第5章n阶传递函数
本章将第4章中所介绍的2阶传递函数公式进行扩展，以便将其应用于高阶电路网络。无论电路复杂程度如何，分析方法不变： 首先关闭激励源计算各种时间常数值； 然后通过观测法、NDI或广义形式的简单增益法计算零点值。由于传递函数为很多项的组合，所以整理高阶传递函数时需要巨大耐心。利用参考表达式或电路仿真求得的动态响应可能存在错误，将原始电路分解成单个独立电路的方法能够对电路进行更加详尽分析，以便对其错误进行识别。应用上述步骤能够求得排列规整但非常复杂的传递函数表达式，通过对所得表达式进行细致分析，可准确求得3阶或更高阶电路的极点和零点值。本章首先从广义n阶表达式讲解开始，然后立即将其应用于复杂4阶电路分析。
5．1从2EET到nEET
高阶电路分析方法与前面章节所讲方法并无不同。当s=0时计算参考增益，此时所有电容移除、所有电感短路。然后将激励源设置为零，观测每个储能元件端口并计算驱动电阻值——计算电路固有时间常数。通常n阶分母表达式遵循以下格式： 
D（s）=1+b1s+b2s2+b3s3+…+bnsn(5．1)
由第1章分析可得，典型传递函数由主导项与比例因子构成。此时，如果传递函数具有单位量纲，则该量纲由主导项进行标识。因此分子与分母之比N(s)/D(s)必定无量纲。如果式(5．1)中表达式D(s)无单位，则b1的量纲为时间［s］，b2的量纲为时间的平方［s2］，b3的单位为时间的立方［s3］，b4的量纲为时间的4次方［s4］，以此类推，所以bn的单位为时间的n次方。
首先计算b1，因为其单位为秒，所以当激励源设置为0时所有时间常数之和即为b1，通用计算公式为： 
b1=∑ni1=1τi1(5．2)
当研究n阶电路时b1中含有n项。如果对4阶电路网络进行分析，可将4个时间常数组合如下： 
b1=τ1+τ2+τ3+τ4(5．3)
计算b2时，因为其量纲为时间平方，所以将时间常数乘积进行相加即可求得b2值。第2章已经对形如τ1τ12或τ2τ21的时间常数乘积进行定义： 当2阶电路网络中的两个储能元件同时工作时计算系数项b2。将相同理论扩展到高阶电路网络，但是必须将双储能元件的所有组合全部涵盖： 每次仍然从n个储能元件中选定两个元件。当同时选定多个电抗时，利用图5．1对标识符号进行具体解释： 时间常数数字出现在指数中的电抗设置于高频状态，然后计算储能元件的驱动电阻值，该储能元件由下角标进行标识。在上述计算过程中，其余所有电抗均保持在直流状态。


图5．1某一储能元件工作于高频状态，其他所有元件均工作于直流(参考)状态


那么b2共由多少种组合构成呢？当从一组储能元件中进行某种组合选择时，根据二项式系数计算公式可求得组合数量为： 
n
j=n！j!(n-j)!(5．4)
其中n为电路网络阶数，j为系数参考； 则b2项的j为2、b3项的j为3，以此类推，直至j=n为止。于是利用式(5．4)可求得4阶电路网络b2项的组合数量为： 
4
2=4！2！（4-2）！=6(5．5)
首先计算式(5．3)中τ1的组合项： 
b2a=τ1τ12+τ1τ13+τ1τ14(5．6)
接下来计算τ2的组合项。如果继续书写τ2τ21，将会与式(5．6)中的τ1τ12冗余。按照图5．2所示方式可轻松识别冗余项、重新组合时间常数。当原始组合产生中间复杂电路或者产生不确定项时,重新组合显得尤为重要。


图5．2将时间常数重新组合有助于消除不确定性及求得更简单组合方式


由于时间常数τ3和τ4还未与τ2相关联，所以直接计算下一项，即： 
b2b=τ2τ23+τ2τ24(5．7)
然后利用τ3和最后一项时间常数τ4计算得： 
b2c=τ3τ34(5．8)
如果继续利用τ3与τ2和τ1相结合，可分别得到τ3τ32或τ3τ31，然后可以使用τ2τ23或τ1τ13建立冗余(如图5．2)。将式(5．6)、式(5．7)和式(5．8)相加可得b2值为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ1τ14+τ2τ23+τ2τ24+τ3τ34(5．9)
与式(5．5)计算结果一致，b2共包含6项。式(5.9)推广可得： 
b2=∑n-1i1=1∑ni2=i1+1τi1τi1i2(5．10)
因为表达式中很多项需要重新整理，所以上述广义表达式并无实际意义。式(5．10)旨在说明开始进行电路分析时如何构建b2项，如果实际计算时需要，可以再对其进行组合调整。
第3项b3主要对3个时间常数乘积进行管理。理想情况下，b2中所得结果可以重复使用，但也有例外。由式(5．5)可得b3中总共包含的项数： 
4
3=4!3!(4-3)!=4(5．11)
首先可以利用b2中所得时间常数进行乘积计算。第1项为τ1τ12，所以第3时间常数的指数应该为1和2、下角标可能为3，具体如下： 
b3a=τ1τ12τ123(5．12)
图5．3显示如何轻松构建3阶项。当需要重新整理时，也可通过向后整理的方式从最后指数项重新建立前面项。由图5．4所示原理可得，当τ123=τ213时两指数项相同，所以与时间常数τ1和τ2相关联的储能元件设置于高频状态： 无论计算τ123还是τ213，电路设置相同。


图5．3将前面两项进行逻辑组合可轻易构建出第3项



图5．4因为右侧两项完全相同，所以当重新组合3元素项时，

从右侧指数开始向后进行有时更容易和便捷


尽管τ123的指数位置包含两个元素，但计算过程相同： 将与时间常数τ1和τ2相关联的储能元件设置于高频状态，而其他所有元件(例如与τ3和τ4相关联的储能元件)均保持s=0的参考状态； 然后计算第3元件的驱动电阻。图5．5以图形方式对上述两示例计算过程进行说明。


图5．5将指数中参考的两储能元件设置为高频状态，而其他元件

均处于其参考状态(s=0)时，然后计算下标元件的驱动电阻


在4阶电路网络中，将τ1τ12与τ4相乘可得： 
b3b=τ1τ12τ124(5．13)
式(5．9)中的下一项为τ1τ13与τ4相结合，即： 
b3c=τ1τ13τ134(5．14)
下一项为最后一项，即τ2τ23τ234： 
b3=τ1τ12τ123+τ1τ12τ124+τ1τ13τ134+τ2τ23τ234(5．15)
所以b3的广义计算公式为： 
b3=∑2i1=1∑3i2=i1+1∑4i3=i2+1τi1τi1i2τi1i2i3(5．16)
最后一项为b4——4个时间常数的乘积。此时式(5．4)的计算值为1，所以b4的定义式为： 
b4=τ1τ12τ123τ1234(5．17)
当计算下标数字所标识电抗元件的驱动电阻时，需要将其余3元件设置为高频状态。上述工作原理的计算过程如图5．6所示。


图5．6将指数中3个参考储能元件设置为高频状态，而其他元件(如果有)均处于

其参考状态(s=0)时，计算下标元件的驱动电阻


如果需要重新计算，可以按照图5．7中实例进行重新整理。


图5．7建立4元素项并不复杂，可从左边开始然后一直向右进行，

或从最后一个元素开始返回计算


b4的通用公式为： 
b4=∑1i1=1∑2i2=i1+1∑3i3=i2+1∑4i4=i3+1τi1τi1i2τi1i2i3τi1i2i3i4(5．18)
最后，任何阶数的传递函数完整通用表达式为： 
bj=∑n+1-ji1=1∑n+2-ji2=i1+1…∑nij=ij-1+1τi1τi1i2τi1i2i3…τi1i2…ij-1ij(5．19)
其中n为电路阶数，j为多项式系数下标： b1，b2，…，以通用公式为向导，可以得到构成该多项式各项的第一组元素。但是，如果利用计算机程序对式(5．19)进行自动计算，由于软件无法去除可能存在的不确定性，所以可能无法得到正确的计算结果。由于上述原因，对电路进行分析时需要重新整理，所得最终表达式很可能与式(5．19)不同。图5．8对4次之内的可能分母表达式进行详细总结。


1~4阶分母表达式

1阶D（s）=1+τ2s

2阶D（s）=1+（τ1+τ2）s+(τ1τ12)s2=1+(τ1+τ2)s+(τ2τ21)s2

3阶D（s）=1+(τ1+τ2+τ3)s+(τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23)s2+(τ1τ12τ123)s3

4阶D(s)=1+(τ1+τ2+τ3+τ4)s+(τ1τ12+τ1τ13+τ1τ14+τ2τ23+τ2τ24+τ3τ34)s2+

(τ1τ12τ123+τ1τ12τ124+τ1τ13τ134+τ2τ23τ234)s3+

(τ1τ12τ123τ1234)s4


图5．81~4阶电路的可能分母表达式


5．1．13阶传递函数实例


现在已经知道如何求解分母表达式，接下来将所学新技术应用于图5．9所示电路。因为该电路包含3个储能元件，所以为3阶系统(各状态变量独立)。


图5．9该电路分母表达式为3阶

无论L1、L2独自开路或者C3短路，或者将其任意组合，输出响应均消失，所以该电路无零点。为求解电路网络的各个系数，将电路进行分解，每个电路对应一个特定参数计算，具体如图5．10所示。当s=0时可得： 
H0=1(5．20)
由图5．10（b）可求得第一时间常数，将其简化为： 
τ1=L1R1(5．21)
由图5．10(c)和(d)可得： 
τ2=L2R1(5．22)
以及
τ3=0·C3=0(5．23)
于是分母表达式中的第一项为： 
b1=τ1+τ2+τ3=L1R1+L2R1=L1+L2R1(5．24)


