第3章模拟调制传输 思维导图 在模拟通信系统采用的各种模拟调制中，基带信号是幅度连续取值的模拟信号，已调信号是幅度、频率或相位随基带信号幅度变化的高频正弦载波信号。本章主要介绍模拟通信系统中几种基本的调制解调方法，并对各种模拟调制传输系统的性能进行分析比较。 3．1模拟幅度调制 模拟幅度调制广泛应用于早期的无线电广播系统中，工作于长波、中波和短波波段，频率范围为150kHz~30MHz。接收机采用超外差体制，结构简单，价格低廉，适合于固定和便携式接收。 3．1．1模拟幅度调制的基本原理 所谓幅度调制（简称调幅），就是用模拟基带信号去控制高频载波的幅度，使其幅度随基带信号而变化。 1． 模拟幅度调制的基本原理 模拟幅度调制只需一个模拟乘法器即可实现，其基本原理如图31所示。m(t)为待调制的基带信号，c(t)为高频正弦或余弦载波，模拟乘法器的输出即为调幅信号。 图31模拟调幅的基本原 理示意图 为了分析方便，一般载波取为余弦信号，其时间表达式为 c(t)=Acosωct(31) 其中，A为载波幅度; ωc为载波角频率; fc=ωc/(2π)为载波频率，简称为载频。 用模拟乘法器将高频载波c(t)与基带信号相乘后，得到的输出信号为 sm(t)=m(t)c(t)=Am(t)cosωct(32) 图32调幅信号的时间波形 一般基带信号的频率远低于载频，也就是说，m(t)变化的速率远低于载波频率。因此，输出已调信号sm(t)可以认为是一个频率等于载波频率的余弦信号，但是其幅度变为Am(t)，与基带信号m(t)成正比关系。调制器中各点信号sm(t)的波形如图32所示。 由图32可知，已调信号sm(t)的幅度变化规律与基带信号m(t)的波形完全一样。低频基带信号与高频载波相乘，带来的效果是使载波的幅度随着基带信号的幅度而变化，也就是用基带信号对载波的幅度进行控制，所以将这一相乘的过程称为幅度调制，而将输出已调信号简称为调幅信号。 2． 调幅过程的频谱分析 下面继续对上述各信号进行频谱分析，进一步分析调幅信号的特性。假设基带信号的频谱为M(jω)，载波的幅度A=1。根据傅里叶变换的频移性质可以求得已调信号sm(t)的频谱为 Sm(jω)=12［M(j(ω-ωc))+M(j(ω+ωc))］(33) 由此可见，调制的实质就是信号频谱的搬移。假设基带信号的频谱如图33(a)所示，则对应的调幅信号sm(t)的频谱如图33(b)所示。ωm为基带信号的最高角频率，fm=ωm/(2π)也就是基带信号的带宽。对于已调信号，由图33(b)可知，其带宽变为 Bw=(ωc+ωm)-(ωc-ωm)2π=2ωm2π=2fm(34) 式（34）说明调幅信号的带宽等于基带信号带宽的2倍。 图33调幅信号的频谱 在实际系统中，基带信号都为实信号，其频谱一定关于纵轴左右对称。通过调制将其频谱搬移到载频附近后，已调信号的频谱将在载频两侧呈对称分布。其中，频率高于载频的分量称为上边带，而频率低于载频的分量称为下边带。 显然，上下边带频谱的具体形状取决于基带信号的频谱形状。也就是说，两个边带都携带了基带信号的全部信息，边带中的各分量在基带信号的频谱中都有相应的分量与之相对应。在频谱搬移的过程中，没有新的频率分量产生。因此，上述幅度调制属于线性调制。在接收机中，只需要根据上边带或下边带，即可恢复或提取出原来的基带信号。 例31已知基带信号为 m(t)=8cos200πt+4cos1000πt 对其采用调幅传输，假设载波为余弦信号，频率为6kHz，幅度为1，初始相位为0。 (1) 求调幅信号的时间表达式sm(t)。 (2) 分别画出基带信号和调幅信号的频谱图。 解(1) 载波信号的时间表达式为 c(t)=cos(2π×6×103t)=cos(1．2π×104t) 将其与基带信号相乘，得到调幅信号的时间表达式为 sm(t)=m(t)c(t)=(8cos200πt+4cos1000πt)cos(1．2×104πt) (2) 基带信号由两个分量构成，经过调幅将其频谱搬移到载频附近，得到调幅信号，两个信号的频谱如图34所示。 图34例31频谱图 3．1．2DSBSC调制和AM调制 前面介绍了幅度调制的基本原理。实际通信系统中，模拟幅度调制又分为抑制载波的双边带(Double Side BandSuppressed Carrier，DSBSC)调制、常规调幅(Amplitude Modulation，AM)、单边带(Single Side Band，SSB)调制和残留边带(Vestigial Side Band，VSB)调制等几种方式。这些调幅方式分别具有不同的时域和频域特性，而应用于各种模拟通信系统中。 1． DSBSC调制 实际上3.1.1节介绍的幅度调制即为DSBSC调制，其基本方法是将基带信号直接与高频载波相乘，输出即为DSBSC信号，也可以简称为DSB信号。 实际系统中传输的基带信号都是双极性的，可以认为其中不含有直流分量，其频谱如图33(a)所示，在ω=0处幅度谱为0。这样的基带信号与载波相乘实现频谱的搬移后，已调信号的频谱在ω=ωc处等于0，也就是已调信号中没有角频率等于载波角频率ωc的分量，如图33(b)所示。 在已调信号中，频率等于载波频率的分量称为载波分量。因此，按照前述方法得到的已调信号中没有载波分量，而是在载频两侧分别存在上边带和下边带分量。所以，将这种幅度调制称为抑制载波的双边带调制，简称为DSBSC或DSB调制。 DSB信号的幅度包络也随基带信号而变化。但是，如果基带信号是双极性的，则在基带信号的时间波形上，当基带信号的极性发生改变时，载波的相位也要随之反相，从而使已调信号的幅度包络并不能完全反映基带信号的幅度变化，如图35所示。 图35DSBSC信号的时间波形 2． AM的基本原理 最早的广播通信中采用常规调幅（AM）进行语音和音乐信号的传输。相对于DSB调制，AM可以采用简单的包络检波实现非相干解调，从而简化接收机。 图36所示为常规调幅(AM)的原理。与DSBSC调制不同的是，先将基带信号m(t)叠加上一个幅度为A0的直流信号，再与高频载波相乘，输出信号可以表示为 sm(t)=f(t)c(t)=［m(t)+A0］cosωct(35) 图36AM的基本原理示意图 图37给出了基带信号m(t)以及对应的AM信号sm(t)的时间波形。可见，在AM信号中，载波的幅度包络与加法器输出信号A(t)的波形完全相同，只是在幅度上有平移，平移的幅度取决于调制时叠加直流信号的幅度大小A0。 图37AM信号的时间波形 假设基带信号的频谱为M(jω)，根据傅里叶变换的频移性质，对式(35)做傅里叶变换，得到AM信号的频谱为 Sm(jω)=12［M(j(ω-ωc))+M(j(ω+ωc))］+πA0［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］(36) 图38AM信号的频谱 式（36）中等号右边第1项取决于基带信号的频谱； 第2项为冲激函数，冲激的强度取决于叠加的直流信号的幅度。假设基带信号的频谱如图38(a)所示，则对应AM信号的频谱如图38(b)所示。 由此可以得到以下结论。 (1) AM信号的频谱中也含有上下两个边带，各边带分量与基带信号中的各分量相对应，只是高度缩小一半。 (2) AM信号的带宽也为基带信号带宽的2倍。 (3) AM信号中的频谱中，频率等于载频的位置存在冲激，表明AM信号中含有载波分量。 3． AM信号的调幅指数 这里考虑单频调制的情况。所谓单频调制，是指基带信号中只有一个频率分量，其时间表达式可以表示为 m(t)=Amcosωmt(37) 其中，Am为基带信号的幅度; ωm为基带信号的角频率。 根据上述AM的原理，可以得到对应AM信号的时间表达式为 sm(t)=［m(t)+A0］cosωct=(Amcosωmt+A0)cosωct =A0(1+βAMcosωmt)cosωct(38) 其中，βAM=Am/A0称为AM的调幅指数。 调幅指数βAM的物理含义是基带信号的幅度对载波幅度的控制程度，其取值可能小于1、等于1或大于1，相应的AM信号时间波形如图39所示。 图39调幅指数对AM信号波形的影响 由图39可知，只有当 βAM≤1时，已调信号的幅度包络(如图中虚线所示)才能反映基带信号的幅度变化规律，如图39(a)和图39(b)所示； 当 βAM>1时，已调信号的幅度包络不能反映基带信号的幅度变化规律，如图39(c)所示。一般将βAM<1、βAM=1和βAM>1的3种情况分别称为欠调幅、满调幅和过调幅。实际系统中为了对AM信号实现包络检波解调，要求必须工作在欠调幅或满调幅状态。 例32已知单频调制AM信号的时间表达式为 sm(t)=(2cos200πt+4)cos1000πt (1) 求调幅指数βAM。 (2) 分别画出基带信号和AM信号的频谱图。 解(1) 由AM信号的时间表达式得到Am=2，A0=4，则调幅指数为 βAM=Am/A0=0．5 (2) 基带信号m(t)=2cos200πt是单频正弦信号，其频谱如图310(a)所示。m(t)叠加上直流信号A0后得到 f(t)=A0+m(t)=4+2cos200πt 其频谱如图310(b)所示，将其搬移到载频位置得到AM信号，其频谱如图310(c)所示。 图310例32频谱图 以上介绍的是单频调制的情况。如果基带信号是由很多分量合成的复杂波形，调幅指数的定义可以修改为 β=|f(t)|max-|f(t)|min|f(t)|max+|f(t)|min(39) 其中，f(t)=m(t)+A0； |f(t)|max和|f(t)|min分别为信号f(t)幅度的最大值和最小值，或者已调信号中载波幅度的最大值和最小值。 4． AM信号的功率和调制效率 在AM信号中，上下边带取决于基带信号，是真正需要传递给用户的有用分量。此外，还有不含有基带信息的载波分量。因此，在已调信号发射的总功率中，希望边带分量的功率越大越好，而载波分量的功率越小越好。因此，需要进一步分析在发送的AM总功率中各分量所占的功率比重，称为调制效率。 调制效率的具体定义为 η=PfP0=PfPc+Pf(310) 其中，P0为调幅信号的总功率; Pf为调幅信号的边带功率; Pc为调幅信号中载波分量的功率。 显然，由于DSBSC信号中不含有载波分量，全部是上下边带分量，则P0=Pf，所以其调制效率为100%，这意味着发射的总功率全部用于传输边带分量和有用的基带信号。下面分析AM信号的调制效率。 以单频调制为例，AM信号的时间表达式为 sm(t)=(A0+Amcosωmt)cosωct 仿照例32，可以得到其频谱如图311(a)所示，其功率谱如图311(b)所示。 图311单频调制AM信号的频谱和功率谱 图311（续） 由功率谱求得AM信号的总功率为 P0=12π∫∞-∞P(ω)dω=12ππA202×2+πA2m8×4=A202+A2m4(311) 其中，右边两项分别与载波分量和基带信号有关，分别为载波功率和边带功率，即 Pc=A202，Pf=A2m4(312) 再将P0和Pf代入式(310)得到AM的调制效率为 η=A2m/4A20/2+A2m/4=A2m2A20+A2m=β2AM2+β2AM(313) 由此可见，AM调制的调制效率随调幅指数的增大而单调增大。但是，实际系统为了能采用包络检波解调出基带信号，要求都不能工作到过调幅状态。也就是说，调幅指数的最大值为1，此时对应的最高调制效率近似为33．3%。这说明在调幅信号的总功率中，只有33．3%的功率用于传送有用的边带功率，而66．7%的功率用于传送载波。 前面是根据信号的功率谱计算和分析各信号的平均功率和AM信号的调制效率，称为频域分析方法。