第5 章
函 数
5.1 内容提要
1.函数
设f 是二元关系,如果对于任意x∈domf,都存在唯一的y∈ranf,使得xfy 成立,则
称f 为函数(或者映射).这时也称y 为f 在x 的值,记作y=f(x).
2.函数相等
设f,g 为函数,则f=g .f .g ∧g .f.
两个函数f 和g 相等,一定满足下面两个条件:
(1)domf=domg.
(2).x∈domf=domg 都有f(x)=g(x).
3.特殊的函数
从A 到B 的函数f:A →B,其中A 和B 为集合,f 为函数,domf=A ,ranf .B.
所有从A 到B 的函数的集合,记作BA ,符号化表示为BA ={f|f:A →B}.
特殊函数f:A →B.
(1)如果存在c∈B 使得对所有的x∈A 都有f(x)=c,则称f:A →B 是常函数.
(2)A 上的恒等函数IA ,对所有的x∈A 都有IA (x)=x.
(3)设<A ,.>,<B,.>为偏序集,f:A →B,如果对任意的x1,x2∈A ,x1.x2,就有
f(x1).f(x2),则称f 为单调递增的;如果对任意的x1,x2∈A ,x1.x2,就有f(x1).
f(x2),则称f 为严格单调递增的.类似地,也可以定义单调递减和严格单调递减的函数.
(4)设A 为集合,对于任意的A'.A ,A'的特征函数χA':A →{0,1}定义为
χA'(a)=1 a∈A'
χA'(a)=0 a∈A -A'
(5)设R 是A 上的等价关系,令
g:A →A/R
g(a)=[a], .a∈A
称g 是从A 到商集A/R 的自然映射.
4.函数的像与完全原像
设函数f:A →B,A1.A ,B1.B.
(1)A1 在f 下的像f(A1)={f(x)|x∈A1},当A1=A 时,f(A)称为函数的像.
(2)B1 在f 下的完全原像f-1(B1)={x|x∈A ∧f(x)∈B1}.
函 数
第
注意函数的值与函数的像之间的区别,函数值f(x)∈B,而函数的像f(A1).B.
一般来说,函数的像和完全原像满足A1.f-1(f(A1)) 和f(f-1(B1)).B1.
章
5.
函数的性质
85
设f:A→B,则
(1)若ranf=B,则称f:A→
B
是满射的
.
(2)若.y∈ranf
都存在唯一的x∈
A
使得f(x)=y,则称f:A→
B
是单射的
.
(3)若f:A→
B
既是满射又是单射的,则称f:A→
B
是双射的
.
6.
函数合成与反函数
51
(1)dom(f..g)={x|x∈domf
∧f(x)∈domg}
.
(2).x∈dom(f..g)有f..g(x)=g(f(x))
.
1
g,f..g)..g..h)
设f,
h
为函数,则(
h
和f..(都是函数,且
(f..g)..h=f..(g..h)
2
设f:A→B,g:B→C,则f..g:A→C,且.x∈
A
都有f..g(x)=g(f(x))
.
.
则f..
g
也是函数,且满足:
设f,
g
是函数,
52
(1)如果f:A→B,则f..g:A→
C
也是满射的.
g:B→
C
都是满射的,
(2)如果f:A→B,则f..g:A→
C
也是单射的.
g:B→
C
都是单射的,
(3)如果f:
设
Af→
:
BA,
→B,则f=
则f..g:A→
C
也是双射的.
g:B→
C
都是双射的,
.53.
设f:A→B,
g:B→C.
f..IB
=IA..f.
设f:A→A,则f=f..IA
=IA..f.
.1::ABBAff-对于双射函数称是它的反函数→→,
.
54
设f:A→
B
是双射的,则f-1:B→
A
也是双射的
.
5.
5
f-1..f=IB
,f..f-1=IA
5.习题
2
5.从下面各题的备选答案中选出一个正确的答案.
