第5章检测融合 5.1概论 信息融合理论的一个重要研究内容是多传感器检测融合。就是将来自多个不同传感器的观测数据或判决结果进行综合，从而形成一个关于同一环境或事件的更完全、更准确的判决； 多传感器检测融合系统由融合中心及多部传感器构成，融合系统的融合方式则可分为集中式和分布式两种方式。在集中式融合方式下，各个传感器将其观测数据直接传输到融合中心，融合中心根据所有传感器的观测数据进行假设检验，从而形成最终的判决。在分布式融合方式下，各个传感器首先基于自己的观测进行判决，然后将判决结果传输到融合中心； 融合中心根据所有传感器的判决进行假设检验，并形成系统最终的判决。集中式检测融合问题本质上是一个经典的假设检验问题。因此，检测融合理论的主要研究内容是分布式多传感器检测融合。 分布式检测融合理论的开创性工作是由Tenney和Sandell［1］于1981年发表的。他们研究了由融合中心及两个传感器构成的检测融合系统，并在融合规则固定的条件下，给出了使系统检测性能达到最优的传感器判决规则。所得研究结果的重要意义在于，它指出了在多传感器检测系统中，为了提高系统性能需要对各个传感器的判决规则进行联合最优化。这一结果是在多传感器条件下对经典检测理论的一个重要推广。 将融合规则的设计方法纳入经典假设检验理论框架的重要工作是由Chair和Vashney［2］完成的。在传感器判决规则固定的条件下，文献［2］将各部传感器的判决视为融合中心的观测量，并将融合规则视为一般的假设检验判决规则。这样，采用经典假设检验理论立即可以得出，最优融合规则为似然比判决规则。 在文献［12］的基础上，Reibman 和Nolte［3］提出了一种全局最优化检测融合系统的设计方法，即联合设计融合规则及各个传感器的判决规则，从而使融合系统的检测性能达到最优。全局最优化方法是检测融合理论的一个核心研究内容。采用全局最优化方法设计融合系统，可有效提高融合系统的检测能力［48］。 采用检测融合方法的主要目的，就是通过对多个传感器检测结果的融合，获得任意单个传感器所无法达到的检测性能。因此，融合系统检测性能优于单个传感器检测性能的充分必要条件就成为检测融合理论关注的一个主要问题。关于这一充分必要条件，文献［9］给出了一个简单的结论。而对这一简单结论的重要推广则由文献［1011］给出。根据文献［1012］，在N个传感器融合系统中，如果至少存在两个传感器观测质量较好，则融合系统的检测性能就可明显优于单个传感器。相反，如果存在一个传感器其观测质量远远优于其他传感器，则相对于该传感器，融合系统的检测性能不会得到明显提高。实际上，这一规律指出了融合方法最有可能表现其优越性的一种应用环境，即对观测质量相近的传感器进行融合。 文献［1012］所得结论对于检测融合系统的设计具有重要指导意义。在融合系统设计过程中，经常需要采用异质传感器构造融合系统，从而有效利用不同类型传感器的观测互补性。但是，不同类型的传感器通常具有不同的作用域。而在其共同作用域内，其观测质量可能会有较大差异。因此，在采用异质传感器构造检测融合系统时，首先需要对其在共同作用域内的观测质量进行分析，并据此选择相应的检测手段或检测设备进行融合［12］。 在实际应用中，提高融合系统检测能力的一个有效途径是采用软决策融合方法。在分布式检测融合系统中，各个传感器的输出可以是一个明确的判决结果（即硬决策），也可以是一个带有判决可信度信息的软决策。文献［9］表明，软决策融合系统的检测性能可明显优于硬决策融合系统。软决策融合问题本质上是一个量化检测融合问题［1314］。文献［1314］采用最大距离准则对传感器量化规则进行优化，并得出了一种次优的传感器量化规则。文献［15］则较好地解决了这一问题，给出了分布式量化检测融合系统中各个传感器的最优量化规则。根据文献［12，1516］，在信噪比很低的条件下，通过采用量化检测融合方法，可大幅度提高对微弱信号的检测能力。 在一定条件下，多传感器检测系统中各个传感器的观测量可以认为是相互独立的。传感器观测量的独立性假设可以大大简化系统性能优化问题的复杂度。可以证明，在传感器观测独立的条件下，最优传感器判决规则为似然比判决规则，而在传感器观测相关的条件下，最优传感器判决规则就无法简化为简单的似然比门限判决。 由于相关条件下检测融合问题的复杂性，检测融合算法经常采用的一个假设是各个传感器观测独立。假设各个传感器观测独立的主要依据是： ①在多传感器检测系统中，当各个传感器之间的间距较大时，传感器观测量的独立性假设近似成立； ②即使各个传感器的观测量是相关的，在弱相关条件下采用独立观测模型对系统性能进行优化，同样可以获得明显优于单个传感器的检测性能。事实上，这种传感器观测量的独立性假设在模式识别领域的分类器融合中已被广为采用，并已证明可有效提高融合系统的分类性能。文献［12］关于检测融合系统的研究结果也同样表明了在弱相关条件下采用这一独立性假设的有效性。 在各个传感器观测相关性不容忽略的条件下，文献［17］给出了一种次优的系统性能优化方法，即限定各个传感器均采用似然比门限判决，并在此基础上对融合规则及传感器判决门限进行联合最优化。根据文献［1718］，在传感器观测相关的条件下，采用该融合算法可获得明显优于单个传感器的检测性能。 实际上，融合系统的性能优化问题是和融合系统的配置结构紧密相关的。分布式检测融合系统可以采用多种不同的系统配置结构，如并行结构、串行结构、树形结构、网络结构以及带反馈的融合结构等［7,8,19,20］。在分布式融合系统的设计过程中，除了上面列举的各种系统配置结构，任何其他合理的系统配置结构都是可以接受的。关键问题在于，该系统结构是否有利于提高融合系统的检测性能，以及是否便于对系统性能进行优化及分析。