第5章随机参量信号的检测

本章提要

本章讨论复合假设检验中的Bayes准则、Neyman-Pearson准则和最大似然检验准则, 
分析随机相位、振幅、频率和时延信号的检测原理及检测性能。

第4章讨论了确知信号的检测,假定携带信息的信号所包含的参量在接收端是完全已
知的。但在实际中,尽管发射机发送的信号是确知的,但由于信道的畸变,使得接收到的信
号参量是随机变化的。数字通信中常用正弦信号作为信息的载体,其主要参量包括振幅、频
率、初相位和时延,在很多情况下正弦信号到达接收端时,其参量发生了变化。因此,把含有
随机或未知参量的信号称为随机参量信号,一般表示为s(=t,α2,…,= 

t,其中α1,αM 
t) 如在雷达回波情况下,
以表示相位θ,

t)s(α1,αM 
)
s(
α 
), α2,…,为信号s(的随机参量或未知参量, α1 可

α2 可以表示回波幅度
A 
等。

5.复合假设检验
1 

表示为s(=t,则混合信号的随机性不仅由噪声决定, 
而且由噪声和随机参量信号共同决定。这样,混合信号的概率密度函数中就含有未知参量, 
这种在概率密度函数中含有未知参量的假设称为复合假设。而在概率密度函数中不含有未
知参量的假设,称为简单假设。由此可见,简单假设检验是解决单个确知信号的存在问题, 
而复合假设检验则是解决依赖于一组参数的信号的存在问题。

一般来说,接收机接收到的信号是由噪声和有用信号混合而成的随机信号。如果有用
信号的所有参量都是已知的,那么混合信号的随机性是由噪声引起的。如果有用信号含有
M 
个随机参量α1,α2,…,αM 
, t)s(α), 

在许多实际情况中,还需要对有用信号所包含的未知参量进行估计,这属于信号参量估

计问题,将在第8章中进行介绍。本章只考虑信号有无的判断,即仅限于讨论二元复合假设

检验问题,但是所用的方法可以推广到多个假设检验的情况。

5.1.1 
复合假设检验的Bayes准则
(β),
β 
的函数, 
记作C11(
记作C00(
C10C11 和C01 只是
α 
的函数而与
β 
无关, α)、C01(α)。
在复合假设情况下,由于信号参量的随机性,观测样本矢量
x 
的概率密度函数不仅同
假设有关,而且还依赖于观测期间随机参量的取值。在两类假设下, x|H1)、

α2,…,T β2,…,T 
表示与H0 假设有关的随机参量矢量,f(和f(分别表示α和
β 
的先验概率密度函数, 
对于代价因子,它们可能是α、但C00 和C10 只是
β 
的函数而与α无关, β)、

设α=[αM 
]
α) β) 
设
β 
=[βM 
]

α1,表示与H1 假设有关的随机参量矢量, β1,

分别记作f(α,
f(x|β,H0), 称为条件似然函数。判决空间
D 
划分为区域D0 和D1,观测信号落在区域
D0,就选择H0 假设为真,观测信号落在区域D1,就选择H1 假设为真。