此外，也可以根据信号的时间表达式，在时域进行计算。 例33已知基带信号为 m(t)=8cos200πt 对其采用AM传输，假设A0=10V，载波角频率为ωc。 (1) 求调幅信号的时间表达式sm(t)。 (2) 求调幅指数βAM。 (3) 求调幅信号中的载波功率、边带功率和AM信号的总功率。 (4) 求调制效率η。 解(1) 调幅信号的时间表达式为 sm(t)=［A0+m(t)］c(t)=(10+8cos200πt)cosωct (2) Am=8，A0=10，则调幅指数为 βAM=AmA0=810=0．8=80% (3) 画出AM信号的频谱和功率谱，如图312所示。其中，位于ωc处的冲激代表载波分量，其余冲激代表边带分量。则载波功率和边带功率分别为 Pc=12π×50π×2=50W Pf=12π×8π×4=16W AM信号的总功率为 P0=Pc+Pf=50+16=66W (4) 调制效率为 η=PfP0=1666≈24．2% 图312例33 AM信号频谱和功率谱 3．1．3SSB调制和VSB调制 单边带(SSB)调制技术于1915年提出，并在1933年以后为大多数远洋通信所采用。从1954年起，单边带电台在军用无线电通信系统中迅速发展，逐步取代了普通的调幅电台。在现代通信系统中，单边带调制广泛用于短波波段，也适用于中波、长波和超短波波段。在载波电话通信系统中，采用单边带调制实现多路话音信号的频分复用。 与AM调制和DSBSC调制相比，SSB调制传输具有节省频谱、节约功率、便于多路复用等优点。 1． SSB调制的基本原理 在DSBSC和AM信号中，都含有上下两个边带，这两个边带分别是由基带信号中的正负频率部分搬移到载频位置而得到的。对实际系统中的基带信号，其频谱中的正负频率部分完全对称。因此，在调制传输时，可以只传输其中的一个边带。这就是单边带调制。 利用滤波器将DSBSC信号中的一个边带滤除，而保留另一个边带，即可得到单边带信号。由此得到SSB调制的基本原理，如图313所示。 图313SSB调制的基本原理示意图 首先用模拟乘法器将基带信号m(t)与高频载波c(t)相乘，得到抑制载波的双边带信号f(t)，其中含有上边带和下边带。上边带分量的频率都高于载频，而下边带分量的频率都低于载频。 图313中的滤波器可以为低通滤波器或高通滤波器。如果采用低通滤波器，并且其截止频率等于载频，则将乘法器输出DSBSC信号中的上边带滤除，而保留下边带。此时得到的SSB信号中只含有下边带，称为下边带(Lower Side Band，LSB)调制。如果采用高通滤波器，并且其截止频率等于载频，则将乘法器输出DSBSC信号中的下边带滤除，而保留上边带，此时称为上边带(Upper Side Band，USB)调制。 图314给出了LSB信号及其对应的基带信号、DSBSC信号的频谱图，其中的虚线为低通滤波器的幅频特性。由频谱图可见，单边带信号的带宽等于基带信号的带宽。在基带信号带宽相同时，SSB信号的带宽是DSBSC和AM信号带宽的一半。因此，采用SSB调制传输可以节省一半的信道带宽，传输的有效性最好。 图314LSB信号的频谱 2． 相移法调制 除了上述滤波法以外，借助希尔伯特变换，还可以用相移法实现单边带调制。仍然假设基带信号为m(t)，则根据希尔伯特变换的概念，单边带信号可以表示为 s(t)=m(t)cosωct±m^(t)sinωct(314) 其中，m^(t)为基带信号的希尔伯特变换； ωc为载波频率。当右边取“+”时，s(t)为下边带信号; 取“-”时，s(t)为上边带信号。 根据式（314）得到相移法实现单边带调制的模型，如图315所示。其中，HH(jω)代表希尔伯特滤波器。 例34已知基带信号为m(t)=8cos200πt，载波角频率ωc=2000π rad/s。 (1) 分别写出对应的DSBSC、LSB、USB信号的时间表达式。 (2) 画出上述各已调信号的频谱。 解(1) 将基带信号和载波信号相乘，即得到DSBSC信号，因此有 图315相移法实现单边带调制的模型 sDSB(t)=m(t)c(t)=8cos200πtcos2000πt =4cos2200πt+4cos1800πt 基带信号m(t)的希尔伯特变换为 m^(t)=8sin200πt 则对应的下边带信号为 sLSB(t)=m(t)cosωct+m^(t)sinωct =8cos200πtcos2000πt+8sin200πtsin2000πt =8cos1800πt 上边带信号为 sUSB(t)=m(t)cosωct-m^(t)sinωct =8cos200πtcos2000πt-8sin200πtsin2000πt =8cos2200πt (2) 根据以上各式可直接画出各已调信号的频谱，如图316所示。 图316例34各已调信号的频谱 注意到在滤波法中，将DSBSC信号中的上边带滤除，即得到下边带信号。对于本例，将上边带滤除后得到下边带信号，其频谱中冲激的强度应为4π。而上述解答中的上下边带是根据相移法得到的，频谱中冲激的强度差一半，对应LSB和USB信号的时间表达式上也要差个系数。但这并不影响信号的性质，在分析中往往忽略不计。 3． 多级滤波法实现SSB调制 在滤波法实现单边带调制的过程中，如果基带信号中存在着大量的低频分量甚至直流分量，将使得在DSBSC信号中，上下边带在频率轴方向靠得很近，从而无法用实际的滤波器将其分开。 例如，模拟语音电话的频率范围为300~3400Hz，最低频率为300Hz。通过乘法器将其频谱搬移到载频位置后，上下边带之间的频率间隔只有600Hz。另外，实际的滤波器都存在着过渡带，要在比较高的载频附近将滤波器的过渡带做到不超过600Hz，从而将上下边带完全分开以得到SSB信号，这是很难实现的。 考虑到上述问题，在实际系统中，为了得到比较理想的单边带信号，一般采用多级滤波调制。每次调制实现频谱搬移，同时加大调制后各边带之间的距离，从而便于利用实际的滤波器进行滤波。 图317所示为一个二级滤波调制原理图。基带信号m(t)先通过模拟乘法器实现第1级DSBSC调制，经H1(jω)滤波后得到第1级单边带信号s1(t)。s1(t)再经随后的模拟乘法器和滤波器H2(jω)实现第2级调制和滤波，输出单边带信号s2(t)。 图317二级滤波调制原理图 在二级调制中，载波的角频率分别为ωc1和ωc2，则两级滤波器的截止频率应分别等于ωc1和ωc2，并且各级载波频率依次提高，即ωc1<ωc2。 设基带信号的频谱如图318(a)所示，其最低和最高频率分别为ωl和ωu。第1级DSBSC调制后得到f1(t)，其上下边带之间的频率间隔为W1=2ωl。假设H1(jω)为低通滤波器，则滤除f1(t)中的上边带后，得到LSB信号s1(t)，其频谱如图318(b)所示。 将s1(t)再经第2级DSBSC调制后得到f2(t)，其上下边带之间的频率间隔增大为W2=2ωc1+2ωl，并且频率间隔可以通过调节第1级载波频率ωc1而进行调节。f2(t)再通过第2级低通滤波器后得到s2(t)，其频谱如图318(c)所示。 假设对上述模拟语音信号采用多级滤波法调制传输，则ω1=2π×300=600π rad/s。两级载波频率分别取为10kHz和100kHz。则两级调制后，上下边带之间的频率间隔分别为 Bw1=2ωl=2×600π=1200π rad/s Bw2=2ωc1+2ωl=2×2π×104+1200π=41200π rad/s 两级滤波器的过渡带只要分别不超过1200π rad/s和41200π rad/s，即可将上下边带完全分开。 4． VSB调制 VSB调制又称为残留边带调制，是为了克服单边带调制中滤波器实现困难，同时又能节约频带宽度的矛盾而提出来的，是一种介于DSBSC和SSB调制之间的一种调制方式。 VSB调制的模型与图313完全相同，只是其中滤波器不是理想的高通或低通特性，而是有意识地在截止频率附近引入一定的过渡带，从而使另外一个边带的一部分也能通过滤波器。残留下边带时滤波器的频率特性如图319所示。 图318二级滤波法调制信号的频谱 图319残留下边带时滤波器的频率特性 3．2模拟角度调制 模拟角度调制分为频率调制和相位调制两种。与幅度调制相比，频率调制抗干扰能力强，可以实现高保真度广播，可播出多套节目，天线尺寸小。此外，调频波段较宽，容易实现多路频分复用和立体声广播。 3．2．1角度调制的基本概念 与幅度调制一样，这里也假设载波为高频余弦信号，其时间表达式为 s(t)=Acos［θ(t)］=Acos［ωct+φ(t)］(315) 其中，A为载波的幅度; ωc为未调载波角频率; φ(t)为载波的初始相角，又称为相位偏移，简称相偏，是载波总相位中相对于相位ωct的偏移。 角度调制就是用基带信号m(t)控制载波的相位偏移φ(t)，使其随基带信号的幅度而线性变化，而调制过程中载波的幅度保持不变。 正弦波的相位与频率之间互为微积分关系，将相偏求导可以得到ω(t)=dφ(t)/dt，称为角频率偏移，简称角频偏。f(t)=ω(t)/(2π)称为频偏。显然，在基带信号的控制作用下，载波的相位偏移发生变化，其相对于未调载波角频率ωc的角频偏或相对于未调载波频率fc=ωc/(2π)的频偏也将随之变化。 1． 相位调制和频率调制 相位调制简称调相(PM)，是用基带信号m(t)直接控制载波的相偏φ(t)，使其随基带信号的幅度而线性变化。因此，对于PM信号，有 φ(t)=KPm(t)(316) 其中，KP为相移常数，代表基带信号m(t)的幅度对载波相位的调制深度，单位为rad/V。 频率调制简称调频(FM)，是用基带信号m(t)控制载波的角频偏ω(t)或频偏f(t)，使其随基带信号的幅度而线性变化。因此，对于FM信号，有 ω(t)=KFm(t)(317) 或 f(t)=KFm(t)(318) 其中，KF为频偏常数，又称为调频灵敏度，代表基带信号m(t)的幅度对载波频率的调制深度。显然，式（317）和式（318）中KF的单位不同，分别为rad/(s·V)和Hz/V，数值上是2π倍的关系。 根据上述概念，将式(316)和式(317)分别代入式(315)，可以得到PM信号和FM信号的时间表达式分别为 sPM(t)=Acos［ωct+KPm(t)］(319) sFM(t)=Acos［ωct+KF∫m(τ)dτ］(320) 当基带信号为单频余弦信号时，图320给出了对应的PM信号和FM信号的时间波形。由此可知，对于单频调制PM和FM信号，除了有一个时间上的偏差外，两个信号的波形完全一样，调制结果都是使载波的频率随基带信号的幅度而变化，而载波的幅度始终保持恒定。这说明PM调制和FM调制没有本质的区别，两者可以相互转换。由于在模拟通信系统中大多采用调频传输，因此这里着重介绍频率调制。 图320单频调制基带信号及PM和FM信号的波形 2． 调频指数和最大频偏 假设基带信号为单频余弦信号，即 m(t)=Amcosωmt 将其代入式(320)得到对应的FM信号为 sFM(t)=Acosωct+KFAmωmsinωmt=Acosωct+βFMsinωmt(321) 其中，βFM称为调频指数，表示的是调频信号相对于未调载波相位ωct的最大相偏。 βFM=KFAmωm=Δωmaxωm(322) 其中，Δωmax称为FM信号的最大角频偏，单位为rad/s。 Δωmax=KFAm(323) 如果调频灵敏度KF的单位为Hz/V，则KFAm的单位为Hz，用Δfmax表示，表示FM信号的最大频偏。相应地，调频指数应修改为 βFM=KFAmfm=Δfmaxfm(324) 其中，fm=ωm/(2π)为基带信号的频率。 