第
5 
章插值法

抽梁换柱,李代桃僵。插值函数与被插函数

引言

在实际应用中可能遇到某些难求的函数。插值法的主要思想是构造
易求的函数,如果易求的函数和难求的函数在某一区间内足够接近,那么
在这一区间内就可以用易求的函数代
替难求的函数进行计算。插值的几何
意义,就是在仅知道函数曲线上若干点
的情况下作图,用一条曲线经过这些已
知点,尽量使这条曲线接近原来的函数
曲线,并把这条曲线近似地认为是原来
的函数曲线。如图5.y=x)

1所示,f(
为难求函数,仅知道y=f(x)上的4 
x0,x0 x1,x1 x2, 图5.插值的几何含义

个点(f())、(f())、(
1 
f(x2))、(x3,f(x3))。构造一个易求
函数y=p(x), 使y=p(x)经过这4个点。若误差在允许的范围内,就可
以用函数p(x)代替f(x)。

常常在以下两种情况用插值法求f(x)。
情况1:f(x)同时满足下列条件。

(1)不知道或不存在函数f(x)的具体形式。
(2)知道f(x)上某些离散的点。
如弹道曲线、人口增长曲线、股票走势曲线等。通过测量等手段,可以
得到f(x)曲线上某些点,但是不可能测量出f(x)上所有点,那么就可以
用插值法近似地计算出f(x)在已知点之外的点。

情况2:f(x)同时满足下列条件。

(1)知道函数f(x)的具体形式。
(2)对于任意的
x 
求f(x)较困难。
1.
5



1 06 　计算方法(Python 版) 
(3)对于某些特定的x 求f(x)较容易。 
例如,f(x)= x (即x=f2(x))由x 求f(x)较困难,由f(x)求x 较容易。如果已
知x0 求f(x0),那么可以由x=f2(x)尝试求出f(x)在x0 附近的若干点,再进行插值, 
得到f(x0)的近似值。
定义5.1 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,已知f(x)在[a,b]上x=x0,x1,…, 
xn 处的函数值(设a≤x0<x1<…<xn ≤b,共n+1个互异点),若存在函数p(x),满足
p(xi)=f(xi),其中i=0,1,2,…,n,则称: 
(1)x0,x1,…,xn 为插值节点(插值基点),所求点x 为插值点。
(2)[a,b]为插值区间,插值点x∈插值区间[a,b]为内插,否则为外推。
(3)p(x)为插值函数,f(x)为被插函数。
(4)p(xi)=f(xi)(其中i=0,1,2,…,n)为插值条件。
(5)R(x)=f(x)-p(x)为插值余项。
(6)插值函数的构造方法为插值法。
插值的目的在于用易求的插值函数p(x)代替难求的被插函数f(x)。构造插值函
数的依据是插值条件。常见的函数类型有幂函数、指数函数、三角函数等。在选择插值函
数的类型时,应尽量遵循以下原则: 
(1)对任意插值条件,插值函数存在且唯一。
(2)易构造插值函数。
(3)易估计误差。
幂函数除了满足以上条件之外,还具有高阶可导、可积,易手工计算,易编程实现等优
点,是使用较广泛的插值函数。
定义5.2 代数插值(多项式插值)的插值函数是幂函数。设插值节点共有n+1个, 
依次为x0,x1,…,xn ,那么插值函数p(x)是次数不超过n 次的代数多项式,称p(x)为n 
次(代数)插值多项式,它的一般形式为p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 。
由定义5.2可知,可以由待定系数法求解插值多项式p(x),即求解下列线性方程组: 
a0 +a1x0 +a2x20
+… +anxn0
=f(x0) 
a0 +a1x1 +a2x21+… +anxn1
=f(x1) 
. . . . 
a0 +a1xn +a2x2n
+… +anxnn
=f(xn) 
ì
.
í
... 
..
. 
其中a0,a1,…,an 为要确定的系数。若把a0,a1,…,an 看作变元,则此线性方程组
的系数行列式为范德蒙德行列式: 
1 x0 x20
… xn0 
1 x1 x21
… xn1 
. . . 
1 xn x2n 
… xnn 
=1≤jΠ<i≤n(xi -xj)≠0 
由克拉默法则得知,a0,a1,…,an 存在且唯一,所以插值多项式p(x)存在且唯一。
本章介绍代数插值、带导数的埃尔米特插值和分段插值。本章内容是第6章数值积
分的基础。

