第5章 多端口电路噪声 微波电路是由微波元件和射频传输线构成的封闭空间，空间中的电磁场分布需要严格满足麦克斯韦方程和边界条件，完整求解其计算量巨大，难以实现。微波电路可借助抽象化的微波网络模型来分析和计算，微波网络模型能够将复杂的电路抽象为端口物理量以及端口物理量之间的传递函数关系，把握各个端口以及端口之间的传递函数即可完全掌握微波电路的性能指标，而不需要计算电路内部的电磁场特性，大大降低了理论分析和工程设计的难度。 微波网络不仅能够描述简单的射频元器件，也可以描述射频功能模块和综合射频系统。微波电路功能模块是由射频元器件通过多种组合方式组合而成，具有一定独立功能的电路集合，多个功能模块通过传输线连接即可形成复杂的射频系统，能够完成通信或目标检测等任务。无论是简单的元器件、功能模块，还是复杂的射频系统，都可以采用多端口网络模型来描述。最简单的微波元器件诸如电阻、电容、电感以及天线等为单端口网络，采用1×1的矩阵参数描述即可。常用的有源微波元器件多为二端口网络，例如放大器、衰减器、滤波器等功能电路，二端口网络需要采用2×2的参数矩阵来完整地描述其性质。多于二端口的网络统称为多端口网络，主要包括混频器、环形器、多工器、功率分配器以及定向耦合器等器件，完整地描述其性能需要用到更高阶的矩阵。微波网络采用矩阵描述，而端口物理量则采用向量表示，端口物理量与网络参数定义是息息相关的。例如端口物理量若采用电压和电流，则网络参数为阻抗或导纳矩阵； 若端口物理量为入射波或反射波，则网络参数为散射矩阵。不仅电流电压等物理量可用矩阵和向量描述，多端口元器件的噪声表现也可以采用网络参数描述，即将噪声参数搭载于端口物理量内，通过相应的网络矩阵参数相互联系。噪声与端口物理量搭载，需要将噪声转化为与该物理量相同的量纲，若物理量为电压，则需将噪声转化为噪声电压形式； 若物理量为入射波或反射波，则需将噪声转化为噪声波形式。 常用的微波网络矩阵有阻抗矩阵、导纳矩阵、ABCD参数、散射参数矩阵和传输参数矩阵等。基于微波网络的噪声理论将微波电路中的噪声源抽象提取出来，并与端口处的物理向量相叠加，而原微波网络的矩阵参数则维持不变。H．Rothe和W．Dahlke在文献［1］中以常规电路参数为基础提出了多端口器件的RnGn噪声模型和EnIn噪声模型，其中RnGn噪声模型主要应用于微波放大器的噪声研究，而EnIn噪声模型则广泛应用于有源器件。 单端口网络是最基本的网络结构，对其进行详细的噪声性能分析有助于二端口甚至多端口噪声理论分析的展开，5．1节将详细介绍单端口网络的噪声分析，重点为线性网络的噪声功率谱输出、等效噪声温度、端口信噪比等概念。二端口网络是最为常见的一种网络结构，覆盖微波电路中绝大部分器件。5．2节将详细介绍二端口微波网络的噪声性能，主要涵盖等效噪声温度、输入输出信噪比、噪声系数等概念。放大器作为二端口网络中最典型的微波器件，将在5．3节详细分析其噪声表现并推算其最优噪声系数的达成条件。5．4节将分析有源二端口网络的噪声等效电路，并在5．5节讨论低噪声射频放大器的设计。 5．1单端口网络 线性网络是指完全由线性元器件、独立源或线性受控源组成的电路网络，例如由阻容感组成的电路网络、工作于线性区的放大器等。线性网络的一个重要特性是比例与叠加特性，比例特性是指输入信号幅度提升几倍，输出信号的幅度也提高几倍; 而叠加特性指在输入为多个独立源之和的情况下，总的响应输出为独立源各自响应输出之和。线性网络的噪声响应可以采用线性叠加方式进行分析，逐一计算每个噪声源对输出端口的噪声贡献，计算过程中将其他噪声源静默处理，最终将每个噪声源对输出端口的噪声贡献相叠加得到最终的噪声输出，即 vo=∑Ni=1Givi(5．1) 其中,vi为单个噪声源幅度，可以理解为噪声电压源或噪声电流源，为了简便，统一以噪声电压源表示。Gi为幅度传输函数，若输入输出均为电压，则Gi为电压增益，无量纲； 若输入为电流而输出为电压，则Gi量纲为阻抗。如果各个噪声源互不相关，根据第1章随机过程基本理论，式(5．1)所示的幅度叠加可直接写为功率叠加，即 v2o=∑Ni=1|Gi|2v2i(5．2) 其中，v2o和v2i为噪声电压均方值，窄带情况下与噪声功率及噪声功率谱的幅度成正比，因此式（5．2）中的电压均方值均可替换为噪声功率或噪声功率谱函数，即No=∑Ni=1|Gi|2Ni或N′o=∑Ni=1|Gi|2N′i。 接下来，5．1．1节~5．1．5节由简入繁，分别介绍电阻网络、电抗网络、线性网络、不等温线性网络的噪声功率谱输出和等效噪声温度。 5．1．1电阻网络 电阻的噪声等效电路有噪声电压和噪声电流两种形式，噪声电压源vs与电阻串联，而噪声电流源is与电阻并联，两者完全等价，等效电路如图5．1所示。噪声电压功率谱和噪声电流功率谱分别为 N′v=4kTRs(5．3) N′i=4kT1Rs(5．4) 图5．1电阻的噪声源等效形式 噪声电压源和噪声电流源具有线性关系，即vs=Rsis，功率谱间的关系为N′v=R2sN′i。功率谱密度函数与噪声电压或噪声电流的均方值之间的关系: 对于窄带噪声来说，v2o=N′vΔf和i20=N′iΔf； 一般情况下，例如对于宽带噪声来说，前式应写为积分形式，即v2o=∫N′vdf和i2o=∫N′idf。另外功率谱密度N′v常写为Sv(f)，同样N′i常写为Si(f)，本书同时使用N′和S(f)这两种写法。 电阻串联和并联的噪声源等效电路如图5．2所示，在串联结构中，由于输出端开路，单个电阻的噪声电压将直接出现在输出端，并且相互叠加，输出的电压源功率谱为 N′o=4kT(R1+R2)(5．5) 图5．2串联电阻和并联电阻的噪声源等效电路 对于多个电阻串联的情况来说，式（5．5）可拓展为 N′o=4kT∑Ri=4kTRin(5．6) 其中Rin=∑Ri。 电阻并联情况略有不同，电阻R1产生的噪声电压将会在电阻环路内产生电流并消耗功率，按照线性叠加规律，电阻R1产生的噪声电压对输出端的电压贡献为vsR2R1+R2，同样电阻R2产生的噪声电压对输出端的电压贡献为vsR1R1+R2，因此总的噪声电压输出功率谱为 N′o=4kTR1R2R1+R22+4kTR2R1R1+R22=4kTR1∥R2(5．7) 即电阻并联的噪声输出等于相同并联阻值的电阻噪声输出。电阻并联的噪声按噪声电流源等效形式分析将更加直观，并联的每个电阻贡献的噪声电流功率谱为4kT1Ri，总电流噪声功率谱为 i2o=4kT∑1Ri=4kTGin(5．8) 端口视在阻抗Gin=1/∑1Ri，因此换算为电压噪声功率谱为 N′o=v2o=i2oZ2in=4kT∑1Ri(5．9) 当只有两个电阻并联时，式(5．9)退化为式(5．7)。 5．1．2电抗网络 电阻并联电容或串联电容的分析方法与纯电阻的并联或串联基本相同，由于电容和电感等纯电抗原件并不贡献噪声，电抗原件只参与电路的分压和分流，因此电抗网络只需分析电阻的噪声源贡献即可。如图5．3(a)所示的电容旁路电路，电容参与分流，网络输出的电压即为电容的分压，因此根据式(5．2)得到网络的噪声输出功率谱为 图5．3电容旁路和电容串联 N′o=4kTRs1jωCpR+1jωCp2=4kTRs1+(ωRsCp)2 =4kTRe(Zin) (5．10) 电阻和电容串联形式，电容既不贡献噪声，也不参与分流，因此噪声输出功率谱与电阻是一致的，即 N′o=4kTRs=4kTRe(Zin)(5．11) 50Ω电阻与100pF电容分别并联和串联的网络的噪声功率谱随频率的变化如图5．4所示，随着频率升高，旁路电容的分流效应愈加明显，输出的噪声谱呈现低通特性，而串联网络的输出噪声谱则不随频率变化。 图5．4电阻电容网络噪声功率谱随频率的变化 图5．5复杂网络的等效电路和等效噪声源 纯电阻网络的噪声输出只与网络的输出电阻值成正比，对于由诸多电阻、电容和电感串联和并联组成的复杂电抗网络，虽然电抗原件不消耗功率，对输出端口的噪声贡献为零，但电抗原件的存在会使网络产生分压和分流效应，最终会影响网络的噪声输出。