以上考虑的主要是单频调制的情况。对任意的基带信号m(t)，其调频指数和最大频偏可以分别表示为 βFM=KF∫m(τ)dτmax(325) Δωmax=KF|m(t)|max(326) 例35已知基带信号为m(t)=8cos100πtV，对其进行频率调制，载波幅度为5V，载波频率为1000π rad/s，频偏常数KF=500Hz/V。 (1) 求最大频偏Δfmax和调频指数βFM。 (2) 写出FM信号的时间表达式。 解(1) 由已知的基带信号表达式求得Am=8V，ωm=100π rad/s，则 Δfmax=KFAm=500×8=4000Hz βFM=Δfmaxfm=4000100π/(2π)=80 (2) 由式(321)得到 sFM(t)=5cos(1000πt+80sin100πt) 例36已知某单频调制调频波为 sFM(t)=5cos(2×108πt+4sin106πt) (1) 求角频偏ω(t)和频偏f(t)。 (2) 求调频指数βFM、最大角频偏Δωmax和最大频偏Δfmax。 (3) 若频偏常数KF=107π rad/(s·V)，求基带信号的幅度Am。 解(1) 由已知的调频波表达式可知调频波的相偏为 φ(t)=4sin106πt rad/s 则角频偏和频偏分别为 ω(t)=dφ(t)dt=4×106πcos106πt f(t)=12πω(t)=2×106cos106πt (2) βFM=4，Δωmax=4×106π rad/s，Δfmax=Δωmax/(2π)=2MHz。 (3) 基带信号的幅度为 Am=ΔωmaxKF=4×106π107π=0．4V 3．2．2窄带调频和宽带调频 实际系统中，根据调频指数和调频信号的带宽，可以将调频分为宽带调频和窄带调频。当调频指数βFM1，频率调制所引起的最大相偏远小于π/6 rad或近似为0．5rad时，这样的频率调制称为窄带调频(Narrow Band Frequency Modulation,NBFM)。否则，当调频指数βFM1，频率调制所引起的最大相偏远大于π/6 rad或0．5 rad时，这样的频率调制称为宽带调频(Wide Band Frequency Modulation,WBFM)。 对于窄带调频，有 KF∫m(τ)dτmaxπ6 则 cosKF∫m(τ)dτ≈1 sinKF∫m(τ)dτ≈KF∫m(τ)dτ 因此，利用三角公式将式(320)所示的FM信号展开，并做上述近似后，得到NBFM信号的时间表达式为 sFM(t)≈Acosωct-AKF∫m(τ)dτ·sinωct(327) 对于宽带调频，调频指数βFM1，频率调制所引起的最大相移远大于π/6rad或0．5rad，因此不能采用上述方法进行近似分析。 以最简单的单频调制为例，经数学分析可知，对应的WBFM信号可以表示为 sFM(t)=A∑∞n=-∞Jn(βFM)cos(ωc+nωm)t(328) 其中，A为未调载波幅度; ωc为载波角频率; ωm为基带信号的角频率; Jn(βFM)为第1类n阶贝塞尔函数。 式(328)表明，宽带调频信号可以分解为无穷多个余弦信号的叠加，其中第n个余弦信号的角频率为ωc+nωm，幅度为AJn(βFM)。Jn(βFM)有两个自变量： n和βFM，函数值一般可以通过查表方法获得，附录D列出了部分第1类n阶贝塞尔函数。 1． 调频信号的频谱 根据式(328)，不难得到WBFM信号的频谱为 SFM(jf)=A2∑∞n=-∞Jn(βFM)［δ(f-fc-nfm)+δ(f+fc+nfm)］(329) 其中，fc=ωc/(2π)为载波频率; fm=ωm/(2π)为基带信号频率。 式（329）说明，WBFM信号的频谱由无穷多个冲激函数构成，分别对应以下频率分量。 (1) 当n=0时，在f=±fc处存在冲激，代表FM信号中频率等于载波频率的分量，称为载波分量。 (2) 当n=±1时，在f=±(fc+fm)和f=±(fc-fm)处对称地存在4个冲激，对应两个一次边频分量，频率等于fc±fm。 (3) 当|n|>1时，在载频两侧对称地存在无穷多个冲激，每两个关于纵轴对称的冲激代表一个高次边频分量，频率等于fc±nfm。 (4) 对给定的调频指数βFM，由于Jn(βFM)随自变量n单调或振荡衰减，当n增大到一定值时，J0(βFM)近似为0，因此WBFM中频率远离载频的分量幅度越来越小。 例37已知基带信号m(t)=2cos200πt，对其进行调频传输，载波频率fc=1kHz，幅度A=10V，频偏常数KF=80Hz/V。 (1) 分析并画出FM信号的频谱图。 (2) 说明该调频信号中含有哪些分量。 解(1) 由已知数据求得 βFM=KFAmfm=80×2200π/(2π)=1．6 查表得到 J0(1．6)=0．455，J1(1．6)=0．570，J2(1．6)=0．257 J3(1．6)=0．073，J4(1．6)=0．015，J5(1．6)=0．002 并且当n>5时，Jn(1．6)≈0。再结合贝塞尔函数的性质得到 J-1(1．6)=-J1(1．6)=-0．570，J-2(1．6)=J2(1．6)=0．257 J-3(1．6)=-J3(1．6)=-0．073，J-4(1．6)=J4(1．6)=0．015 J-5(1．6)=-J5(1．6)=-0．002 当n<-5时，Jn(1．6)≈0。 由此得到FM信号的频谱图，如图321所示。 图321例37频谱图 (2) 由本例可以清楚地看到，WBFM信号的频谱中含有载频分量和各次边频分量，其中一次边频分量可以认为是由基带信号的频谱搬移到载频位置而得到的。但除此之外，WBFM信号中还有其他边频分量。因此，宽带调频是频谱的非线性搬移，属于非线性调制。 将上述各贝塞尔函数值代入式(328)，其中n=0对应FM信号中的载频分量，其时间表达式为 s0(t)=10×0．455cos(2π×1000t)=4．55cos2000πt n=±1的两项对应两个一次边频分量，其时间表达式分别为 s1(t)=10×0．570cos［2π×(1000+100)t］=5．7cos2200πt s-1(t)=10×(-0．570)cos［2π×(1000-100)t］=-5．7cos1800πt n=±2的两项对应两个二次边频分量，其时间表达式分别为 s2(t)=10×0．257cos［2π×(1000+2×100)t］=2．57cos2400πt s-2(t)=10×0．257cos［2π×(1000-2×100)t］=2．57cos1600πt 当|n|>2时，对应的其他高次边频分量幅度都很小，因此可以忽略。 2． 调频信号的带宽 通过上述时域和频域分析可知，宽带调频信号中存在着载频分量和各次边频分量。因此，理论上说，调频信号的带宽应为无穷大。但是根据贝塞尔函数的特点，其函数值都随自变量n单调或振荡衰减，意味着WBFM信号中频率远离载频的分量幅度越来越小。当n增大到一定值时，J0(βFM)近似为0，对应的分量幅度和功率都足够小，可以忽略。 当|n|>1+βFM时，对应分量的幅度不超过未调载波幅度的10%，忽略这些分量，得到WBFM信号的带宽近似为 Bf≈2(1+βFM)fm(330) 式（330）称为卡森公式。由该式可知，当βFM1时，Bf≈2fm，带宽近似等于基带信号频率的2倍，这就是窄带调频的情况； 当βFM1时，Bf≈2βFM fm=2Δfmax，其中Δfmax为调频信号的最大频偏。 对于实际系统中的调频信号，一般其调频指数远大于1，因此由卡森公式可知，其带宽远大于2fm。而调幅信号的带宽等于2fm(AM、DSBSC信号)、fm(SSB信号)或为fm~2fm(VSB)。因此，调频信号的带宽远大于调幅信号的带宽，或者说调频系统的有效性不如调幅系统。 例如，在例37中，βFM=1．6，则nmax=2．6≈3，说明该调频信号中主要含有载频分量和1~3次边频分量，带宽近似为 Bf≈2(1+βFM)fm=2×(1+1．6)×100=520Hz 如果对该例中的基带信号进行DSBSC调制传输，则带宽为2×100=200Hz，远小于调频信号的带宽。 将上述结论推广到任意基带信号的情况，此时FM信号的带宽计算式为 Bf≈2(1+DFM)fm(331) 其中，DFM称为频偏比，其定义为 DFM=Δωmaxωmax=Δfmaxfmax(332) 其中，fmax和ωmax分别为基带信号的最高频率和最高角频率； Δfmax和Δωmax分别为调频信号的最大频偏和最大角频率偏移，并且有 Δωmax=KF|f(t)|max Δfmax=12πΔωmax 3． 调频信号的功率 与AM调制一样，FM信号中既有载波分量，也有边带分量。因此，在发送FM信号的功率中，一部分功率用于传送与基带信号无关的载波分量，另一部分用于传送与基带信号有关的边带分量。 同样考虑最简单的单频调制的情况。根据式(328)，WBFM信号可以视为无穷多个余弦信号的叠加，因此其总功率等于各项余弦信号功率之和。而第n项余弦信号的幅度为|A0Jn(βFM)|，其平均功率为 Pn=12［AJn(βFM)］2=12A2J2n(βFM)(333) 由式（333）可以求得FM信号中各分量的功率。当n=0时，对应载波分量的功率为 P0=12A2J20(βFM)(334) 当n=±1时，对应两个一次边频分量。考虑到J-1(βFM)=-J1(βFM)，则一次边频分量的功率为 P1=12A2J2-1(βFM)+12A2J21(βFM)=A2J21(βFM) 依此类推，第n次边频分量的功率为 Pn=A2J2n(βFM)(335) 所有余弦分量的功率之和即为FM信号的总功率PFM，由此求得 PFM=∑∞n=-∞Pn=12A2∑∞n=-∞J2n(βFM)=12A2(336) 由此可见，FM信号的总功率只决定于未调载波的幅度，与调频指数无关。但是，调频指数的大小影响到各阶贝塞尔函数值，从而将使FM信号中载波分量和各次边频分量的功率发生变化。因此，调频的实质是用基带信号控制和改变已调信号中各分量的功率分配关系。 例38已知基带信号m(t)=3cos200πt，对其进行调频传输，载波幅度A=10V，频偏常数KF=100Hz/V。 (1) 求调频信号的总功率。 (2) 求已调信号中载波分量的功率和带宽范围内边频分量的功率。 (3) 若将基带信号的幅度放大为5V，重做问题(2)。 解(1) 总功率为 PFM=12A2=12×102=50W (2) 由已知数据求得 βFM=KFAmfm=100×3200π/(2π)=3 则最高边频次数nmax=1+βFM=4，由卡森公式求得调频信号的带宽为 Bf≈2(1+βFM)fm=2×(1+3)×100=800Hz 在带宽范围内，只有载波分量和n=1~4的各次边频分量。查表得到 J0(3)=-0．260，J1(3)=0．339，J2(3)=0．486，J3(3)=0．309，J4(3)=0．132 则载波分量的功率为 P0=12A2J20(βFM)=12×102×(-0．260)2=3．38W 边频分量的功率为 Pf=P1+P2+P3+P4 =A20J21(βFM)+A20J22(βFM)+A20J23(βFM)+A20J24(βFM) =102×(0．3392+0．4862+0．3092+0．1322) ≈46．4W (3) 当Am=5V时，调频指数变为 βFM=KFAmfm=100×5200π/(2π)=5 则最高边频次数nmax=1+βFM=6，由卡森公式求得调频信号的带宽为 Bf≈2(1+βFM)fm=2×(1+5)×100=1200Hz 在带宽范围内，只有载波分量和n=1~6的各次边频分量。查表得到 J0(5)=-0．178，J1(5)=-0．