本章研究的系统配置结构包括目前最为常用的三种结构，即并行结构、串行结构及树形结构，并针对不同的配置结构，给出相应的最优及次优检测融合算法。 5.2并行结构融合系统的最优分布式检测融合算法 在并行结构融合系统中，各个传感器对同一目标或现象进行独立观测和判决，并将判决结果直接传送至融合中心。融合中心对各个传感器的判决进行融合，并给出系统的最终判决。本节研究并行结构融合系统的系统性能优化问题，以及融合规则和传感器判决规则的优化准则，使融合系统最终判决的Bayes风险达到最小。 5.2.1系统描述 假设分布式并行检测融合系统由融合中心及N个传感器构成,如图521所示。用H0表示零假设，用H1表示备选假设。第k个传感器根据其 图521分布式检测融合系统 观测yk独立进行判决，并将判决结果uk送至融合中心。uk=0表示传感器k判决H0为真，uk=1表示该传感器判决H1为真。融合中心对各部传感器的判决u=(u1,u2,…,uN)进行融合，并给出系统的最终判决u0，u0=0或1。 记第k个传感器观测量yk的条件概率密度函数为fYk(yk|Hj)，j=0,1。记第k个传感器的检测及虚警概率为PDk、PFk。融合系统的检测及虚警概率分别记为PfD,PfF。 给定先验概率P0=P(H0)、P1=P(H1)，并用Cij表示当Hj为真，而判断为Hi时所需付出的代价，则融合系统的Bayes风险可以表示为 RB=∑1i=0∑1j=0CijPjP(u0=i|Hj)（521） 由于P(u0=i|H1)=(PfD)i(1-PfD)1-i，P(u0=i|H0)=(PfF)i(1-PfF)1-i，对式（521）进行简单整理可得 RB=CFPfF-CDPfD+C （522） 式中CF=P0(C10-C00) CD=P1(C01-C11) C=C01P1+C00P0 （523） 在实际应用中，做出一个错误判决通常比做出正确判决要付出较多的代价。因此，本章假设C10>C00，C01>C11，这意味着CF>0，CD>0。由于PfD=P(u0=1|H1)，PfF=P(u0=1|H0)，容易证明 PfD=∑uP(u0=1|u)P(u|H1)（524） PfF=∑uP(u0=1|u)P(u|H0)（525） 将式（524）、式（525）代入式（522），则融合系统的Bayes风险可进一步表示为 RB=C+∑uP(u0=1|u)［CFP(u|H0)-CDP(u|H1)］ （526） 显然，融合系统的Bayes风险是由融合中心及各个传感器的判决规则共同决定的。记第i个传感器的判决规则为γi，ui=γi(yi)，i=1,…,N； 记融合中心的判决规则（即融合规则）为γ0，u0=γ0(u)，则最优分布式检测系统的优化目标就是寻求一个系统判决规则γ={γ0,γ1,…,γN}，使得融合系统的Bayes风险RB(γ)取得最小值。由于融合规则γ0可由条件概率P(u0=1|u,γ0)完全描述，传感器判决规则γi可由条件概率P(ui=1|yi,γi)完全描述，因此在便于理论推导的情况下，本章直接采用条件概率P(u0=1|u,γ0)或P(ui=1|yi,γi)给出融合规则及传感器判决规则。采用条件概率形式给出的判决规则，称为随机化判决规则。 5.2.2最优分布式检测的必要条件 融合系统检测性能的优化问题涉及融合中心及各个传感器判决规则的联合最优化，即全局最优化问题。这一全局最优化问题可以分两步解决。首先，假设各个传感器的判决规则已经确定，可以求出融合中心的最优融合规则。其次，假设融合中心的最优融合规则已经确定，可以求出各个传感器的最优判决规则。联合求解融合中心及各个传感器的最优判决规则，就可获得使系统Bayes风险达到最小的最优系统判决规则。 定理5.2.1假设各个传感器的判决规则已经确定，则使系统Bayes风险达到最小的最优融合规则为 Λ(u)>0，CD>0，A(u～k)≥0，根据式（5214），该定理立即得证。■ 根据定理5.2.4可以看出，在各个传感器观测独立的条件下，最优传感器判决规则可简化为似然比门限判决。这样，为了获得最优系统判决规则，就仅需根据定理5.2.1及定理5.2.4联合求解最优融合规则及各个传感器的最优判决门限。由于最优融合规则及最优传感器判决门限是耦合的，因此需要采用数值迭代算法进行求解。 求解最优融合规则及最优传感器判决门限的数值迭代算法可描述如下： (1) 任意选择一个初始融合规则f(0)及一组初始传感器判决门限T(0)k，k=1,2,…,N，计算 {f(0),T(0)1,T(0)2,…,T(0)N}对应的系统Bayes风险R(0)B。设置循环变量n=1，设置循环终止控制量ζ>0。 (2) 固定{T(n-1)1,T(n-1)2,…,T(n-1)N}，根据式（527）求解融合规则f(n)。 (3) 对于第1个传感器，固定{f(n),T(n-1)2,…,T(n-1)N}，并根据式（5218）计算判决门限T(n)1。同样，对于第k个传感器，k=2,3，…,N，固定{f(n),T(n)1 …,T(n)k-1,T(n-1)k+1,…,T(n-1)N}，并根据式（5218）计算判决门限T(n)k。 (4) 计算{f(n),T(n)1,T(n)2,…,T(n)N}对应的系统Bayes风险R(n)B。如果R(n-1)B-R(n)B>ζ，则令n=n+1，并转到第（2）步继续循环，否则终止循环，并认为{f(n),T(n)1,T(n)2，…,T(n)N}为最优融合规则及最优传感器判决门限。 显然,该数值迭代算法的收敛性与初始条件有关。对于任意给定的条件概率密度函数fYk(yk|Hj)，k=1,2，…,N，j=0,1，通过选择适当的初始条件，该迭代算法通常可迅速收敛于最优融合规则及最优传感器判决门限。 5.2.4实例计算 例题5.2.1考虑两个简单的分布式检测融合系统。融合系统1由融合中心及两个传感器构成。