第5 章　插值法　1 07 
5.2 拉格朗日插值
本章介绍的代数插值有拉格朗日插值和牛顿插值。由代数插值的存在唯一性可知, 
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式在化为标准形式后是相同的,二者的区别是构造
插值多项式的过程不同。
5.2.1 1 次拉格朗日插值
拉格朗日插值(Lagrange插值)是一种含义直观的代数插值方法。对2个插值节点
(x0,y0)、(x1,y1)的1次拉格朗日插值(即线性拉格朗日插值)如图5.2所示。线性拉格
图5.2 1次拉格朗日插值
朗日插值函数的一般形式为
L1(x)=
x -x1 
x0 -x1
y0 + 
x -x0 
x1 -x0
y1 
令
l0(x)=
x -x1 
x0 -x1,l1(x)=
x -x0 
x1 -x0 
则
L1(x)=l0(x)y0 +l1(x)y1 
称l0(x)、l1(x)为线性拉格朗日插值基函数。
线性拉格朗日插值有明显的几何意义。
两点确定唯一的一条直线。直线L1(x)的斜率=L1(x)-y0 
x-x0 =y1-y0 
x1-x0,所以
L1(x)-y0 =
y1 -y0 
x1 -x0(x -x0) 
继续变形,可得
L1(x)=y0 +
y1 -y0 
x1 -x0(x -x0)=y0 - 
x -x0 
x1 -x0
y0 + 
x -x0 
x1 -x0
y1 
= 1- 
x -x0 
x1 -x0 
.
è .
.
.÷y0 + 
x -x0 
x1 -x0
y1 =
x1 -x 
x1 -x0
y0 + 
x -x0 
x1 -x0
y1 
=
x -x1 
x0 -x1
y0 + 
x -x0 
x1 -x0
y1 
也可以由代数插值的存在唯一性证明线性拉格朗日插值函数的一般形式。
证明 (1)显然L1(x)是x 的1次多项式。
(2)下面证明L1(x)经过插值节点(x0,y0)、(x1,y1)。
因为
L1(x)=l0(x)y0 +l1(x)y1 =
x -x1 
x0 -x1
y0 + 
x -x0 
x1 -x0
y1 
因为当x=x0 时,l0(x)=1,l1(x)=0,则L1(x0)=y0,所以L1(x)经过插值节点
(x0,y0)。