图5．10相对2阶电路而言，研究3阶电路并非高不可攀。因为其函数

表达式更长，所以求解系数时需要更加注意



计算τ12时将L1设置为高频状态(从电路中移除)，然后计算电抗2的驱动电阻。该模式下其余元件(C3)均保持在参考状态(C3从电路中移除)，所以其中一支路开路，因此： 
τ12=L2∞=0(5．25)
计算τ13时仍将L1设置为高频状态，但是C3的端口电阻为R1，具体如图5．10(f)所示。此时时间常数计算公式为： 
τ13=R1C3(5．26)
现在计算τ23： L2设置为高频状态(从电路中移除)，然后查看C3两端的驱动电阻。L1保持其参考状态并由短路代替。由图5．10(g)可得： 
τ23=0·C3=0(5．27)
将上述计算结果组合可得： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23=L1R1·0+L1R1R1C3+L2R1·0=L1C3(5．28)
求解图5．10（h）中电路的最高次项时，将两电感均设置为高频状态(从电路中移除)，通过计算电容两端驱动阻抗计算时间常数τ123。解得： 
τ123=∞·C3(5．29)
当式(5．29)与式(5．25)中的τ12相乘时将产生不确定性。通过对其最后一项进行重新整理可使其恢复稳定，此时： 
b3=τ1τ12τ123(5．30)
由图5．4所示，可将b3调整为如下不同组合形式： 
b3=τ2τ23τ231(5．31)
或者
b3=τ1τ13τ132(5．32)
由于τ213已经通过式(5．29)进行定义，所以不能采用τ2τ21τ213的形式。在图5．10(i)中，应用式(5．32)可得： 
τ132=L2R1(5．33)
整理得： 
b3=τ1τ13τ132=L1R1R1C3L2R1=L1L2C3R1(5．34)
将式(5．24)、式(5．28)和式(5．34)组合得分母表达式为： 
D(s)=1+sL1+L2R1+s2L1C3+s3L1L2C3R1(5．35)
可否将式(5．35)修改为其他匹配形式，例如2阶多项式形式？第2章已经推导出3阶方程的不同表达式形式。式(5．35)的重新排列主要取决于极点分布。例如，如果式(5．35)由低频单极点控制，然后在更高频率处包含双极点，那么可将式(5．35)重新排列如下： 
D(s)≈1+sωp1+sω0Q+sω02(5．36)
式(5．36)中参数具体计算数值为(参见第2章)： 
ωp=1b1(5．37)
Q=b1b3b1b3b1b2-b3=L2(L1+L2)L1+L2C3L1L2L1R1(5．38)
以及
ω0=b1b3=L1+L2C3L1L2(5．39)
如果b3=b1b2，则式(5．36)可进一步简化为： 
D（s）≈(1+b1s)1+sb2b1+s2b3b1(5．40)
将L1、L2、C3和R1分别设置为具体数值，以便验证通过简化表达式所得计算结果是否足够准确。通过上述计算可得Vout与Vin的最终传递函数表达式为： 
H(s)=11+sL1+L2R1+s2L1C3+s3L1L2C3R1(5．41)
为测试上述表达式，需要设定参考传递函数。应用戴维南定理与阻抗分压器原理求解图5．9所示电路传递函数为： 
Href(s)=1sC3sL1+1sC3R1R1+sL2+1sC3‖sL1

=11+s2L1C3R1R1+sL2+1sC3‖sL1(5．42)
现在将上述表达式输入Mathcad工作表中，并与式(5．42)动态响应特性进行对比。
当采用实际元件值时，幅度与相位曲线均完美吻合。如果现在对简化表达式(5．40)进行测试，输出曲线如图5．12（a）所示，尽管曲线峰值略低，但是总体响应特性仍可接受。当电容C3从1nF增加至1μF时，用于式(5．40)的因数假设不再有效，所以其响应无法预测峰值。如果按照式(5．36)绘制频率特性波形，输出曲线仍然精确匹配。

5．1．2传递函数零点
所有应用于确定极点的表达式均可同样应用于零点。唯一区别如下： 利用NDI对电路进行分析时，当响应为零时计算驱动电抗的所有电阻。该模式下将激励源重新接通，测试电流源IT与电抗端口相连接，从而使得响应为零。此时电阻即为电抗端口电压VT与电流源IT之比。如果需要，可以按照与分母系数相同的描述方法对其进行重新整理。图5．13对1阶至4阶分子表达式进行了详细总结，其中下标N表示某个分子系数(1阶表达式分子中的τ1和第2章及后续章节分母中的τ2除外)。

将上述零点计算方法应用于图5．14所示的3阶电路。首先利用第4章定义计算电路零点数量： 将多少储能元件同时置于高频状态时输出响应仍然存在？
如果C2短路，无论L3和C1状态如何，输出响应均为零，所以无须尝试将C2与其他电抗相关联。如果C1短路时将L1断开，则通过rC输出响应仍然存在： 分子为2阶，两个零点分别与C1和L3相关联。所以一旦求得系数a2，则无须计算系数a3。
当输出为零时，通过各种电路配置计算每个电抗端口的电阻值，从而确定零点值。所有步骤均收集整理在图5．15中，求解过程非常简单。

第一个NDI时间常数与图5．15（a）中C1相关联。由图可得，因为输出响应为零，所以测试电流源IT通过电阻rC返回，求得时间常数为： 
τ1N=rCC1(5．43)
在图5．15（b）中，rC右端为0V(响应为零)，但是电流源上端与L3相连接，当s=0时电感L3短路。因此VT=0V，所以时间常数为： 
τ2N=0·C2(5．44)

L1=10μHL2=500μHC3=1nFR1=0.1kΩ‖(x,y)=xyx+yRinf=1023Ω



H0=1τ1=L1R1=0.1μsτ2=L2R1=5μsτ3=0·C3=0μs

Href(s)=1s·C3s·L1+1s·C3·R1R1+s·L2+1s·C3‖(s·L1)

b1=τ1+τ2+τ3=5.1μs

τ12=L2Rinf=0μsτ13=R1·C3=0.1μsτ23=0·C3=0μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=0.01μs2

τ132=L2R1=5·μsτ123=Rinf·C3b3=τ1·τ13·τ132=0.05·μs3b33=τ1·τ12·τ123=0.05μs3

H1（s）=H0·11+b1·s+b2·s2+b3·s3

ωp=1b1fp=ωp2π=31.207kHz

Q=b1·b3·b1b3b1·b2-b3=2.575×103Q00=L2·(L1+L2)·L1+L2C3·L1·L2L1·R1=2.575×103

ω0=b1b3=1.01×1071sω00=L1+L2C3·L1·L2=1.01×1071sf0=ω02·π=1.607MHz

H2(s)=H0·1(1+b1·s)1+s·b2b1+s2·b3b1H3（s）=H0·1（1+b1·s）·1+sω0·Q+sω02

H5（s）=11+s·L1+L2R1+s2·L1·C3++s3·L1·L2·c3R1






图5．11当传递函数的双极点与低频极点清晰分离时，Mathcad频率特性曲线相互吻合： 

H1(s)与Href(s)响应一致，而与H3(s)十分接近




图5．12式(5．40)中的简化表达式的特性曲线与左侧图中的参考曲线十分相似。

当C3=1μF时两极点越来越接近，从而无法预测峰值



1~4阶分子表达式

1阶N(s)=1+τ1s

2阶N（s）=1+(τ1N+τ2N)s+(τ1Nτ12N)s2=1+(τ1N+τ2N)s+(τ2Nτ21N)s2

3阶N(s)=1+(τ1N+τ2N+τ3N)s+(τ1Nτ12N+τ1Nτ13N+τ2Nτ23N)s2+(τ1Nτ12Nτ123N)s3

4阶N(s)=1+(τ1N+τ2N+τ3N+τ4N)s+(τ1Nτ12N+τ1Nτ13N+τ1Nτ14N+

τ2Nτ23N+τ2Nτ24N+τ3Nτ34N)s2+(τ1Nτ12Nτ123N+τ1Nτ12Nτ124N+τ1Nτ13Nτ134N+

τ2Nτ23Nτ234N)s3+(τ1Nτ12Nτ123Nτ1234N)s4



图5．13响应为零时确定分子表达式





图5．143阶电路零点计算



图5．15当输出响应为零时将原始电路分解为小电路以求解零点值


接下来计算输出响应为零时与电感相关联的时间常数，由图5．15（c）可得，如果测试电流IT等于0则输出响应为零。因此时间常数为： 
τ3N=L3∞=0(5．45)
于是系数a1的定义式为： 
a1=τ1N+τ2N+τ3N=rCC1(5．46)
求解a2项时将某些储能元件设置于高频状态。在图5．15(d)中，当测试源对电容C2端口进行偏置时电容C1由短路线代替。该工作模式下rC通过L3短路，只有当VT=0时才能使得输出响应为零。此时求得时间常数为： 
τ12N=0·C2(5．47)
当C1仍处于高频状态并且输出响应为零时，可对L3两端阻抗进行分析计算，具体如图5．15（e）所示，此时测试电流通过电阻rC返回。所示时间常数为： 
τ13N=L3rC(5．48)
最后计算输出响应为零、电容C2设置为高频状态时电感L3的端口电阻，具体电路如图5．15(f)所示。由于rC断开，所以电流IT不能通过R2返回，所以只有当IT=0时才能使通过电阻R2的电流也为0。此时电流源两端电压也为0V，并且具有不确定性。通过在电流源两端并联电阻Rdum可将该不确定性消除，此时电流只通过电阻Rdum进行循环，而未流经电阻R2。
图5．16为原理图更新之后所对应的SPICE仿真电路。对其进行NDI分析可求得与L3相关联的时间常数为： 
τ23N=L3Rdum(5．49)