328，J2(5)=0．047，J3(5)=0．365 J4(5)=0．391，J5(5)=0．261，J6(5)=0．131 则载波分量和边频分量的功率分别为 P0=12×102×(-0．178)2≈1．58W Pf=P1+P2+P3+P4+P5+P6 =A20J21(βFM)+A20J22(βFM)+A20J23(βFM)+A20J24(βFM) =102×［(-0．328)2+0．0472+0．3652+0．3912+0．2612+0．1312］ ≈48．12W 3．2．3调频信号的产生方法 根据上述基本原理，产生调频信号的方法一般有两种，即直接调频法和间接调频法。 1． 直接法调频 所谓直接法，就是用压控振荡器(Voltage Controlled Oscillator，VCO)直接实现频率调制。VCO是一种电压／频率转换器件，在一定范围内，振荡器输出信号的频率与输入电压的大小成正比。因此，将基带信号作为VCO的控制电压，则其输出信号的频率也就随基带信号的幅度而线性变化。 利用VCO实现直接调频，线路简单，并且输出调频信号的频偏大。但是VCO输出调频信号的载频容易发生漂移。因此，实际系统中需要附加稳频电路，或者利用锁相环构成特殊的调频线路。下面着重介绍间接法调频的基本原理。 2． 间接法调频 所谓间接法调频，指的是利用调相器实现频率调制。具体原理是先利用调相器实现窄带调频，然后通过倍频和混频等方法变换得到宽带调频信号，因此这种方法又称为倍频法调频。图322所示为间接法调频的原理框图，其中主要包括窄带调频和倍频两个环节。 图322间接法调频的原理框图 1) 窄带调频 在间接法调频中，基带信号m(t)首先通过积分器积分得到m-1(t)。m-1(t)与晶体振荡器输出的高频载波c(t)一起送入调相器。由于调相器的输入为基带信号的积分，因此对于原始基带信号m(t)，调相器输出的是调频信号。 在实际系统中，为了减小调相失真，各种调相器对输出信号相位的变化范围都有一个限制，从而使这种方法输出的调频信号的最大频偏和调频指数都相应有所限制。也就是说，调相器的输出是窄带调频信号。 前面已经知道，在满足最大相移不超过π/6时，NBFM信号可以用式(327)近似表示。可以得到利用调相器产生NBFM信号的一种具体实现方法，其原理如图323所示。 图323窄带调频的原理示意图 2) 倍频 NBFM信号的调频指数减小，抗噪声能力差，因此实际的调频系统中都采用宽带调频。为了获得WBFM信号输出，就必须增大调频信号的最大频偏和调频指数。因此，在图323中，调相器输出的NBFM信号再通过倍频器以提高调频指数，从而获得WBFM信号输出。 图322中的n倍频器一般用非线性器件实现，如用平方律器件实现2倍频。理想平方律器件的输入输出特性可以表示为y(t)=Kf2(t)。 当输入为调频信号时，有 f(t)=Acos［ωct+φ(t)］ 则平方律器件的输出信号为 y(t)=KAcos2［ωct+φ(t)］=KA2+KA2cos［2ωct+2φ(t)］ 等式右边第1项为直流分量，将其滤除后得到 KA2cos［2ωct+2φ(t)］ 由此可见，平方律器件的输出仍然可以认为是一个调频信号，但其载波频率增大为2ωc，相偏及其导数频偏也同时增大为原来的2倍。 例如，单频调制FM信号的时间表达式如式(321)所示，经过平方律器件2倍频后得到输出 y(t)=s2FM(t)=A2cos2(ωct+βFMsinωmt) =A22+A22cos(2ωct+2βFMsinωmt) 滤除其中第1项直流分量后得到 A22cos(2ωct+2βFMsinωmt)=A1cos(ωc1t+βFM1sinωmt) 该表达式与单频调制FM信号具有相同的形式，可以认为表示的是一个新的调频信号，其中，ωc1=2ωc和βFM1=2βFM分别为新调频信号的载波频率和调频指数，而基带信号的频率仍然保持为ωm。 由此可见，通过2倍频后，得到的仍然是调频信号，只是载波频率和调频指数都增大为原调频信号的2倍。由于基带信号的频率保持不变，因此最大频偏也增大为2倍。 根据上述原理，用n倍频器可以将调频信号的最大频偏、调频指数增大为原来的n倍。但是，载波频率也同时增大为原来的n倍。为了使输出调频信号的调频指数和载波分量可以分别单独调节，实际的间接法调频中还需要增加混频器，用于调节输出调频信号的载波频率。 3． 阿姆斯特朗法 混频器用于实现两个信号的频率加减运算，相当于实现信号频谱的搬移，但不改变信号的频谱结构。在前述间接法调频的基础上，将混频器和倍频器配合使用，以得到频偏和载波频率都可独立调节的宽带调频信号，这种产生调频信号的方法称为阿姆斯特朗法。 图324所示为阿姆斯特朗法调频的原理，其中NBFM是利用调相器实现窄带调频。NBFM的输出sNBFM(t)首先通过n1倍频器实现n1倍频。由乘法器和带通滤波器BPF实现混频。设s1(t)和c1(t)的瞬时频率分别为f1和f2，且f1>f2，则s2(t)的瞬时频率为f1+f2(和频)或f1-f2(差频)，具体为和频还是差频由BPF的参数决定。s2(t)再经过n2倍频器，其输出即为所需的宽带调频信号。 图324阿姆斯特朗法调频的原理示意图 设NBFM调制器输出窄带调频信号的载波频率、最大频偏和调频指数分别为f0、Δf0和β0，则通过n1倍频后得到s1(t)仍然为调频信号，且载波频率、最大频偏和调频指数分别变为n1f0、n1Δf0和n1β0。混频器输出信号s2(t)的载波频率、最大频偏和调频指数分别变为n1f0±f2、n1Δf0和n1β0，则n2倍频器输出宽带调频信号的载波频率fc、最大频偏Δf和调频指数β分别为 fc=n2(n1f0±f2)，Δf=n1n2Δf0，β=n1n2β0(337) 例39已知基带信号为频率fm=5kHz、幅度Am=2V的单频余弦信号，窄带调频信号的载频为f0=10kHz，频偏常数为KF=50Hz/V。采用阿姆斯特朗法实现宽带调频，已知n1=100，混频器的参考频率f2=1MHz，混频后取和频。 (1) 求窄带调频信号的调频指数β0。 (2) 求n1倍频输出宽带调频信号的调频指数β1和载波频率f1。 (3) 为使输出宽带调频信号的调频指数β=100，求n2。 (4) 求输出宽带调频信号的载波频率fc。 解(1) 根据已知参数得到 β0=KFAmfm=50×25000=0．02 (2) 通过n1倍频后调频指数和载波频率同时增大为原来的n1倍，则 β1=n1β0=100×0．02=2 f1=n1f0=100×10×103=1MHz (3) 由β=n2β1=100求得 n2=ββ1=1002=50 (4) fc=n2(f1+f2)=50×(1+1)=100MHz 3．3模拟调制系统的解调 已调信号通过信道传送到接收端后，在接收机中再用解调器从中提取出原始基带信号，这就是解调过程。对于不同的已调信号，由于其时域和频域具有不同的特点，因此要能正确恢复原始基带信号，所采用的解调方法不同。归纳起来，典型的解调方式可以分为相干解调和非相干解调两种。 3．3．1相干解调 DSB、SSB和VSB调制都属于线性调制，可以采用相干解调。如果AM的调幅指数大于1，即工作在过调幅状态，也必须采用相干解调才能恢复基带信号。 1． 相干解调的基本原理 图325相干解调的基本原理示意图 相干解调又称为同步检波，其基本原理如图325所示。图325中，sm(t)为接收机中接收到的已调信号，c(t)为解调载波。已调信号与解调载波相乘后得到f(t)，再通过低通滤波器(LPF)，输出即为解调得到的基带信号mo(t)。 在相干解调中，为了正确还原原始基带信号，要求解调载波必须与发送端的调制载波完全同频同相，称为相干载波。前面介绍调制过程都是假设调制载波是频率为ωc、初始相位为0的高频余弦信号，因此这里解调载波也必须为频率为ωc、初始相位为0的高频余弦信号。 1) DSB信号的相干解调 先从时域考虑。设基带信号为m(t)，则DSB信号的时间表达式为 sDSB(t)=m(t)cosωct 将其与相干解调载波相乘后，得到输出 f(t)=sDSB(t)c(t)=m(t)cos2ωct =12m(t)+12m(t)cos2ωct 一般基带信号的带宽远小于载波频率ωc，因此等式右边第2项为高频分量，通过低通滤波器将其滤除后，得到输出 mo(t)=12m(t)(338) 由此可见，解调器输出信号mo(t)除了幅度为原来的一半以外，波形与发送端的基带信号m(t)呈线性关系。这就说明输出信号完全决定于基带信号，从而正确实现了解调。 2) SSB信号的相干解调 单边带信号的时域表达式如式(314)所示，将其送入图324所示的相干解调器，得到乘法器的输出为 f(t)=sSSB(t)c(t) =［m(t)cosωct±m^(t)sinωct］cosωct =12m(t)(1+cos2ωct)±12m^(t)sin2ωct =12m(t)+12m(t)cos2ωct±12m^(t)sin2ωct 等式右边的后两项为高频分量，将其用低通滤波器滤除后，得到输出为 mo(t)=12m(t) 2． 相干解调过程的频域分析 前面以DSB和SSB为例，从时域分析了相干解调过程。这里以DSB为例，介绍相干解调过程的频域分析方法。 假设基带信号的频谱M(jω)如图326(a)所示，则对应的DSB已调信号的频谱SDSB(jω)如图326(b)所示。 相干解调时，首先将DSB信号与相干载波相乘，因此在频域中也是频谱的搬移，乘法器输出信号f(t)的频谱如图326(c)所示。 图326(c)中同时给出了低通滤波器的频率特性H(jω)。显然，只要低通滤波器的截止频率ω0满足ωm<ω0<2ωc-ωm，则滤波器将使F(jω)中位于2ωc附近的高频分量全部滤除，只有位于零频附近的低频分量能够通过滤波器，得到输出信号的频谱Mo(jω)。Mo(jω)除了幅度相差一半以外，频谱结构与M(jω)完全相同。 图326DSB相干解调各点信号的频谱 对于AM信号，也可以采用相干解调。但是由于AM信号中含有载波分量，使解调器中利用乘法器将其实现频谱搬移后，在乘法器输出信号中除了有与基带信号相关的低频分量外，还含有直流分量。因此，乘法器的输出应该用带通滤波器，以便同时将直流分量滤除。 3．3．2非相干解调 对于AM信号，当工作在欠调幅和满调幅状态时，其幅度包络与基带信号的幅度变化规律完全相同。因此，只要通过简单的包络检波提取出幅度包络，即可实现解调。对于WBFM信号，载波频率的变化与基带信号的幅度变化规律完全相同。因此，只要将载波频率的变化转化为幅度包络的变化，也可以采用包络检波实现解调。由于这种解调方式不需要相干载波，因此称为非相干解调。 1． AM信号的非相干解调 为了提取出AM信号的幅度包络，可以采用包络检波器、平方律检波器等。其中，包络检波器线路简单，实现容易，广泛应用于早期的中波超外差式无线电接收机中。 采用包络检波器实现AM信号非相干解调的原理如图327(a)所示。首先用包络检波器提取出AM信号的幅度包络，再用低通滤波器(LPF)对波形做进一步平滑处理，即可得到基带信号。 图327(b)所示为包络检波器电路。D为二极管，用于实现半波整流。当二极管断开时，电容C通过电阻R放电。当二极管导通时，输入AM信号对电容C充电，充电速度决定于AM信号的幅度包络的大小。通过不断充放电，在电容C和电阻R两端得到接近锯齿形状的输出波形。该输出波形再通过低通滤波器，将其中的高频杂波滤除，得到平滑的输出信号，即为AM信号的幅度包络。电路中如果再增加隔直电容，将幅度包络中的直流分量滤除，即可恢复得到原始基带信号。 