1 08 　计算方法(Python 版) 
当x=x1 时,l0(x)=0,l1(x)=1,则L1(x1)=y1,所以L1(x)经过插值节点(x1,y1)。
(3)由代数插值的存在唯一性,L1(x)是经过2个插值节点的1次拉格朗日插值
函数。
5.2.2 2 次拉格朗日插值
对3个插值节点(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)的2次拉格朗日插值(即抛物线拉格朗
日插值)如图5.3所示。2次拉格朗日插值函数的一般形式为
L2(x)= (x -x1)(x -x2) 
(x0 -x1)(x0 -x2)y0 + (x -x0)(x -x2) 
(x1 -x0)(x1 -x2)y1 
+ (x -x0)(x -x1) 
(x2 -x0)(x2 -x1)y2 
令
l0(x)= (x -x1)(x -x2) 
(x0 -x1)(x0 -x2), 
l1(x)= (x -x0)(x -x2) 
(x1 -x0)(x1 -x2), 
l2(x)= (x -x0)(x -x1) 
(x2 -x0)(x2 -x1) 
则
L2(x)=l0(x)y0 +l1(x)y1 +l2(x)y2 =Σ2 
i=0
li(x)yi 
图5.3 2次拉格朗日插值
其中,li(x)=Π2 
j=0 j≠i 
x -xj 
xi -xj ,称li(x)为2次拉格朗日插值
基函数。
2次拉格朗日插值的几何意义为3点确定一条抛物
线,如图5.3所示。
可以由代数插值的存在唯一性证明2次拉格朗日插
值函数的一般形式。
证明 (1)显然,拉格朗日插值基函数l0 (x )、
l1(x)、l2(x)为2次多项式,所以L2(x)是x 的2次多
项式。
(2)下面证明L2(x)经过插值节点(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)。
当x=x0 时,l0(x)=1,l1(x)=l2(x)=0,所以L2(x0)=y0,故L2(x)经过插值节
点(x0,y0)。
当x=x1 时,l1(x)=1,l0(x)=l2(x)=0,所以L2(x1)=y1,故L2(x)经过插值节
点(x1,y1)。
当x=x2 时,l2(x)=1,l0(x)=l1(x)=0,所以L2(x2)=y2,故L2(x)经过插值节
点(x2,y2)。

第5 章　插值法　1 09 
(3)由代数插值的存在唯一性可知,L2(x)是经过3个插值节点的2次拉格朗日插值
函数。
例5.1 令f(x)= x ,取插值节点为f(2.56)=1.6、f(2.89)=1.7、f(3.24)=1.8, 
用2次拉格朗日插值计算3的近似值。
解 令插值节点(x0,y0)=(2.56,1.6)、(x1,y1)=(2.89,1.7)、(x2,y2)=(3.24,1.8), 
故插值点
f(3)= (x -x1)(x -x2) 
(x0 -x1)(x0 -x2)y0 + (x -x0)(x -x2) 
(x1 -x0)(x1 -x2)y1 + (x -x0)(x -x1) 
(x2 -x0)(x2 -x1)y2 
= (3-2.89)(3-3.24) 
(2.56-2.89)(2.56-3.24)×1.6+ (3-2.56)(3-3.24) 
(2.89-2.56)(2.89-3.24)×1.7+ 
(3-2.56)(3-2.89) 
(3.24-2.56)(3.24-2.89)×1.8 
≈1.732 
所以3≈1.732。
5.2.3 n 次拉格朗日插值
过n+1个插值节点(x0,y0),(x1,y1),…,(xn ,yn )的n 次拉格朗日插值函数的一
般形式为
Ln(x)=Σn 
i=0
li(x)yi =l0(x)y0 +l1(x)y1 + … +ln(x)yn 
其中li(x)=Πn 
j=0 j≠i 
x -xj 
xi -xj 
= (x -x0)…(x -xi-1)(x -xi+1)…(x -xn) 
(xi -x0)…(xi -xi-1)(xi -xi+1)…(xi -xn),式中i=0, 
1,2,…,n。
li(x)称为拉格朗日插值基函数。
li(x)分式的规律是:分母的因子中xi 把其他的插值节点减了一遍,除(xi-xi)外; 
把分母的因子中的xi 替换为x,就变成分子的因子。
可以由代数插值的存在唯一性证明n 次拉格朗日插值函数的一般形式。
证明 (1)显然li(x)是x 的n 次多项式,所以Ln(x)也是x 的n 次多项式。
(2)下面证明Ln(x)经过全部的n+1个插值节点(x0,y0),(x1,y1),…,(xn ,yn)。
拉格朗日插值基函数li(x)有以下性质: 
li(x)= 1, x =xi 
0, x =xj(j=0,1,2,…,i-1,i+1,…,n,即j ≠i) 
例如
l1(x)= 1, x =x0 
0, x =x1,x2,…,xn 
所以,当x=x0 时,l0(x)=1,l1(x)=l2(x)=…=ln(x)=0,所以Ln(x0)=y0。
当x=x1 时,l1(x)=1,l0(x)=l2(x)=…=ln(x)=0,所以Ln(x1)=y1。