图5．16对电路进行NDI分析时，通过在L3两端添加虚拟阻抗消除不确定性。

通过SPICE仿真证实，对电路进行NDI分析时L3两端阻抗为Rdum



整理得
τ23N=L3∞(5．50)
当Rdum无限大时求得系数a2为： 
a2=τ1Nτ12N+τ1Nτ13N+τ2Nτ23N

=rCC1·0·C2+rCC1L3rC+0·C2L3∞=L3C1(5．51)
将分子表达式定义如下： 
N（s）=1+a1s+a2s2=1+srCC1+s2L3C1(5．52)
因为式(5．52)为二次多项式，所以满足以下形式： 
N(s)=1+sω0N(QN)+sω0N2(5．53)
其中
QN=a2a1=L3C1rCC1=1rCL3C1(5．54)
以及
ω0N=1a2=1L3C1(5．55)
由上述分析可得： 求解零点值需要8个步骤。本实例并非十分复杂，但是绘制所有分解电路图需要很多时间，而且有时还会出现不确定性。那么有没有更加快捷的方法求解分子表达式呢？可以用观察法。如图5．14所示，当s=sz时是否存在使得输出响应为零的条件呢？当电容C2短路时是否满足呢？回答是否定的，因为只有当s接近无限大时电容短路才会发生。那么串联阻抗会变成开路吗？确切地说该阻抗由L3与C1和rC的串联组合并联构成。如果阻抗表达式的分母为零，则其阻抗值无穷大。因为阻抗传递函数的零点值已经确定，接下来需要求解其极点值。图5．17(a)展示了如何利用电流源求解阻抗值。只要求得分母表达式，阻抗传递函数即可确定。


图5．17阻抗极点为传递函数零点


由图5．17(b)可求得与电容C1相关联的第一时间常数为： 
τ1=rCC1(5．56)
在图5．17(c)中，因为电感两端的电阻无穷大，所示时间常数为： 
τ3=L3∞=0(5．57)
最后由图5．17(d)求得2阶项的局部为： 
τ′3=L3rC(5．58)
根据上述计算整理得分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+s(τ1+τ3)+s2τ1τ13=1+srCC1+s2C1L3(5．59)
式(5．59)与式(5．52)中的分子定义式相符。求解表达式零点和极点时，如有允许，观测法总比NDI技术速度更快。现在已经求得分子表达式，接下来确定分母表达式。除激励源设置为零外，计算过程完全按照图5．15中步骤进行。通常首先计算直流增益，由图5．15(a)可得： 
H0=R2R1+R2(5．60)
由图5.17(b)、(c)和(d)所示的分解电路分别求得3个时间常数为： 
τ1=rCC1(5．61)
τ2=C2(R1‖R2)(5．62)
τ3=L3R1+R2(5．63)
求得第1系数b1的定义式为： 
b1=τ1+τ2+τ3=rCC1+C2(R1‖R2)+L3R1+R2(5．64)
此时C1设置于高频状态，通过图5．15(e)计算C2的驱动电阻。由于rC被L3短路，所以驱动电阻即为R1和R2并联，从而求得时间常数为： 
τ12=C2(R1‖R2)(5．65)
电路设置相同，由图5．15(f)计算电感L3的驱动电阻，求得时间常数为： 
τ13=L3rC‖(R1+R2)(5．66)
在图5．15(g)中，C2设置于高频状态，此时电感L3的驱动电阻为R2，求得时间常数为： 
τ23=L3R2(5．67)
根据上述计算结果整理得系数b2的表达式为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=rCC1C2(R1‖R2)+rCC1L3rC‖(R1+R2)+C2(R1‖R2)L3R2(5．68)
由图5．18（h）求得τ1τ12τ123中的最后一项为： 
τ123=L3rC‖R2(5．69)
系数b3只由一项构成，即： 
b3=τ1τ12τ123=rCC1C2(R1‖R2)=L3rC‖R2(5．70)
通过上述计算求得分母表达式为： 
D(s)=1+srCC1+C2(R1‖R2)+L3R1+R2+

s2rCC1C2(R1‖R2)+rCC1L3rC‖(R1+R2)+C2(R1‖R2)L3R2+

s3rCC2(R1‖R2)L3rC‖R2(5．71)
可将分母表达式简化为单低频极点和2阶多项式的组合形式，其品质因数Q定义式为： 
Q=b1b3b1b3b1b2-b3(5．72)


图5．18当激励源设置为0V时计算每个时间常数


谐振频率ω0为： 
ω0=b1b3(5．73)
低频极点为： 
ωp=1b1(5．74)
将传递函数的简化表达式重新整理为： 
H(s)=N(s)D(s)≈H01+sω0NQN+sω0N21+sωp1+sω0Q+sω02(5．75)
对传递函数进行动态响应测试之前，首先建立原始参考传递函数。R1和C2为戴维南电压源的组成部分，并且电压源受R1和C2组成的并联输出阻抗影响，此时新的传递函数表达式为： 
Href(s)=1sC2R1+1sC2R2R2+1sC2‖R11sC1+rC‖(sL3)(5．76)
如图5．19所示，将上述所有表达式全部输入到Mathcad文件中。通过式(5．76)绘制参考传递函数特性曲线，由式(5．52)和式(5．71)构成完整传递函数表达式，输出曲线一致性非常完美。在图5．20中，式(5．75)与式(5．76)进行对比，由所选元件参数组合得到的输出结果同样非常匹配。


L3=1mHC2=22nFC1=22nFR1=1kΩR2=1kΩ‖(x,y)=x·yx+yRinf=1023Ω

rC=1.5Ω



H0=R2R2+R1Href(s)=1s·C2R1+1s·C2·R2R2+1s·C2‖R1+1s·C1+rC‖（s·L3）

τ1=rC·C1=0.033μsτ2=C2·(R1‖R2)=11μsτ23=L3R1+R2=0.5μs

b1=τ1+τ2+τ3=11.533μs

τ12=C2·(R1‖R2)=11μsτ13=L3rC‖(R1+R2)=667.167μsτ23=L3R2=1μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=33.38μs2

τ123=L3rC‖R2=667.667μs

b3=τ1·τ12·τ123=242.363μs3

τ1N=C1·rCτ2N=C2·0Ω=0τ3N=L3Rinf=0s

a1=τ1N+τ2N+τ3N=33ns

τ12N=C2·0Ω=0τ13N=L3rCτ23N=L3Rinf=0μs

a2=τ1Nτ12N+τ1Nτ13N+τ2Nτ23N=2.2×10-11s2

QN=a2a1=142.134ω0N=1a2=2.132×1051sf0N=ω0N2π=33.932kHz

H1(s)=H0·1+a1·s+a2·s21+b1·s+b2·s2+b3·s3

N1(s)=1+s·rC·C1+s2·C1·L3

ωp=1b1fp=ωp2π=13.8kHz

Q=b1·b3·b1b3b1·b2-b3=4.276

ω0=b1b3=2.181×1051sf0=ω02π=34.718·kHz

H2（s）=H0·1+sω0N·QN+sω0N2（1+b1·s）·1+s·b2b1+s2·b3b1
H3（s）=H0·1+sω0N·QN+sω0N2（1+b1·s）·1+sω0·Q+sω02

H4（s）=H0·N1（s）（1+b1·s+b2·s2+b3·s3）







图5．19参考表达式Href(s)与H1(s)频率特性曲线完全吻合




图5．20使用选定元件参数组合时简化表达式与实际响应相差甚微



5．1．3广义n阶传递函数
第3章利用其他方式而非NDI求得EET，具体步骤如下所示： 重新利用激励源设置为0时确定的分母时间常数，并将与其相关联的储能元件设置为高频状态求得增益值，然后将两者进行组合。第4章将表达式扩展为2阶电路，具体如文献［1］所示。在论文中，阿里哈基米日利用类似分析方法将该技术推广至n阶传递函数： 再次利用分母时间常数，并将其与确定增益值相组合，计算增益值时将某些储能元件设置为高频或直流状态。图5．21为利用上述方法计算1~4阶分子表达式的详细总结。

1阶N（s）=H0+H1τ1s，D(s)=1+sτ1

2阶N(s)=H0+(τ1H1+τ2H2)s+(τ1τ12H12)s2=H0+(τ1H1+τ2H2)s+(τ2τ21H21)s2

3阶N（s）=H0+s(τ1H1+τ2H2+τ3H3)+s2(τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ2τ23H23)+s3(τ1τ12τ123H123)

4阶N（s）=H0+s(τ1H1+τ2H2+τ3H3+τ4H4)+

s2(τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ1τ14H14+τ2τ23H23+τ2τ24H24+τ3τ34H34)+

s3(τ1τ12τ123H123+τ1τ12τ124H124+τ1τ13τ134H134+τ2τ23τ234H234)+

s4(τ1τ12τ123τ1234H1234)



图5．211~4阶广义传递函数分子表达式总结


当s=0传递函数增益存在并且为H0时，可将其按照图5．22方式进行因式分解。

当H0非零时，可将其分解为分子表达式的主导项

N(s)=H01+H1H0τ1s，D(s)=1+sτ1

N(s)=H01+τ1H1H0+τ2H2H0s+τ1τ12H12H0s2

N(s)=H01+sτ1H1H0+τ2H2H0+τ3H3H0+s2τ1τ12H12H0+τ1τ13H13H0+τ2τ23H23H0+s3τ1τ12τ123H123H0