融合系统2由融合中心及三个传感器构成。假设融合系统中各个传感器的观测量相互独立，且服从Gauss分布 fYk(yk|H1)=12πexp-yk-ak22 （5219） fYk(yk|H0)=12πexp-y2k2 （5220） 融合系统的性能优化准则采用最小错误概率准则，即C00=C11=0,C01=C10=1。最优融合规则及最优传感器判决门限采用3.2.3节给出的数值迭代算法进行求解。 首先考虑融合系统1。令a1=2.2，a2=2.0，则融合系统的接收机工作特性（receiver operating characteristic，ROC）曲线，即传感器的检测概率与虚警概率的关系曲线如图522所示； 融合系统的Bayes风险随先验概率P0的变化关系如图523所示。图中，实线代表融合系统的检测性能，虚线则代表各个传感器采用Bayes判决规则时的检测性能。根据图522及图523可以看出，融合系统的检测性能比单个传感器的检测性能有明显提高。 下面考虑融合系统2。令a1=2.2，a2=2.0，a3=1.8，则融合系统的ROC曲线如图524所示，融合系统的Bayes风险随先验概率P0的变化关系如图525所示。根据图524及图525可以看出，随着融合系统中传感器数量的增加，系统性能的提高更加明显。 图522融合系统1的ROC曲线 图523融合系统1的Bayes风险 图524融合系统2的ROC曲线 图525融合系统2的Bayes风险□ 5.3串行结构融合系统的最优分布式检测融合算法 与并行结构相对应，融合系统可以采用的另一种配置结构为串行结构。与并行结构不同，在分布式串行融合系统中，不存在一个唯一的融合中心对各个传感器的判决进行融合。相反，融合过程是以分布式的方式由各个传感器共同完成的。融合系统的最终判决由一个指定的传感器直接给出。本节研究分布式串行检测融合系统的性能优化问题。各个传感器判决规则的优化准则为，使融合系统的Bayes风险取得最小值。与并行结构融合系统相似，在各个传感器观测相关的条件下，虽然可以推导出最优传感器判决规则需要满足的必要条件，但是由于不能将其简化为似然比判决规则，因此很难求解。本节研究各个传感器观测独立条件下的最优检测问题。在各个传感器观测独立的条件下，可以证明最优传感器判决规则为似然比判决。这样，为了求解最优系统判决规则，就仅需联合求解各个传感器的最优似然比判决门限。 5.3.1系统描述 设分布式串行检测融合系统由N个传感器构成（见图531）。各个传感器按串行结构连接且对同一目标或现象进行观测。第一个传感器直接根据其观测量y1进行判决，并将其判决结果u1传送至第2个传感器。第i个传感器则根据其观测量yi及前一个传感器的判决ui-1进行假设检验，并将其判决结果ui传送至下一个传感器，i=2,3，…,N。第i个传感器的判决过程实际上是一个对yi及ui-1进行融合的过程。最后一个传感器的判决结果uN则为融合系统的最终判决。 图531分布式串行检测融合系统 记融合系统中各个传感器的检测及虚警概率分别为PDi、PFi，则融合系统的检测及虚警概率分别由PDN、PFN给出。给定先验概率P0、P1及代价权因子Cij，容易证明融合系统的Bayes风险可以表示为 RB=∑1i=0∑1j=0CijPjP(uN=i|Hj)=CFPFN-CDPDN+C （531） 式中，CF=P0(C10-C00)，CD=P1(C01-C11)，C=C01P1+C00P0。显然，串行融合系统的检测性能由各个传感器的判决规则共同决定。记第i个传感器的判决规则为γi，则融合系统检测性能的优化目标就是寻求一个系统判决规则γ={γ1,γ2,…,γN}，使得系统Bayes风险RB(γ)取得最小值。 5.3.2传感器观测独立条件下最优分布式检测的必要条件 假设各个传感器的观测相互独立。为了使融合系统的检测性能达到最优，需要联合设计各个传感器的最优判决规则。可以证明，各个传感器的最优判决规则需要满足下述必要条件。 定理5.3.1假设融合系统中各个传感器的观测相互独立，则为了使系统的Bayes风险达到最小，第1个传感器的判决规则必须满足 P(u1=1|y1)=1,CFA(uN,u1,H0)fY1(y1|H0) 0。由于A(uN,uN,Hj)≥0,根据引理3可得A(uN,uN-1,Hj)≥0。重复利用引理3，则最终可得A(uN,uk,Hj)≥0,k=1,2,…,N-1。 由于A(uN,uk,Hj)≥0，根据式（5311）及式（5312），各个传感器的最优判决规则可以简化为简单的似然比门限判决。 定理5.3.2假设融合系统中各个传感器的观测相互独立，则为了使系统Bayes风险取得最小值，第1个传感器的最优判决规则为 fY1(y1|H1)fY1(y1|H0) >0，CD>0，根据式（5311）及式（5312），该定理立即得证。■ 根据定理5.3.2可以看出，在各个传感器观测独立的条件下，最优传感器判决规则为似然比判决规则。但是需要指出的是，传感器1的最优判决规则是一个普通的似然比判决规则，即通过将其观测量的似然比与某一固定门限进行比较而得出判决结果。相反，传感器k（k=2,…,N）的最优判决规则却是具有两个门限的似然比判决。其中，一个门限用于uk-1=0时的判决，另一个门限用于uk-1=1时的判决。用T1表示第1个传感器的判决门限，则根据式（5322）及引理2可得 T1=CF∏Ni=2A(ui,ui-1,H0)CD∏Ni=2A(ui,ui-1,H1) （5324） 用Tk,0、Tk,1分别表示第k个传感器在uk-1=0及uk-1=1条件下的判决门限，则根据引理1、引理2及式（5323）可得 Tk,m=CFP(uk-1=m|H0)∏Ni=k+1A(ui,ui-1,H0)CDP(uk-1=m|H1)∏Ni=k+1A(ui,ui-1,H1)，k=2,3,…,N-1,m=0,1（5325） 及 TN,m=CFP(uN-1=m|H0)CDP(uN-1=m|H1),m=0,1（5326） 由于各个传感器的判决规则为似然比判决，为了使融合系统的检测性能达到最优，仅需联合求解由式（5324）~式（5326）给出的2N-1个最优传感器判决门限。