·108· 


考虑到信号参量是随机的,每个随机参量都有自己的概率密度分布,总的平均风险应该
是Bayes风险对每个参量可能的取值作统计平均的结果,因此可以表示为
R =P(H0)∫D∫0 {β}
f(x|β,H0)f(β)C00(β)dβdx+ 
∫D∫1 {β}
f(x|β,H0)f(β)C10(βv)dβdx + 
P(H1)∫D∫1 {α}
f(x|α,H1)f(α)C11(α)dαdx+ 
∫D∫0 {α}
f(x|α,H1)f(α)C01(α)dα dx (5.1) 
由于
∫D0
f(x|α,H1)dx =1-∫D1
f(x|α,H1)dx 
∫D0
f(x|β,H0)dx =1-∫D1
f(x|β,H0)dx 
(5.2) 
代入式(5.1),得
R =P(H0)∫{β} 1-∫D1
f(x|β,H0)dx f(β)C00(β)dβ+ 
P(H0∫)D∫1 {β}
f(x|β,H0)f(β)C10(β)dβdx + 
P(H1∫)D∫1 {α}
f(x|α,H1)f(α)C11(α)dαdx + 
P(H1)∫{α} 1-∫D1
f(x|α,H1)dx f(α)C01(α)dα 
=P(H0)∫{β}
f(β)C00(β)dβ+P(H1)∫{α}
f(α)C01(α)dα + 
P(H0∫)D∫1 {β}
f(x|β,H0)f(β)[C10(β)-C00(β)]dβdx - 
P(H1∫)D∫1 {α}
f(x|α,H1)f(α)[C01(α)-C11(α)]dαdx (5.3) 
根据Bayes准则,选择能使上式达到最小的区域为D1。上式中前两项与D1 的选择无
关,故选择使第3、4项的总被积函数为负值的区域为D1,就可使R 达到最小。
由于正确判决的代价总是小于错误判决的代价,即C10(β)>C00(β),C01(α)>C11(α)。
得判决规则为,若
P(H1)∫{α}
f(x|α,H1)f(α)[C01(α)-C11(α)]dα> 
P(H0)∫{β}
f(x|β,H0)f(β)[C10(β)-C00(β)]dβ (5.4) 
则判决H1 假设为真,即
∫{α}
f(x|α,H1)f(α)[C01(α)-C11(α)]dα 
∫{β}
f(x|β,H0)f(β)[C10(β)-C00(β)]dβ .
H1 
H0 
P(H0) 
P(H1) (5.5) 
·109·

当各代价因子与未知参量α、β无关时,即C00(β)=C00,C10(β)=C10,C11(α)=C11, 
C01(α)=C01,上式可变为
l(x)=∫{α}
f(x|α,H1)f(α)dα 
∫{β}
f(x|β,H0)f(β)dβ .
H1 
H0 
P(H0)(C10 -C00) 
P(H1)(C01 -C11)=l0 (5.6) 
由于
f(x|α,H1)f(α)=f(x,α|H1) (5.7) 
∫{α}
f(x,α|H1)dα=f(x|H1) (5.8) 
f(x|β,H0)f(β)=f(x,β|H0) (5.9) 
∫{β}
f(x,β|H0)dβ=f(x|H0) (5.10) 
式(5.6)又可变为
l(x)=
f(x|H1) 
f(x|H0).
H1 
H0 
P(H0)(C10 -C00) 
P(H1)(C01 -C11) (5.11) 
由以上推导可以看出,当先验概率密度函数f(α)、f(β)已知,且代价函数与未知参量
无关时,复合假设下Bayes准则同简单假设下Bayes准则有相同的似然比检验形式。复合
假设检验时的似然比l(x)是对所有可能未知参量α、β取平均而求得的。
在复合假设情况下,漏报概率和虚警概率分别为
P(D0|α,H1)=∫D0
f(x|α,H1)dx (5.12) 
P(D1|β,H0)=∫D1
f(x|β,H0)dx (5.13) 
从式(5.12)和式(5.13)中,可以看到虚警概率P (D1|β,H0)和漏报概率P (D0|α, 
H1)分别是随机参量α、β的函数。为了消除随机参量带来的不确定性,应对随机参量求统计
平均,从而得到平均虚警概率和平均漏报概率分别为
P(D1|H0)=∫{β}
P(D1|β,H0)f(β)dβ 
=∫D∫1 {β}
f(x|β,H0)f(β)dβdx (5.14) 
P(D0|H1)=∫{α}
P(D0|α,H1)f(α)dα 
=∫D∫0 {α}
f(x|α,H1)f(α)dαdx (5.15) 
很多情况下,H0 假设是简单假设,H1 假设是复合假设。若代价因子与未知参量无关, 
则Bayes准则的判决规则为
l(x)=∫{α}
f(x|α,H1)f(α)dα 
f(x|H0) .
H1 
H0 
P(H0)(C10 -C00) 
P(H1)(C01 -C11) (5.16) 
由于H0 是简单假设,此时的虚警概率和平均虚警概率一样,即
P(D1|H0)=∫D1
f(x|H0)dx (5.17) 
·110·