1 10 　计算方法(Python 版) 
总之,当x=xi(其中i=0,1,2,…,n)时,li(x)=1,l0(x)=…=li-1(x)=li+1(x) 
=…=ln(x)=0,所以Ln (xi)=yi,故Ln (x)经过全部的n+1个插值节点(x0,y0), 
(x1,y1),…,(xn ,yn)。
(3)由代数插值的存在唯一性可知,Ln(x)是经过全部的n+1个插值节点(x0,y0), 
(x1,y1),…,(xn ,yn)的n 次拉格朗日插值函数。
5.2.4 拉格朗日插值函数的构造
拉格朗日插值函数的构造如下。
(1)假设n 次拉格朗日插值函数Ln(x)可以化为下面的形式: 
Ln(x)=Σn 
i=0
Wi(x)yi =W0(x)y0 +W1(x)y1 + … +Wn(x)yn 
其中,W0(x),W1(x),…,Wn(x)是次数不高于n 次的代数多项式。
如果W0(x),W1(x),…,Wn(x)满足下式: 
Wi(x)= 1, x =xi 
0, x =xj(j=0,1,2,…,i-1,i+1,…,n,即j ≠i), i=0,1,…,n 
那么Ln(x)是经过全部的n+1个插值节点(x0,y0),(x1,y1),…,(xn ,yn )的n 次
多项式。
对Wi(x)的约束条件有n+1个,确定n 次多项式Wi(x)需要确定n+1个系数,所
以Wi(x)存在且唯一。
(2)因为Wi(x)在x=x0,x1,…,xi-1,xi+1,…,xn 时为0,所以Wi (x)包含因子
(x-x0),(x-x1),…,(x-xi-1),(x-xi+1),…,(x-xn),因此可以设
Wi(x)=λi(x -x0)(x -x1)…(x -xi-1)(x -xi+1)…(x -xn) 
又因为当x=xi 时,Wi(x)=1,所以
Wi(xi)=λi(xi -x0)(xi -x1)…(xi -xi-1)(xi -xi+1)…(xi -xn)=1 
变形可得
λi = 1 
(xi -x0)(xi -x1)…(xi -xi-1)(xi -xi+1)…(xi -xn) 
由上式可得
Wi(x)= (x -x0)(x -x1)…(x -xi-1)(x -xi+1)…(x -xn) 
(xi -x0)(xi -x1)…(xi -xi-1)(xi -xi+1)…(xi -xn) 
=Πn 
j=0 j≠i 
x -xj 
xi -xj 
故Wi(x)即拉格朗日插值基函数li(x)。
所以
Ln(x)=Σn 
i=0
li(x)yi =l0(x)y0 +l1(x)y1 + … +ln(x)yn 
其中,li(x)=Πn 
j=0 j≠i 
x -xj 
xi -xj 
= (x -x0)…(x -xi-1)(x -xi+1)…(x -xn) 
(xi -x0)…(xi -xi-1)(xi -xi+1)…(xi -xn),式中i=

第 
5 
章　插值法　111

2,…,。0,1,
证毕。
n 

5.2.5 
拉格朗日插值函数的余项
拉格朗日插值余项函数Rn 
(x)=被插函数f(x)-插值函数Ln 
(x)
。
ξ)


定理5.拉格朗日插值余项函数Rn 
(x)n+1)!Wn 
(x), 其中

1 
= f(
(n+1)(

Wn 
(x)
= Π(n) (x-xi)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn 
)

=0

当x∈[a,b] ξ∈[(i) b], 且
ξ 
与
x 
有关。

时,a,
证明下面分3种情况证明定理5.