复杂的线性电抗网络可等效为电阻与电抗成分的级联，或者等效为电导与电纳成分的并联，如图5．5所示。图5．5与图5．3本质相同，当等效为噪声电压源时，噪声源功率谱与网络输入阻抗的实部成正比； 当等效为噪声电流源时，噪声源功率谱与网络输入导纳的实部成正比，具体表达式为 N′ov=4kTRe(Zin)(5．12) N′oi=4kTRe(Yin)(5．13) 若已知端口处的噪声功率谱，根据当前网络的物理温度，也可根据式(5．12)和式(5．13)计算网络的阻抗实部和导纳实部。 5．1．3线性网络 描述电路的特性往往采用两个对偶物理量，例如电压和电流，器件的阻抗或导纳即为电压和电流之间的比例系数。若该比例为常数，不随偏置电压或电流的变化而改变，则该器件称为线性器件； 若该比例系数随使用环境或偏置条件等变化，则该器件称为非线性器件。显然，满足简单比例关系的物理量同样满足叠加关系，表征元器件特性的代数关系是线性函数。 复杂电抗网络的输出噪声，除了使用5．1．2节所述的等效电路方式来计算以外，还可以使用线性电路的叠加性原理来计算。叠加计算方法如下： 首先，确定网络中所有能够贡献噪声的器件，并将该器件的噪声源单独提取出来，与原有器件串联(噪声电压源情况)或并联(噪声电流源情况)，原有器件剥离噪声源后被认定为无噪声器件; 其次，逐一计算单个噪声源对总端口噪声输出的贡献，计算时需将其他噪声源作失效处理，即将其他噪声源幅值设置为0; 最后，总端口输出即为各个噪声源贡献噪声电压或噪声电流的矢量和，如果各个噪声源互不相关(对于阻容感组成的电抗网络来说，各个独立器件产生的噪声源不相关)，最终总端口的噪声功率谱输出为各个噪声源的噪声谱线性叠加之和，即 Sout=∑iSout_i(5．14) 其中Sout_i(f)为各个噪声源对总端口的噪声贡献。 如图5．6(a)所示的由三个电阻组成的网络，分析其噪声输出功率谱。首先将网络中每个噪声器件替换为独立的噪声电压源串接电阻的噪声模型，如图5．6(b)所示，然后逐一计算各个噪声源的贡献，如图5．6(c)~(e)所示。其中R1对输出端口贡献的噪声电压为 vout_1=R3R1+R2+R3vN1(5．15) 图5．6三电阻网络的噪声输出实例 同理，R2和R3对输出端口贡献的噪声电压分别为 vout_2=R3R1+R2+R3vN2(5．16) vout_3=R1+R2R1+R2+R3vN3(5．17) 输出端口总的噪声电压为各电压叠加，由于各个噪声源互不相关，电压矢量叠加也等同于噪声源功率(窄带情况)或功率谱的叠加，即 SoutΔf=R3R1+R2+R32v2N1+R3R1+R2+R32v2N2+R1+R2R1+R2+R32v2N3 =R3R1+R2+R324kTR1Δf+R3R1+R2+R324kTR2Δf+ R1+R2R1+R2+R324kTR3Δf(5．18) 化简后即为 SoutΔf=4kT(R1+R2)R3R1+R2+R3=4kTRe(Zin)(5．19) 显然Re(Zin)=(R1+R2)R3R1+R2+R3为网络的输入视在阻抗的实部。如果网络中包含电抗成分，上述的分析流程依然成立，而且不要求网络各个元器件处于同样的物理温度下，从式(5．18)可看出，网络中各个元器件可具有不同的物理温度，但此时式(5．18)显然无法等效为简化式(5．19)。 对于部分相关的两个噪声源来说，需要将噪声源之一分解为与另一噪声源完全相关的部分和完全无关的部分再加以分析。例如Sout_i和Sout_j部分相关，将Sout_j分解为两部分Sout_jc和Sout_ju，其中Sout_jc与Sout_i完全相关，完全相关的两个噪声源对应的噪声电压呈现简单比例关系，即 vout_jc=α·vout_i(5．20) 其中α一般为复数，若vout_jc和vout_i为相同物理量，则α无量纲； 若vout_jc和vout_i为不同物理量(不仅仅为电压量)，则α具有一定的量纲。噪声电压与噪声功率谱关系为SΔf=v2，当vout_jc和vout_i量纲均为电压时，两者叠加应先按矢量叠加，再平方计算叠加后的功率谱，即 Sout_ijc=|1+α|2Sout_i(5．21) Sout_ju与Sout_i完全不相关，因此叠加的功率谱直接将功率谱函数相加即可，即Sout=Sout_ijc+Sout_ju。 5．1．4不等温的线性网络 使用5．1．2节等效电路方法计算网络的等效噪声输出要求网络具有均一的物理分布温度，如果网络中各个器件的物理温度不同，则不能采用该方法计算噪声。而采用叠加原理计算线性电路噪声的方法以噪声源为基本出发点，不要求网络元件具有相同的物理温度，甚至允许单个元件自身具有一定的温度梯度。如图5．7(a)所示的电路，两个不同具有物理温度的电阻串联，采用叠加法计算总的噪声输出功率谱为 Sout=4kT1R1+4kT2R2(5．22) 网络等效的输入阻抗为R1+R2，将输入阻抗从式(5．22)提出，则有 Sout=4k(R1+R2)T1R1R1+R2+T2R2R1+R2(5．23) 定义Te=T1R1R1+R2+T2R2R1+R2为网络的等效噪声温度，定义比例系数β1=R1R1+R2和β2=R2R1+R2，则式（5.23）可写为 Sout=4k(R1+R2)(β1T1+β2T2)(5．24) 不等温的串联电路总噪声输出仍可以写为Sout=4kRinTe这样简单的形式，比例系数的物理意义为线性网络内各个电阻物理温度对输出噪声温度贡献的占比。比例系数的另一种解释为Pierce功率消耗比例，即在输出端口注入单位功率，网络内部每个耗散器件消耗功率的比值，消耗功率越大，这个器件物理温度对输出的噪声温度贡献越大。对于电抗元器件，由于其不消耗功率，比例系数为0，其物理温度对总端口的噪声贡献也为0。 N个不等温度电阻串联的情形，网络的等效温度和总噪声输出可改写为 Te=∑Ni=1βiTi(5．25) Sout=4kRinTe(5．26) 其中，比例系数βi=Ri/∑Nj=1Rj，网络输入电阻Rin=∑Nj=1Rj。 对于电阻并联情形，如图5．7(b)所示，按照线性叠加原理，总的噪声输出功率谱为 Sout=4kT1R1R2R1+R22+4kT2R2R1R1+R22(5．27) 将并联网络等效输入阻抗R1R2R1+R2从式(5．27)提出，则有 Sout=4kR1R2R1+R2T1R2R1+R2+T2R1R1+R2(5．28) 定义比例系数β1=R2R1+R2和β1=R1R1+R2，得到等效噪声温度Te=β1T1+β2T2和网络的噪声功率谱输出Sout=4kRinTe。对于N个不同物理温度的电阻并联的情形，比例系数的计算宜采用电导来计算，即βi=Gi/∑Nj=1Gj，等效噪声温度和噪声功率谱输出的表达式与式(5．25)和式(5．26)相同。 图5．7不等温的电阻网络 对于同时含有并联和级联的复杂电阻网络来说，若采用如式(5．18)的电路分析方法计算比例系数，其过程会相当烦琐。此时宜采用Pierce功率分配法计算，即端口处注入单位功率，计算网络内各个耗散器件占用功率的值，即得到该器件的比例系数。如图5．6所示的三电阻网络，当端口注入单位功率时，R3消耗功率为 β3=R1+R2R1+R2+R3(5．29) R1和R2消耗功率之和为剩余的R3R1+R2+R3，继续按比例计算R1和R2消耗功率为 β1=R3R1+R2+R3·R1R1+R2(5．30) β2=R3R1+R2+R3·R2R1+R2(5．31) 因此若三个电阻的物理温度分别为T1、T2和T3，则输出端口的等效噪声温度为 Te=∑Ni=1βiTi=β1T1+β2T2+β3T3(5．32) 图5．8Pierce定律的应用实例 利用Pierce定律分析如图5．8所示的两个例子。在图5．8(a)的端口注入单位量值的功率，第一个衰减器首先消耗50%的功率(其物理温度不影响功率的消耗比例)，第二个衰减器再消耗剩余功率的一半，即25%，匹配电阻消耗最终的25%功率，根据各个模块的功率消耗比例系数得到网络等效噪声温度为Te=（0．