在Bayes准则中,不仅要求知道代价函数和各种假设的先验概率,还要知道随机参量的
先验密度函数。当代价函数和先验概率均未知时,可采用Neyman-Pearson准则。
5.1.2 复合假设检验的Neyman-Pearson准则
在雷达检测中,H0 假设是简单假设,H1 假设是复合假设,而且一般来说先验概率和代
价因子都是未知的,此时可以采用奈曼-皮尔逊准则。根据式(3.54),此时设判决门限为λ0, 
则判决公式为
l(x)=∫{α}
f(x|α,H1)f(α)dα 
f(x|H0) .
H1 
H0
λ0 (5.18) 
λ0 应由约束条件
P(D1|H0)=∫D1
f(x|H0)dx =∫∞ 
λ0
f(x|H0)dx =A(常数) (5.19) 
求得。奈
曼-皮尔逊准则是在P(D1|H0)给定的条件下,选择判决区域D0 和D1,使P (D0| 
α,H1)达到极小。但由于漏报概率是随机参量α的函数,所以无法避开随机参量的先验概
率密度函数f(α)。
一种最简单的情况就是在给定P (D1|H0)条件下,不论α为何值,判决区域D0 和D1 
的划分,总可以使P(D0|α,H1)达到最小,即对一切α值均最佳,故对任何先验分布f(α)均
为最佳,这种检验称为一致最大势检验。此时,f(α)未知不影响判决过程。
【例5.1】 设观测矢量x=(x1,x2,…,xn)的分量xi 为独立的具有方差σ2 的高斯随机
变量,在H0 假设下其均值为0,在H1 假设下其均值a>0(a 为随机参量)。利用奈曼-皮
尔逊准则划分判决区域。
解:两种假设下的联合概率密度函数分别为
f(x|H0)= 1 
2πσ 
.
è .
.
. ÷
n
e-Σn 
i=1
x2i 
2σ2 
f(x|a,H1)= 1 
2πσ 
.
è .
.
. ÷
n
e-Σn 
i=1
(xi-a)2 
2σ2 
l(x|a)=
f(x|a,H1) 
f(x|H0) =ea 
σ2Σn 
i=1
xi-na2 
2σ2 .
H1 
H0
l0 
lnl(x|a)=a 
σ2Σn 
i=1
xi -na2 
2σ2 .
H1 
H0lnl0 
Σn 
i=1
xi .
H1 
H0
na
2 +σ2 
alnl0 
令..x =1 nΣn 
i=1
xi 为一统计检验量,得
..x .
H1 
H0 
a2
+σ2 
anlnl0 =β 
统计量..x 是n 个高斯随机变量的线性组合,故它也服从高斯分布,其均值在H1 和H0 
·111·

假设下分别为a 和0,方差为σ2/n,即
f(..x|H0)= n 
2πσe-n..x2 
2σ2 
f(..x|a,H1)= n 
2πσe-n(..x-a)2 
2σ2 
P(D1|H0)=∫∞ 
β 
f(..x|H0)d..x 
根据给定的P(D1|H0),便可求出β 值,从而划分判决区域D0 和D1,它与a 无关。
5.1.3 复合假设检验的最大似然检验准则
在先验概率密度函数f(α)和f(β)未知,且不存在一致最大势检验的情况下,可采用最
大似然检验。即先找出使条件似然函数f(x|α,H1)达到最大的α值,记作α^,使f(x|β,H0)达
到最大的β值,记作β^。α^和β^称为随机参量α和β的最大似然估计量。
利用这些最大似然估计量,就可以构成广义似然比进行信号检测,即
l(x)=
f(x|α,H1) 
f(x|β,H0)=
f(x|α^,H1) 
f(x|β^,H0) (5.20) 
由于用估计量α^和β^代替了随机参量α和β的真实值,检测结果可能不是最佳的,但一般
接近最佳。
5.2 随机相位信号的检测
在随机参量信号检测中,最常见的随机参量信号是相位。如许多通信系统中,接收信号
的相位不仅取决于发射信号的初相,而且还取决于路径上的延时。故一般无法预先确定,通
常假设相位θ 在区间(0,2π)上均匀分布。相位均匀分布意味着完全缺乏相位信息,是一种
最不利的分布。
5.2.1 最佳检测系统的结构
设发送端发送的二元信号为
s0(t)=0, 0≤t ≤T (5.21) 
s1(t)=Asin(ωt+θ), 0≤t ≤T (5.22) 
式中,振幅A 、频率ω 及到达时间T 是已知的,相位θ 是随机变量,其先验概率密度函数
f(θ)服从均匀分布,即
f(θ)= 
1 
2π, 0≤θ ≤2π 
0, 其他
ì
.
í .. 
.. (5.23) 
则接收端对应的两个假设为
H0:x(t)=s0(t)+n(t)=n(t), 0≤t ≤T (5.24) 
H1:x(t)=s1(t)+n(t)=Asin(ωt+θ)+n(t), 0≤t ≤T (5.25) 
·112·