1。
情况1:被插函数f(x)是
m 
阶代数多项式,插值节点共n+1 个,且m≤n。
设拉格朗日插值函数Ln 
(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 
。

(1)显然,0,(x)也是
m 
阶代数多项式,即Ln 
(x)x), 
am+1=am+2=…=an 
=Ln 
=f(
几何含义是Ln 
(x)与f(x)的曲线图像完全重合,没有误差。
所以拉格朗日插值余项函数Rn 
(x)恒为0。

(2)因为对代数多项式函数求1次导数,多项式的阶数少1;对0次多项式(常数)求
1次导数,代数多项式函数变为常数0,又因为f(x)是
m 
阶代数多项式,且
m 
≤n,所以
f(n+1)(x) n+1)(0, a,

恒为0。故f(ξ)=其中ξ∈[b]
。
f(


n+1)(

由上可得,拉格朗日插值余项函数Rn 
(x)=(
ξ)(x)恒为0。

(3)由(1)、(2)得,定理5.
n+1)!Wn 
1在情况1时成立。
情况2:被插函数f(x)是
m 
阶代数多项式,插值节点共n+1 个,且m=n+1 。
设被插函数f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 
+an+1xn+1,其中an+1≠0 。

(1)因为f(是n+1 阶多项式,
n 
(是
n 
阶多项式,(x)f(-L(x)
x) Lx) 所以Rn 
=x)
为n+1 阶多项式,且Rn 
(x)的n+1 阶项为an+1xn+1,即Rn 
(x)的n+1 阶项与f(x(n) )的
n+1 阶项相同。

(2)因为f(x)与Ln 
(x)在n+1 个插值节点处没有误差(几何含义是f(x)与Ln 
(x)
在n+1 个插值节点处相交), 所以当x=x0,或x=x1,或x=x2,…, 或
x 
=xn 
时, 
Rn 
(x)为0,故Rn 
(x)含有因子(x-x0),(x-x1),(x-x2),…,(x-xn 
)。
(3)由(1)、(2)得,Rn 
(x)=an+1(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn 
)。
(4)因为f(=xn 
+an+1xn+1, a1x,
x)a0+a1x+a2x2+…+an对其中的前
n 
项a0,
a2x2,…,xn 
求n+1 阶导数时恒为0;然而又有

an

n+1)n+1)(n)n+1)xn1)

an+1(xn+1)(=an+1(xn 
)(=an+1(n(-1)(n

n+1)-1)(xn…n+1)
!
也就是说,对第n+1 项an+1xn+1 求n+1 阶导数,恒为常数an+1(


=an+1(n(n-2)(n-2)==an+1(
f(n+1)!, 
n+1 )!。
由上可得,n+1)(恒为常数a故f(n+1)(n+1)!, 所以拉格

x) n+1(ξ)=an+1(

ξ) n+1(

朗日插值余项函数Rn 
(x)= f(
(n+1)((x)= a(
n+1)! (x)=an+1(x-x0)(x

n+1)!Wn 
n+1)! Wn 


2 
　计算方法(Python 
版)

x1)(x-x2)…(x-x
得
n 
,
)。
1在情况2时成立。

(5)由(3)、(4) 定理5.
情况3:除情况1和情况2之外的情况,即被插函数f(是
m 
阶代数多项式
(
或者f(x)是其他类型的函数。
x) m>n+1) 
设插值点位于x=_
x 
处。按_
x 
的位置,可分为以下两种情况来讨论。

(1)下面证明当插值点_重合时,1成立。
x 
与某一个插值节点xi 
定理5.

①显然,当插值点_
x 
与某一个插值节点xi 
重合时,没有误差,即f(_x)=Ln 
(_x), 
Rn 
(x)=f(_x)-Ln 
(_x)=0。②(_) 因为_x=xi,所以Wn 
(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xi)…(x-xn 
)=0,所以拉
n+1)(

格朗日插值余项函数Rn 
(x)= f(
(ξ)(x)=0。

n+1)!Wn 

③由①、②得,插值点_
x 
与某一个插值节点xi 
重合时,定理5.
(a)1阶辅助定理。
x 
与任何一个插值节点都不重合时,1成立
1
。
成立。
(2)下面证明当插值点_
2和辅助定理5.
定理5.
①首先推导出辅助定理5.3。
定理5.如果函数f(和函数g(在x=(1)和x=(1)处相交(即有2个共同