5×290+0．25×100+0．25×50）K=182．5K。图5．8(b)所示天线对准物理温度为200K的吸波材料，吸波材料反射率为0．1，已知天线的损耗为1dB，物理温度为290K，环境温度为320K，根据Pierce定律，天线端口注入单位量值的功率，天线自身由于损耗将消耗20．6%的功率，其余79．4%的功率将被天线辐射至吸波材料，由于吸波材料具有一定的反射率，吸波材料消耗的功率比例为79．4%×(1-0．12)=78．6%，剩余0．8%的功率被反射而弥散于环境空间，被320K的空气所吸收，根据各部消耗功率的比例，得到天线端口等效的噪声温度为Te=（0．206×290+0．786×200+0．008×320）K=219．5K。 接下来分析如图5．9(a)所示的具有不等温分布的电阻棒，电阻棒总长度为Lx，电阻棒在坐标x处的局部电阻率为ρ(x)，物理温度为T(x)，则厚度为Δx的小单元的电阻为ρ(x)Δx，其噪声功率对总端口的噪声电压功率谱贡献为 ΔN′vo=4kT(x)ρ(x)Δx(5．33) 式（5．33）对x积分得到电阻棒的总噪声功率谱输出和等效噪声温度为 N′vo=∫Lx04kT(x)ρ(x)dx(5．34) Te=N′vo4kRe(Zin)=∫Lx0T(x)ρ(x)dx∫Lx0ρ(x)dx(5．35) 另一个例子是如图5．9(b)所示的具有不等温分布的电阻薄片，电阻上下两面采用良导体与输出端口连接，电阻条总长度为Ly，位于y处的电导率为σ(y)，物理温度为T(y)，则厚度为Δy的小单元对总端口的噪声电流功率谱贡献为 N′io=4kT(y)σ(y)Δy(5．36) 因此总噪声功率谱输出和等效噪声温度分别表示为 ΔN′io=∫Ly04kT(y)σ(y)dy(5．37) Te=N′io4kRe(Yin)=∫Ly0T(y)σ(y)dy∫Ly0σ(y)dy(5．38) 图5．9两种典型的不等温分布式电阻 一端口网络采用阻抗和导纳参数即可描述，二端口网络参数则更加丰富，不仅可用常规的阻抗和导纳参数描述，还可使用散射参数、ABCD参数、传输参数来描述。对于射频电路而言散射参数等描述方法更加方便有效，射频电路的噪声表现也可借用二端口网络参数来表示。 5．2二端口网络 5．2．1节将介绍各种形式的微波网络的基本理论，并在5．2．2节利用二端口网络参数来描述网络的噪声输出性能，5．2．3节和5．2．4节则将网络中的噪声抽象为独立的噪声源，并将其叠加于原网络。 5．2．1微波网络 射频和微波电路在早期都是由低频模拟电路衍生而来，因此沿用模拟电路的习惯仍采用电压电流及阻抗等概念来描述电路参数。但在微波等高频频段，电路中的物理量常不以电压和电流等形式体现，而是表现为场和波，不能采用传统的电压表和电流表测量，因此电压、电流和阻抗等概念不再适合用于微波电路性能的描述，必须采用一种新的电路描述体系，即微波网络。微波网络建立了微波电路与传统模拟电路的桥梁，使得某些模拟电路的概念和分析方法能够应用于微波电路的分析和计算。 微波网络理论是分析和研究微波电路的方法，它与电磁场理论同为微波电路领域的主要理论基础，对于学习和理解微波电磁场电路十分重要。微波网络认为任何微波系统，无论功能简单还是复杂，都可以采用微波网络描述。集总元器件往往采用简单的微波网络描述，由于微波网络具有多种组合和叠加性能，能够使用许多简单的电子元器件组合形成复杂的微波网络，这对设计、分析和计算微波电路十分有益。 多端口的电路网络常用矩阵和向量来描述，其中最常见网络参数有阻抗矩阵、导纳矩阵和ABCD矩阵，分别对应着Z参数、Y参数和ABCD参数。二端口阻抗网络如图5．10所示，端口向量分别定义为电压向量V=V1 V2和电流向量I=I1 I2，阻抗矩阵定义为Z=Z11Z12 Z21Z22，网络关系为 V1 V2=Z11Z12 Z21Z22I1 I2(5．39) 其中，Zij=Vi/Ij|Ik=0,k≠j为阻抗参数，式（5．39）写成矩阵方式为 V=ZI(5．40) 对于多端口阻抗矩阵，式(5．40)也是通用的。 二端口网络导纳网络如图5．11所示，网络参数可以写成导纳矩阵 I1 I2=Y11Y12 Y21Y22V1 V2(5．41) 式（5．41）可简化写为I=YV，其中Yij=Ii/Vj|Vk=0,k≠j为导纳参数。阻抗矩阵和导纳矩阵具有以下关系Y=Z-1，且Y矩阵和Z矩阵有下列性质： ①对于互易系统，Y和Z矩阵为对称矩阵; ②对于无损系统，Y和Z矩阵为纯虚数矩阵; ③二端口网络串联，总的Z参数等于各子系统Z参数相加; ④二端口网络并联，总的Y参数等于各子系统Y参数相加。 图5．10二端口阻抗网络 图5．11二端口导纳网络 图5．12二端口ABCD网络 除了阻抗矩阵和导纳矩阵之外，ABCD参数的应用也是非常广泛的，ABCD矩阵框图如图5．12所示，ABCD矩阵定义如下 V1 I1=AB CDV2 I2(5．42) 对于级联系统(如图5．13所示)，总网络的ABCD矩阵表达式如下 V1 I1=A1B1 C1D1V2 I2=A1B1 C1D1A2B2 C2D2V3 I3=AB CDV3 I3(5．43) 因此级联后的ABCD矩阵为 AB CD=A1B1 C1D1A2B2 C2D2(5．44) 图5．13利用ABCD矩阵描述级联系统 由于交流信号的短路和开路测试在微波宽带范围内很难实现，导致Z参数，Y参数以及ABCD参数的测量难度较大，因此传统的网络参数仅适用于对微波电路的理论描述，不适合应用于微波测试。在微波波段宜采用入射波和反射波等概念来描述二端口网络，入射波和反射波便于采用矢量电压表或网络分析仪等仪器进行测量。基于波参数的微波网络模型将各个端口的入射波作为输入向量， 图5．14二端口网络示意图 将各端口的反射波作为输出向量，输入向量和输出向量采用散射矩阵联系，这种微波网络也称为散射参数(S参数)。以二端口网络为例(如图5．14所示)，定义a为入射波向量，b为反射波向量，波参数和散射矩阵关系定义如下 b1 b2=S11S12 S21S22a1 a2(5．45) 散射参数不方便直接级联运算，因此受ABCD网络的启发，适当调整入射波和反射波向量单元的顺序，将前级的反射波作为后级的入射波，进而将前级的入射波作为后级的反射波，建立如图5．15所示的级联网络，得到如下的矩阵关系 a1 b1=TA11TA12 TA21TA22b2 a2 b2 a2=a3 b3=TB11TB12 TB21TB22b4 a4(5．46) 图5．15级联网络的传输矩阵表示 其中T参数为微波网络的传输矩阵。级联后的传输矩阵为各个子传输矩阵的乘积，即 a1 b1=TA11TA12 TA21TA22TB11TB12 TB21TB22b4 a4(5．47) 导纳矩阵、阻抗矩阵、ABCD矩阵、散射矩阵以及传输矩阵可以相互换算，详见相关文献［8］，本书将换算公式列于表5．1。 表5．