图327AM信号的非相干解调 对于DSB和SSB信号，由于其幅度包络不能反映基带信号的幅度变化规律，因此不能直接采用这种包络检波。但是，如果在其中插入一个很大的载波，接收机接收到这种信号后，也可以采用包络检波非相干解调。这种另外插入的大载波称为导频信号。 2． 调频信号的非相干解调 宽带调频信号一般也只能采用非相干解调。实现调频信号非相干解调的部件通常称为鉴频器，通常由微分器和包络检波器构成，如图328所示。接收机接收到的调频信号sFM(t)首先通过限幅器将其转换为幅度恒定的调频信号，然后再送入鉴频器。 图328调频信号的非相干解调器 假设基带信号的波形如图329(a)所示，对应的调频信号为 sFM(t)=A0cosωct+KF∫m(τ)dτ 其波形如图329(b)所示。通过微分器求导后得到输出为 f(t)=ddtsFM(t)=-A0［ωc+KFm(t)］sin［ωct+KF∫m(τ)dτ］ 其幅度包络和瞬时角频率分别为 y(t)=A0［ωc+KFm(t)］ ω(t)=ωc+KFm(t) 由此可见，微分器输出的信号f(t)的幅度包络和瞬时角频率都随基带信号m(t)线性变化。因此，f(t)为调幅调频信号，其中既有调幅，又有调频，其波形如图329(c)所示。 当满足ωc KFm(t)时，可以将f(t)视为包络为y(t)的AM信号。因此，通过包络检波器提取出其包络，并滤除其中的直流成分A0ωc后，即得到解调输出 mo(t)=KdKFm(t)(339) 其中，Kd为鉴频器的鉴频灵敏度。 图329FM信号的非相干解调 3．4模拟调制系统的抗噪声性能 前面介绍了模拟调制系统中典型的调制和解调，分析过程中都假设系统中没有噪声。实际的通信系统在传输信号时，不可避免地会受到噪声的影响。这里只考虑信道引入的噪声对接收端的影响，介绍前述各种模拟调制传输系统抗噪声性能的分析方法和重要结论。 3．4．1抗噪声性能分析模型 为了分析传输系统的抗噪声性能，引入如图330所示的分析模型。加法器用于代表传输信道，带通滤波器BPF和解调器合起来代表接收机。 图330抗噪声性能分析模型 这里假设信道的频率特性是理想的，即发送端送来的已调信号在通过信道传输的过程中没有失真，只是幅度上可能会有衰减，时间上可能会有延迟。此外，信道会引入加性高斯白噪声n(t)，与有用信号s(t)叠加在一起后送入接收机。 接收机中的带通滤波器用于选择需要接收的信号，同时会对信道引入的噪声有一定的过滤作用。经过滤波后的信号和噪声一起送入解调器，作为解调器的输入信号si(t)和输入噪声ni(t)。显然，解调器对输入的有用信号和噪声进行同样的变换处理，得到解调输出中也同时含有有用信号so(t)和噪声no(t)。 根据上述分析模型和接收解调过程，可以定义抗噪声性能分析过程中常用的3个参数，即输入信噪比、输出信噪比和信噪比增益。 1. 输入信噪比 在分析模型中，带通滤波器（BPF）应该让有用信号无失真地通过，因此可以认为解调器输入有用信号si(t)等于接收机接收到的有用信号s(t)。 另外，BPF也可以起到滤除部分噪声的作用。由于实际系统中调制和解调载波的频率一般都远大于基带信号和已调信号的带宽，因此，BPF的带宽远小于其中心频率，则高斯白噪声n(t)通过BPF后变为窄带高斯白噪声ni(t)。 输入信噪比SNRi定义为解调器输入端有用信号si(t)和噪声ni(t)的平均功率之比。假设有用信号和噪声的平均功率分别用Si和Ni表示，则SNRi=Si/Ni。 输入信噪比反映了通信系统发送端到接收端之间传输的条件和环境，或者说接收机接收条件的恶劣程度。例如，发送端发送的有用信号功率越大，信道传输过程中对有用信号的衰减越小，信道引入噪声的强度越小，则解调器输入端有用信号的平均功率Si越大，噪声的平均功率Ni越小，SNRi也就越大。 2. 输出信噪比 BPF输出的已调信号si(t)和窄带高斯白噪声ni(t)一起送入解调器，经过解调后，在输出端也将同时含有有用信号和噪声。显然，用户希望解调输出信号中有用信号的功率越大越好，而噪声的功率越小越好。 输出信噪比SNRo定义为解调器输出端有用信号so(t)的平均功率So和噪声no(t)的平均功率No之比，即SNRo=So/No。输出信噪比不仅取决于调制解调方式，还与接收机输入端引入的信号和噪声的强弱有关。 3. 信噪比增益 对于不同的解调器，在相同的输入信噪比下，输出信噪比也不一样。为了比较各种调制方式解调器的抗噪声性能，引入信噪比增益，又称为调制制度增益，其定义为解调器输出信噪比与输入信噪比的比值，即 G=SNRoSNRi=So/NoSi/Ni(340) 信噪比增益G的物理含义是解调器对信噪比的改善程度。如果G>1，则意味着信号和噪声通过解调器时，有用信号相对于噪声的功率得到放大和提高； 反之，如果G<1，则表示通过解调后，有用信号相对于噪声的功率减小了，这当然是不希望的。 在以上各定义中，输入信噪比和输出信噪比都是信号和噪声功率实际数值之间的关系。实际应用中，功率很多时候用分贝值表示，则相应的输入/输出信噪比和信噪比增益也都可以用分贝值表示。显然，此时有 SNRi,dB=10lgSiNi=10lgSi-10lgNi SNRo,dB=10lgSoNo=10lgSo-10lgNo GdB=10lgSNRoSNRi=SNRo,dB-SNRi,dB 3．4．2输入信噪比的计算 输入信噪比指的是解调器输入端有用信号和噪声功率之比。这里首先分析各种调制解调方式下解调器输入端的噪声和有用信号及其功率，并进一步求出相应的输入信噪比。 1． 输入噪声的平均功率 假设信道引入加性高斯白噪声n(t)的单边功率谱密度为n0，相应的双边功率谱密度为n0/2，其功率谱如图331(a)所示。高斯白噪声通过带通滤波器BPF后变为窄带高斯白噪声ni(t)，其功率谱如图331(b)所示。由此求得解调器输入端噪声的平均功率为 Ni=12π∫∞-∞Pni(ω)dω=12πn0W=n0B(341) 其中，B为带通滤波器的带宽，W=2πB。 图331高斯白噪声及窄带高斯白噪声的功率谱 BPF的带宽必须保证有用信号能全部通过，因此B的具体取值取决于接收已调信号的类型。假设基带信号的最高频率都为fm，则对于AM和DSB信号，B=2fm; 对于SSB信号，B=fm; 对于FM信号，B=2(1+βFM)fm。由此得到对各种已调信号进行解调器，解调器输入端噪声的平均功率分别为 NiAM=NiDSB=NiNBFM=2n0fm(342) NiSSB=n0fm(343) NiFM=n02(1+βFM)fm=2n0(1+βFM)fm(344) 2． 输入信号的平均功率 设基带信号为m(t)，根据前面得到的各种已调信号时间表达式和频谱，可以分别在时域或频域求出解调器输入端有用信号的平均功率。前面介绍了单频调制AM信号平均功率的频域求解方法，这里介绍任意基带信号作用下AM信号平均功率的时域求解方法。 AM信号的时间表达式为 sAM(t)=［m(t)+A0］cosωct 其平均功率为 SiAM=s2AM(t)=［m(t)+A0］2cos2ωct =12［m(t)+A0］2(1+cos2ωct) =12A20+12m2(t)(345) 其中，m2(t)为基带信号m(t)的平均功率。 同理，可以求得DSB和SSB信号的平均功率分别为 SiDSB=s2DSB(t)=［m(t)cosωct］2=12m2(t)(346) SiSSB=s2SSB(t)=［m(t)cosωct±m^(t)sinωct］2=m2(t)(347) 如果假设基带信号的平均功率相同，注意到根据式（346）和式（347）得到的DSB信号的平均功率是SSB信号的一半。 对于调频信号，由于载波幅度恒定为A，因此其平均功率为 SiFM=12A2(348) 3． 输入信噪比 前面求出了各种已调信号的平均功率和解调器输入噪声的平均功率，根据输入信噪比的定义即可得到解调器输入信噪比。例如，DSB调制传输时解调器的输入信噪比为 SNRi=SiDSBNiDSB=12m2(t)2n0fm=m2(t)4n0fm 而FM调制传输解调器的输入信噪比为 SNRi=SiFMNiFM=12A22n0(1+βFM)fm=A24n0(1+βFM)fm 3．4．3输出信噪比和信噪比增益 为了分析输出信号和噪声的平均功率，进一步求出解调器的输出信噪比和信噪比增益，需要分析混有噪声时解调器的解调过程以及输出信号和噪声。这里以DSB相干解调为例，介绍分析方法。 1． 考虑噪声时的解调过程 考虑到噪声时，DSB相干解调器的分析模型如图332所示。 图332DSB相干解调抗噪声性能的分析模型 假设信道在传输过程中对信号没有衰减，则解调器输入端的DSB信号仍然可以表示为 si(t)=m(t)cosωct 而窄带高斯白噪声的时间表达式为 ni(t)=nI(t)cosω0t-nQ(t)sinω0t 其中，ω0为带通滤波器BPF的中心频率。对于DSB信号，有ω0=ωc，则 ni(t)=nI(t)cosωct-nQ(t)sinωct 上述信号和噪声叠加后再与相干解调载波c(t)相乘，得到输出 f(t)=［si(t)+ni(t)］cosωct =［m(t)cosωct+nI(t)cosωct-nQ(t)sinωct］cosωct =12m(t)+12m(t)cos2ωct+12nI(t)+12nI(t)cos2ωct-12nQ(t)sin2ωct(349) 通过低通滤波器(LPF)将式(349)中2ωc的分量滤除，得到输出为 so(t)+no(t)=12m(t)+12nI(t)(350) 式(350)右边第1项与基带信号成正比关系，第2项只与窄带噪声中的同相分量有关，因此两项分别代表解调输出的有用信号和噪声。 2． 输出信噪比和信噪比增益 根据式(350)，可以求得DSB相干解调输出有用信号和噪声的平均功率分别为 So=s2o(t)=14m2(t)(351) No=n2o(t)=14n2I(t)=14n0B=12n0fm(352) 则输出信噪比和信噪比增益分别为 SNRo=SoNo=14m2(t)12n0fm=m2(t)2n0fm(353) G=SNRoSNRi=m2(t)/(2n0fm)m2(t)/(4n0fm)=2(354) 表31总结了各种模拟调制传输系统解调器的输入输出信噪比和信噪比增益。对上述结论做以下几点说明。 (1) 由表31可知，DSB相干解调和SSB相干解调的信噪比增益是2倍关系，但这并不能说明DSB的抗噪声性能优于SSB相干解调。因为上述结论是在DSB和SSB输入信号功率不同的情况下得到的。如果输入信号的功率相同，通过分析可知两种传输方式的输出信噪比完全相同。也就是说，DSB和SSB相干解调具有相同的抗噪声性能。 表31各种调制解调方式的抗噪声性能 调制解调方式SNRiSNRoG DSB相干解调m2(t)4n0fmm2(t)2n0fm2 SSB相干解调m2(t)n0fmm2(t)n0fm1 NBFM相干解调A204n0fm3A20K2Fm2(t)8n0π2f3m3K2Fm2(t)2n0π2f3m AM非相干解调A20+m2(t)4n0fmm2(t)2n0fm2m2(t)A20+m2(t) WBFM非相干解调A24n0(1+βFM)fm3A2K2Fm2(t)8π2n0f3m3K2Fm2(t)2π2f2m(1+βFM) 例310已知接收机接收到的已调信号功率为1mW，基带信号的带宽为2kHz，信道噪声双边功率谱密度为1nW/Hz。当已调信号分别为DSB和SSB信号时，求相干解调时的输出信噪比。 