由于最优传感器判决门限是耦合的，因此需要采用数值方法进行求解。根据式（5324）~式（5326）容易看出，由于P(ui=m|Hj)及A(ui,ui-1,Hj)均可表示为传感器判决门限的函数，因此采用数值迭代算法很容易求得各个传感器的最优判决门限。 求解最优传感器判决门限的数值迭代算法可以描述如下： (1) 任意选择一组初始判决门限T(0)1、T(0)k,m,k=2,3,…,N,m=0,1，并计算相应的系统Bayes风险R(0)B。设置循环变量n=1，设置循环终止控制量ζ>0。 (2) 对于第1个传感器,固定{{T(n-1)2,m}1m=0,…,{T(n-1)N,m}1m=0},并根据式（5324）计算判决门限T(n)1。同样，对于第k个传感器，k=2,…,N-1，固定{T(n)1,{T(n)2,m}1m=0,…,{T(n)k-1,m}1m=0,{T(n-1)k+1,m}1m=0,…,{T(n-1)N,m}1m=0}，并根据式（5325）计算判决门限T(n)k,m。对于第N个传感器，则固定{T(n)1,{T(n)2,m}1m=0,…,{T(n)N-1,m}1m=0}，并根据式（5326）计算T(n)N,m,m=0,1。 (3) 计算{T(n)1,{T(n)2,m}1m=0,…,{T(n)N,m}1m=0}对应的系统Bayes风险R(n)B。如果R(n-1)B-R(n)B>ζ,则令n=n+1并转至第（2）步继续循环，否则终止循环并认为{T(n)1,{T(n)2,m}1m=0,…,{T(n)N,m}1m=0}为各个传感器的最优判决门限。 同任何其他数值迭代算法一样，上面给出的迭代算法存在以下两方面的问题。首先，该算法不能保证收敛于最优传感器判决门限。当循环终止时，所得的系统Bayes风险可能只是一个局部极小值。其次，该算法给出的最终结果依赖于初始条件。这样，当该算法不能收敛于最优传感器判决门限时，可采用不同的初始条件进行尝试。 5.3.4实例计算 例题5.3.1考虑一个简单的双传感器串行检测系统。传感器1根据其观测y1独立进行判决，并将其判决结果u1传送至传感器2。传感器2根据其观测y2及传感器1的判决u1进行假设检验，并给出融合系统的最终判决u2。传感器观测量的条件概率密度函数由式（5219）及式（5220）给出。融合系统的性能优化准则采用最小错误概率准则。各个传感器的最优判决门限采用5.3.3节给出的数值迭代算法进行求解。 令a1=2.0，a2=2.5，则融合系统的ROC曲线如图532所示。融合系统的Bayes风险随先验概率P0的变化关系如图533所示。图中，实线代表融合系统的检测性能，虚线则代表各个传感器采用Bayes判决规则时的检测性能。根据图532及图533可以看出，融合系统的检测性能比单个传感器的检测性能有明显提高。 图532融合系统的ROC曲线 图533融合系统的Bayes风险□ 5.4树形结构融合系统的最优分布式检测融合算法 并行及串行系统结构是融合系统可以采用的两种最基本的配置结构。还有一种较为复杂的系统配置结构是树形结构，树形结构是对并行及串行结构的推广。在特定条件下，树形结构可简化为简单的并行或串行结构。树形结构融合系统的基本组成单元称为结点。各结点可以是对同一目标或现象直接进行观测的传感器，也可以是仅对其前级结点的判决进行融合的局部融合器。融合系统的最终判决由唯一的根结点给出。本节研究树形结构检测融合系统的性能优化问题。各结点判决规则的优化准则为，使融合系统的Bayes风险取得最小值。与并行及串行结构融合系统相似，在各结点观测相关的条件下，虽然可以推导出最优结点判决规则需要满足的必要条件，但是由于不能将其简化为似然比判决规则，因此很难求解。本章研究各结点观测独立条件下的最优检测问题。在各结点观测独立的条件下，可以证明最优结点判决规则为似然比判决。这样，为了求解最优结点判决规则，就仅需联合求解各结点的最优似然比判决门限。 5.4.1系统描述 设融合系统由N个结点构成，且各结点按树形结构配置（见图541）。各结点对同一目标或现象进行观测，并独立进行判决。用H0表示零假设， 图541树形结构检测融合系统 用H1表示备选假设。融合系统的最终判决由结点N（根结点）给出。 融合系统的树形结构可以用一有向图G=〈V,E〉描述，式中V={1,2,…,N}是所有结点的集合，E={〈i,j〉}是所有有向边的集合。有向边〈i,j〉描述了结点i与结点j之间的连接关系，且具有方向性。〈i,j〉表示结点i将其判决ui传送至结点j，并在结点j与其他信息进行融合。 对于任一结点k，如果〈i,k〉∈E，则称结点i为其直接前级结点，如果〈k,j〉∈E，则称结点j为其直接后级结点。记集合Ak为结点k的所有直接前级结点，记集合Bk为结点k的所有直接后级结点，则Ak的基数|Ak|称为结点k的输入度，Bk的基数|Bk|称为结点k的输出度。显然，对于树形结构融合系统，输出度|Bk|应满足|Bk|≤1。输出度|Bk|>1的融合系统则称为网络结构融合系统。 输入度为0的结点称为叶结点，输出度为0的结点称为根结点，输入及输出度均不为0的结点称为中间结点。本章假设融合系统的最终判决由唯一的根结点N给出，即|BN|=0，|Bk|=1，k≠N。 记结点k的观测量为yk，记其所有直接前级结点判决的集合为Ik，即Ik=ui,i∈Ak，则结点k的判决规则γk可以表示为uk=γk(yk,Ik)，uk=0,1。显然，结点k的判决过程就是对其观测量yk及Ik的融合过程。