1微波网络参数换算表 Z矩阵和Y矩阵Z11=Y22/ΔY Z12=-Y12/ΔY Z21=-Y21/ΔY Z22=Y11/ΔY 其中ΔY=Y11Y22-Y12Y21Y11=Z22/ΔZ Y12=-Z12/ΔZ Y21=-Z21/ΔZ Y22=Z11/ΔZ 其中ΔZ=Z11Z22-Z12Z21 Z矩阵和ABCD参数Z11=A/C Z12=ΔA/C Z=1/C Z22=D/C 其中ΔA=AD-BCA=Z11/Z21 B=ΔZ/Z21 C=1/Z21 D=Z22/Z21 其中ΔZ=Z11Z22-Z12Z21 Y矩阵和ABCD参数Y11=D/B Y12=-ΔA/B Y21=-1/B Y22=A/B 其中ΔA=AD-BCA=-Y22/Y21 B=-1/Y21 C=-ΔY/Y21 D=-Y11/Y21 其中ΔY=Y11Y22-Y12Y21续表 ABCD参数和S矩阵A=(Z*01+S11Z01)(1-S22)+S12S21Z012S21P01P02 B= (Z*01+S11Z01)(Z*02+S22Z02)-S12S21Z01Z022S21P01P02 C=(1-S11)(1-S22)-S12S212S21P01P02 D=(1-S11)(Z*02+S22Z02)+S12S21Z022S21P01P02 其中Z0i为端口特征阻抗，R0i为特征阻抗的实部S11=AZ02+B-CZ*01Z02-DZ*01AZ02+B+CZ*01Z02+DZ*01 S12=2(AD-BC)P01P02AZ02+B+CZ*01Z02+DZ*01 S21=2P01P02AZ02+B+CZ*01Z02+DZ*01 S22=-AZ*02+B-CZ01Z*02+DZ01AZ02+B+CZ*01Z02+DZ*01 其中Z0i为端口特征阻抗，R0i为特征阻抗的实部 S矩阵和T矩阵S11=T21/T11 S12=ΔT/T11 S21=1/T11 S22=T12/T11 其中ΔT=T11T22-T12T21T11=1/S21 T12=-S22/S21 T21=S11/S21 T22=-ΔS/T11 其中ΔS=S11S22-S12S21 5．2．2端口噪声功率 由5．1节单端口噪声网络及其噪声输出功率谱函数可知，单端口网络可等效为噪声电压源(以电压源功率谱函数Sv(f)表示)或噪声电流源(以电压源功率谱函数Si(f)表示)两种对偶的噪声等效电路形式，Sv(f)和Si(f)的关系如下 Sv(f)=4kTRe(Zin)=2kT(Zin+Z*in)=2kT1Yin+1Y*in =2kTYin+Y*inYinY*in=4kTRe(Yin)|Yin(f)|2=Si(f)1|Yin(f)|2(5．48) 即 Sv(f)Si(f)=1|Yin(f)|2=|Zin(f)|2(5．49) 当单端口网络端口接负载ZL时，负载消耗的功率为 PL=Sv(f)|Zin+ZL|2Re(ZL)Δf=Sv(f)(Rin+RL)2+(Xin+XL)2RLΔf(5．50) 其中RL和XL分别为负载ZL的实部和虚部，式（5．50）对RL和XL分别求偏导数，并令其等于0可以得到PL取极大值的条件为 RL=Rin XL=-Xin(5．51) 即在负载与源阻抗共轭匹配的条件下，负载获得最大功率，称该功率数值为单端口网络的资用功率(资用功率是网络的固有输出能力，与负载情况无关)，具体表达式为 Pav=Sv(f)|Zin+ZL|2Re(ZL)=Sv(f)4Rin=kTΔf(5．52) 窄带情况下噪声电压均方值v2与噪声电压功率谱Sv(f)的关系为 v2=Sv(f)Δf(5．53) 其中Δf为频率带宽。在计算频带相当宽，且功率谱函数随频率并不平坦的条件下，式（5．53）应写为积分式 v2=∫f2f1Sv(f)df(5．54) 同理，在窄带和宽带情况下，噪声电流的均方值i2与噪声电流功率谱Si(f)的关系为 i2=Si(f)Δf i2=∫f2f1Si(f)df(5．55) 5．2．3噪声等效网络和噪声相关矩阵 二端口网络是最常用的微波网络形式，其噪声性能分析同单端口网络类似，将网络内部的噪声源抽象并剥离后放置于端口，而将器件本征部分看作无噪声的理想器件。二端口网络具有多种表述形式，每一种表述形式均对应着一种噪声源叠加形式，例如导纳形式的网络将双路电流噪声源并联于端口、阻抗形式的网络将双路电压噪声源串联于端口、ABCD网络则在输入端同时串接和并联电压噪声源和电流噪声源。二端口噪声模型避免了对器件内部复杂噪声产生机理的分析，简化了器件噪声性能的计算和评估。 导纳形式的噪声源网络如图5．16所示，网络参数与噪声电流源的关系如下 I1=Y11V1+Y12V2+In1 I2=Y21V1+Y22V2+In2(5．56) 阻抗形式的噪声源网络如图5．17所示，网络参数与噪声电压源的关系如下 V1=Z11I1+Z12I2+Vn1 V2=Z21I1+Z22I2+Vn2(5．57) 式（5．56）和式（5．57）写成矩阵和向量形式为 I=YV+In(5．58) V=ZI+Vn(5．59) 图5．16双端噪声电流源网络 图5．17双端噪声电压源网络 根据式(5．56)，有I-In=YV，得到V=Y-1(I-In)=Z(I-In)，再结合式(5．57)得到V-Vn=ZI，Vn=-ZIn，同理也有In=-YVn。 ABCD网络对应的噪声源等效形式如图5．18所示，将二端口网络的内部噪声全部抽象提取并列于网络的输入端，网络参数与噪声源的关系如下: V1 I1=AB CDV2 I2+Vn In(5．60) 图5．18二端口传输矩阵噪声网络 电压噪声源和电流噪声源均为随机过程，没有明确的表达式，矢量幅值不确定，而只有其均方值(功率谱)为确定值，因此所有的随机量均要量化为功率谱才能进行定量分析。这导致随机过程运算过程中的符号也不甚重要，例如对于表达式Is=X±In，若X为确定量，In为随机量，或者X和In为互不相关的随机量，那么式中符号无论取正还是取负，均不影响电路的功率谱响应。无论是噪声电压源还是电流源，取互相关便可得到该噪声源的功率谱和互功率谱。双端口网络的电压噪声源相关矩阵定义为 CV=V*n1 V*n2·Vn1Vn2=|Vn1|2V*n1Vn2 Vn1V*n2|Vn2|2(5．61) 其中，|Vn1|2、|Vn2|2表示电压源的功率谱，V*n1Vn2、Vn1V*n2表示电压源间的互功率谱。同理定义电流噪声源的相关矩阵为 CI=I*n1 I*n2·In1In2=|In1|2I*n1In2 In1I*n2|In2|2(5．62) ABCD网络参数对应的噪声源相关矩阵为 CA=V*n I*n·VnIn=|Vn|2V*nIn VnI*n|In|2(5．63) 不同网络的噪声源相关矩阵可以相互换算，例如CV和CI换算关系如下： CI=I*n1 I*n2·In1In2=-Y*V*n1 V*n2·Vn1Vn2·(-YT)=Y*CVYT(5．64) 其他各类型噪声相关矩阵间的换算关系简述如下 CI=-Y111 -Y210*CA-Y111 -Y210T CV=Z*CIZT CV=1-Z11 0-Z21*CI1-Z11 0-Z21T CA=0A11 1A21*CI0A11 1A21T CA=1-A11 0-A21*CV1-A11 0-A21T(5．65) 多个二端口网络能够进行串联、并联以及级联等多种组合实现更复杂的网络，串联网络宜采用阻抗矩阵描述(如图5．19(a)所示)，串联阻抗矩阵表示为 Z=Z1+Z2(5．66) 由于网络Z1和Z2各自的噪声来源不同，因此其噪声源不相关，因而串联的噪声相关矩阵为各个电压噪声相关矩阵之和，即 CV=CV1+CV2(5．67) 对于并联网络来说，宜采用导纳矩阵描述(如图5．19(b)所示)，矩阵参数和噪声相关矩阵有以下结果 Y=Y1+Y2 CI=CI1+CI2(5．68) 级联网络宜采用ABCD矩阵描述(如图5．19(c)所示)，矩阵参数的级联计算结果如下 V1 I1=A1A2V3 I3+A1Vn2 In2+Vn1 In1(5．69) 级联后的ABCD矩阵为A=A1A2，级联后等效的噪声源为 Vn In=A1Vn2 In2+Vn1 In1(5．70) 进而得到噪声相关矩阵为 CA=CA1+A*1CA2AT1(5．71) 其中，CA1和CA2分别为级联网络A1和A2的噪声源相关矩阵。某些测试场景下，A1和CA1为测试夹具的网络参数和噪声相关矩阵，可通过其他手段提前测出，A2为待测件，测试时级联的噪声矩阵CA也可通过仪器直接测试得到，因而可以计算得到A2=A-11A，根据式(5．71)也可以计算出待测件的噪声相关矩阵为CA2=(A*1)-1(CA-CA1)(AT1)-1。更多级的二端口网络级联也可通过上述方法逐级剥离，逐步计算出待测件的ABCD参数以及噪声相关矩阵。 图5．19串联、并联和级联网络组合 5．2．4噪声波理论 阻抗矩阵、导纳矩阵和ABCD矩阵均基于电压和电流来描述微波网络，相比于此，散射参数基于入射波和反射波，能够更直观的描述微波网络。