式中,n(t)为信道上叠加的均值为0,功率谱密度函数为N0/2的高斯白噪声。
对于高斯白噪声中随机参量信号的似然函数,可以通过类似4.1节的讨论,采用“连续
抽样”的方法得到,也可以直接利用4.1节的结果,根据式(4.15)和式(4.16),可得
f(x|H0)=Fe- 1 N0∫T
0 
[x(t)-s0(t)]2dt =Fe- 1 N0∫T
0
x2(t)dt (5.26) 
f(x|H1,θ)=Fe- 1 N0∫T
0 
[x(t)-s1(t)]2dt =Fe- 1 N0∫T
0 
[x(t)-Asin(ωt+θ)]2dt (5.27) 
式中,F 是常数。
f(x|H1)=∫{θ}
f(x|H1,θ)f(θ)dθ 
=F∫2π 
0e- 1 N0∫T0
[x2(t)-2Ax(t)sin(ωt+θ)+A2sin2(ωt+θ)]dt 1 
2πdθ 
=Fe- 1 N0∫T0
x2(t)dt∫2π 
0e-A2 
N0∫T0
sin2(ωt+θ)dte2A 
N0∫T0
x(t)sin(ωt+θ)dt 1 
2πdθ (5.28) 
一般取T =kπ/ω,则有
∫T
0 sin2(ωt+θ)dt=∫T
0 
12
-12
cos2(ωt+θ) é
. êê
ù
. úú 
dt=T2
(5.29) 
将上式代入式(5.28),可得
f(x|H1)=Fe- 1 N0∫T
0
x2(t)dte-A2T 
2N0∫2π 
0 e2A 
N0∫T
0
x(t)sin(ωt+θ)dt 1 
2πdθ (5.30) 
一般情况下,代价函数与θ 无关,根据Bayes准则得出判决规则为
l(x)=
f(x|H1) 
f(x|H0)=∫{θ}
f(x|H1,θ)f(θ)dθ 
f(x|H0) .
H1 
H0
l0 (5.31) 
由式(5.26)和式(5.30),得似然比为
l(x)=e-A2T 
2N0 1 
2π∫2π 
0e2A 
N0∫T
0
x(t)sin(ωt+θ)dtdθ (5.32) 
根据sin(ωt+θ)=sinωtcosθ+cosωtsinθ,可知
∫T
0
x(t)sin(ωt+θ)dt=cosθ∫T
0
x(t)sinωtdt+sinθ∫T
0
x(t)cosωtdt (5.33) 
令
xc =∫T
0
x(t)sinωtdt 
xs =∫T
0
x(t)cosωtdt 
(5.34) 
则式(5.33)可变为
∫T
0
x(t)sin(ωt+θ)dt=xccosθ+xssinθ 
= x2c
+x2s
xc 
x2c
+x2s
cosθ+ 
xs 
x2c
+x2s
sinθ é
. êê
ù
. úú 
= x2c
+x2s 
[cosγcosθ+sinγsinθ] 
= x2c
+x2scos(θ-γ) 
=Mcos(θ-γ) (5.35) 
·113·