N（s）=H01+sτ1H1H0+τ2H2H0+τ3H3H0+τ4H4H0+

s2τ1τ12H12H0+τ1τ13H13H0+τ1τ14H14H0+τ2τ23H23H0+τ2τ24H24H0+τ3τ34H34H0+

s3τ1τ12τ123H123H0+τ1τ12τ124H124H0+τ1τ13τ134H134H0+τ2τ23τ234H234H0+

s4τ1τ12τ123τ1234H1234H0



图5．22当H0非0时变为主导因子，代表传递函数的单位量纲(如果有量纲)



如图5．23所示，构建分子表达式并不复杂。H符号中的指数表明该储能元件设置为高频状态，而其余元件均保持其直流状态。正如第3章和第4章所述，广义传递函数表达式有时比利用NDI技术或者更实用的观察法得到的表达式更复杂。无论选择两种方法中的任何一种，均能得到相同的动态响应。


图5．23构建N(s)广义表达式系数项时需要计算增益表达式H，并将与之

相关联的储能元件设置为高频或直流状态




图5．24利用图5．21中的广义表达式可

快速求得3阶电路的传递函数

现在传递函数广义表达式的基本形式已经确定，接下来对图5．24中的3阶电路实例进行分析。与之前电路分析方法一致，首先将电路分步绘图，以计算电路固有时间常数，分解电路如图5．25所示。



图5．25断开电路以求解固有时间常数。仅当计算直流增益H0时激励源才开启，

其他情况下激励源均关闭


首先从左侧电路开始分析，由图5．25(a)可得： 
H0=0(5．77)
整理得
τ1=R1C1(5．78)
τ2=L2R2(5．79)
τ3=L3R2(5．80)
求得系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3=R1C1+L2+L3R2(5．81)
如果R1=R2=R，则b1表达式重新整理为： 
b1=RC1+L2+L3R(5．82)
继续对图5．25(e)进行分析，可求得如下时间常数： 
τ12=L2R1‖R2(5．83)

τ13=L3R2(5．84)

τ23=L3∞=0(5．85)
于是系数b2的表达式为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23=R1C1L2R1‖R2+R1C1L3R2+L2R2·0

=R1C1L2R1‖R2+R1C1L3R2(5．86)
如果R1=R2=R，则b2表达式可简化为： 
b2=RC1L2R2+RC1L3R=C1(2L2+L3)(5．87)
最后对图5．25(h)进行分析，求得时间常数为： 
τ123=L3R1+R2(5．88)
解得： 
b3=τ1τ12τ123=R1C1L2R1‖R2L3R1+R2(5．89)
如果R1=R2=R，则b3表达式可简化为： 
b3=2L2C1L32R=C1L2L3R(5．90)
将式(5．82)、式(5．87)和式(5．90)进行组合整理，求得分母表达式为： 
D(s)=1+sRC1+L2+L3R+s2C1(2L2+L3)+s3L2L3C1R(5．91)
既然分母表达式已经求得，接下来利用图5．26中的各种配置电路计算对应增益值，以求解广义传递函数表达式。
在图5．26（a）中，电容C1设置于高频状态(短路)，其他元件均工作于直流状态。该模式下电感L2将信号接地，因此增益为0，即：

H1=0(5．92)
当储能元件设置为其他组合方式计算H2和H3时，增益同样为0： 
H2=H3=0(5．93)
在图5．26（d）中，当L3工作于直流状态(短路)时，C1和L2处于高频状态(分别对应短路和开路)。此时增益存在，计算公式为： 
H12=R2R1+R2(5．94)


图5．26除恢复激励源之外其他设置均与前面相同，当储能元件交替设置为直流或

高频状态时计算各种传递函数



如果R1=R2=R，则H12简化为： 
H12=R2R=0.5(5．95)
然后对电路图5．26（e）和（f）进行分析，解得增益均为0，即： 
H13=H23=0(5．96)
最后，当所有元件均工作于高频状态时，由图5．26（g）可得： 
H123=0(5．97)
将上述增益表达式与已求得时间常数进行组合，整理得分子表达式为： 
N（s）=h0+s(τ1H1+τ2H2+τ3H3)+

s2(τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ2τ23H23)+s3(τ1τ12τ23H123)

(5．98)
因为式(5.98)中有多项为0，所以消除该项后可将分子简化为： 
N(s)=s2τ1τ12H12=s2R1C1L2R1‖R2R2R1+R2

=s2R1C1L2(R1+R2)R1R2R2R1+R2=s2L2C1(5．99)
将式(5．91)和式(5．99)进行组合，解得最终传递函数为： 
H(s)=s2L2C11+sRC1+L2+L3R+s2C1(2L2+L3)+s3L2L3C1R(5．100)
以分子为公因式，对表达式(5．100)进行因式分解和简化得： 
H(s)=11s2L2C1+sRC1+L2+L3Rs2L2C1+s2C1(2L2+L3)s2L2C1+s3L2L3C1Rs2L2C1(5．101)
对传递函数表达式(5．101)整理得： 
H(s)=L22L2+L311+L2+L3+C1R2sRC1(2L2+L3)+sL2L3R(2L2+L3)+1s2C1(2L2+L3)(5．102)
式(5．102)为第一种传递函数表达式形式，也可应用第2章定义对式(5．100)进行修正，将3阶分母改写为低频极点与2阶多项式的乘积形式，具体如下所示： 
D(s)≈1+sωp1+sω0Q+sω02(5．103)
根据定义可得： 
ωp=1b1=1RC1+L2+L3R(5．104)

Q=b1b3b1b3b1b2-b3=(L22L3+L2L23+C1L2L3R2)R2C1+L2+L3C1L2L32(L22R+L2L3R+C1L2R2)+L23R+R3C1L3(5．105)
ω0=C1R2+L2+L3C1L2L3(5．106)
则可将传递函数重新定义如下： 
H（s）≈sωz21+sωp1+sω0Q+sω02(5．107)
其中
ωz=1L2C1(5．108)
对分母表达式提取公因式(s/ω0)2并将传递函数重新排列，所得表达式形式略有变化，如下所示： 
H(s)≈ω0ωz211+sωp1+ω0sQ+ω0s2(5．109)
为了将上述计算结果与参考表达式进行对比，需要从图5．24中提取原始表达式。如果将阻抗分压器应用于戴维南定理之后，可得传递函数表达式为： 
Href(s)=sL2sL2+R1+1sC1·R2(sL2)‖R1+1sC1+sL3+R2(5．110)
当R1=R2=R时式(5.110)并未真正改变，如下所示： 
Href(s)=sL2sL2+R+1sC1·R(sL2)‖R+1sC1+sL3+R(5．111)
接下来对上述所有表达式的动态响应进行对比。图5．27为所有方程计算结果和图形曲线，图5．28为SPICE仿真波形。
通过Mathcad计算和SPICE仿真可得，尽管传递函数表达式求解方法和步骤不同，并且最终表达式形式也可能不同，但是输出响应一致。应当注意，因为主导因式与谐振峰值不相符，所以表达式(5．109)与期望格式并不完全一致。如果能够将该表达式以更加完美的格式进行描述将求之不得。




R1=10ΩC1=10nFL2=47μHL3=22μHR2=10Ω‖(x,y)=x·yx+yRinf=1023ΩR=R1



τ1=R1·C1=0.1μsτ2=L2R2=4.7μsτ3=L3R2=2.2μs


Href（s）=s·L2s·L2+R1+1s·C1·R2（s·L2）‖R1+1s·C1+s·L3+R2

τ12=L2R1‖R2=9.4μs
τ13=L3R2=2.2μs
τ23=L3Rinf=0s

τ123=L3R1+R2=1.1μs
b1=τ1+τ2+τ3=7μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=1.16μs2
b3=τ1·τ12·τ123=1.034μs3

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3
H0=0H1=0H2=0

H3=0H13=0H12=0.5H23=0H123=0

a1=τ1·H1+τ2·H2+τ3·H3=0μs

a2=τ1·τ12·H12+τ1·τ13·H13+τ2·τ23·H23=0.47μs2

a3=τ1·τ12·τ123·H123=0μs3
N1（s）=H0+s·a1+s2·a2+s3·a3

H10（s）=N1（s）D1（s）

H20（s）=s2·1+s·R1·C1+L2+L3R2+s2·（2·L2·C1+L3·C1）+→

→L2·C1s3·L2·L3·C1R2

H30（s）=L22·L2+L3·

11s2·C1·（2·L2+L3）+L2+L3+C1·R1·R2s·C1·R2·（2·L2+L3）+1+s·L2·L3R2·（2·L2+L3）

ωp=1b1fp=ωp2π=22.736kHzQ=b1·b3·b1b3b1·b2-b3=2.658

（L22·L3+L2·L23+C1·L2·L3·R2）·C1·R2+L2+L3C1·L2·L32·L22·R+2·L2·L3·R+2·C1·L2·R3+L23·R+C1·L3·R3=2.658

ω0=b1b3f0=ω02π=414.103kHz

C1·R2+L2+L3C1·L2·L3·12π=414.103kHz

ωz=1L2·C1fz=ωz2π=232.151kHz

H33（s）=ω0ωz2·11+sωp·1+ω0s·Q+ω0s2





图5．27利用Mathcad证明通过不同方法求得的传递函数输出响应一致




图5．28SPICE仿真波形与Mathcad曲线完全一致



5．2高阶传递函数实例
5．2.1实例1——3阶电路


如图5．29所示，实例1为第2章中所涉及电路，用于讲解如何通过观测法求得电路零点。初看电路非常复杂，但可以通过十分简单的方法


图5．29包含两个电容和一个电感的3阶电路



快速求得其传递函数。


与前面章节分析步骤一致，首先求解固有时间常数，所有与其相关的分解电路全部整理在图5．30中。
首先从图5．30左侧电路开始分析，如图5．30（a）所示，直流增益由简单电阻分压器构成——rL和R3并联，然后再与R1和R2相串联，所以直流增益H0的表达式为： 
H0=rL‖R3rL‖R3+R1+R2(5．112)