在以下讨论中，称yk为结点k的直接观测量，称Ik为其间接观测量。yk、Ik统称为结点k的观测量。 树形结构融合系统中各结点可以具有不同的观测结构。对于叶结点k，由于其输入度为0，故Ik不存在，其观测量仅由直接观测yk构成。同样，对于某些中间结点（包括根结点），其直接观测量可以存在，也可以不存在。这样，对于不存在直接观测量的结点k，其观测量仅由间接观测Ik构成。 为了对具有不同观测结构的结点进行统一处理，可以采用一种虚拟观测的方法。对于叶结点k，可为其提供一个虚拟观测Ik，Ik满足P(Ik|H0)=P(Ik|H1)，且Ik与yk相互独立。对于不存在直接观测量的结点k，可为其提供一个虚拟观测yk，yk的条件概率密度函数满足fYk(yk|H0)=fYk(yk|H1)，且yk与Ik相互独立。由于P(Ik|H0)=P(Ik|H1),fYk(yk|H0)=fYk(yk|H1),虚拟观测量的引入并不要求任何附加的先验知识，也不会对系统检测性能造成任何影响。 通过引入虚拟观测量，可以采用统一的方法对各个结点的判决规则进行优化。而系统性能的优化问题，就是求解一个最优系统判决规则γ={γ1,γ2,…,γN}，使融合系统的Bayes风险取得最小值。记融合系统中各结点的检测及虚警概率分别为PDi、PFi，i=1,2,…,N，则融合系统的检测及虚警概率分别由PDN、PFN给出。与式（531）相似，融合系统的Bayes风险可以表示为 RB=CFPFN-CDPDN+C（541） 式中，常数C，CF≥0，CD≥0的定义同式（531）。 5.4.2结点观测独立条件下最优分布式检测的必要条件 对于由N个结点构成的树形结构融合系统，其系统性能由N个结点的判决规则共同决定。因此，为了使系统性能达到最优，需要联合求解各结点的最优判决规则。假设各个结点的直接观测量相互独立，则容易证明，各结点的最优判决规则需要满足下述必要条件。 定理5.4.1假设各结点的直接观测量相互独立，则为了使融合系统的Bayes风险取得最小值，各结点的判决规则必须满足 P(uk=1|yk,Ik)=1,如果CFA(uN,uk,H0)P(Ik|H0)fYk(yk|H0)< CDA(uN,uk,H1)P(Ik|H1)fYk(yk|H1) 0，其他k=1,2,…,N （542） 式中，fYk(yk|Hj)为结点观测量yk的条件概率密度函数 A(uN,uk,Hj)=P(uN=1|uk=1,Hj)-P(uN=1|uk=0,Hj) 证明对于任意给定的结点k，融合系统的检测概率可以表示为 PDN=P(uN=1|H1) =P(uN=1|uk=0,H1)P(uk=0|H1)+ P(uN=1|uk=1,H1)P(uk=1|H1) =P(uN=1|uk=0,H1){1-P(uk=1|H1)}+ P(uN=1|uk=1,H1)P(uk=1|H1) =P(uN=1|uk=0,H1)+A(uN,uk,H1)P(uk=1|H1) （543） 式中A(ui,uk,Hj)=P(ui=1|uk=1,Hj)-P(ui=1|uk=0,Hj)； 同样，融合系统的虚警概率可以表示为 PFN=P(uN=1|uk=0,H0)+A(uN,uk,H0)P(uk=1|H0)（544） 又由于各结点的直接观测量相互独立，容易证明 P(uk=1|Hj)=∑Ik∫P(uk=1|Ik,yk)P(Ik|Hj)fYk(yk|Hj)dyk（545） 将式（543）~式（545）代入式（541），并经简单整理可得 RB=Ck+∑Ik∫P(uk=1|yk,Ik){CFA(uN,uk,H0)P(Ik|H0)fYk(yk|H0)- CDA(uN,uk,H1)P(Ik|H1)fYk(yk|H1)}dyk （546） 式中Ck=C+CFP(uN=1|uk=0,H0)-CDP(uN=1|uk=0,H1)。 记结点k及其所有子结点（即以结点k为根结点的子树）的集合为Vk，记其补集为V～k=V-Vk，则V～k中所有结点直接观测量的集合可以表示为Y～k=yi,i∈V～k。由于各结点的直接观测量相互独立，则有 P(uN=1|uk=0,Hj)=∫Y～kP(uN=1|Y～k,uk=0,Hj)f(Y～k|uk=0,Hj)dY～k =∫Y～kP(uN=1|Y～k,uk=0)f(Y～k|Hj)dY～k 式中，f(Y～k|Hj)为Y～k的条件概率密度函数。根据上式易知，Ck的取值和结点k的判决规则无关。这样，根据式（546），为了使融合系统的Bayes风险取得最小值，结点k的判决规则必须满足 P(uk=1|yk,Ik)=1,如果CFA(uN,uk,H0)P(Ik|H0)fYk(yk|H0)< CDA(uN,uk,H1)P(Ik|H1)fYk(yk|H1)k=1,2,…,N 0,其他 ■ 定理5.4.1实际上以随机化判决规则的形式给出了各个结点的最优判决规则。容易看出,给定传感器k的观测量yk、Ik，由于P(uk=1|yk,Ik)=1等价于该结点的判决为uk=1（即判决H1为真），P(uk=1|yk,Ik)=0等价于该结点的判决为uk=0（即判决H0为真），因此由式（542）给出的最优结点判决规则立即可以表示为 CDA(uN,uk,H1)fYk(yk|H1)P(Ik|H1)>0，CD>0，根据式（547）,该定理立即得证。■ 定理5.4.2表明，在各结点观测独立的条件下，最优结点判决规则为似然比判决规则。事实上，该最优判决规则是在统一的结点观测结构下导出的。对于不同的结点观测结构，该最优判决规则具有不同的表达形式。对于叶结点k，由于其输入度为0，其间接观测量为虚拟观测，即P(Ik|H0)=P(Ik|H1)，因此式（5412）可以简化为 fYk(yk|H1)fYk(yk|H0)>0。 (2) 对于结点1,固定{T(n-1)2(I2),…,T(n-1)N(IN)},并根据式（5416）计算判决门限T(n)1(I1)。