式中, 
M = x2c
+x2s
= ∫T
0
x(t)sinωtd( t)2 +∫T
0
( x(t)cosωtdt)2 
cosγ = 
xc 
x2c
+x2s
=
xc 
M , sinγ = 
xs 
x2c
+x2s
=
xs 
M 
将式(5.35)代入式(5.32),得到似然比
l(x)=e-A2T 
2N0 1 
2π∫2π 
0 e2AM 
N0cos(θ-γ)dθ=e-A2T 
2N0I0 2AM 
N0 
é
. êê
ù
. úú 
(5.36) 
其中,I0 2AM 
N0 
é
. êê
ù
. úú
= 1 
2π∫2π 
0 e2AM 
N0cos(θ-γ)dθ 称为零阶修正贝塞尔函数。
于是判决规则变为
e-A2T 
2N0I0 2AM 
N0 
é
. êê
ù
. úú 
.
H1 
H0
l0 (5.37) 
两边取对数,得
lnI0 2AM 
N0 
é
. êê
ù
. úú 
.
H1 
H0 
A2T 
2N0 
+lnl0 (5.38) 
可见,要组成最佳检测系统,就需要计算lnI0 2AM 
N0 
é
. êê
ù
. úú 
,较为复杂。由于I0 2AM 
N0 
é
. êêù
. úú
和
2AM 
N0 
以及lnI0 2AM 
N0 
é
. êê
ù
. úú
和I0 2AM 
N0 
é
. êê
ù
. úú
均为单调变化,故上述判决可改写为
M .
H1 
H0
β (5.39) 
式中,M 称为检验统计量;β 为判决门限。检测系统如图5.1所示,这种接收机通常称为正
交接收机。
图5.1 正交接收机原理框图
图5.1所示的正交接收机还可以进一步简化,设计一个与sinωt 相匹配的滤波器,其冲
激响应为
h(t)=sinω(T -t), 0≤t ≤T (5.40) 
当x(t)输入该滤波器时,输出为
y(t)=∫t
0
x(τ)h(t-τ)dτ=∫t
0
x(τ)sinω(T -t+τ)dτ 
=∫t
0
x(τ)[sinω(T -t)cosωτ+cosω(T -t)sinωτ]dτ 
·114·

=sinω(T -t∫)t
0
x(τ)cosωτdτ+cosω(T -t)∫t
0
x(τ)sinωτdτ (5.41) 
根据数学公式
asinx +bcosx = a2 +b2 a 
a2 +b2 sinx + b 
a2 +b2 cosx é
. êê
ù
. úú 
= a2 +b2 (sinysinx +cosycosx) 
=Mcos(y -x) (5.42) 
式中,M = a2+b2 为asinx+bcosx 的包络,角度y=arctana
b 。
对照式(5.42),可知式(5.41)在t=T 时的包络为
M = ∫T
0
( x(τ)cosωτdτ)2 +∫T
0
( x(τ)sinωτdτ)2 (5.43) 
此式正好与式(5.35)中M 的表达式一致,这说明使输入信号x(t)通过与sinωt 相匹配
的滤波器,其后加上一个包络检波器,在T 时刻的输出就是M 。匹配滤波器和包络检波器
的组合常常称为非相干匹配滤波器,如图5.2所示。
图5.2 非相干匹配滤波器原理框图
5.2.2 检测性能
由式(5.39)可知,判决的关键是计算检测统计量M 的值,然后再与门限值β 进行比较, 
检测器可以采用两种形式———正交接收机和非相干匹配滤波器,其区别仅在于计算M 的方
法不同。
要计算系统的检测性能,首先需要求出M 的条件概率密度函数。但是M 的条件概率
密度函数不易直接求出,一般需要先求xc 和xs 的联合概率密度函数,然后通过M 与xc、
xs 的关系,用雅可比变换来求出M 的条件概率密度函数。
由于x(t)服从高斯分布,而xc、xs 都是x(t)经过线性变换得到的,所以也是高斯随机
变量,只要求出它们的条件数学期望及方差,便可确定它们的条件概率密度函数。
对于H1 假设及未知的初相θ,考虑到高斯白噪声n(t)的均值为零,则xc 的条件数学
期望为
E[xc|H1,θ]=E∫T
0 [Asin(ωt+θ)+n(t)]sinωtdt 
=E∫T
0
Asin(ωt+θ)sinωtdt+∫T
0
n(t)sinωtdt 
=E∫T
0 
A2
[cosθ-cos(2ωt+θ)]dt é
. êê
ù
. úú
+∫T
0
E[n(t)]sinωtdt 
=AT 
2cosθ (5.44) 
·115·