图5．30利用分解电路有助于确定所有固有时间常数(关闭激励源时)，
并能轻易发现并纠正错误(如果有错误)


由图5．30（b）、（c）、（d）分别求得时间常数τ1、τ2和τ3为： 

τ1=C1［rC+(rL‖R3+R2)‖R1］(5．113)

τ2=C2［R2‖(R1+rL‖R3)］(5．114)

τ3=L3rL+R3‖(R2+R1)(5．115)
将上述时间常数相加求得系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3=C1{rC+［(rL‖R3)+R2］‖R1}+C2［R2‖(R1+rL‖R3)］+

L3rL+R3‖(R2+R1)(5．116)
在图5．30(e)中，电容C1短路，通过C2两端求解时间常数τ12： 
τ12=C2［R2‖(R1‖rC+rL‖R3)］(5．117)
在图5．30(f)中，电容C1仍然短路，通过L3两端求解时间常数τ13： 
τ13=L3rL+R3‖(R2+R1‖rC)(5．118)
最后由图5．30(g)求得系数b2的最后一项，即： 
τ23=L3rL+R3‖R1(5．119)
将上述时间常数相加即得b2项，具体表达式为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=C1{rC+［(rL‖R3)+R2］‖R1}C2{R2‖［(R1‖rC)+(rL‖R3)］}+

C1{rC+［(rL‖R3)+R2］‖R1}L3rL+R3‖(R2+R1‖rC)+

C2［R2‖(R1+rL‖R3)］L3rL+R3‖R1(5．120)
通过分析图5．30(h)求得系数b3的最后一项，即： 
τ123=L3rL+R3‖rC‖R1(5．121)
所以系数b3的表达式为： 
b3=τ1τ12τ123

=C1{rC+［(rL‖R3)+R2］‖R1}C2{R2‖［(R1‖rC)+(rL‖R3)］}
L3rL+R3‖rC‖R1(5．122)
最后将式(5．116)、式(5．120)和式(5．122)进行组合，求得分母D(s)表达式为： 

D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3

=1+sC1{rC+［(rL‖R3)+R2］‖R1}+C2［R2‖(R1+rL‖R3)］+L3rL+R3‖(R2+R1)+

s2C1{rC+［(rL‖R3)+R2］‖R1}C2{R2‖［(R1‖rC)+(rL‖R3)］}+

C1{rC+［(rL‖R3)+R2］‖R1}L3rL+R3‖(R2+R1‖rC)+

C2［R2‖(R1+rL‖R3)］L3rL+R3‖R1+

s3C1{rC+［(rL‖R3)+R2‖］R1}C2{R2‖［(R1‖rC)+(rL‖R3)］}L3rL+R3‖rC‖R1
(5．123)

确定电路零点值可选择如下方法： ①利用NDI技术； ②求解固有时间常数的通用方法； ③直接观察法。毋庸讳言，只要允许，直接观察法为最佳选择而且倍受青睐。因为观察法能够以最快捷的速度确定零点位置，并且所得分子表达式始终最简。那么电路中总共包含多少零点呢？当图5．29中输出响应Vout存在时，总共可以将多少储能元件同时设置于高频状态？当C1和C2短路而L3物理开路时，没有任何元件阻止输入信号传播至输出端： 所以该电路中含有3个零点(3阶分子)。图5．31对零点时的阻抗值进行具体展示。当Z1和Z3变换为短路时电路含有2个零点。当s=sz时Z2开路，此时确定第3零点值。零点具体计算公式分别如下所示： 
Z1（s）=rC+1sC1=1+srCC1sC1(5．124)


图5．31利用观察法确定电路零点时，首先检查变换电路中储能元件如何组合

才能阻止输入信号产生输出响应： Z2开路、Z1和Z3短路


当1+srCC1=0时Z1(sz1)=0，即零点角频率为： 
sz1=-1rCC1或者ωz1=1rCC1(5．125)
C2和R2并联，然后将节点1和节点2相连接。为阻止信号传播，当阻抗s=sz2时Z2阻抗变为无穷大。C2和R2并联阻抗定义式为： 
Z2(s)=R2‖1sC2=R21+sR2C2(5．126)
当分母为零时可求得另一零点值，此时Z2阻抗变为无穷大： 
1+sR2C2=0(5．127)
由式(5．127)可得
sz2=-1R2C2或者ωz2=1R2C2(5．128)
电感L3与其ESR等效电阻rL相串联，然后在节点2与负载并联。那么，当s=sz3时电感和电阻串联组合能够短路吗？
通过观察可得： 
Z3（s）=sL3+rL=0(5．129)
对式(5.129)简单求解得： 
sz3=-rLL3(5．130)

ωz3=rLL3(5．131)
由式(5．125)、式(5．131)和式(5．130)可立即求得分母多项式为： 

N(s)=(1+srCC1)(1+sR2C2)1+sL3rL

=1+sωz11+sωz21sωz3(5．132)
将表达式(5．132)除以式(5．123)求得最终传递函数H。对所得传递函数H进行测试之前，首先需要建立原始传输函数。利用戴维南定理将电路图5．29转换为图5．32所示电路。


图5．32利用戴维南定理所得传递函数表达式精准但非常复杂



由图5．32可求得原始传递函数H表达式为： 
Href(s)=rC+1sC1rC+1sC1+R1·Z3(s)Rth(s)+Z2(s)+Z3(s)=1+srCC11+sC1(rC+R1)·

Z3(s)Rth(s)+Z2(s)+Z3(s)(5．133)
其中
Rth(s)=R1‖rC+1sC1(5．134)

Z2(s)=1sC2‖R2(5．135)

Z3(s)=(rL+sL3)‖R3(5．136)
利用上述计算结果建立Mathcad工作表，并将各种传递函数动态响应进行对比，计算结果如图5．33所示，通过输出曲线证明计算方法的正确性。除此之外，Mathcad输出曲线与SPICE仿真波形完美匹配。应当注意，传递函数H1与表达式(5．133)得到的原始响应之间存在明显分歧。经检查发现H0和τ1中存在错误，并立即对其进行纠正，之后所得输出响应完全一致。图5．33将时间常数计算分离，该格式有助于后期计算结果校正，因此必须鼓励读者广泛采用。上述计算过程中已经包含近似传递函数H2——分母表达式由极点与2阶多项式乘积构成。两种方法求得的传递函数频率特性曲线整体形状非常一致，仅在峰值附近存在微小偏差。

R1=47ΩR2=150ΩR3=1kΩrC=1.5ΩrL=2.2ΩL3=470μHC1=22nF

‖(x,y)=x·yx+yRinf=1023ΩC2=22nF




τ1=C1·［rC+［（rL‖R3）+R2］‖R1］=823.028ns

τ2=C2·［R2‖（R1+rL‖R3）］=0.815μs

τ3=L3rL+R3‖（R2+R1）=2.818μs


τ12=C2［R2‖［（R1‖rC）+（rL‖R3）］］=78.367ns
τ13=L3rL+R3‖（R2+R1‖rC）=3.514μs

τ23=L3rL+R3‖R1=9.981μs
τ123=L3rL+R3‖rC‖R1=128.714μs
b1=τ1+τ2+τ3=4.456μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=11.091μs2

b3=τ1·τ12·τ123=8.302μs3

D1（s）=1+s·b1+s2·b2+s3·b3

H0=rL‖R3rL‖R3+R1+R2=0.011

ωp=1b1fp=ωp2π=35.716·kHz
Q=b1·b3·b1b3b1·b2-b3=0.659

ω0=b1b3f0=ω02π=116.604kHz

ωz1=1rC·C1fz1=ωz12π=4.823MHz

ωz2=1R2·C2fz2=ωz22π=48.229kHz

ωz3=rLL3fz3=ωz32π=744.981Hz

N1（s）=1+sωz1·1+sωz2·1+sωz3

D2（s）=1+sωp·1+sω0·Q+sω02

H1（s）=H0·N1（s）D1（s）H2（s）=H0·N1（s）D2(s)

原始表达式
Rth(s)=R1‖rC+1s·C1Z2（s）=1s·C2‖R2

z3(s)=(rL+s·L3)‖R3


Href（s）=1+s·rC·C11+s·C1·(rC+R1)·Z3（s）Rth（s）+Z2（s）+Z3（s）





图5．33原始表达式与低熵表达式完美匹配。Mathcad动态响应曲线与SPICE仿真

波形一致。应当注意，在峰值处近似响应H2与准确响应存在些许偏离



5．2．2实例2——3阶有源陷波器

3阶有源陷波器电路如图5．34所示，该电路不同于C3—R3节点接地的经典无源陷波电路。 此时输出电压Vout实际上已经对上述连接节点进行偏置，并协助构建出非常陡峭的陷波频带。根据所需陷波宽度在0(接地，类似于经典无源陷波器)和小于1之间进行选择系数k。例如，当k值接近1时陷波器动态响应非常尖锐，完全抑制中心频率，而不影响谐振点前后频率。随着k值减小，漏斗带变宽并影响谐振点周围频率。首先由图5．35和图5．36计算电路固有时间常数。