解当已调信号为DSB信号时，带宽B=2×2=4kHz，则输入噪声功率为 Ni=n0B=2×10-9×4×103=8×10-6W 输入信噪比为 SNRi=SiNi=1×10-38×10-6=125 则输出信噪比为 SNRo=GDSB×SNRi=2×125=250 当已调信号为SSB信号时，带宽B=2kHz，则输入噪声功率为 Ni=n0B=2×10-9×2×103=4×10-6W 输入信噪比为 SNRi=SiNi=1×10-34×10-6=250 输出信噪比为 SNRo=GSSB×SNRi=1×250=250 (2) 对于常规调幅AM信号的非相干解调，由于实际系统中总有A0>|m(t)|max，因此G总是小于1。以单频调制为例，设基带信号的幅度为Am，则基带信号的平均功率为 m2(t)=A2m2 信噪比增益为 G=2m2(t)A20+m2(t)=2×A2m2A20+A2m2=2A2m2A20+A2m=2β2AM2+β2AM(355) 对于欠调幅和满调幅，调幅指数不可超过1，则由式（355）可知信噪比增益不超过2/3。这就意味着通过解调，信噪比没有得到改善，所以AM调制传输系统的抗噪声性能是比较差的。 例311参数同例310，当已调信号为满调幅AM信号时，求非相干解调时的输出信噪比。 解输入噪声功率为 Ni=n0B=2×10-9×4×103=8×10-6W 则输入信噪比为 SNRi=SiNi=1×10-38×10-6=125 对于满调幅AM传输，信噪比增益为 GAM=2×12+1=23 则输出信噪比为 SNRo=GAM×SNRi=23×125=2503 (3) 对于单频调制宽带调频非相干解调，可以求得信噪比增益近似为 GFM≈3(βFM+1)β2FM(356) 当调频指数远大于1时，得到 GFM≈3β3FM(357) 由此可见，调频系统的抗噪声性能与调频指数有关，或者说，调频系统可以通过增大调频指数来获得比较高的抗噪声性能，而DSB和SSB调制传输时的信噪比增益是恒定不变的常数，AM调制传输的信噪比增益与基带信号的幅度和平均功率有关。 另外，调频系统的带宽也取决于调频指数，当调频指数βFM1时，带宽近似为B≈2βFMfm。因此，当调频指数增大时，带宽也随之增大，有效性下降。因此，调频系统可以通过增大带宽获取抗噪声性能，即可靠性的提高。 例312已知基带信号为4kHz的单频余弦信号，发送端发射已调信号的功率为2．4kW，信道噪声单边功率谱密度为5nW/Hz，信道损耗为50dB。当调频指数分别为5和10时，比较传输带宽和输出信噪比。 解当βFM=5时，带宽为 B=2(1+βFM)fm=2×(1+5)×4=48kHz 输入信噪比为 SNRi=SiNi=2．4×103/1050/105×10-9×48×103=100=20dB 信噪比增益为 GFM≈3β3FM=3×53=375 则输出信噪比为 SNRo=GFM×SNRi=375×100=37500≈45．7dB 当调频指数βFM=10时，带宽为 B=2(1+βFM)fm=2×(1+10)×4=88kHz 输入信噪比为 SNRi=SiNi=2．4×103/1050/105×10-9×88×103≈54．5≈17．4dB 信噪比增益为 GFM≈3β3FM=3×103=3000 则输出信噪比为 SNRo=GFM×SNRi=3000×54.5≈52．1dB (4) 表31中两种非相干解调方式的信噪比增益是在输入信噪比比较大的情况下得到的。当接收条件较差，输入信噪比SNRi较小时，输出信噪比将急剧下降，这种现象称为门限效应。所有的非相干解调都将出现门限效应，而所有的相干解调器都不存在这个问题。 3．5模拟调制应用举例 前面介绍了模拟通信系统中常用的幅度调制和频率调制、相干和非相干解调的基本原理。各种调制解调方式具有不同的有效性和可靠性，其中单边带调制传输所需的带宽最小，具有最好的有效性。调频传输所需的带宽大，有效性差，但解调器的信噪比增益高，具有很强的抗噪声性能。 在各种模拟通信系统中，需要根据实际系统对传输有效性和可靠性的具体要求，基于上述性能特点，合理地选择一种调制传输方式。本节对上述各种调制解调传输方式的一些典型应用做一个概括介绍。 3．5．1频分复用 频分复用(Frequency Division Multiplexing，FDM)是根据调制的基本原理，利用同一个信道实现多路信号互不干扰地同时传输的一种技术。 频分复用的基本原理是利用调制技术，将需要传输的各路基带信号频谱搬移到不同的载波频率附近，分别占据信道的不同频段范围实现传输。在接收端只需要用中心频率不同的带通滤波器即可将各路信号分开，从而只接收指定的一路信号。 图333所示为频分复用的基本原理。n路基带信号在发送端首先经过低通滤波器LPF进行低通，将其带宽限定在指定频带范围内。限带以后的基带信号分别对不同频率的载波进行调制，因此各路信号的频谱被搬移到不同的频段。调制器输出的各路已调信号再由带通滤波器BPF进一步限带，混合在一起后送到同一个信道中进行传输。 由于复用以后的信号中，各路信号分别占据不同的频段。因此，在接收端，用BPF即可将接收到的多路混合信号分开，并送到各自的解调器进行解调，最后由低通滤波器LPF滤波还原出对应的基带信号。 FDM最典型的应用是载波电话，利用同一条电话线同时传输多路电话语音信号。在载波电话通信系统中，各路基带语音信号一般采用单边带调制，每路电话信号的频带限制在300~3400Hz。此外，各路信号之间还留有一定的防护频带，总带宽为4kHz。 在实际系统中，为了获得更高的频带利用率，通过同一条信道能够传输更多路信号，一般采用多级复用的层次结构。首先由12路电话复用为一个基群，再由5个基群复用为一个超群，10个超群复用为一个主群。因此，一个主群包含600路语音信号。如果需要传输更多路信号，可以将主群再进行复用，组成巨群。 图333频分复用的原理示意图 图334所示为多路载波电话系统基群信号的频谱结构。由于每路电话信号的带宽为4kHz，因此12路复用得到基群信号总的频带宽度为48kHz。复用过程中假设每路信号采用下边带调制，因此对第n路信号调制所用的载波频率为64+4(n-1)kHz。复用信号总的频带范围为60~108kHz。 图334多路载波电话系统基群信号的频谱结构 FDM技术主要用于模拟通信系统，其主要优点是信道利用率高、技术成熟，但是实现FDM的设备复杂，滤波器难以制作，在调制解调和传输过程中的非线性失真会导致各路信号之间的相互干扰。 3．5．2广播电视通信系统 传统的调幅广播一般采用AM，根据所用的波段分为中波广播和短波广播两种。中波广播的载频为535~1605kHz，短波广播的载频为3．9~18MHz。在调幅广播中，调制信号的最高频率取4．5kHz，载频间隔为9kHz。 图335电视信号的频谱 广播电视系统中的电视信号是由图像信号和伴音信号经过不同的调制组合而成的，其频谱如图335所示。其中图像信号是0~6MHz的宽带视频信号，大多采用残留边带调制。为了便于接收机采用包络检波非相干解调，在已调信号中插入很强的图像载波一起传输。伴音信号的最高频率取15kHz，一般采用最大频偏为50kHz的宽带调频，因此，调频指数为10/3，伴音信号的带宽近似为130kHz。图像信号和伴音信号的调制载波频率相差6．5MHz。合成的电视信号总带宽取8MHz。 广播电视通信包括地面广播电视和卫星直播电视。由电视塔发射的电视节目称为地面广播电视。在卫星直播电视中，将上述图形信号再采用调频方式传输，最大频偏为7MHz。卫星广播电视中的伴音信号可以采用不同调制方式实现单路或多路伴音传输，合成的电视信号总带宽为27MHz。与地面广播电视相比，卫星直播电视以较小的功率实现了更广泛区域的传输，发射功率一般在10kW以上，服务半径约为100km。 3．5．3调频立体声广播 调频广播包括单声道调频广播和调频立体声广播。在单声道调频广播中，基带信号的最高频率为15kHz，最大频偏为75kHz，所以单声道调频信号带宽为180kHz，各电台之间的频率间隔取200kHz。 在双声道调频立体声广播中，左（L）、右（R）声道信号的最高频率仍然为15kHz，两个声道的信号相加减，分别得到和信号L+R和差信号L-R。之后，对差信号进行双边带调制，调制载波频率为38kHz。经过调制后的差信号与和信号进行频分复用，得到调频立体声信号的频谱如图336所示。 图336调频立体声信号的频谱 经过上述复用得到的调频立体声基带信号，再进行调频后送到信道传输。频率调制时的载波频率为87~108MHz。接收端接收到已调信号后，利用解调器(鉴频器)恢复出上述立体声基带信号，再利用相关电路分离得到左、右声道信号。 3．6模拟调制解调过程的MATLAB仿真 根据本章所述各种调制和解调的基本原理和数学模型，在MATLAB中可以通过编程实现调制解调过程的仿真分析，也可以利用Simulink库中所提供的基本模块，搭建调制器和解调器的仿真模型，再对其进行仿真分析。 视频讲解 3．6．1MATLAB编程仿真 下面举例说明如何编制MATLAB程序实现调制解调过程的仿真分析。 例313编程仿真AM系统。其中，基带信号m(t)=2cos2000πt，载波频率fc=10kHz，直流偏移A0=3V。 MATLAB程序如下。 fm=1e3;fc=10e3;A0=3;%基带信号频率，载波频率，直流偏移 Fs=10*fc;h=1/Fs; 　　%采样频率，仿真步长 T=10/fm; 　　%仿真运行时间 t=0:h:T %======================================== %基带信号的产生及调制 %======================================== m = 2*cos(2*pi*fm*t); %基带信号 c = cos(2*pi*fc*t); %载波 s=(A0+m).*c; 　　%AM信号 subplot(311);plot(t,m,'--r',t,c,'k'); legend('基带信号','载波');grid on subplot(312);plot(t,s,'k'); legend('AM信号');grid on %================解调===================== x=s.*c; 　　%相乘 ［b,a］=butter(2,［2*pi*200,2*pi*fm］/Fs/pi) y=filter(b,a,x); 　　%滤波 subplot(313);plot(t,y,'r'); xlabel('时间/s'); legend('相干解调输出');grid on 程序运行结果如图337所示。 图337例313程序运行结果 在上述程序中，设置采样频率为10倍载波频率，满足采样定理。另外，设置仿真运行时间为基带信号周期(1/fm)的20倍，因此运行后，将绘制出20个周期的基带信号及对应的AM信号波形。 在上述程序中，产生的基带信号和载波信号分别用m和c表示，之后用数组加和数组乘得到AM信号。 在程序中的解调部分，对前面产生的AM信号进行相干解调。根据相干解调的原理，首先将s中保存的AM信号与载波c相乘，得到x后再进行滤波。程序中调用butter()函数产生一个二阶数字带通滤波器，其通带上截止频率等于基带信号频率，下截止频率为200Hz。之所以采用带通滤波器而不是低通滤波器，是为了将信号中的直流分量滤除。 在得到滤波器后，程序中调用filter()函数，根据butter()函数返回的滤波器系数b和a构造滤波器，并对相乘结果x进行滤波，从而得到解调输出基带信号。注意到在解调输出波形的起始段，输出并不是期望的基带信号波形，这是由滤波器的过渡过程引起的。 视频讲解 3．6．2Simulink模型仿真 各种调制解调过程都可以分解为一些基本运算。