1
(d},3},<,<2>,<},
1)设X={a,b,Y={2,a,b,3>
c,1,f={1>c,则
f
是
A.从
X
到
Y
的二元关系,但不是从
X
到
Y
的函数
.
B.从
X
到
Y
的函数,但不是满射的,也不是单射的
.
C.从
X
到
Y
的满射函数,但不是单射的
.
D.从
X
到
Y
的双射函数
.
(2)下面定义中的哪些
f
是从实数集
R
到
R
的双射函数?
A.f(x)1,x>0;x)=-1,x≤0.
=f(
B.f(x)=lnx,x>0.
C.f(x)=1/(x3+8),x≠-2.
D.f(x)=x3+8.
设f:A→
B
是双射的,则
86
离散数学习题解答与学习指导(第4版)
2
设f:Z×Z→Z,Z为整数集,.<k>f(<k>)n2k,求
f
的值域.
5.n,∈Z×Z,n,=
5.设A={b},0,2}, f|.
3
a,B={1,计算BA
={f:A→B}
5.设f:R→R,x)x2-x+2, 计算以下各小题.
4
f(=3其中
R
为实数集,
(1)f(5)
.
(2)f-1({-6})
.
(3)f({1,3})
.
{a3},{b4},
σ
为从
A
到
B
的函数,{<,
5.5 A
=a1,a2,
B
=b1,b2,b3,σ=a1,b1>
<a2,b4><b2>}, 说明
σ
是否为单射、
,a3,满射和双射的
.
5.设
A
=a,c},{a,,<a>是
A
上的等价关系,设自然映射
6
{b,
R
=<b>b,}∪IA
g:A→A/R,求g(
.
7
设f:N×aN)
→N,<x,
)
5.f(y>=x+y+1.
(1)说明
f
是否为单射和满射的.如果不是请说明理由
.
(2)令A={x,|x,<y>=求A.
<y>y∈
N
且f(x,)3},
f(y>y∈{
(3)令B={<x,)|x,1,2,3}且x=y}, 求B.
5.指出下列函数中哪些是双射的? 其中,
R
是实数集,
N
为自然数集.
8
(1)f:R→R,x)x2-x.
f(
=
(2)f:R→R,x)x3
.
f(
=
(3)f:N→N,x)=x+5.
f(
(4)f:R→R+,x)2x
,R+x|
.
f(=={x∈R∧x>0}
(5)f:N→N,x)
2
f(=x.
(6)f:N→N,x)
|
f(=x|
.
5.设f:Z×Z→Z,f(<k>=n2k,其中Z为整数集.
9
n,
)
(1)
f
是满射的吗? 为什么
?
(2)
f
是单射的吗? 为什么
?
(3)求f-1({0})
.
(4)求f-1(N)
.
(5)求f(Z×{1})
.
5.10
设f:R→R,
R
为实数集,对下面各个f,判断它是否为单射、满射或双射的.如
果它不是单射的,给出x1 和x2,使得x1≠x2 但f(x1)=f(x2).如果它不是满射的,计算
f(R)
.
(1)f(x)=x2
.
(2)f(x)=E[x](E[x]表示小于或等于
x
的最大整数)
.
5.试给出一个单射而非满射的函数.
11
设f:N→N×N,n)n,
5.12
f(=<n+1>
.
(1)说明
f
是否为单射和满射的,并说明理由
.
(2)
f
的反函数是否存在? 如果存在,求出这个反函数
.
(3)求ranf.
5.13
设f:R×R→C,f(<y>=i1, 满射、
计算f-1({i})
x,)x+yi,2=-说明
f
是否为单射、双射的,
14
4+2定函(.) N×{f-
x,=
y
是否为单射、双射的,
5.(1)确数f:N×N→N,f(<y>)x满射、如果不
是请说明理由.计算f(1}),1({0})
.
函 数
第5章
8 7
(2)设f:N×N→N,f(<x,y>)=|x-y|,说明f 有什么性质(单射、满射、双射的),计
算f(N×{0})和f-1({0}).