为了建立散射参数的噪声网络模型，需要将网络中的噪声抽象为功率波的形式，将噪声功率波与原网络功率波相叠加得到噪声网络模型，如图5．20所示。散射参数的噪声网络引入了噪声功率波c1和c2，按照信号流图有 b=Sa+c(5．72) 其中，a=［a1,a2］′为入射波矢量，b=［b1,b2］′为反射波矢量，c=［c1,c2］′为噪声波矢量，S为网络的散射矩阵。噪声波的相关矩阵定义为 图5．20散射参数的噪声波模型 CS=c*1 c*2·［c1,c2］=|c1|2c*1c2 c1c*2|c2|2 (5．73) 其中，|c1|2、|c2|2表示噪声波的功率谱，c1c*2、c*1c2为噪声波的互功率谱。 散射参数的二端口网络级联电路如图5．21所示，根据噪声波的信号流图分析，级联后网络的噪声波表示如下 cCn_1=cAn_1+cAn_2SA12SB111-SA22SB11+cBn_1SA121-SA22SB11 cCn_2=cBn_2+cBn_1SB21SA221-SA22SB11+cAn_2SB211-SA22SB11(5．74) 图5．21二端口网络的级联 噪声波还可以使用传输矩阵来描述，如图5．22所示的二端口网络，将两个噪声波分别加载于端口1的入射波和反射波，采用传输矩阵描述的噪声波方程为 a1 b1=T11T12 T21T22b2 a2+cn1 cn2(5．75) 图5．22传输矩阵与噪声波的结合 传输矩阵描述的噪声波相关矩阵定义如下 CT=c*n1 c*n2·［cn1,cn2］=|cn1|2c*n1cn2 cn1c*n2|cn2|2(5．76) 当采用传输矩阵描述网络级联时，如图5．23(a)所示，有以下结果 a1A b1A=TAb2A a2A+cn1A cn2A=TAa1B b1B+cn1A cn2A =TATBb2B a2B+TAcn1B cn2B+cn1A cn2A(5．77) 最终得到级联网络传输矩阵、噪声波向量和噪声相关矩阵如下 TC=TATB cn1C cn2C=TAcn1B cn2B+cn1A cn2A CTC=CTA+T*ACTBTTA(5．78) 对于芯片在片测试的情况下，一般系统校准于同轴端口，通过测试得到的网络参数为输入测试探针、待测件与输出测试探针的级联，如图5．23(b)。为最终获得待测件的网络参数，需利用去嵌入程序将输入测试探针和输出测试探针的网络参数扣除，级联网络的传输矩阵参数如下所示 TC=TP1TDUTTP2(5．79) 其中TC为级联网络的传输参数，通过测试得到，一般输入输出探针的传输参数TP1和TP2为已知量，因此可计算待测件的传输参数为TDUT=T-1P1TCT-1P2。相应TC的噪声波相关矩阵为 CTC=CTP1+T*P1CTDUTTTP1+T*P1T*DUTCTP2(TP1TDUT)T(5．80) 其中CTC为级联的噪声波相关矩阵，可通过测试得到，一般输入输出探针的噪声波相关矩阵CTP1和CTP2为已知量，且TDUT已计算出，则有 CTDUT=(T*P1)-1［CTC-CTP1-T*P1T*DUTCTP2(TP1TDUT)T］(TTP1)-1(5．81) 图5．23传输矩阵噪声模型的网络级联 5．2．5噪声相关矩阵 前述几节关于微波网络和噪声矩阵的介绍不局限于二端口网络，多端口网络同样适用。对于多端口网络来说，定义N为端口噪声源的列向量，定义噪声相关矩阵为C=N*·NT，其中T代表转置。噪声相关矩阵是共轭对称的，即C=CH; 同时噪声相关矩阵的对角线元素为正实数，且矩阵的行列式大于或等于0。具体地，对于二端口网络来说，C11、C22均为正实数，ΔC=C11C22-C12C21≥0。 以多端口无源线性网络为例，若采用导纳矩阵和噪声电流源描述网络的噪声模型，则噪声电流的相关矩阵具体定义如下 CY=in_1i*n_1in_1i*n_2 in_2i*n_1in_2i*n_2…in_1i*n_N …in_2i*n_N  in_Ni*n_1in_Ni*n_2 …in_Ni*n_N(5．82) 对角线上的每个元素为对应端口的噪声电流功率(窄带情况下等同于噪声功率谱)，式(5．82)和式(5．62)定义的区别仅在于功率和功率谱，即相差带宽因子Δf。 如图5．24所示的双端口网络，网络内部的两个电阻为噪声源，将电阻等效为噪声电流源形式，首先计算端口1(P1)和端口2(P2)节点处的电流。节点P1的噪声电流为 iP1=i1(5．83) 节点P2的噪声电流为 iP2=-i1+i2(5．84) 进而根据式(5．82)得到噪声电流相关矩阵为 CI=i21-i21 -i21i21+i22(5．85) 式（5．85）应用了i1和i2互不相关的特性，因为两者起源于不同的电阻。电阻R1和电阻R2的电流噪声均方值为i21=4kTΔf/R1，i22=4kTΔf/R2，所以进一步可得到CI=4kTΔf1/R1-1/R1 -1/R11/R1+1/R2。网络的节点噪声电流的物理意义如图5．24（b）所示，节点噪声电流即为网络等效在端口处旁路噪声电流，电流的功率谱完全由噪声电流相关矩阵体现。 图5．24典型的二端口噪声网络 噪声相关矩阵的对角线元素代表噪声网络噪声源的功率，非对角线元素代表各噪声源的互功率，一方面由基本元器件组成的复杂网络可通过分析节点噪声电流或噪声电压来计算噪声相关矩阵； 另一方面，也可根据已知的噪声相关矩阵综合出等效的多端口网络，该网络均由基本元器件来表征。一般情况下习惯采用具有相同噪声功率的等效电阻(或电导)来替代噪声相关矩阵中的元素，具体来说，噪声网络的综合过程是将噪声相关矩阵的功率谱元素等效的替换为电阻(或电导)以及电阻间的相关性的函数。 例如，二端口电压噪声相关矩阵的功率谱元素若替换为等效的噪声电阻，则噪声相关矩阵可写成下面的方程 CV=|Vn1|2V*n1Vn2 Vn1V*n2|Vn2|2=4kTΔfR1ρ*VR1R2 ρVR1R2R2(5．86) 其中各参数定义为 R1=|Vn1|24kTΔf R2=|Vn2|24kTΔf ρV=V*n1Vn2|Vn1||Vn2| 得到R1、R2和ρV表达式，即完成噪声网络的综合过程。同理可根据二端口噪声电流的相关矩阵综合出导纳网络为 CI=|In1|2I*n1In2 In1I*n2|In2|2=4kTΔfG1ρ*IG1G2 ρIG1G2G2(5．87) 其中各参数定义为 G1=|In1|24kTΔf G2=|In2|24kTΔf ρI=I*n1In2|In1||In2| 还可根据ABCD网络模型的噪声电压电流相关矩阵综合出电阻电导网络为 CA=4kTΔfRNρ*ARNGN ρARNGNGN(5．88) 其中各参数定义为 RN=|Vn|24kTΔf GN=|In|24kTΔf ρA=V*nIn|Vn||In| 散射噪声波相关矩阵的综合方程为 CS=kTΔfTc1ρ*STc1Tc2 ρSTc1Tc2Tc2(5．89) 其中各参数定义为 Tc1=|c1|2kTΔf Tc2=|c2|2kTΔf ρS=c*1c2|c1||c2| 传输噪声波相关矩阵的综合方程为 CT=kTΔfTcn1ρ*cnTcn1Tcn2 ρcnTcn1Tcn2Tcn2(5．90) 其中各参数定义为 Tcn1=|cn1|2kTΔf Tcn2=|cn2|2kTΔf ρcn=c*n1cn2|cn1||cn2| 5．2．6噪声相关矩阵的计算 5．2．3~5．2．5节介绍了噪声相关矩阵与微波网络的概念和相互计算关系，本节将具体介绍基于噪声电流源和电压源相关矩阵参数的计算方法。在图5．16中，可人为对两个端口进行短路和开路操作，得到在各个已知状态下的噪声功率谱输出。例如当端口2短路时，电流噪声源In2也被短路，对端口1的噪声贡献为0，此时端口1噪声功率谱定义为 |In1|2=4kT1Re(Y11)(5．91) 其中T1为网络在端口1的等效噪声温度。同理，当端口1短路，电流噪声源In1对端口2的噪声贡献为0，此时端口2噪声功率谱定义为 |In2|2=4kT2Re(Y22) (5．