从建模的角度，利用Simulink库中提供的基本模块，可以根据这些基本运算自行搭建调制器和解调器的仿真模型，对其进行仿真分析。下面举例说明。 例314利用Simulink基本模块搭建如图338所示的仿真模型，对DSB调制解调过程进行仿真，并测量输入输出信噪比。 图338例314仿真模型 (1) DSB信号的产生和解调。 仿真模型中，利用乘法器模块实现DSB调制。其中，基带信号为幅度为1、频率为100Hz的单频正弦信号，载波频率为800Hz。 两个BPF子系统内部都由一个ZeroOrder Hold模块和一个Bandpass Filter模块构成，如图339(a)所示。送入的已调信号经过采样保持后送入带通滤波器。其中零阶保持器模块的Sample time参数设为1e4，带通滤波器必须是FIR滤波器，通带范围为700~900Hz，等于DSB信号的带宽范围。 DSB信号一方面直接送入BPF子系统1； 另一方面通过AWGN模块叠加噪声后再送入BPF子系统。因此，两个子系统的输出分别是混有噪声的DSB信号和没有噪声的DSB信号。以上两种信号分别送入解调子系统，解调输出分别得到混有噪声的基带信号和纯净的基带信号。 两个解调子系统实现DSB信号的相干解调，其内部结构完全相同，如图339(b)所示。其中，Lowpass Filter必须是FIR滤波器，通带和阻带截止频率分别设为100Hz和120Hz。 图339子系统内部结构 设置AWGN Channel模块的SNR参数为10dB，Input signal power参数为0．25W，等于输入DSB信号的功率。仿真运行后，得到各点信号波形如图340所示。 图340解调器输入输出信号的时间波形 (2) 信噪比的测量。 仿真模型中下面的两个子系统分别实现解调器输入输出信噪比的测量。两个子系统内部结构相同，如图341所示。其中，在子系统的仿真模型中，混有噪声的信号与纯净的DSB信号或解调输出纯净的基带信号送入子系统，相减后得到噪声，分别送到上、下两个支路，实现噪声和有用信号功率的测量。测量得到的有用信号和噪声功率相除，得到信噪比。 图341信噪比测量子系统 设置AWGN Channel模块的SNR参数为10dB。仿真运行后，在顶层模型的Dispaly模块上显示出解调器输入信噪比和输出信噪比分别近似为183．5和387．1。注意这里显示的信噪比没有转换为分贝值。 视频讲解 3．6．3Simulink中的调制解调模块 在Communications Toolbox/Modulation模块库中提供了3类调制解调模块，分别位于Analog Passband Modulation(模拟带通调制)、Analog Baseband Modulation(模拟基带调制)和Digital Baseband Modulation(数字基带调制)3个子库中。这里首先解释带通调制和基带调制的概念，再分别介绍模拟带通调制解调模块和模拟基带调制解调模块及其用法。 1． 带通调制和基带调制 在MATLAB和Simulink通信工具箱提供的各种调制解调模块中，有两种调制方式，即带通调制(Passband Modulation)和基带调制(Baseband Modulation)。 1) 带通调制 在带通调制中，各种调制方式得到的已调信号都用前面介绍的方式进行描述。这些已调信号都是频谱位于载波频率附近的高频信号，又称为射频信号。而调制解调过程中的基带信号频率都是远低于载波频率的低频信号。 在用MATLAB和Simulink对调制解调过程进行仿真分析时，为了能正确计算得到所有信号的波形数据，并据此正确绘制所有的波形，必须根据所有信号中的最高频率确定合适的采样速率和仿真步长。根据采样定理，采样速率必须至少取为所有信号中最高频率的2倍。因此，如果对这样的带通已调信号直接进行采样和仿真分析，采样速率将至少取为载波频率的2倍，甚至更高，这样将极大降低仿真效率。 2) 基带调制 这里以模拟调频信号为例，介绍MATLAB中基带调制和解调的概念和基本原理。 根据前面的介绍，调频信号的时间表达式为 s(t)=Acos2πfct+2πKFM∫m(τ)dτ=Acos［2πfct+φ(t)］(358) 其中，φ(t)=2πKFM∫m(τ)dτ与基带信号m(t)的积分成正比，称为相位偏移; A为载波幅度; fc为未调载波频率; KFM为频偏常数，单位为Hz/V。 式（358）为调频信号的带通调制表示。将其进行下变频，即乘以复指数函数e-j2πfct后，得到 sb(t)=s(t)e-j2πfct=A2［ej(2πfct+φ(t))+e-j(2πfct+φ(t))］e-j2πfct =A2［ejφ(t)+e-j(4πfct+φ(t))］ 忽略其中的高频分量后得到 sb(t)=A2ejφ(t)=A2ej2πKFM∫t0m(τ)dτ(359) 在式(359)中，φ(t)只取决于基带信号，与载波频率无关，因此是频率远低于载波频率的低频信号。对应的sb(t)为低频复数信号，在MATLAB中称为基带调频信号。 下面介绍根据基带调频信号如何进行解调。将sb(t)延迟一个采样间隔T后取共轭，再与sb(t)相乘，得到 y(t)=sb(t)s*b(t-T)=A24ejφ(t)e-jφ(t-T)=A24ej［φ(t)-φ(t-T)］=A24ejψ(t)(360) 这是一个复变函数，其模恒为A2/4，而相角ψ(t)=φ(t)-φ(t-T)。 对于固定步长的采样间隔T，可以近似认为ψ(t)与dφ(t)/dt成正比，即 ψ(t)=φ(t)-φ(t-T)∝φ(t)-φ(t-T)T≈dφ(t)dt 而φ(t)为FM信号中载波的相位偏移，因此其导数dφ(t)/dt等于FM信号中载波的频率偏移。对于FM调制，载波的频率偏移与基带信号成正比，因此，ψ(t)也就反映了基带信号。从得到的复变函数y(t)中提取出其相角，即可解调还原出基带信号m(t)，这就是MATLAB中FM基带解调的基本原理。 2． 模拟带通调制模块 在Analog Passband Modulation子库中，提供了5种基本的模拟带通调制及其解调模块，包括模拟幅度调制和解调模块、FM调制及解调模块和PM调制及解调模块。 1) 模拟带通幅度调制解调模块 在模块库中，实现AM、DSBSC和SSB模拟幅度调制的模块分别命名为DSB AM Modulator Passband、DSBSC AM Modulator Passband和SSB AM Modulator Passband，对应的解调器模块分别为DSB AM Demodulator Passband、DSBSC AM Demodulator Passband和SSB AM Demodulator Passband。 图342所示为DSBSC调制器和解调器的参数对话框，其中需要设置调制器主要参数为Carrier frequency(载波频率)和Initial phase(载波的初始相位)。DSBSC AM Demodulator Passband模块对输入的DSBSC已调信号进行相干解调，内部由一个乘法器和一个低通滤波器(LPF)组成。因此，在图342(b)所示的解调器模块的参数对话框中，除了载波频率和初始相位以外，还需要设置解调器中所需低通滤波器的参数。 图342DSBSC调制器和解调器模块的参数设置对话框 模拟AM调制与DSBSC调制的区别： 实现AM调制时，需要将基带信号m(t)首先进行直流偏置，即叠加上一个直流信号A0，再与载波相乘。因此，在AM调制器和解调器模块中，除了上述参数以外，还需要设置参数Input signal offset(输入信号偏移)。此外，AM解调器内部采用的是非相干解调，因此要求送入的AM信号必须是欠调幅或满调幅信号。 单边带调制器模块根据相移法的基本原理，利用希尔伯特变换实现单边带调制。因此，在调制器模块中，需要通过Sideband to modulate参数选择Upper(上边带)还是Lower(下边带)。除此之外，与AM和DSBSC调制解调器模块的参数相同。 2) FM和PM调制和解调模块 在模块库中，FM Modulator Passband实现模拟带通频率调制，其参数对话框如图343所示。其中，除了需要设置载波频率和载波的初始相位以外，还有一个参数Frequency deviation(频率偏移)，该参数也就是式(358)中的KFM。 FM Demodulator Passband实现FM信号的解调，解调过程利用希尔伯特变换实现，因此在其参数对话框中，除了需要设置载波频率和初始相位、频率偏移以外，还需要设置Hilbert transform filter order(希尔伯特变换滤波器阶数)。 图343FM Modulator Passband模块的参数对话框 例315超外差式接收机的仿真。搭建如图344所示仿真模拟，对超外差式接收机的工作过程及频分复用进行仿真分析。 图344例315仿真模拟框图 超外差式接收机广泛应用在早期的无线通信系统中，其基本工作原理如图345所示。来自接收天线的射频(Radio Frequency，RF)信号是多个电台发射的AM信号的混合，通过混频器将混合信号的频谱搬移到中频频段，然后用同一个解调器实现各路电台基带信号的解调。 混频器实现信号频率的加减运算或者频谱的搬移。调节本地振荡器的参数，使本振频率fLO与各电台信号进行混频运算时，只有希望接收的某个电台发射的AM信号频谱被搬移到带通滤波器BPF的通带范围内，进而送入解调器。实际系统中，AM信号的调幅指数接近于1，一般接收机中的解调器都采用简单的非相干解调。 图345超外差式接收机的工作原理示意图 (1) 电台子系统。 仿真模型中，假设共有3个子系统，分别用3个相同的子系统进行模拟。子系统内部结构如图346所示。其中，用Random Integer Generator模块产生四进制随机整数，经带通滤波后用于模拟电台发射的基带信号。设置Random Integer Generator模块的Size参数为4，Sample time参数为0．1ms。Bandpass Filter设计为IIR巴特沃斯带通滤波器，其通带范围为100~300Hz。 图346电台子系统 基带信号送入DSB AM Modulator Passband模块实现AM调制，设置其Input signal offset参数为1。对于3个子系统，Carrier frequency(载波频率)分别设为2kHz、3kHz和4kHz。 根据上述参数设置，3个电台发送的基带信号带宽都近似为300Hz，发射的AM信号频谱相距1kHz，带宽都为600Hz。在顶层仿真模型中，3个电台信号通过加法器进行叠加，模拟所有电台的信号通过频分复用后，通过同一个空间电磁场信道进行传输。 (2) 接收机子系统。 接收机子系统内部结构如图347所示。其中，Bandpass Filter模块设置为IIR椭圆滤波器，通带范围为500~1500Hz，通带和阻带衰减分别为0．1dB和80dB。 图347接收机子系统 顶层模型中的Sine Wave模块用于产生本地载波，与3个电台的频分复用信号一起送入混频器。假设本地载波频率为2kHz，通过混频，只有电台2的信号频谱落在带通滤波器的通带范围内，因此能够通过混频器送入后面的解调器模块。此外，混频器只是实现频谱的搬移，不改变频谱的结构。因此，混频器输出信号仍然是AM信号，只不过载波频率固定为1kHz。 在接收机子系统中，解调器用DSB AM Demodulator Passband模块实现。其中，参数Carrier frequency设为1kHz，等于混频器输出AM信号的载波频率。