5.15 设R[t]为t 的实系数多项式的集合,Rn[t].R[t],n∈N,Rn[t]为t 的n 次实系数
多项式的集合.定义函数f:R[t]→R[t],f(g(t))=g2(t).求f(R0[t]),f-1({t2+2t+1}),
f-1(f({t-1,t2-1})).
5.16 设f:N×N→N,f (<x,y>)=x2 +y2,说明f 是否为单射的、满射的.计算
f-1({0}),f({<0,3>,<1,2>}).
5.17 设R 为实数集,f:R→R,f(x)=x2-x+2,g:R→R,g(x)=x-3.
(1)求f..g,g..f.
(2)如果f 和g 存在反函数,求出它们的反函数.
5.18 设f:Z→Z,f(x)=x+5,其中Z为整数集.
(1)说明f 是否为满射和单射的.
(2)f-1还是函数吗? 若是,写出f-1的函数表达式;若不是,请说出理由.
5.19 设R 为实数集,映射σ 和τ 满足σ:R→R,σ(x)=x2+2x+1,τ:R→R,τ(x)=
x/2.
(1)求τ..σ 和σ..τ.
(2)对于τ 和σ 中的双射函数,求反函数.
5.20 设A 和B 为有限集,且|A|=m ,|B|=n,如果从A 到B 存在单射、满射或双射
函数,那么m 与n 应该满足的条件是什么?
5.21 设σ:R→R,σ(x)={x2 x≥3
-2 x<3,τ:R→R,τ(x)=x+2,求σ..τ 和τ..σ.
5.22 对于以下给定的每组集合A 和B,构造从A 到B 的双射函数.
(1)A =2Z={2k|k∈Z},B=N,其中Z为整数集,N 为自然数集.
(2)A =R,B=(0,+∞),其中R 为实数集.
(3)A =P ({a,b}),B ={0,1}{a,b},其中A 为{a,b}的幂集,B ={f|f:{a,b}→
{0,1}}.
5.23 设f,g∈NN ,N 为自然数集,且
f(x)=
x+1 x=0,1,2,3
0 x=4
x x≥5
ì
.
í
..
..
g(x)=
x2
x 为偶数
3 x 为奇数
ì
.
í ..
..
(1)求f..g,并讨论它的性质(是否为单射或满射).
(2)设A ={0,1,2},B ={0,1,5,6},求A 在f..g 下的像f..g(A )和B 的完全原像
(f..g)-1(B).
5.24 设满射函数f:A →A ,且f..f=f,证明f=IA .
5.25 设f:A →B 为单射函数,G:P(A)→P(B),G(X )为X 在f 下的像.证明G 也
是单射的.
88
离散数学习题解答与学习指导(第4版)
5.26
已知集合A,B,其中A≠.,<B,.>是偏序集,定义BA
上的二元关系
R
如下:
fRg
.f(x).g(x), .x∈
A
(1)证明
R
为BA
上的偏序
.
(2)给出<BA
,R>存在最大元的充分必要条件和最大元的一般形式
.
27
f:A→
B
导出的
A
上的等价关系
R
定义如下:R={<y∈
A
且f(
y)}设f1,f3,
f1(n)=
n
.n∈
N
y>x,
f(
5.
.
f2,f4∈
nN)
N,且
n
为奇数;f2(0,
x,|x)=
f2(=1 n)=
n
为偶数
f3(n)=n=k+j,0,2,
j
3j=1,k∈
N
f4(n)=60,1,…,5,
n=k+j,k∈
N
Ri
为fi
导出的等价关系,i=1j
,2,3,4.
j=
(1)求商集N/Ri,=2,4.
i1,3,
(2)画出偏序集<{N/R1,N/R2,N/R3,N/R4},.>的哈斯图,其中.为划分间的加细关
系(见习题4.
.
10k|f2,f3,
(3)求
H
31=
)
{k∈N}在f1,f4 下的像
.
5.证明定理5.则f=f..IA..f.