92) 其中T2为网络在端口2的等效噪声温度，网络在端口2的等效噪声温度一般不等于端口1的等效噪声温度。 当端口2开路时，I2=0，端口1的视在输入导纳为Yin=Y11-Y12Y21/Y22，此时按照单端口网路的噪声计算公式得到端口1的噪声电流功率谱为 |In1|2|I2=0=4kTRe(Yin)=4kTRe(Y11-Y12Y21/Y22) (5．93) 另一方面，根据式(5．56)，当I2=0时，端口1的电流可以写为 I1=Y11V1-Y12In2+Y21V1Y22+In1(5．94) 若式（5．94）只保留噪声成分，即 In1|I2=0,V1=0=-In2Y12Y22+In1(5．95) 式（5．95）进行自相关运算得到功率谱为 -In2Y12Y22+In1*-In2Y12Y22+In1=|In1|2+|In2|2Y12Y222-Y12Y22* In1I*n2-Y12Y22I*n1In2 =4kTRe(Y11)+4kTRe(Y22)Y12Y222-Y12Y22*In1I*n2-Y12Y22I*n1In2(5．96) 端口1的自相关功率谱应与式(5．93)定义的相等，即得到 Y12Y22*In1I*n2+Y12Y22I*n1In2=4kTRe(Y22)Y12Y222+ReY12Y21Y22(5．97) 将端口1开路，重复进行上面的推导过程，分析端口2的噪声自相关功率谱可以得到式(5．97)的对偶表达式为 Y21Y11*In2I*n1+Y21Y11I*n2In1=4kTRe(Y11)Y21Y112+ReY12Y21Y11(5．98) 求解式(5．97)和式(5．98)即可得到如下结果 In1I*n2=2kT(Y12+Y*21) I*n1In2=2kT(Y*12+Y21)(5．99) 更一般的，式(5．99)可以推广到多端口网络，多端口网络的任意两个端口j和k的电流互功率谱为 InjI*nk=2kT(Yjk+Y*jk)(5．100) 相似地，对于噪声电压源等效电路也可做相同的推导，在图5．17中，当端口2开路，电压噪声源2对端口1的噪声贡献为0，此时端口1噪声功率谱定义为 |Vn1|2=4kT1Re(Z11)(5．101) 其中T1为网络在端口1的等效噪声温度。同理当端口1开路，电压噪声源1对端口2的噪声贡献为0，此时端口2噪声功率谱定义为 |Vn2|2=4kT2Re(Z22)(5．102) 其中T2为网络在端口2的等效噪声温度，网络在端口2的等效噪声温度一般不等于端口1的等效噪声温度。 端口2短路时，V2=0，网络端口1的输入阻抗为Zin=Z11-Z12Z21/Z22，此时端口1的噪声电流压功率谱为 |Vn1|2|V2=0=4kTRe(Vin)=4kTRe(Z11-Z12Z21/Z22)(5．103) 另一方面，根据式(5．57)，当V2=0时，端口1的电压可以写为 V1=Z11I1-Z12Vn2+Z21I1Z22+Vn1(5．104) 若式（5．104）只保留噪声成分，则有 Vn1|I1=0,V2=0=-Vn2Z12Z22+Vn1(5．105) 式（5．105）的自相关功率谱为 -Vn2Z12Z22+Vn1*-Vn2Z12Z22+Vn1=|Vn1|2+|Vn2|2Z12Z222-Z12Z22*Vn1V*n2-Z12Z22V*n1Vn2 =4kTRe(Z11)+4kTRe(Z22)Z12Z222- Z12Z22*Vn1V*n2-Z12Z22V*n1Vn2 (5．106) 端口1的自相关功率谱应与式(5．103)定义的相等，即 Z12Z22*Vn1V*n2+Z12Z22V*n1Vn2=4kTRe(Z22)Z12Z222+ReZ12Z21Z22(5．107) 同样将端口1短路，重复进行上面的推导过程，分析端口2的噪声自相关功率谱可以得到式(5．107)的对偶表达式为 Z21Z11*Vn2V*n1+Z21Z11V*n2Vn1=4kTRe(Z11)Z21Z112+ReZ12Z21Z11(5．108) 求解式(5．107)和式(5．108)即可得到如下结果 Vn1V*n2=2kT(Z12+Z*21) V*n1Vn2=2kT(Z*12+Z21)(5．109) 更一般地，对于N端口网络来说，端口j和端口k的电流互功率谱为 VnjV*nk=2kT(Zjk+Z*kj)(5．110) 由阻容感组成的二端口网络一般满足互易性质，对于互易二端口网络来说，有Z12=Z21或Y12=Y21，此时式(5．99)和式(5．109)可简化为In1I*n2=In2I*n1=4kTRe(Y12)=4kTRe(Y21)，Vn1V*n2=Vn2V*n1=4kTRe(Z12)=4kTRe(Z21)，噪声相关矩阵可简单写为CV=4kTRe(Z)和CI=4kTRe(Y)，有源网络一般不满足互易条件，因此不能套用这个简单公式。如图5．24所示的例子，导纳网络参数为Y=jωC+1/R1-1/R1 -1/R11/R1+1/R2，满足互异性，因此容易得到噪声相关矩阵为CI=4kT1/R1-1/R1 -1/R11/R1+1/R2。 使用电阻、电感、电容等基本元器件并采用串接和并联等电路拓扑结构，不仅能够实现任意复杂的无源网络，还可以作为有源网络的等效元器件进行参数模拟和建模。如图5．25(a)所示的基本串接网络，其导纳矩阵为 Y=1Z(f)1-1 -11(5．111) 该网络满足互易条件，其噪声电流相关矩阵为 CI=4kTRe(Y)=4kTRe1Z(f)1-1 -11(5．112) 当串联网络为电阻时，Re1Z(f)=1R; 当串联网络为电容时，Re1Z(f)=0，即电容串联网络不贡献噪声，噪声相关矩阵为全零矩阵，串联电感的情况相同； 当串联的网络为电阻串电容时，Re1Z(f)=RejωC1+jωRC=ω2RC21+ω2R2C2。输出噪声功率谱与网络阻抗的实部成正比，电抗原件虽不贡献噪声，但电抗的存在会改变网络的阻抗，因此会改变网络的噪声输出功率谱密度函数。另外即便电抗的存在没有改变网络的噪声功率输出，但有可能改变信号的输出幅度，最终造成信噪比的变化，在通信电路中，往往关心链路的信噪比更甚于噪声本身。 图5．25串接和并联拓扑结构 基本的并联网络如图5．25(b)所示，阻抗矩阵为 Z=Z(f)11 11(5．113) 满足互易性，因此其噪声电压相关矩阵为 CV=4kTRe(Z)=4kTRe(Z(f))11 11(5．114) 当旁路网络为电阻时，Re(Z(f))=R; 当旁路网络为电容时，Re(Z(f))=0，即电容旁路网络不贡献噪声，旁路电感的情况相同; 当旁路网络为电阻串电容时，Re(Z(f))=R，与单电阻的噪声相关矩阵一致。 5．2．7噪声波相关矩阵参数计算 本节将介绍噪声波相关矩阵参数的计算方法。如图5．20所示，由于入射波分量a1和a2分别来自源阻抗和负载阻抗，因此两者不相关，即a1a*2=0，同时噪声波矢量起源于二端口网络内部，因此与入射波也不相关，即aic*j=0，其中i和j取1或2。对于单端口的反射波分量取自相关运算有 |b1|2=|S11|2|a1|2+|S12|2|a2|2+|c1|2 |b2|2=|S21|2|a1|2+|S22|2|a2|2+|c2|2 (5．115) 若二端口网络与两端负载阻抗均处于良好匹配和热平衡状态，则有|a|2=|b|2=［kT,kT］′,代入上式得到 |c1|2=kT(1-|S11|2-|S12|2) |c2|2=kT(1-|S21|2-|S22|2)(5．116) 图5．26二端口无源网络与电桥连接 式(5．115)得出了端口反射波b1和b2的自相关分量，为了进一步获得互相关分量，如图5．26所示，在二端口网络和负载阻抗之间插入电桥，当插入的为180°电桥时，反射波分量分别变化为 b′1=12(b1+b2) b′2=12(b1-b2)(5．117) 则b′1和b′2的相关函数为 |b′1|2=12(|b1|2+|b2|2+2Re(b1b*2))=kT+Re(b1b*2) |b′2|2=12(|b1|2+|b2|2-2Re(b1b*2))=kT-Re(b1b*2) b′1b′*2=12(|b1|2-|b2|2+j2Im(b1b*2))(5．