2 
x) x)0 x

(1) (1) (1) (1) ) (1) (1)(1(1) 
点,)、1 )),x)和g(x(x) )在[上连续,在(

f(0)=g(f(1)=g(f(0,x1] 0, 

(1) (1) (1) (1) (1)
1)内有(x) 连续的1(x) 阶导数,(x) (0) 那么在(x(x) 0,x1)内至少有1点(x) ξ(x0<ξ<x1),(x) 使得f'((x) =gξ)。

ξ)'
(
也就是说,若
f 
(x)、
g 
(x)有2个共同
点


(1) (1) ξ∈((1)
(x=0,1), 则至少有1点x=ξ(0, 

(1)
x1)),(x) 此处(x) f 
(x)、
g 
(x)的1阶导数相等,如(x) 4所示。图5.
证明构造辅助函数φ(x)=f(x)-g()。

(1) (1) (1) (1)
因为f(x0)=g(x0)、f(x1)=g(x1),(x) 

(1) (1)
所以φ(x0)=φ(x1 )=0。
(1) 

(1) 
由罗尔定理可知,至少有1点ξ(x0<ξ< 
1), 使得φξ)=0 。也就是说,在xξ 
处, f'((x) ='(
'(
x(x=图5.定理5.

ξ)(1) (1)))。42的几何含义

ξ)gξ∈(0,1
证毕
。


(b)2阶辅助定理。
(1) (1) (1) (1) (1)

如果f(和g(有3个共同点(x=xx2),x)和g(在[x2]上

x) x) 0,1,f(x) 0,

(1) (1) (2) (2)
连续,在(x0,2)内有连续的2阶导数,(x) 由(a)得,至少有两个点x=x0,x1((x) 其中

(2) (1) (1) (2) (1) (1)
x0∈(x0,x1),(x) 1∈(1,2)), 在这两点处,f()、g(x)的1阶导数相等。
在此基础之上,对(x) 1阶导(x) 数再(x) 求1阶导数得到2阶(x) 导数,重复上述推导过程。因为

(2) (2) (2) (2)
f'(x)、'(x)有两个共同点(x=x1), 所以至少有一个点x=ξ∈(0,1)), 

g0,ξ(xx
此处f(x)、g(x)的2阶导数相等。(x) (1) (1) (1)所以如果f(x)、g(x)有3个共同点(x=x0,x1,x2), 那么至少有一个点x= 