以此类推，对于结点k，k=2,…,N，固定{T(n)1(I1),T(n)2(I2),…,T(n)k-1(Ik-1),T(n-1)k+1(Ik+1),…,T(n-1)N(IN)}，并根据式（5416）计算判决门限T(n)k(Ik)。 (3) 计算{ T(n)1(I1),T(n)2(I2),…,T(n)N(IN)}对应的系统Bayes风险R(n)B。如果R(n-1)B-R(n)B>ζ,则令n=n+1并转至第（2）步继续循环，否则终止循环并认为{T(n)1(I1),T(n)2(I2),…,T(n)N(IN)}就是各结点的最优判决门限。 5.4.4实例计算 例题5.4.1考虑一个由三个传感器构成的树形结构融合系统。假设各个传感器的观测相互独立。传感器1及传感器2分别根据其观测y1及y2独立进行判决，并将其判决结果u1，u2传送至传感器3。传感器3根据其观测y3及前级传感器的判决u1、u2进行假设检验，并给出系统的最终判决u3。融合系统中各个传感器观测量的条件概率密度函数为Gauss分布（见5.2.4节），系统性能的优化准则采用最小错误概率准则。各个传感器的最优判决门限采用5.4.3节给出的数值迭代算法进行求解。 令a1=1.5，a2=1.8，a3=2.0，则融合系统的ROC曲线如图542所示。融合系统的Bayes风险随先验概率P0的变化关系如图543所示。图中，实线代表融合系统的检测性能，虚线则代表各个传感器采用Bayes判决规则时的检测性能。根据图542及图543可以看出，融合系统的检测性能比单个传感器的检测性能有明显提高。 图542融合系统的ROC曲线 图543融合系统的Bayes风险□ 5.5分布式量化检测系统 在前面几节研究的分布式检测融合系统中，各个传感器仅向融合中心传送一位二进制判决信息。但是，由于该判决信息仅相当于对传感器观测量的1bit量化，而且不能充分反映传感器的全部观测信息，因此限制了融合系统检测性能的进一步提高。 事实上，根据融合系统通信能力的差异，各个传感器可以向融合中心提供不同级别的观测信息。例如，当系统通信能力较差，或出于系统自身隐蔽性的要求，各个传感器可仅向融合中心提供一位二进制判决信息。相反，在系统通信能力较强且没有自身隐蔽性要求的情况下，各个传感器则可将其观测数据全部传送至融合中心。各个传感器仅向融合中心传送一位二进制判决信息的融合系统称为分布式硬决策检测融合系统。与之相对应，各个传感器向融合中心传送其全部观测信息的融合系统则称为集中式融合系统。 在多数情况下，融合系统的通信能力虽然不能保证各个传感器可将其观测信息全部传送至融合中心，但是却远大于各个传感器仅向融合中心传送一位二进制判决信息所需的通信能力。这样，为了尽可能提高融合系统的检测性能，一个合理的选择就是首先对各个传感器的观测量或检测统计量进行有限位量化，然后将该量化信息传送至融合中心进行融合。这种各个传感器均向融合中心传送有限位量化信息的融合系统称为分布式量化检测融合系统。在分布式量化检测融合系统中，各个传感器的量化位数可由融合系统的具体通信能力决定。 本章研究采用并行系统结构的分布式Bayes量化检测系统。由于融合系统的检测性能由融合规则及各个传感器的量化规则共同决定，因此为了使系统性能达到最优，就需要联合设计最优融合规则及各个传感器的最优量化规则。 对于采用串行及树形系统结构的分布式量化检测融合系统，同样需要对各个传感器或结点的量化规则进行联合最优化。由于基本推导方法相似，故本章予以省略。 5.5.1系统描述 设分布式并行量化检测融合系统由融合中心及N个传感器构成（图521）。各个传感器对其观测量yk独立进行量化，并将量化结果uk传送至融合中心。融合中心对各个传感器的量化结果进行融合，并形成系统的最终判决u0。u0=0表示融合系统判决H0为真，u0=1表示融合系统判决H1为真。 假设第k个传感器向融合中心传送mk位二进制量化信息，则该传感器的量化规则γk可以表示为 uk=γk(yk)=0,yk∈Ω(0)k 1,yk∈Ω(1)k  Mk-1,yk∈Ω(Mk-1)kMk=2mk,k=1,2,…,N 式中，Ω(0)k,Ω(1)k,…,Ω(Mk-1)k可以是第k个传感器观测空间的任一划分。记所有N个传感器的输出为u=(u1,u2,…,uN)，则融合系统的检测及虚警概率可以表示为 PfD=∑uP(u0=1|u)P(u|H1)（551） PfF=∑uP(u0=1|u)P(u|H0)（552） 给定先验概率P0，P1及代价权因子Cij，根据式（551）及式（552），融合系统的Bayes风险可以表示为 RB=CFPfF-CDPfD+C =C+∑uP(u0=1|u)［CFP(u|H0)-CDP(u|H1)］ （553） 式中，常数C、CF、CD的定义同式（523）。 融合系统的Bayes风险是由融合规则u0=γ0(u)及各个传感器的量化规则uk=γk(yk)共同决定的。分布式量化检测融合系统的性能优化问题，就是寻求一个最优的系统判决规则γ={γ0,γ1,…,γN}，使得融合系统的Bayes风险RB(γ)取得最小值。 5.5.2最优分布式量化检测的必要条件 为了使分布式量化检测融合系统的性能达到最优，需要联合设计融合规则及各个传感器的量化规则。同样，这一联合优化问题可以分两步完成。首先，在各个传感器量化规则固定的条件下，确定融合中心的最优融合规则。其次，在融合规则固定的条件下，确定各个传感器的最优量化规则。联合求解融合中心的最优融合规则及各个传感器的最优量化规则，就可获得使系统Bayes风险达到最小的最优系统判决规则。 首先考虑在各个传感器量化规则固定条件下的最优融合规则。根据式（553）容易证明，该最优融合规则为似然比门限判决。 