118) 如果Re(b1b*2)≠0，则意味着负载阻抗的输入和输出噪声功率不同，这将违反热平衡的假定，因此在热平衡条件下必须有Re(b1b*2)=0。 如果二端口网络与负载之间插入的是90°电桥，则有 b′1=12(b1+jb2) b′2=12(b1-jb2)(5．119) 此时b′1和b′2的相关函数为 |b′1|2=12(|b1|2+|b2|2+2Im(b1b*2))=kT+Im(b1b*2) |b′2|2=12(|b1|2+|b2|2-2Im(b1b*2))=kT-Im(b1b*2) b′1b′*2=12(|b1|2-|b2|2+j2Re(b1b*2))(5．120) 同理如果Im(b1b*2)≠0，意味着负载阻抗的输入和输出噪声功率不同，这也将违反热平衡的假定，因此必须有Im(b1b*2)=0。因此最终有 b1b*2=0(5．121) 且在90°和180°电桥情况下，根据式(5．118)和式(5．120)也可得到 b′1b′*2=0(5．122) 对于二端口无源网络来说，入射波a和反射波b各自的相关矩阵A和B均等于kTE，其中E为单位矩阵,该特性也可拓展为多端口网络。根据式(5．72)，反射波的相关矩阵写为 B=|b|2=b1 b2［b*1,b*2］=(Sa+c)(Sa+c)H =SaaHSH+caHSH+SacH+|c|2 =S|a|2SH+|c|2=kTSSH+|c|2 (5．123) 因此得到噪声波矢量的相关矩阵为 C=|c|2=kT(E-SSH)(5．124) 各个矩阵元素具体写为 C11=kT(1-|S11|2-|S12|2) C12=-kT(S11S*21+S12S*22) C21=-kT(S21S*11+S22S*12) C22=kT(1-|S21|2-|S22|2)(5．125) 非匹配情形下的噪声波分析如图5．27所示。对于处于热平衡的二端口网络来说，非良好匹配的源阻抗和负载阻抗输出的资用功率谱密度为 a2S=kT(1-|ΓS|2) a2L=kT(1-|ΓL|2)(5．126) 其中，ΓS和ΓL分别为源阻抗和负载阻抗的反射，根据信号流图入射波和反射波具有如下关系 b1=S11a1+S12a2+c1 a1=aS+b1ΓS b2=S21a1+S22a2+c2 a2=aL+b2ΓL (5．127) 图5．27非匹配情况下的二端口网络噪声波模型 当两个端口完全匹配时，噪声波的相关矩阵如式(5．125)所示。当端口1处于匹配状态，端口2开路时(ZL=∞)，ΓL=1，aL=0，式(5．127)变为 b1=S11a1+S12a2+c1 a1=aS=kT b2=S21a1+S22a2+c2 a2=aL+b2ΓL=b2 (5．128) 简化后得到的b1表达式为 b1=S11+S21S121-S22a1+c1+S121-S22c2 (5．129) 由于b1的功率谱密度为kT，所以式(5．129)求自相关可得 b21=kT=S11+S21S121-S22a1+c1+S121-S22c2S11+S21S121-S22a1+c1+S121-S22c2* (5．130) 化简式（5．130），并将噪声波部分单独提出可得 S121-S22c*1c2+S121-S22*c1c*2=kT|S12|2-S121-S222(1-|S22|2)- S*11S21S121-S22-S11S*12S*211-S*22 (5．131) 当端口1处于匹配状态，端口2短路时(ZL=0)，ΓL=-1，aL=0，式(5．127)变为 b1=S11a1+S12a2+c1 a1=aS=kT b2=S21a1+S22a2+c2 a2=aL+b2ΓL=-b2(5．132) 简化后得到的b1表达式为 b1=S11-S21S121+S22a1+c1-S121+S22c2(5．133) 式(5．133)求自相关可得 b21=kT=S11-S21S121+S22a1+c1-S121+S22c2S11-S21S121+S22a1+c1-S121+S22c2* (5．134) 化简式（5．134），提出噪声波部分可得 S121+S22c*1c2+S121+S22*c1c*2=kT-|S12|2+S121+S222(1-|S22|2)- S*11S21S121+S22-S11S*12S*211+S*22 (5．135) 联立式(5．131)和式(5．135)可以得到 c*1c2=-kT(S*11S21+S*12S22) c1c*2=-kT(S*22S12+S*21S11)(5．136) 对于式(5．136)，可以分析如下几种特殊情况： (1) 两个端口良好匹配，即S11=S22=0，可得到C12=C21=0，即良好匹配的二端口网络的输入端和输出端噪声波互不相关。衰减器是典型输入输出良好匹配的二端口网络，无论衰减器是Π形电阻结构还是T形电阻结构(如图5．28(a)所示)，抑或一段有损耗的传输线，即便两个端口的噪声波来自同一电阻网络，只要两个端口良好匹配，那么体现在端口处的噪声波互不相关。 （2） 端口1良好匹配，端口2到端口1良好隔离，即S11=S12=0，那么无论端口2的匹配状态如何，此时也可得出C12=C21=0，典型的例子为隔离器和环形器，如图5．28(b)所示。 （3） 双端口网络双向良好隔离，即S12=S21=0，也可推出C12=C21=0，典型的例子为威尔金森功分器的两个功分端口、90°或180°电桥的两个隔离端口，如图5．28(c)和5．28(d)所示。威尔金森功分器两个功分端的噪声波来自总端口负载和隔离电阻这个共用网络，似乎端口处的噪声波存在相关性，但理论表明只要两个功分端良好隔离，无论端口匹配如何，端口处的噪声波互不相关。上述理论建立在无源且温度均衡的状态上，对于有源电路不适用，例如反向隔离度很高的放大器，近似认为S12=0，在输入匹配的情况下不能得出c1和c2互不相关的结论。 图5．28网络噪声模型实例 至此介绍了单端口和二端口网络的噪声等效电路和端口噪声电平表达式，接下来的内容将覆盖: ①线性器件的网络噪声分析(5．3节)，主要讲述晶体管和场效应管的二端口小信号等效网络以及噪声网络; ②有源二端口网络的噪声等效电路(5．4节); ③低噪声射频放大器的设计理论和架构(5．5节)。 5．3线性器件的网络噪声分析 由无源元器件构成的微波多端口网络具有简单的网络参数和噪声参数表达，例如负载和天线等单端口器件、滤波器和衰减器等双端口器件、环形器等三端口器件、电桥等四端口器件，采用5．2节所述的多种网络矩阵均可完整描述其网络参数和噪声参数。无源网络为线性器件，网络参数与偏置条件无关，且一般满足对称性和互易性，因而其矩阵参数具有对称性和无方向性。晶体管和场效应管等半导体器件属于有源器件，其微波网络一般不满足互易和对称等特征，并且其网络参数与器件的偏置条件相关，不同的偏置条件下，网络参数也不同。微波晶体管是微波放大器的核心器件，具有明显的功率非线性特征，但在射频接收机等小信号应用领域，可将晶体管等视为线性器件，5．3．1节将分析其噪声等效电路。变频器虽利用半导体的非线性来实现频率变换和搬移，但当其工作功率远低于功率压缩点时，仍可将其视为线性器件，其链路的噪声传递和分析与传统的线性电路的分析方法一致。变频器是典型的单输入多通道网络，多个不相干频段均可通过变频器的非线性效应落于同一中频频带，即中频频带包含多路信号的噪声贡献，其噪声等效电路分析将在5．3．2节进行。多输入系统具有多路独立的信号输入端，阵列信号处理、相控阵天线等均属此列，其噪声等效电路将在5．3．3节介绍。 5．3．1晶体管的噪声等效电路分析 1． 晶体管 晶体管是最常用的半导体器件之一，在视频放大器、运算放大器以及射频放大器领域中应用广泛。晶体管是三端口器件，最为典型的共射极晶体管电路可视为二端口网络，其小信号噪声等效模型如图5．