图5．34有源双T滤波器能够以理论无限大Q值对任何频率进行抑制




图5．35当激励源设置为0时计算第1时间常数



在图5．35(a)中，因为输入信号只通过电阻R1和R2与运放连接，所以可立即求得准静态增益等于1，即： 
H0=1(5．137)
在图5．35(b)中，测试信号源左端接地，右端通过电阻R3和电压源kVout返回地。此时输出电压Vout为零，因此电容C1两端电阻为R3，所以时间常数为： 
τ1=C1R3(5．138)
利用KCL和KVL对图5．35(c)进行分析计算，求得测试电流源两端电压VT为： 
VT=ITR3+kVout-Vout=ITR3+Vout(k-1)(5．139)
通过观察电路可得，输出电压Vout即为电阻R1和R2电压之和，但方向与电流源IT相反，所以符号为负，即： 
Vout=-IT(R1+R2)(5．140)
将式(5．140)代入式(5．139)整理得： 
VT=ITR3-IT(R1+R2)(k-1)=IT［R3+(1-k)(R1+R2)］(5．141)
所以第2时间常数为： 
τ2=C2［R3+(1-k)(R1+R2)］(5．142)
利用图5．35(d)可求得时间常数τ3。此时电流源两端电压为： 
VT=ITR1-kVout(5．143)
当电容C2断开时无电流流过该支路，所以电阻R2两端电压为零。因此电阻R2右端点电压等于Vout，所以： 
Vout=ITR1(5．144)
将式(5．144)代入式(5．143)可得： 
VT=ITR1-kITR1=IT［R1(1-k)］(5．145)
于是求得第3时间常数为： 
τ3=C3R1(1-k)(5．146)
利用上述时间常数整理得系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3

=R3C1+C2［R3+(1-k)(R1+R2)］+C3R1(1-k)(5．147)
实际设计陷波器时电阻R1和R2阻值相等且均为R，而R3的阻值设定为R2，即： 
R1=R2=R

R3=R2(5．148)
并且
C1=C2=C

C3=2C(5．149)
将上述参数值代入式(5．147)可得： 
b1=RC(5-4k)(5．150)


图5．36通过计算所选电抗的驱动电阻求解高阶时间常数


在图5．36(a)中将C1短路然后计算电容C2端口的电阻值。因为电流源IT通过电阻R1和R2返回，所以： 
Vout=-IT(R1+R2)(5．151)
由于电流源左端接地，所以其两端电压为－Vout，因此： 
VT=IT(R1+R2)(5．152)
所以时间常数为： 
τ12=C2(R1+R2)(5．153)
在图5．36(b)中C1仍然短路，但此时计算电容C3端口的电阻值。因为C2开路，无电流流经电阻R2，所以输出电压计算公式为： 
Vout=ITR1(5．154)
于是电流源低端的偏置电压为： 
kVout=kITR1(5．155)
整理得电流源两端电压为： 
VT=Vout-kVout=ITR1-kITR1=ITR1(1-k)(5．156)
于是第2时间常数τ13为： 
τ13=C3R1(1-k)(5．157)
如果按照图5．36(c)计算最后一个时间常数τ13将会非常复杂。此时电流源IT分解为I1和I2，即： 
IT=I1+I2(5．158)
因为电流I2流经电阻R3，所以： 
I2=Vout-kVoutR3=Vout1-kR3(5．159)
电流源上端点电压为： 
I1R1=Vout+R2I2(5．160)
将式(5．159)代入式(5．160)解得I1为： 
I1=Vout1+R21-kR3R1(5．161)
由式(5．158)可得： 
IT=Vout1-kR3+Vout1+R21-kR3R1

=Vout［R1+R2+R3-k(R1+R2)］R1R3(5．162)
因此
Vout=R1R3R1+R2+R3-k(R1+R2)IT(5．163)
于是电流源电压VT定义如下： 
VT=I1R1-kVout(5．164)
首先将式(5．161)代入式(5．164)，然后由式(5．163)代替Vout整理得： 
VT=R1Vout1+R21-kR3R1-kVout(5．165)

VT=ITR1(1-k)(R2+R3)R1+R2+R3-k(R1+R2)(5．166)
因此时间常数τ23的计算公式为： 
τ23=C3R1(1-k)(R2+R3)R1+R2+R3-k(R1+R2)(5．167)
将式(5．153)、式(5．157)和式(5．167)相加得到系数b2的表达式为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=C1R3C2(R1+R2)+C1R3C3R1(1-k)+

C2［R3+(1-k)(R1+R2)］C3R1(1-k)(R2+R3)R1+R2+R3-k(R1+R2)(5．168)
当式(5．148)和式(5．149)同时满足时表达式简化为： 
b2=(RC)2(5-4k)(5．169)
由图5．36(d)求解最后系数b3。此时输出电压为0V，表明电流源低端同样接地。当电流源IT分解后分别通过电阻R1和R2时求得时间常数为： 
τ123=C3(R1‖R2)(5．170)
再次利用式(5．138)和式(5．153)可得： 
b3=τ1τ12τ123=C1R3C2(R1+R2)C3(R1‖R2)(5．171)
当式(5．148)和式(5．149)同时满足时上述表达式简化为： 
b3=(RC)3(5．172)
此时分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+sRC(5-4k)+s2R2C2(5-4k)+s3R3C3(5．173)
可以使用NDI技术或3阶系统广义传递函数表达式计算分子表达式，整理得： 
N(s)=H0+s(τ1H1+τ2H2+τ3H3)+s2(τ1τ12H12+

τ1τ13H13+τ2τ23H23)+s3(τ1τ12τ123H123)(5．174)
直流增益H0已经确定并且值为1。所有其余传递函数均由图5．37中分解电路进行描述。在图5.37(a)中电容C1短路，其他元件均保持在直流状态(所有电容开路)。此时电压源kVout对电路不起作用，所以增益为1，即： 
H1=1(5．175)


图5．37当储能元件设置为高频或直流状态时可快速求得增益值



对图5．37(b)进行求解需要配置快速中间过渡电路，具体如图5．38所示，即为图5．37(b)的简化版。接下来利用叠加


图5．38利用中间过渡电路可

快速求得C2短路时

的电路增益值


定理计算输出电压Vout与输入电压Vin之比。当Vin=0时： 
Vout1|Vin=0=kVoutR1+R2R1+R2+R3(5．176)
此时如果kVout=0可得： 
Vout2|kVout=0=VinR3R+R2+R3(5．177)
输出电压即为式(5.176)和式(5.177)之和： 
Vout=kVoutR1+R2R1+R2+R3+VinR3R1+R2+R3(5．178)
将式(5.178)重新整理并分解因式得： 
H2=R3R1+R2+R311-kR1+R2R1+R2+R3=R3R1+R2+R3-k(R1+R2)(5．179)

由图5．37(c)计算H3。通过对图5．37(c)分析可得： 电阻R2中无电流流过，但其右端电压为Vout、左端电压为kVout，只有当Vout=0时上述条件才能满足，因此： 
H3=0(5．180)
现在将分母表达式的固有时间常数与上述增益相组合构成系数a1。因为H3=0，所以系数a1仅由两项构成： 
a1=τ1H1+τ2H2+τ3H3

=C1R3+C2［R3+(1-k)(R1+R2)］R3R1+R2+R3-k(R1+R2)+C3R1(1-k)·0

=R3(C1+C2)(5．181)
如果将R1、R2、R3和C1、C2由下列参数代替： 
R1=R2=R

R3=R2

C1=C2=C

C3=2C(5．182)
则式(5．181)简化为： 
a1=RC(5．183)
当由图5．37(d)计算H12时电容C1和C2将电阻R1和R2短路，求得增益为： 
H12=1(5．184)
当由图5．37(e)计算H13时电路工作状况与计算H3相同，此时电阻有偏置电压但无电流通过，因此增益为： 
H13=0(5．185)
在图5．37(f)中，尽管电阻R2左端偏置电压为kVout、右端偏置电压为Vout，但无电流通过R2和R3，所以增益H23同样为0，即： 
H23=0(5．186)
将分母表达式中的2阶时间常数组合构成第2项系数a2，因为H13和H23均为0，所以a2表达式中仅包含一项，即： 
a2=τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ2τ23H23=C1R3C2(R1+R2)(5．187)


图5．39当所有电容全部设置于高频状态
——短路时计算最后增益H123


利用式(5．182)中的参数设置可将a2表达式简化为： 
a2=R2C2(5．188)


最后，当全部电容均短路时计算电路增益，具体电路如图5．39所示。

当电阻R1和R2短路时该电路网络增益为1，即： 
H123=1(5．189)
所以将最后一项a3定义如下： 
a3=τ1τ12τ123H123
=C1R3C2(R1+R3)C3(R1‖R2)(5．190)
利用式(5．182)中的参数设置可将a3表达式简化为： 
a3=R3C3(5．191)
通过上述计算可得分子N(s)表达式为： 
N(s)=1+sRC+s2R2C2+s3R3C3(5．192)
结合分母D(s)表达式(5．173)可得电路传递函数为： 
H(s)=1+sRC+s2R2C2+s3R3C31+sRC(5-4k)+s2R2C2(5-4k)+s3R3C3(5．193)
那么，能否将上述传递函数以更简单、更紧凑的形式重新排列呢？首先对分子表达式进行因式分解： 
N(s)=(1+x1s)(1+sy1+s2y2)(5．194)
将分子表达式展开得： 
(1+x1s)(1+sy1+s2y2)=1+s(x1+y1)+s2(x1y1+y2)+s3x1y2(5．195)
如果将式(5．195)与式(5．192)中各项进行匹配，可得如下方程组： 
x1+y1=RC

x1y1+y2=R2C2

x1y2=R3C3(5．196)
将分子表达式N(s)分解因式如下： 
N(s)=(1+sRC)(1+s2R2C2)(5．197)
如果： 
ω0=1RC(5．198)
则式(5．197)整理得： 
N(s)=1+sω01+sω02(5．199)
因为表达式(5．199)中第2个多项式的a1项为0，所以其QN值无穷大。
按照式(5．194)的相同方式对分母表达式进行因式分解。如果将式(5．195)与D(s)分母表达式(5．173)中各项进行匹配，可得如下方程组： 
x1+y1=RC(5-4k)