设置解调器中低通滤波器为8阶Chebyshev I型，截止频率等于各电台基带信号的带宽300Hz，Passband ripple参数（通带纹波）为0．01dB。 设置本地载波频率为2kHz，仿真运行时间0．5s，运行后在频谱分析仪窗口观察到FDM信号、混频器输出信号和解调输出基带信号的功率谱密度，如图348所示。 图348各点信号的功率谱密度 图348中，位于2kHz、3kHz和4kHz附近的是3个电台发射的AM信号合成的FDM信号。经过混频后，位于1kHz附近的功率谱是由位于3kHz附近电台2信号的功率谱搬移过来的。仔细比较可知，两者具有相同的频谱结构。混频器输出信号经过解调后，得到基带信号的功率谱位于0Hz附近，与电台2对应的AM信号功率谱中的上边带近似相同。 3． 模拟基带调制模块 在Analog Baseband Modulation子库中，提供了4个FM基带调制和解调模块，分别是FM Modulator Baseband(FM基带调制器)、FM Demodulator Baseband(FM基带解调器)、FM Broadcast Modulator Baseband(FM广播基带调制器)、FM Broadcast Demodulator Baseband(FM广播基带解调器)模块。这里主要介绍前面两个模块。 FM Modulator Baseband和FM Demodulator Baseband模块的参数对话框相同，如图349所示，其中只有一个Frequency deviation(频率偏移)参数，而不需要设置载波的相关参数。这是由于基带调制与载波无关。 图349FM基带调制器的参数设置对话框 下面通过举例，体会FM带通调制和基带调制的区别。 例316搭建如图350所示的仿真模型，比较FM基带调制和FM带通调制的区别。 模型中分别用了一个带通FM调制模块和一个基带FM调制模块，设置这两个模块的Frequency deviation参数为500Hz。设置带通FM调制模块的Carrier frequency(载波频率)参数为2kHz。设置输入正弦基带信号的幅度为1V，频率为100Hz，采样间隔为50μs。运行后得到各信号的波形如图351所示。 图350例316仿真模型 图351FM基带调制和带通调制信号的时间波形 根据式(359)，FM基带调制信号的时间表达式为 sb(t)=A2ejφ(t)=A2cosφ(t)+jA2sinφ(t) 由此可见，FM基带调制信号是一个复数信号。因此，模块的输出有两个信号，分别表示FM基带调制信号的实部和虚部，如图351中的实线和虚线所示。实部和虚部都是与输入基带信号频率相当的低频信号。而FM带通调制模块输出的FM带通调制信号频率远高于FM基带调制信号。 图352所示为FM基带调制和带通调制信号的功率谱。观测时注意对图形窗口做适当缩放调节。根据功率谱可以求得FM信号带宽近似为1．2kHz。由卡森公式可以验证其正确性。 在观测带宽时，需要注意以下两点。 (1) 由基带调制和带通调制信号的功率谱测量信号带宽的方法有区别。根据带通调制信号观测信号带宽时，只能由正频率或负频率部分确定，称为单边带宽。由于基带调制信号是带通调制信号经过下变频得到的，因此带宽同时取决于功率谱正负频率两部分。 图352FM基带调制和带通调制信号的功率谱 (2) 用频谱分析仪得到的功率谱密度为分贝值，因此功率很小的分量对应分贝值趋向于-∞，在功率谱图上无法精确表示。因此，观测时都需要对功率谱图进行适当的缩放调节。 课程思政阅读材料 社会主义革命和建设时期的中国电信 中华人民共和国成立后，中央人民政府政务院设邮电部，领导全国邮电通信事业。根据国家政策，邮电部以不同的方式先后接管了外国电信公司企业在我国的全部邮电设施，收回了国家通信主权，迅速建成了中国邮电通信历史上第1张覆盖全国的电网，标志着电信网络建设和业务发展都开始了一个新时代。 中国通信业在邮电部的领导下，在科研、电信工业、电信建设方面都取得了非凡的成就。20世纪50年代至70年代末，通信科技人员提出了“积极开展科学试验，打破洋框框，走自己的路”“做到外国有的我们要有，外国没有的我们也要有”“迅速摆脱通信技术落后，赶上和超过世界先进水平”的宣言，走上了独立自主、自力更生的电信科研之路。 在这一历史时期，邮电部制定了“迅速、准确、安全、方便”的八字方针，体现了“人民邮电”的根本宗旨； 建设和完善了国家通信干线网，为国家和民众提供更全面、广泛的电信服务； 实现了电信网络初步的陆地明线、微波、卫星和海底光缆立体化，传输系统从人工传递实现半自动化和部分全自动化。这一通信事业历史性的变化，是中国通信业工技人员与全国人民一起以独立自主、艰苦奋斗、自力更生、勤俭建国精神而创造的伟大历史成就！ 1957年4月，邮电部开始了载波技术的研发工作，在架空明线、同轴电缆载波系统等方面取得了一系列成果。1974年，1800路同轴电缆微波通信系统通过国家鉴定，对改变中国通信的落后状况，加速我国干线通信建设具有重要意义。 1966年研制成功的CB1型编码纵横制长途电话自动交换设备，在京津两地经过长时间试验和使用后，于1974年通过国家鉴定。1975年由邮电部10所研制成功终局容量为6000~12000线的JT801型长途电话自动交换设备，为中国长途电话自动拨号业务的发展创造了条件。 此外，20世纪60年代末，我国试制成功了30kW自动调谐单边带发信机，提前实现国际电信联盟无线电咨询委员会的要求； 试制成功第1部国产的360转/分高速真迹传真机； 试制成功第1部国产电子管16路调频制音频载波电报机； 研制成功第1台双机头自动交叉发报机。 1974年，邮电部启动光纤通信科研工作。1978年4月，邮电部科技局召开光通信会展会议，提出了光纤通信“三年突破、八年应用”的战略目标。1979年12月，上海市话局建成第1条全长1.8km二次群120路光纤试验阶段光缆，传输速率为8.44Mb/s，这是我国最早建立的光通信系统。 习题3 31填空题 (1) 已知某发射机输出AM信号的调幅指数为1，其中载波功率为10kW，则上边带功率为。 (2) 已知AM信号中载波的最大和最小振幅分别为5V和3V，则该AM信号的调幅指数为。 (3) 某AM信号的带宽为10kHz。为了提高传输的有效性，拟改用LSB传输，则所需占用信道的带宽至少为。 (4) 已知单频基带信号的幅度为5V，角频率为200π rad/s，调频灵敏度为200Hz/V，则对应FM信号的最大频偏为，调频指数为。 (5) 对最高频率为1kHz的基带信号进行调频，已知输出FM信号的带宽为10kHz，则调频指数为。 (6) 某FM电路的频偏常数为1kHz/V，已知输入基带信号的最大幅度为12V，最高频率为3kHz，则该电路输出FM信号的带宽为。 (7) 对于调幅指数为1的AM传输，已知接收机输入信噪比为150，则接收机输出信噪比为dB。 (8) 假设载波频率为10kHz，基带信号的带宽为300Hz，则对LSB信号进行相干解调时，接收机中带通滤波器的中心频率为，带宽为。 (9) 已知DSB相干接收机的输出信噪比为10dB，则输入信噪比为dB。 (10) 在输入噪声功率相同的条件下，为达到相同的输出信噪比，解调器输入SSB信号的功率必须为DSB信号功率的倍。 32某AM信号sAM(t)的频谱SAM(jω)如图353所示。 (1) 求载波频率fc; (2) 画出sAM(t)的功率谱图P(ω); (3) 求载波分量和边带分量的功率; (4) 求调制效率η。 图353习题32示意图 33已知基带信号为m(t)=4cos200πt+2cos400πt，载频为1000Hz。 (1) 分析并画出DSBSC信号的频谱图SD(jf); (2) 采用滤波法调制，分析并画出LSB信号的频谱图SL(jf)，并写出其时间表达式s1(t); (3) 如果采用相移法调制得到LSB信号，推导写出LSB信号的时间表达式s2(t)。 34已知基带信号f(t)=40Sa220πtcos50πt，载波角频率为1000πrad/s，对其采用滤波法进行USB调制，分析画出基带信号和USB信号s(t)的频谱。 35已知某调角波为 s(t)=10cos(2×107πt+4sin1000πt) (1) 假设s(t)是相移常数KP=2rad/V的调相波，求基带信号m(t); (2) 假设s(t)是频偏常数KF=1000π rad/(s·V)的调频波，求基带信号m(t)的时间表达式; (3) 求调频波的调频指数βFM和最大频偏Δfmax。 36已知基带信号为频率fm=5kHz的单频正弦信号，对其进行FM调制，最大频偏Δfmax=10kHz。 (1) 求FM信号的近似带宽; (2) 若将基带信号的幅度放大一倍，求FM信号的带宽; (3) 若将基带信号的频率增大一倍，求FM信号的带宽; (4) 若将基带信号的幅度和频率都增大一倍，求FM信号的带宽; (5) 若将最大频偏增大一倍，求FM信号的带宽。 37已知基带信号m(t)=2cos200πt，对其进行调频传输，载波幅度A=4V，频偏常数KF=100Hz/V。 (1) 求调频信号的总功率P; (2) 求已调信号中载波分量的功率Pc; (3) 求调制效率η。 38已知发送端发送的DSB信号为s(t)=f(t)cosωct，接收机中相干解调器的解调载波为c(t)=cos［(ωc+Δω)t+Δφ］，其中f(t)的角频率和Δω远小于ωc。分别推导出以下两种情况下的解调输出信号y(t): (1) Δω=0; (2) Δφ=0。 39已知某单频调制的调频波调频指数为5，基带信号频率为5kHz，信道噪声单边功率谱密度为10μW/Hz，发送端发射功率为30kW，信道衰减10dB。 (1) 求输出FM信号的带宽B; (2) 输出信噪比为多少分贝？ (3) 若将调频指数增大到9，其他参数保持不变，重新计算上述结果; (4) 根据计算结果，总结调频指数对传输有效性和可靠性的影响。 310已知基带信号带宽为10kHz，信道双边噪声功率谱密度0．1mW/Hz，接收端接收到已调信号的功率为1kW。 (1) 求DSB调制传输时的输出信噪比; (2) 求SSB调制传输时的输出信噪比; (3) 如果采用FM传输，要求输出信噪比达到45dB，确定所需的调频指数。 实践练习3 31搭建如图354所示的仿真模型，实现任意基带信号的USB调制过程仿真。Random Integer Generator模块产生速率为1kBd的八进制随机整数，经过5阶切比雪夫Ⅱ型带通滤波后(阻带衰减80dB)得到频率范围为50~500Hz的模拟信号，作为基带信号。 图354实践练习31仿真模型 (1) 假设载波频率为2kHz，搭建调制和相干解调子系统的仿真模型; (2) 仿真运行，观察各点信号的时间波形和频谱。 32模仿例314，搭建仿真模型，对SSB调制解调传输的抗噪声性能进行仿真分析。 33利用FM Modulator Baseband模块产生单频调频信号，并观察FM信号的带宽。改变频偏常数、基带信号的频率和幅度，观察FM信号带宽的变化。 34利用FM Modulator Passband模块产生单频调频信号，并利用Simulink基本模块搭建仿真模型，实现FM信号的非相干解调。假设基带信号频率为100Hz，调频指数为5，载波频率为1kHz。 35搭建仿真模型，实现将FM Modulator Baseband模块输出的基带调频信号转换为带通调制信号，并将转换结果与FM Modulator Passband模块输出的FM信号进行比较。 提示: 将式(359)所示基带调频信号进行上变频，即乘以ej2πfct，再取实部即可得到对应的带通调频信号，其中fc为带通调制时的载波频率。