29(a)所示，噪声源主要包含晶体管本征部分的噪声、外围各电极引线电阻的热噪声，其中本征部分噪声源包含基极的闪烁噪声和散粒噪声、集电极的散粒噪声等贡献。本征部分的ABCD传输参数如下 A=11-gmjωCbc B=1gm-jωCbc C=gb′e+gm+jωCbe1-gmjωCbc D=gb′e+jωCbe+jωCbcgm-jωCbc(5．137) 其中，gm为跨导，gb′e和Cbe分别为基极发射极动态电阻和电容，Cbc为基极集电极寄生电容。晶体管主要噪声源有基极电阻Rbb′的热噪声vbb′、基极发射极电流的散粒噪声inbe和闪烁噪声if、集电极发射极电流的散粒噪声ince。 图5．29典型晶体管等效电路 根据传输矩阵的级联性质，对各级电压电流组进行逐级展开得到以下结果 v0 i0=1Rbb′ 01v1 i1=1Rbb′ 01v2+vbb′ i2-inbe-if =1Rbb′ 01v2 i2+1Rbb′ 01vbb′ -inbe-if =1Rbb′ 01AB CDv3 i3+1Rbb′ 01vbb′ -inbe-if =1Rbb′ 01AB CDv4 i4-ince+1Rbb′ 01vbb′ -inbe-if =1Rbb′ 01AB CDv4 i4-1Rbb′ 01AB CD0 ince+1Rbb′ 01vbb′ -inbe-if(5．138) 将剩余项提到前端有 v0+(B+DRbb′)ince-vbb′+Rbb′(inbe+if) i0+Dince+inbe+if=1Rbb′ 01AB CDv4 i4(5．139) 式（5．139）相当于在二端口网络的输入端串接vN=(B+DRbb′)ince-vbb′+Rbb′(inbe+if)的噪声电压源，以及并联iN=Dince+inbe+if的噪声电流源，因此晶体管的噪声等效电路可简化为如图5．29(b)所示的标准传输参数噪声网络。 等效的噪声电压源内部各个噪声组成成分的来源不同，因此各成分互不相关，噪声电压源功率谱为各成分的功率谱叠加，同理噪声电流源功率谱也为各成分的功率谱叠加，即 v2N=v2bb′+R2bb′(i2nbe+i2f)+|B+DRbb′|2i2nce i2N=i2nbe+i2f+|D|2i2nce(5．140) 等效的噪声电压源和噪声电流源存在相同的噪声成分，因此两者具有一定相关性，其互功率谱为 vNi*N=(B+DRbb′)D*i2nc+Rbb′(i2b+i2f)(5．141) 闪烁噪声仅在低频频率具有明显的噪声幅度，当频率足够高，闪烁噪声可以忽略。在射频频段，频率足够高但低于晶体管的截止频率时，晶体管参数有gm1，gmωCbe，另外若晶体管采用交指型多指基极结构，基极电阻Rbb′很小，那么根据式（5．141），噪声电压源和噪声电流源的互功率谱近似等于0，即近似认为等效噪声电压源和噪声电流源互不相关。 2． 场效应管 根据3．6节的描述，场效应管的噪声等效电路模型如图5．30所示，其中Cpg、Cpd、Cpgd为焊盘寄生电容，Lg和Rg等为各极的寄生电阻和电感。分析该等效电路网络，封装电容与其他电路部分为并联结构，如图5．31(a)所示，而各端口的寄生电阻和电感与场效应管的本征部分为串联结构，如图5．31(b)所示。网络并联，其导纳矩阵相加，网络串联，其阻抗矩阵相加，因此若Yint为本征部分的导纳矩阵，那么计入端口寄生成分得到的阻抗矩阵参数为Rpkg+Y-1int，再计入焊盘寄生电容成分，得到场效应管总的导纳矩阵为 Y=Ypad+［Rpkg+Y-1int］-1(5．142) 其中，Ypad为焊盘寄生电容的导纳矩阵，Rpkg为器件的寄生电感和电阻构成的阻抗矩阵。 图5．30场效应管的等效噪声模型 图5．31场效应管小信号模型的分解 焊盘寄生成分、端口寄生成分以及本征部分的导纳或阻抗矩阵的各参数表示如下 Ypad=jω(Cpg+Cpgd)-jωCpgd -jωCpgdjω(Cpd+Cpgd) Rpkg=Rg+Rs+jω(Lg+Ls)Rs+jωLs Rs+jωLsRd+Rs+jω(Lg+Ls) Yint=jωCgs1+jωRiCgs+jωCgd-jωCgd gme-jωτ1+jωRiCgs-jωCgd1Rds+jω(Cds+Cgd)(5．143) 根据式(3．67)~式(3．70)，共源连接的场效应管本征部分的栅极噪声主要有闪烁噪声v2f、栅极漏电流带来的散粒噪声i2g以及源自沟道热噪声的栅极感应噪声i2NG，漏极噪声主要为沟道的热噪声i2ND，因此可将场效应管本征部分导纳噪声模型写为 in1 in2=Yintvn1+vf vn2+ig+iNG iND(5．144) 其中，in1、in2、vn1、vn2等4个参数分别为共源场效应管本征部分的噪声电流电压参数。将式（5．144）稍加整理，写为 vn1 vn2=Y-1intin1 in2-ig+iNG iND-Yintvf 0(5．145) 计入寄生电阻网络得到第二层噪声表达式为 vn3 vn4=(Rpkg+Y-1int)in1 in2-ig+iNG iND-Yintvf 0+vpkg1 vpkg2(5．146) 其中，vn3和vn4分别为栅极和漏极端口的噪声电压，已经包含端口寄生电阻的噪声贡献，由于寄生电阻网络与本征部分串联，因此电流向量仍为［in1,in2］T，另外vpkg1和vpkg2为寄生电阻网络带来的热噪声。 将式（5．146）调整顺序，得到 in1 in2-ig+iNG iND-Yintvf 0+(Rpkg+Y-1int)-1vpkg1 vpkg2=(Rpkg+Y-1int)-1vn3 vn4(5．147) 引入焊盘寄生电容的导纳矩阵，得到 in1 in2-ig+iNG iND-Yintvf 0+(Rpkg+Y-1int)-1vpkg1 vpkg2=［Ypad+(Rpkg+Y-1int)-1］vn3 vn4(5．148) 焊盘寄生电容不会引入噪声功率，因此式(5．148)没有出现新的噪声成分。将式(5．148)输入端和输出端的双端并联噪声电流源提取出来(见图5．16)，分别定义为 In1 In2=ig+iNG iND+Yintvf 0-(Rpkg+Y-1int)-1vpkg1 vpkg2(5．149) 式(5．149)即为场效应管的双端噪声电流源模型，得到了器件的等效噪声电流成分，即可进一步的换算为各种噪声源结构，进而还可计算场效应管的噪声系数。 文献［26］提出了场效应管的PRC经验噪声模型，该模型将共源极场效应管的输入级、输出级噪声以及相关功率谱表示为P、R、C等三个参数，即 i2ND=4kTΔfgmP i2NG=4kTΔf(2πfCgs)2gmR i*NDiNG=jCi2NDi2NG(5．150) P为漏极噪声因子，R为栅极感应因子，PRC模型忽略栅极漏电流带来散粒噪声，栅极噪声主要以栅极感应噪声为主，其功率谱密度随频率的平方增长，C为噪声的相关系数。P、R、C均为无量纲参数，与半导体器件的工艺和偏置条件相关，采用PRC表示的场效应管共源极电路的最优噪声系数表示为［27］ Fmin=1+2fTRnfRsgm+1g2m PQ(1-R2)P+Q-2RPQ(5．151) 其中,Rg为栅源寄生电阻，fT为场效应管的特征频率，Rn=ω2cgmω2P+Q-2RPQ。 5．3．2单输入多通道系统的噪声分析 超外差接收机是高灵敏度射频接收机的基本架构，其外差变频结构将接收到的射频信号经过至少一次频谱搬移生成中频信号或基带信号，再由后端数字电路进行处理。超外差接收机相比于直接放大检波接收机具有接收动态范围大、灵敏度高、邻道选择性高的优点，其缺点是电路复杂，并且存在镜像频率、组合频率、中频干扰等问题，需要通过仔细规划频谱、合理使用滤波器等措施来解决。 对于一次下变频接收机来说，信号和其镜频频率经过变频均会落在中频频率上，工程上将这两个响应分别定义为信号响应和镜频响应。对于高本振系统来说，fLO>fRF，fLO-fIF为有用信号，fLO+fIF为镜频信号; 而对于低本振系统来说，fLO