28
3:设f:A→B, IB
=
5.习题解答与分析
3
5.1
(1)A.
(2)D.
说明:(1)因为domf={b,
a,c}≠X.
(2)
A
中函数不是单射的,因为f(2)=f(1);
B
和
C
中函数的定义域不是实数集合R,
而是实数集合的真子集;
D
中函数满足要求
.
5.af={n2k|n,=Z.
2
rnk∈Z}
5.f1,f9}
,
3
BA
={f2,…,其中:
f1={a,0>b,0>a,b,1>a,0>b,2>
<,<},f2={<0>,<},f3={<,<},
f4={<1><0><1>,b,},f6={a,,b,},
a,,b,},f5={a,<1><1><2>
<,<},f8={<2>,<},f9={<,<}
f7={a,2>b,0>a,b,1>a,2>b,2>
.
2
5.4
(1)f(5)=53×5+2=12.
(2)f--={f(=-由于f(的最小值是-因此f-
1({6})x|x)6}, x) 1/4, 1({6})=.
.
(3)f({3})f(f(={2}.
1,={1),3)}0,
5 σ
是单射的,不是满射和双射的
.
5.a)a]a,
.
5.
6
g(=[={b}
5.7
(1)不是单射的,因为f(<1,2>)=f(<2,1>); 不是满射的,因为0.ranf.
y,x,=2,=
<
<2,0>,<0,2>
}
(2)对于任意自然数x,<y>∈
A
.x+y+13.x+y=于是
A
{1,1>,
(3)对于自然数x,y,f(<x,y>)∈
B
.x=y=1,2,3,
B
={1+1+1,2+2+1,
3+3+1}={5,任意(.)
3,7}
5.8
(2)、(4) )为双射的.和(6(.)
函 数
第5章
8 9
说明:对于实数区间上的函数,如果在区间上是单调的,那么该函数是单射的.例如(2)
和(4)中的函数是单调的,因此是单射的;(1)中的函数不是单调的,因此不是单射的.对于
满射性的判断,则需要考虑ranf.例如(3)中的函数,0.ranf,因此不是满射的.对于(5)中
的函数,1.ranf.
5.9 (1)f 是满射的,当n=1时,f(<n,k>)=k,k 可以是任意整数.
(2)f 不是单射的,因为f(<2,1>)=f(<-2,1>).
(3)f-1({0})=(Z×{0})∪({0}×Z).
(4)f-1(N)=Z×N.
(5)f(Z×{1})={n2|n∈N}.
5.10 (1)f 不是单射的,因为f(1)=f(-1);f 不是满射的,ranf=R+ ∪{0}.
(2)f 不是单射的,因为f(0.2)=f(0.3)=0;不是满射的,ranf=Z.
5.11 f:N→N,f(x)=2x.
说明:对于有穷集合A ,任何A 上的单射函数,同时也是A 上的满射函数,因此也是双
射函数;为了构造集合上的单射而非满射的函数,或者构造集合上的满射而非单射的函数,
只能选择无穷集合.最简单的无穷集合是自然数集合.
5.12 (1)f 是单射的,当m≠n 时<n,n+1>≠<m,m+1>;f 不是满射的,<0,0>.ranf.
(2)f 不存在反函数.
(3)ranf={<n,n+1>|n∈N}.
5.13 f 是双射的,且f-1({4+2i})={<4,2>}.
5.14 (1)f 不是单射的,因为f(<1,2>)=f(<2,1>);f 是满射的,不是双射的.
f(N×{1})=N, f-1({0})=(N×{0})∪({0}×N)
(2)f 不是单射的,因为f(<1,2>)=f(<2,1>);f 是满射的,不是双射的.
f(N×{0})=N, f-1({0})={<n,n>|n∈N}
5.15 f(R0[t])=R+ ∪{0},
f-1({t2+2t+1})={t+1,-t-1},
f-1(f({t-1,t2-1}))={t-1,1-t,t2-1,1-t2}.