同理,xs 的条件数学期望为
E[xs|H1,θ]=AT 
2sinθ (5.45) 
考虑到白噪声n(t)的自相关函数为N0 
2δ(τ),则xc 的条件方差为
Var[xc|H1,θ]=E[(xc -E[xc|H1,θ])2] 
=E ∫T
0 [Asin(ωt+θ)+n(t)]sinωtdt-AT 
2cosθ 
é 2 
. êê
ù
. úú 
=E ∫T
0
n(t)sinωtdt 2 
=E∫T
0∫T
0
n(t)n(τ)sinωtsinωτdτdt 
=∫T
0∫T
0
E[n(t)n(τ)]sinωtsinωτdτdt 
=∫T
0∫T
0
Rn(t-τ)sinωtsinωτdτdt 
=
N0 
2∫T
0sin2ωtdt=
N0T 
4 
(5.46) 
同理,xs 的条件方差为
Var[xs|H1,θ]=
N0T 
4 (5.47) 
xc 与xs 的条件方差相同,均用σ2T 表示,即σ2T =N0T/4。
xc 和xs 的协方差为
E[(xc -E[xc|H1,θ])(xs -E[xs|H1,θ])] 
=E∫T
0∫T
0
n(t)n(τ)cosωτsinωtdτdt 
=∫T
0∫T
0
E[n(t)n(τ)]cosωτsinωtdτdt 
=∫T
0∫T
0
R(t-τ)cosωτsinωtdτdt 
=
N0 
2∫T
0cosωtsinωtdt=0 (5.48) 
即xc 和xs 是互不相关的高斯随机变量,即相互独立,故xc 和xs 的联合概率密度函数为各
自概率密度函数的乘积,即
f(xc|H1,θ)= 1 
2πσTe- 
xc-AT 
( 2cosθ) 2 
2σ2T 
f(xs|H1,θ)= 1 
2πσTe- 
xs-AT 
( 2sinθ) 2 
2σ2T 
f(xc,xs|H1,θ)= 1 
2πσ2Te- 1 
2σ2T 
xc-AT 
( 2cosθ) 2+ xs-AT 
( 2sinθ) 2 (5.49) 
现由变量(xc,xs)变换到变量(M ,γ),其关系为
xc =Mcosγ, xs =Msinγ (5.50) 
·116·

变换的雅可比式是
J = 
.xc 
.M .xs 
.M 
.xc 
.γ .xs 
.γ 
= cosγ sinγ 
-Msinγ Mcosγ 
=M (5.51) 
得
f(M ,γ|H1,θ)=Jf(xc,xs|H1,θ) 
= M 
2πσ2Te- 1 
2σ2T 
x2c-2·AT 
2xccosθ+ AT 
( 2 ) 2cos2θ+xs2-2·AT 
2xssinθ+ AT 
( 2 ) 2sin2θ 
xc =Mcosγ 
xs =Msinγ 
= M 
2πσ2Te- 1 
2σ2T 
M2+ AT 
( 2 ) 2-ATMcos(θ-γ) (5.52) 
其中,γ=arctanxs 
xc 
.
è .
.
. ÷ 
(0≤γ≤2π)。
f(M |H1,θ)=∫2π 
0
f(M ,γ|H1,θ)dγ 
=∫2π 
0 
M 
2πσ2Te- 1 
2σ2T 
M2+ AT 
( 2 ) 2-ATMcos(θ-γ)dγ 
=M 
σ2Te- 1 
2σ2T 
M2+ AT 
( 2 ) 2 1 
2π∫2π 
0e
ATM 
2σ2T 
cos(θ-γ)dγ 
=M 
σ2Te- 1 
2σ2T 
M2+ AT 
( 2 ) 2
I0 
ATM 
2σ2T 
é
. êê
ù
. úú 
(5.53) 
从上式可以看到,条件概率密度函数f(M|H1,θ)与θ 无关,所以H1 假设下的条件概
率密度函数为
f(M |H1)=∫2π 
0
f(M |H1,θ)f(θ)dθ 
=M 
σ2Te- 1 
2σ2T 
M2+ AT 
( 2 ) 2
I0 
ATM 
2σ2T 
é
. êê
ù
. úú 
(5.54) 
为莱斯分布。
对于H0 假设,有A =0,I0(0)=1,代入上式,得
f(M |H0)=M 
σ2Te-M2 
2σ2T (5.55) 
为瑞利分布。
虚警概率为
Pf =P(D1|H0)=∫∞ 
β
f(M |H0)dM =∫∞ 
β 
M 
σ2Te-M2 
2σ2TdM 
=-e-M2 
2σ2T 
∞ 
β 
=e
-β2 
2σ2T (5.56) 
检测概率为
PD =P(D1|H1)=∫∞ 
β
f(M |H1)dM 
·117·