x1y1+y2=R2C2(5-4k)

x1y2=R3C3(5．200)
求解上述3个未知数时，按照如下格式对分母表达式进行重新排列： 
D(s)=(1+sRC)(1+4sRC(1-k)+s2R2C2)(5．201)
将式(5．198)代入式(5．201)整理得： 
D(s)=1+sω01+4sω0(1-k)+sω02(5．202)
于是品质因数Q通过如下方程进行简单定义： 
4sω0(1-k)=sω0Q(5．203)
解得： 
Q=14(1-k)(5．204)
因为分子N(s)和分母D(s)表达式中的因式1+sω0可以约分，所以传递函数表达式简化为： 
H(s)=1+sω01+sω021+sω01+4sω0(1-k)+sω02=1+sω021+4sω0(1-k)+sω02(5．205)
如果k=1，则Q值接近无穷大，并且表达式(5．205)的值简化为1： 陷波功能消失。接下来利用计算机软件对传递函数的正确性进行检验。图5．40利用Mathcad数学软件对所有方程进行求解： 左侧对应单独元件参数值、右侧采用式(5．182)规定参数值——计算结果完全相同。如果实际设计时需要对所有元件或者某些单独元件设置容差，则左侧方程式更加实用。设置时间常数使其陷波频率为60Hz，当k值在0．99之间时，各种输出响应波形如图5．41所示。当k=0时C3—R3连接点接地，此时陷波器变为无源电路。最后直接运行SPICE电路仿真而无须推导原始传递函数，将k=0．5的仿真波形与Mathcad曲线进行对比——两者完全一致，具体如图5．42所示。
5．2．3实例3——4阶LC无源滤波器
接下来推导图5．43所示电路的传递函数。该电路由两级LC网络级联构成，R1为负载电阻。因为电路网络中包含4个储能元件，所以为4阶系统。因为无论将4个储能元件任何一个设置为高频状态时输出响应均为零，所以电路网络中不包含零点： 高频状态时电感L1和L2串联支路开路、C2或C4通过短路接地同样将输出置零。
尽管电路包含多个储能元件，但每个储能元件分析过程相同，所有步骤均收集整理在图5．44中。当电路直流工作时可直接求得直流增益为1，即： 
H0=1(5．206)
当激励源关闭(Vin由短路线代替)时由图5．44(b)可求得时间常数为： 
τ1=L1R1(5．207)
其他时间常数同样可以轻易求得。但是某些时间常数值为零，所以后续电路分析中可能产生不确定性： 




图5．41漏斗宽度随着k值在0~0．99之间变化而变化




图5．42Mathcad计算与SPICE仿真完美匹配




图5．43求解级联LC网络的传递函数

τ2=C2·0=0(5．208)

τ3=L3R1(5．209)
于是
τ4=C4·0=0(5．210)


图5．44通过观察储能元件端口电阻值确定电路固有时间常数


分母系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3+τ4=L1+L3R1(5．211)
由式(5．5)可得系数b2中共包含6项，具体如下所示： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ1τ14+τ2τ23+τ2τ24+τ3τ34(5．212)
由图5．44(f)求得第1项因数为： 
τ12=C2R1(5．213)
然后由图5．44(g)求得第2项因数为： 
τ13=L3∞(5．214)
由图5．44(h)可得： 
τ14=C4R1(5．215)
系数b2中的第4项因数为： 
τ23=L3R1(5．216)
由图5．44(j)可得： 
τ24=C4·0=0(5．217)
最后一项时间常数为： 
τ34=C4R1(5．218)
按照式(5．212)将上述时间常数整理得： 
b2=L1R1C2R1+L1R1L3∞+L1R1C4R1+0·L3R3+0·0+L3R1C4R1(5．219)
由于最终未出现不确定性，所以可将式(5．219)简化为： 
b2=L1C2+L1C4+L3C4=L1(C2+C4)+L3C4(5．220)
第3项系数b3定义如下： 
b3=τ1τ12τ123+τ1τ12τ124+τ1τ13τ134+τ2τ23τ234(5．221)

首先对图5．45(a)进行分析，当L1和C2设置为高频状态时计算电感L3两端的电阻值，从而求得时间常数为： 
τ123=L3R1(5．222)


图5．454阶电路网络的分解电路



如图5．45(b)所示，由于C1和L3短路，所以第2项电阻值为0Ω，因此时间常数为： 
τ124=C4·0=0(5．223)
由图5．45(c)可得
τ134=C4R1(5．224)
由图5．45(d)可得： 
τ234=C4R1(5．225)
将上述各项进行组合，求得系数b3的表达式为： 
b3=L1R1C2R1L3R1+L1R1C2R1·0+L1R1L3∞C4R1+0·L3R1C4R1(5．226)
简化得： 
b3=L1R1C2R1L3R1=L1L3C2R1(5．227)
最后一项系数b4中只包含一项，即： 
b4=τ1τ12τ123τ1234(5．228)
如图5．45(e)所示，当电感L1、L2和L3设置于高频状态时计算C4两端电阻值，从而求得时间常数为： 
τ1234=C4R1(5．229)
将上述各项组合可得系数b4为： 
b4=L1R1C2R1L3R1C4R1=L1L3C2C4(5．230)
通过上述分析计算，求得4阶电路网络的分母表达式为： 
D(s)=1+a1s+a2s2+a3s3+a4s4

=1+L1+L3R1s+［L1(C2+C4)+L3C4］s2+

L1L3C2R1s3+L1L3C2C4s4(5．231)
于是图5．43所示电路网络的传递函数表达式为： 
H(s)=11+L1+L3R1s+［L1(C2+C4)+L3C4］s2+L1L3C2R1s3+L1L3C2C4s4(5．232)
接下来将上述表达式重新排列，使其传递函数符合4阶巴特沃斯(Butterworth)多项式形式，具体如下所示： 
H(s)=11+0.7654sω0+sω021+1.8478sω0+sω02(5．233)
展开传递函数分母表达式，并且按照s升幂排列得： 
D(s)=1+s0.7654ω0+1.8478ω0+s21.41430612ω20+2ω20+

s30.7654ω30+1.8478ω30+sω04(5．234)
将式(5．232)与式(5．234)每项系数相匹配，所得方程组为： 
L1+L3R1=0.7654ω0+1.8478ω0

L1(C2+C4)+L3C4=1.41430612ω20+2ω20

L1L3C2R1=0.7654ω30+1.8478ω30

L1L3C2C4=1ω40(5．235)
利用数学软件Mathcad求得截止频率为100kHz时巴特沃斯滤波器的每个元件理论值(电容量纲为pF)。当电阻R1设置为4．7kΩ时求得其他元件参数为： 
L1=R1ω0×1.53081=11.45mH(5．236)

L3=R1ω0×1.08238=8.10mH(5．237)

C2=1.57713ω0R1=534.06pF(5．238)

C4=0.38267R1ω0=129.58pF(5．239)
对上述计算结果进行实际测试之前，首先建立原始传递函数以检验传递函数表达式(5．233)的完整性。在图5．43中，利用L1和C2建立戴维南信号源，然后与阻抗分压器相连接，求得原始传递函数表达式为： 
Hres(s)=11+s2L1C2R1‖1sC4R1‖1sC4+sL3+(sL1)‖1sC2(5．240)
现在利用数学软件Mathcad将不同传递函数表达式(5．240)、式(5．232)和式(5．233)的频率特性进行对比，具体结果如图5．46所示——所有曲线均相似。低频段幅频和相频曲线十分平坦，无任何峰值出现； 每十倍频幅度下降80dB，与4阶低通滤波器幅频特性曲线响应特性一致。
5．2．4实例4——4阶带通有源滤波器
查阅有源滤波器文档时发现文献［2］中的图5．47所示电路很有特色。该电路具有4个独立状态变量的储能元件，所以是4阶电路网络。运算放大器工作于同相模式，其增益k=(R5/R6+1)。为简化分析，将图5．47重新绘制成图5．48所示形式。同相放大电路的增益由电阻R5和R6决定，节点p代表运放‘+’输入节点电压，输出电压为‘+’节点电压与增益k之积。首先计算分母D(s)的固有时间常数。然后，根据图5．21所示电路利用广义4阶传递函数计算分子N(s)表达式。
图5．49(a)为所分析电路的第一个简化示意图。某些情况下，计算储能元件的端口电阻非常简单，通过观察可直接得到。但有的时候需要利用测试电流源IT和KCL/KVL计算该电阻值。首先计算电路的准静态增益，当s=0时串联电容对输入信号阻塞，因此准静态增益为： 
H0=0(5．241)
在图5．49(b)中，由于偏置点未连接(直流分析时将C3移除)，所以节点p处电位为0V。 因此k·V(p)也为0V，从而电阻R7上端接地。此时储能元件C1端口的唯一电阻为R1和R3并联。所以时间常数为： 



fc=100kHzω0=2·π·fcR1=4.7kΩ

‖(x,y)=x·yx+y

L1=1.53081·R1ωc=11.450891mH

L2=1.08238·R1ωc=8.096508mH

C2=1.57713R1·ωc=534.05965pF

C4=0.38267R1·ωc=129.5826pF

τ1=L1R1=2.43636μsτ2=C2·0=0

τ3=L3R1=1.722661μsτ4=C4·0=0

τ12=C2·R1=2.51008μsτ13=L3∞·Ω=0μs

τ14=C4·R1=0.609038μs

τ23=L3R1=1.722661μsτ24=C4·0=0

τ34=C4·R1=0.609038μs

τ123=L3R1=1.722661μsτ124=C4·0=0

τ134=C4·R1=0.609038μs

τ234=C4·R1=0.609038μs

τ1234=C4·R1=0.609038μs

b1=τ1+τ2+τ3+τ4=4.159021μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ1·τ14+τ2·τ23+τ2·