定理5.5.1假设各个传感器的量化规则已经确定，则使系统Bayes风险达到最小的最优融合规则为 Λ(u)>0。 (2) 固定{{T(n-1)1,m}M1m=0,{T(n-1)2,m}M2m=0,…,{T(n-1)N,m}MNm=0}，根据式（554）求解融合规则f(n)。 (3) 对于第1个传感器，固定{f(n),{T(n-1)2,m}M2m=0,…,{T(n-1)N,m}MNm=0}，并根据式（5510）计算T(n)1,m，m=1,2,…,M1-1。以此类推，对于第k个传感器，k=2,3,…,N，固定{f(n),{T(n)1,m}M1m=0,…,{T(n)k-1,m}Mk-1m=0,{T(n-1)k+1,m}Mk+1m=0,…,{T(n-1)N,m}MNm=0}，并根据式（5510）计算量化门限T(n)k,m，m=1,2,…,Mk-1。 (4) 计算{f(n),{T(n)1,m}M1m=0,{T(n)2,m}M2m=0,…,{T(n)N,m}MNm=0}对应的系统Bayes风险R(n)B。如果R(n-1)B-R(n)B>ζ，则令n=n+1，并转至第（2）步继续循环，否则终止循环，并认为{f(n),{T(n)1,m}M1m=0,{T(n)2,m}M2m=0,…,{T(n)N,m}MNm=0}为最优融合规则及各个传感器的最优量化门限。 5.5.4实例计算 例题5.5.1考虑一个简单的双传感器量化检测融合系统。假设各个传感器的观测量相互独立且服从Gauss分布（见5.2.4节）。融合系统的性能优化准则采用最小错误概率准则，最优传感器量化门限采用5.5.3节给出的数值迭代算法进行求解。 假设各个传感器均向融合中心传送两位二进制量化信息，即mk=2，Mk=4，k=1,2。令a1=2.0,a2=1.8，则最优量化检测系统的ROC曲线如图551所示。融合系统的Bayes风险随先验概率P0的变化关系如图552所示。图中，实线代表融合系统的检测性能，虚线则代表各个传感器采用Bayes判决规则时的检测性能。根据图551及图552可以看出，融合系统的检测性能比单个传感器的检测性能有明显提高。 图551最优量化检测融合系统的ROC曲线 图552最优量化检测融合系统的Bayes风险 最优量化检测系统与最优硬决策检测系统的性能对比如图553及图554所示。最优量化检测系统与集中式融合系统的性能对比如图555及图556所示。由图553~图556可以看出，最优量化检测系统的性能明显优于最优硬决策检测系统，且接近集中式融合系统的检测性能。 图553最优量化检测与硬决策融合 系统的ROC曲线 图554最优量化检测与硬决策融合 系统的Bayes风险 图555最优量化检测与集中式融合 系统的ROC曲线 图556最优量化检测与集中式融合 系统的Bayes风险 □ 5.6分布式NP检测融合系统 在前面几节研究的分布式检测融合系统中，系统性能的优化准则为最小风险准则。采用最小风险准则对系统性能进行优化，需要首先确定先验概率及代价权因子。但是，在许多重要应用领域，先验概率及代价权因子很难确定。在这种情况下，一个可行的选择就是采用NeymanPearson （NP）准则。 本节研究并行结构条件下的分布式NP检测融合系统。由于分布式硬决策检测系统可以视为分布式量化检测系统的一个特例，因此本节直接推导量化检测系统的最优系统判决规则。在各个传感器观测独立的条件下，前面所得关于Bayes检测系统的结论，很容易推广到分布式NP检测系统。在各个传感器观测相关的条件下，由于最优传感器判决规则不再是简单的似然比判决，因此本节给出一种次优的检测融合方法，即限定各个传感器均采用似然比量化规则，并对融合规则及量化门限进行联合最优化。 在串行及树形系统结构条件下，Bayes检测融合系统的相关结论同样可以推广到NP检测融合系统。由于基本推导方法相似，故这里予以省略。 5.6.1最优分布式量化检测的必要条件 考虑由融合中心及N个传感器构成的分布式并行量化检测融合系统。假设传感器k输出mk位二进制量化信息。对于分布式NP检测系统而言，系统性能的优化准则为，在给定虚警概率PfF=α的条件下，使系统检测概率PfD取得最大值。采用拉格朗日方法，这一带有约束条件的优化问题可以描述为，在PfF=α的条件下使目标函数F取得最大值 F=PfD-λ(PfF-α)（561） 将式（551）、式（552）代入式（561），则目标函数F可以进一步表示为 F=∑uP(u0=1|u)［P(u|H1)-λP(u|H0)］+αλ（562） 显然，融合系统的检测性能由融合规则γ0及各个传感器的量化规则γk共同决定。为了使系统检测性能达到最优，需要联合设计融合规则γ0及量化规则γk，k=1,2，…,N。 定理5.6.1假设融合系统中各个传感器的量化规则已经确定，则对于任意给定的虚警概率PfF=α，使系统检测概率取得最大值的最优融合规则为 P(u0=1|u)=1,Λ(u)>λ r,Λ(u)=λ 0,Λ(u)<λ（563） 式中Λ(u)=P(u|H1)/P(u|H0),融合中心的判决门限λ及随机化因子r由虚警概率α确定 ∑Λ(u)>λP(u|H0)+r∑Λ(u)=λP(u|H0)=α （564） 证明根据式（562），目标函数F可以表示为 F=∑uP(u0=1|u)Λ(u)-λ/P(u|H0)+αλ 式中，Λ(u)=P(u|H1)/P(u|H0)。由于各个传感器的量化规则已经确定，对于任意给定的虚警概率α及判决门限λ，为了使目标函数F取得最大值，最优融合规则应该满足 P(u0=1|u)=1,Λ(u)>λ r,Λ(u)=λ 0,Λ(u)<λ 式中，r为随机化因子，r∈［0,1］。又根据上式及（552）易得 PfF=∑Λ(u)>λP(u|H0)+r∑Λ(u)=λP(u|H0) 这样，给定虚警概率PfF=α，判决门限λ及随机化因子r就必须满足式（564）。