5.16 f 不是单射的,f 不是满射的,则
f-1({0})={<0,0>}, f({<0,3>,<1,2>})={5,9}
5.17 (1)f..g:R→R,f..g(x)=x2-x-1,g..f:R→R,g..f(x)=x2-7x+14.
(2)g 存在反函数,g-1:R→R,g-1(x)=x+3.
5.18 (1)f 是满射的,也是单射的.
(2)f-1是函数,f-1:Z→Z,f-1(x)=x-5.
5.19 (1)τ..σ:R→R,τ..σ(x)=14
x2+x+1,σ..τ:R→R,σ..τ(x)=12
x2+x+12
.
(2)τ-1:R→R,τ-1(x)=2x.
5.20 存在从A 到B 的单射函数当且仅当m ≤n;存在从A 到B 的满射函数当且仅当
m ≥n;存在从A 到B 的双射函数当且仅当m =n.
5.21 σ..τ(x)={x2+2 x≥3
0 x<3, τ..σ(x)={(x+2)2 x≥1
-2 x<1
离散数学习题解答与学习指导(第4 版)
9 0
注意:对于分段函数,在求复合函数时,可能分段点会发生改变,如本题中的τ..σ 的分
段点不是3,而是1.
5.22 (1)f:2Z→N, f(x)={x x≥0
|x|-1 x<0.
(2)f:R→R+ ,f(x)=ex .
(3)f:P({a,b})→{0,1}{a,b},f(T)=χT ,其中χT 为T 的特征函数.
说明:如果构造两个实数区间之间的双射函数,一般可以选择直线方程或者其他适当
的严格单调函数;如果构造一个集合到自然数集合的双射函数,一般将这个集合的元素排成
一个线序,然后将最小元与0对应,后面的元素顺序与自然数建立对应关系.
5.23 (1)
f..g(x)=
x/2 x≥6,x 为偶数
3 x≥5且x 为奇数,x=0,2
0 x=4
1 x=1
2 x=3
ì
.
í
...
.
...
f..g 不是单射的,是满射的.
(2) f..g(A)={g(f(0)),g(f(1)),g(f(2))}={1,3}
(f..g)-1(B)={x|g(f(x))∈{0,1,5,6}}={1,4,10,12}
5.24 任取y∈A ,必有x∈A 使得<x,y>∈f,由题设有<x,y>∈f..f,因此存在z∈A
使得<x,z>∈f 且<z,y>∈f.由于f(x)是唯一的,因此y=z,从而<y,y>∈f.由于y 的任
意性,知IA .f.
任取<x,y>∈f,根据上面的证明,IA .f,有<x,x>∈f,因为f(x)是唯一的,从而得到
x=y.这就证明了f .IA .综合上述命题得证.
5.25 假设A1,A2 ∈P (A ),A1 ≠A2,不妨设存在x,使得x ∈A1 ∧x .A2,因此
f(x)∈f(A1)且由f 的单射性知f(x).f(A2).于是f(A1)≠f(A2).从而G (A1)≠
G(A2).
5.26 (1)任取f∈BA ,.x∈A ,f(x)=f(x),由于偏序.的自反性,f(x).f(x),
于是fRf 成立.对任意f,g∈BA ,.x∈A ,则
fRg ∧gRf.f(x).g(x)∧g(x).f(x).f(x)=g(x)
于是f=g.对任意f,g,h∈BA ,.x∈A ,则
fRg ∧gRh.f(x).g(x)∧g(x).h(x).f(x).h(x)
从而得到fRh.综合上述,R 具有自反、反对称、传递性,是偏序关系.
(2)充要条件是:偏序集<B,.>存在最大元.设B 的最大元为b,那么BA 上的最大元
为f:A →B,f(x)=b.
5.27 (1).x,y∈N,xRiy .fi(x)=fi(y),i=1,2,3,4,于是
xR1y .x=y
xR2y .x 与y 具有相同的奇偶性
xR3y .x≡y(mod3)
xR4y .x≡y(mod6)
91