若反常积分∫π20dxsinnxcosmx收敛，则m<1且n<1

(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个




7. 设矩阵A=0100
0010
0001
0000，常数a等于A3的秩，若f(x)=a,x>0
0,x=0
－1,x<0，F(x)=∫x0f(t)dt，则下列说法正确的有()。

① F(x)在x=0点不连续

② F(x)在(－∞,+∞)内连续，但在x=0点不可导

③ F(x)在(－∞,+∞)内可导，且满足F′(x)=f(x)

④ F(x)在(－∞,+∞)内可导，但不一定满足F′(x)=f(x)

⑤ f(x)在(－∞,+∞)内不存在原函数

⑥ f(x)在(0,+∞)内不存在原函数

(A)  1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个


8. 设fx在区间－∞,+∞内连续，则()是正确的。

(A) 若fx为偶函数，则∫a－afxdx≠0

(B) 若fx为奇函数，则∫a－afxdx≠2∫a0fxdx

(C) 若fx为非奇非偶函数，则∫a－afxdx≠0

(D) 若fx是以T为周期的奇函数，则Fx=∫x0ftdt也是以T为周期的函数





9. 设an=∫10xn1-x2dx(n=0,1,2,…)，则极限limn→∞anan-1=。





10. 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(－1)=1,f(0)=－1且f″(x)>0，则()。



(A) ∫1－1f(x)dx>0(B) ∫1－1f(x)dx<0

(C) ∫0－1f(x)dx>∫10f(x)dx(D) ∫0－1f(x)dx<∫10f(x)dx





11. I1=∫+∞0xe－x(1+e－x)2dx，I2=∫+∞21xln2xdx，I3=∫π0f(x)dx，其中f(x)=∫x0sintπ－tdt，则下列说法正确的是()。

(A) I1>I2>I3(B) I3>I1>I2(C) I3>I2>I1(D) I2>I3>I1



12. 设a=∫π0f(x)dx，其中f(x)=∫x0sintπ－tdt，则g(x)=x2ax的高阶导数g(n)(x)=。




13. 已知函数f(x)满足∫x0f(t)dt=ex2－1，则∫10xf′(2x)dx=()。

(A) 74e4+14(B) 74e4－14(C)53e4+13(D) 53e4－13




14. 设f(sin2x)=xsinx,则函数x1－xf(x)在区间0,1上的平均值为。




15. 若∫a01－e－2xdx=ln(2+3)－32，则a=。




16. 不定积分∫arctanxx2(1+x2)dx=。




17. 设y=f(x)是［0,2］上的连续函数，且在任意点x处的增量Δy=x4x4+5x2+4Δx+o(Δx)，已知y(0)=0，定积分∫20xf(x)dx=。



18. 设f(x)=2x+32x2,－1≤x<0

xex(ex+1)2,0≤x≤1,则函数F(x)=∫x－1f(t)dt的表达式为。




19. 设A=12a
110
132，若存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则积分∫32a2dxx－x2=。




20. 设函数f(x)=1(x－1)α－1，1<x<e
1xlnα+1x，x≥e，若反常积分∫+∞1f(x)dx收敛，则()。

(A) α<－2(B) α>2(C) －2<α<0(D) 0<α<2




21. 下列广义积分收敛的有()。

①  ∫1－11sinxdx② ∫0－∞1x2e1xdx③ ∫+∞01x2e1xdx④ ∫112ln2(1－x)3xdx

(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个




22. 设A=113
012
a01，曲线的极坐标方程为ρ=eaθ(a>0) ，若齐次方程Ax=0有非零解，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为。



23. 若参数a能使a－1－1
－1a－1
－1－1a与110
0－11
101等价，则曲线(x2+y2)2=a(x2－y2)所围成的区域面积为。




24. 已知A是三阶方阵，A=2，a=12A*，设函数fx=∫a0t2－x2dt，fx的最小值为。




25. （数学三不要求）已知曲线L:x=f(t)

y=cost0≤t<π2，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f′(t)>00<t<π2。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，此曲线L与x轴及y轴围成无边界的区域D。

(1) 函数f(t)的表达式为。

(2) 区域D的面积为。

(3) 区域D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为。




26. 在曲线y=e－x(x≥0)上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大,该点的横坐标为。





27. 曲线y=e－x,x轴,y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为V(ξ),若常数a满足V(a)=12limξ→+∞V(ξ)，则a=。



28. 设fx在区间0,+∞上连续，0<a<b，则limx→0+∫bxaxfttdt=()。

(A) 0(B) f0lnba(C) f0lnab(D) f0ln1+ab




29. 设m,n是正整数,则反常积分∫102mln21－xn2xdx的敛散性()。

(A) 仅与m的取值有关(B)  仅与n的取值有关

(C) 与m,n取值都有关(D)  与m,n取值都无关




30. 设曲线y=x2e－x2。

(1) 其渐近线方程为;

(2) 曲线与其渐近线所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为;

(3) 曲线极值点的个数为()。

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4




31. 设fx是－∞,+∞上的连续非负函数，且fx·∫x0fx－tdt=sin4x，则fx在区间0,π上的平均值为。





32. 设Ik=∫kπ0ex2sinxdx(k=1,2,3)，则有()。

(A) I1<I2<I3(B) I3<I2<I1(C) I2<I3<I1(D) I2<I1<I3



33. (数学三不要求)若曲线x=t-sint

y=1-cost(0≤t≤2π)。

(1) 曲线的弧长为;

(2) t=π4对应点处的曲率为。





34. (数学三不要求)曲线x=R2－y2的形心的横坐标x-=()。

(A) 2πR(B) π2R(C) 3πR(D) π3R





35.  不定积分∫sec3xdx=。





36.  计算下列定积分：

(1) I=∫π20sinxsinx+cosxdx=；

(2) I=∫204－x4－x+x+2dx=。





37. 在平面上，有一条从点a,0向右的射线，线密度为ρ。在点0,h处(其中h>0)有一质量为m的质点，则射线对该质点的引力为。








图31



38. 一容器的内侧是由图31中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2yy≥12与x2+y2=1y≤12连接而成。若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做的功为。(长度单位：m，重力加速度为gm/s2,水的密度为103kg/m3)









图32

39. 某闸门的形状与大小如图32所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5∶4，闸门矩形部分的高h=。







40. 设p>0,q>0，若积分∫+∞11xplnqxdx收敛，则必有()。

(A) p>1,q>1 (B) p>1,q<1(C) p<1,q>1 (D) p<1,q<1




41. 积分∫+∞－∞x7(1+x)e－x2dx=。




42. 不定积分∫e2x(tanx+1)2dx=。


43. 定积分∫π2-π2sinxarctanexdx=。




44. 设函数f(x)=∫x1uearctanu(1+u2)32du。

(1) 函数f(x)的表达式为；

(2) 曲线y=f(x)的渐近线为。




45. 若广义积分∫+∞01xp+xqdx0<q<p收敛，则参数p,q的取值范围分别为。




46. 设平面图形A由x2+y2≤2x与y≥x确定,则图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积为。




47. 设f(x)=∫x+π2xsintdt,则limx→+∞∫x0ftdtx=。