■ 定理5.6.2假设融合规则固定，且传感器k向融合中心传送mk位二进制量化信息，则对于任意给定的系统虚警概率α，0<α<1，使系统检测概率取得最大值的各个传感器的最优量化规则为 uk= 0，C0k(yk)=Ck(yk) 1，C1k(yk)=Ck(yk)  Mk-1,CMk-1k(yk)=Ck(yk)k=1,2,…,N（565） 式中，Mk=2mk，而 Cmk(yk)=∑u～kP(u0=1|u～k,uk=m){P(u～k|yk,H1)fYk(yk|H1)- λP(u～k|yk,H0)fYk(yk|H0)} Ck(yk)=max {C0k(yk),C1k(yk),…,CMk-1k(yk)} u～k=(u1,…,uk-1,uk+1,…,uN) 且λ的取值应该满足PfF=α。 证明令u～k=(u1,…,uk-1,uk+1,…,uN),则根据式（562）目标函数F可以表示为 F=αλ+∑Mk-1m=0∑u～kP(u0=1|u～k,uk=m)［P(u～k,uk=m|H1)- λP(u～k,uk=m|H0)］（566） 式中Mk=2mk。又由于各个传感器对其观测量yk独立进行量化，容易证明 P(u～k,uk=m|Hj)=∫ykP(uk=m|yk)P(u～k|yk,Hj)fYk(yk|Hj)dyk 将上式代入式（566），并经简单整理可得 F=αλ+∫yk∑Mk-1m=0P(uk=m|yk)Cmk(yk)dyk（567） 式中 Cmk(yk)=∑u～kP(u0=1|u～k,uk=m){P(u～k|yk,H1)fYk(yk|H1)- λP(u～k|yk,H0)fYk(yk|H0)} 容易看出，由于αλ的取值与量化规则γk无关，故为了使式（567）取得最大值，条件概率P(uk=m|yk)应该满足 P(uk=m|yk)=1,Cmk(yk)=max{C0k(yk), C1k(yk),…,CMk-1k(yk)} 0,Cmk(yk)≠max {C0k(yk), C1k(yk),…,CMk-1k(yk)}m=0,1,…,Mk-1 记Ck(yk)=max {C0k(yk),C1k(yk),…,CMk-1k(yk)}，则根据该条件概率，立即可得与其等价的最优量化规则式（565）。又根据式（561）可知 F=PfD-λ(PfF-α) 这样，通过选择λ的取值使之满足PfF=α，则由式（565）给出的最优量化规则就可保证在PfF=α的条件下使检测概率PfD取得最大值。■ 定理5.6.1及定理 5.6.2给出了融合系统检测性能达到最优的必要条件。为了获得最优系统检测性能，需要根据定理5.6.1及定理5.6.2联合求解最优融合规则及N个传感器的最优量化规则。根据定理5.6.2可以看出，由于最优量化规则不是似然比量化规则，因此最优系统判决规则很难求解。 5.6.2传感器观测独立条件下的最优分布式检测 在各个传感器观测独立的条件下，可以证明由定理5.6.1给出的最优融合规则是单调的。这样，为了使系统检测性能达到最优，就仅需考虑单调的融合规则。在融合规则单调的条件下，最优传感器量化规则就可简化为简单的似然比量化规则。 定理5.6.3假设融合系统中各个传感器的观测相互独立，且融合中心采用一给定的单调融合规则，则对于任意给定的虚警概率α，0<α<1，使系统检测概率达到最大的各个传感器的最优量化规则为 uk=0,Tk,0≤Λk(yk)0。 (2) 对于第1个传感器，固定{f(n-1),{T(n-1)2,m}M2m=0,…,{T(n-1)N,m}MNm=0 }，并根据式（5611）及式（5612）计算T(n)1,m,m=1,2,…,Mk-1。同样,对于第k个传感器,k=2,…,N,固定{f(n-1),{T(n)1,m}M1m=0,…,{T(n)k-1,m}Mk-1m=0,{T(n-1)k+1,m}Mk+1m=0,…,{T(n-1)N,m}MNm=0 }，并根据式（5611）及式（5612）计算量化门限T(n)k,m，m=1,2,…,Mk-1。 (3) 固定{{T(n)1,m}M1m=0,{T(n)2,m}M2m=0,…,{T(n)N,m}MNm=0}，根据式（563）及式（564）求解融合规则f(n)。 (4) 计算{f(n),{T(n)1,m}M1m=0,…,{T(n)N,m}MNm=0}对应的系统检测概率Pf(n)D。如果Pf(n)D-Pf(n-1)D>ζ，则令n=n+1，并转至第（2）步继续循环，否则终止循环，并认为{f(n),{T(n)1,m}M1m=0,…,{T(n)N,m}MNm=0}为最优融合规则及各个传感器的最优量化门限。 需要指出的是，如果假设各个传感器观测量之间的相关性可以忽略，则有 P(u～k|Tk,Hj)=P(u～k|Hj) 这样式（5611）就可简化为 Tk,m=λ∑u～kA(u～k,m,m-1)P(u～k|H0)∑u～kA(u～k,m,m-1)P(u～k|H1) （5617） 容易看出，式（5617）就是传感器观测独立条件下的最优量化门限式（568）。 5.6.4分布式硬决策NP检测融合系统 考虑由融合中心及N个传感器构成的分布式硬决策NP检测融合系统。各个传感器对同一目标进行观测并独立进行判决。uk=0表示传感器k判决H0为真，uk=1表示该传感器判决H1为真。融合中心对各个传感器的判决进行融合，并给出系统的最终判决u0。融合系统的性能优化准则为，在给定虚警概率α的条件下，使系统检测概率PfD取得最大值。对于这一分布式硬决策检测系统，根据定理5.6.1~定理5.6.4，立即可得其最优及次优系统判决规则。 定理5.6.5假设融合系统中各个传感器的观测相互独立，且融合中心采用一给定的单调融合规则，则对于任意给定的虚警概率α，0<α<1，使系统检测概率取得最大值的最优传感器判决规则为 Λk(yk)>