第5 章　插值法　1 13 
ξ(ξ∈(x0(1),x2(1))),此处f(x)、g(x)的2阶导数相等,如图5.5所示。
图5.5 2阶辅助定理
(c)3阶辅助定理。
如果f(x)和g(x)有4个共同点(x=x0(1),x1(1),x2(1),x3(1)),f(x)和g(x)在[x0(1), 
x3(1)]上连续,在(x0(1),x3(1))内有连续的3阶导数,由(a)、(b)得,至少有3点x =x0(2), 
x1(2),x2(2)(其中x0(2)∈(x0(1),x1(1)),x1(2)∈(x1(1),x2(1)),x2(2)∈(x2(1),x3(1))),在这3点处, 
f(x)、g(x)的1阶导数相等。
在此基础之上,对1阶导数再求1阶导数得到2阶导数,重复上述推导过程。因为
f'(x)、g'(x)有3个共同点(x=x0(2),x1(2),x2(2)),所以至少有两个点x=x0(3),x1(3)(其中
x0(3)∈(x0(2),x1(2)),x1(3)∈(x1(2),x2(2))),在这两点处,f(x)、g(x)的2阶导数相等。
同理,对2阶导数再求1阶导数得到3阶导数。因为f″(x)、g″(x)有两个共同点
(x=x0(3),x1(3)),所以至少有一个点x=ξ(ξ∈(x0(3),x1(3))),此处f(x)、g(x)的3阶导数
相等。由
上可得,如果f(x)、g(x)有4个共同点(x=x0(1),x1(1),x2(1),x3(1)),那么至少有一
个点x=ξ(ξ∈(x0(1),x3(1))),此处f(x)、g(x)的3阶导数相等。
(d)辅助定理5.3。
重复上述推导过程,可以得到以下结论。
定理5.3 如果f(x)和g(x)有m +1个共同点(x=x0(1),x1(1),x2(1),…,x(1) m ),f(x) 
和g(x)在[x0(1),x(1) m ]上连续,在(x0(1),x(1) m )内有连续的m 阶导数,那么至少有1点x= 
ξ(ξ∈(x0(1),x(1) m )),此处f(x)、g(x)的m 阶导数相等。
② 构造辅助函数g(x)。
构造g (x)的方法为:以f (x)为被插函数,取插值节点为(_x,f (_x)),(x0, 
f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn ,f(xn )),共n+2个插值节点,做n+1次拉
格朗日插值,这个插值函数记为g(x)。显然g(x)为n+1阶代数多项式。
因此,在x=x0,x=x1,x=x2,…,x=xn 处(共n+1处),Ln (x)、g(x)、f(x)的函
数值相等;在x=_x 处,g(x)和f(x)的函数值相等,这个值与Ln (x)的函数值可能不
同,如图5.6所示。
所以,在x=_x 处,Rn(x)=f(x)-Ln(x)=g(x)-Ln(x)。而且,在x=_x 处,以
f(x)为被插函数时Ln(x)的余项等于以g(x)为被插函数时Ln(x)的余项。

4 
　计算方法(Python 
版)


图5.拉格朗日插值余项

6 

③因为在x=x0,x=x1,x=x2,…,x=xn 
处(共n+1 处),Ln 
(x)、g(x)、f(x)的
函数值相等,所以Ln 
(x)也可以看作以g(x)为被插函数的
n 
次拉格朗日插值函数。
又因为g(x)为n+1 阶代数多项式,插值节点共n+1 个,由情况2得: 
在x=_
x 
处, 

Rn 
(x)=f(x)-Ln 
(x)=g(x)-Ln 
(x)
gξ)


= 
(
(n+1)(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn 
) 

x) 
n+1)! (
n+1)(恒为常数an+1)(

设g(第n+1 项为an+1,那么g(x) n+1)!, 所以g(ξ)

n+1xn+1(

为常数an+1)!, 故在x=_
x 
处,有
Rn 
(x)=f(x)-Ln 
(x) 

n+1(

n+1(

=
a(
n+1)! x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn 
)

n+1)! (

因为f(x)和g(x)有n+2 个共同点(x=_x,x2,…,), 那么由定理5.
可知,至少有1点x=
ξ 
在这n+2 个共同点上, 
x1,3

④ x0,xn 
ξ(或在这n+2 个共同点之间。④中的
ξ 
不一定是③中情况2的ξ), 此处f(x)、g(x)的n+1 阶导数相等。所以有
f(n+1)((n+1)(n+1)! 
由上可得,在x=_
x 
处, 
ξ)=gξ)=an+1(
Rn 
(x)=f(x)-Ln 
(x)
f(n+1)(

= 
(
ξ)x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn 
) 

所以,当插值点_
n+1)! (
定理5.

x 
与任何一个插值节点都不重合时,1成立
。
总之,定理5.情况2
、


1在情况1、情况3时都成立
。
证毕
。
说明
:


(1)
Wn 
(

x)在内插时较小,在外推时较大。因此,往往内插较可靠,外推较不可靠。

(2)若被插函数f(x)为平滑的曲线,插值区间足够小,且合理地选取插值节点,则1 
次代数插值的精度往往低于2次、3次代数插值。
(3)若被插函数f(x)是
m 
次代数多项式,对f(x)做
n 
次代数插值(插值节点共有