τ24+τ3·τ34=8.648462μs2

b3=τ1·τ12·τ123+τ1·τ12·τ124+τ1·τ13·

τ134+τ2·τ23·τ234=10.534864μs3

b4=τ1·τ12·τ123·τ1234=6.416135μs4

H0=1

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3+s4·b4

H10(s)=1D1(s)


Hres(s)=1C2·L1·s2+1·

R1‖1s·C4R1‖1s·C4+s·L3+(s·L1)‖1s·C2

H20(s)=11+0.7654sωc+sωc2·11+1.8478sω0+sωc2




图5．46利用Mathcad证明计算方法的有效性，并将每种传递函数

表达式的动态响应进行对比——特性曲线完全匹配



τ1=C1(R1‖R3)(5．242)
由图5．48(c)计算与电容C2相关的时间常数，即第2时间常数。此时电容端口的电阻为R7、R2和R1‖R3串联，所以第2时间常数为： 


τ2=C2(R7+R2+R1‖R3)(5．243)
如图5．49(d)所示，通过添加测试信号源计算第3时间常数，此时节点p处的电压为电流IT与电阻R4的乘积，即： 



图5．47求解4阶有源滤波器电路的传递函数




图5．48无运算放大器时电路更易于分析






图5．49激励源设置为0时计算电路固有时间常数

V(p)=-ITR4(5．244)
该电压按比例k进行放大后出现在电阻R7的上端。于是整理得电压VT的表达式为： 
VT=ITR7+k·V(p)+R4IT(5．245)
将式(5．244)代入式(5．245)并分解因式IT得： 
VT=IT［R7+R4(1-k)］(5．246)
于是求得电容C3的时间常数为： 
τ3=C3［R7+R4(1-k)］(5．247)
由图5．49(e)可轻易求得第4时间常数： R7为C4两端的唯一电阻，所以第4时间常数为： 
τ4=C4R7(5．248)
将上述时间常数相加整理得第一项b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3+τ4=C1(R1‖R3)+C2(R7+R2+R1‖R3)+

C3［R7+R4(1-k)］+C4R7(5．249)
接下来将各种储能元件状态进行组合计算相应时间常数。首先由图5．49(f)计算时间常数τ12。因为V(p)=0，所以电阻R7上端接地，于是电阻简化为R7和R2串联，即时间常数为： 
τ12=C2(R2+R7)(5．250)
下个时间常数由图5．49(g)进行计算，初看该电路相当复杂。实际上，由于k·V(p) 对R7上端进行偏置，由R1和R3构成的电阻网络对C3端口电阻无影响，所以与图5．49(d)中的时间常数τ3计算公式相似： 
τ13=C3［R7+R4(1-k)］(5．251)
在图5．49(h)中，即使电容C1短路，时间常数与图5．49(e)中已经求得的时间常数也相似，即： 
τ14=C4R7(5．252)
接下来由图5．50计算b2。利用图5.50(a)计算时间常数τ23，此时激励电流IT分解为I1和I2。 为简化计算，将电路图重新绘制为更熟悉形式，具体如图5．51所示。


图5．50将激励源依旧设置为0以确定剩余时间常数




图5．51重整电路图以便更容易求得电阻值


流经电阻R7的电流等于该电阻两端电压与其电阻值之商。应用KVL可得： 
I1=ReqI2-k·V(p)R7(5．253)
节点p的电压值为IT与R4之积，将其带入式(5．253)可得： 
I1=ReqI2+k·ITR4R7(5．254)
电流I2为： 
I2=VT-ITR4Req(5．255)
将式(5．254)代入式(5．255)整理得： 
I1=VT-ITR4+ITR4·kR7(5．256)
因为测试电流IT为I1和I2之和，因此： 
IT=VT-ITR4+ITR4·kR7+VT-ITR4Req(5．257)
对式(5.257)进行重新整理，分解因式IT和VT并将其相除可得C3两端电阻为： 
R=R4R7+(R2+R3‖R1)(R4+R7-k·R4)R7+R2+R3‖R1

=R7-k·R4R7+R2+R3‖R1(R2+R3‖R1)+R4(5．258)
所求时间常数为： 
τ23=C3R7-k·R4R7+R2+R3‖R1(R2+R3‖R1)+R4(5．259)
由图5．50(b)计算时间常数τ24。尽管存在测试信号源，但是通过观察可直接求得电阻值。当R4断开时，节点p和R7上端均接地，因此R7与C4并联； 又因为R2与R1‖R3串联，然后该串联电阻再与R7并联，所以时间常数为： 
τ24=C4［R7‖(R2+R3‖R1)］(5．260)
图5．50(c)中测试电流IT分解为I1和I2，两电流具体计算公式如下所示： 
I1=VTR4(5．261)

I2=VT-I1R4·kR7(5．262)
将式(5．262)代入式(5．261)可得： 
I2=VT(1-k)R7(5．263)
最终整理得： 
IT=I1+I2=VTR4+VT(1-k)R7=VT1R4+1-kR7(5．264)
对式(5.264)进行因式分解并且按照VT/IT格式进行重新整理，求得时间常数为： 
τ34=C4R4R7R4(1-k)+R7(5．265)
根据上述计算结果将系数b2定义如下： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ1τ14+τ2τ23+τ2τ24+τ3τ34

=C1(R1‖R3)C2(R2+R7)+C1(R1‖R3)C3［R7+R4(1-k)］+C1(R1‖R3)C4R7+

C2(R7+R2+R1‖R3)C3R7-k·R4R7+R2+R3‖R1(R2+R3‖R1)+R4+

C2(R7+R2+R1‖R3)C4［R7‖(R2+R3‖R1)］+

C3［R7+R4(1-k)］C4R4R7R4(1-k)+R7
(5．266)


图5．52利用简化电路图可以

更简单地求得电阻值


在图5．50(d)中，因为C1短路，所以电阻R2与R7并联。因为电阻R1和R3上端偏置电压固定为k·V(p)，所以两电阻对时间常数不起作用。图5．50(d)的简化电路如图5．52所示，由图可得： 
-k·R4IT+IT(R2‖R7)+R4IT=VT(5．267)
分解因式IT和VT并将其相除可得电容驱动电阻值，从而求得时间常数为： 
τ123=C3［R2‖R7+R4(1-k)］(5．268)
由图5．50(e)中电路可轻易求得时间常数τ124。此时节点p的电压为0V，即电阻R7上端接地： 电阻R1和R3短路，可直接从电路中去除。所以电容C4两端的阻抗仅由R7与R2并联构成，从而求得时间常数为： 
τ124=C4(R2‖R7)(5．269)
在图5．50(f)中，尽管C1短路，但C2工作于直流状态并且将电阻R1、R2和R3与C4断开。其余电路与图5．50(c)相似，所以时间常数计算公式与式(5．265)一致，即： 
τ134=C4R4R7R4(1-k)+R7(5．270)
当C2和C3短路时电路如图5．50(g)所示，此时该电路与图5．50(c)相同，R1与R3并联再与R2串联，最后该串并联电阻与电容两端相连接。因此求得时间常数为： 
τ234=C4(R2+R1‖R3)‖R4R7R4(1-k)+R7(5．271)
于是第3项系数b3的计算公式为： 
b3=τ1τ12τ123+τ1τ12τ124+τ1τ13τ134+τ2τ23τ234

=C1(R1‖R3)C2(R2+R7)C3［R2‖R7+R4(1-k)］+

C1(R1‖R3)C2(R2+R7)C4(R2‖R7)+

C1(R1‖R3)C3［R7+R4(1-k)］C4R4R7R4(1-k)+R7+

C2(R7+R2+R1‖R3)C3R7-k·R4R7+R2+R3‖R1(R2+R3‖R1)+R4·

C4(R2+R1‖R3)‖R4R7R4(1-k)+R7(5．272)
由图5．50(h)计算最后时间常数τ1234。为简化计算过程，特将图5．50(h)简化为图5．50(i)。 因为电阻R1和R3两端电压为k·V(p)，所以再次将其从电路中移除。由图5．50(i)可得： 
I2=VTR4(5．273)

I1=k·VT-VTR7‖R2=VT(k-1)R7‖R2(5．274)
因为IT=I2－I1，所以： 
IT=VTR4-VT(k-1)R7‖R2=VT1R4+1-kR7‖R2(5．275)
因此时间常数为： 
τ1234=C411R4+1-kR7‖R2=C4R4(R2‖R7)R4(1-k)+R2‖R7(5．276)
于是求得系数b4的表达式为： 
b4=τ1τ12τ123τ1234=C1(R1‖R3)C2(R2+R7)C3［R2‖R7+R4(1-k)］·

C4R4(R2‖R7)R4(1-k)+R2‖R7(5．277)
将上述所得系数进行组合，求得分母表达式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3+b4s4(5．278)
之前已经利用KCL/KVL原理计算电路的驱动点阻抗。为确保万无一失，通常利用简单SPICE直流点分析对计算结果进行验证。首先绘制原始电路图，并根据所求时间常数将相应元件设置为短路或开路。当由1A电流源激励电路时，电流源两端电压即为所求电阻值。图5．53为第一时间常数计算实例。 

既然已经求得分母表达式，接下来专注于计算分子表达式。此时激励信号源复位，并且将储能元件设置为高频或直流状态时测试输出信号。接下来对图5．54中电路进行分析。由式(5．241)可得增益H0为零，与图5．54(a)所示电路计算一致。


在图5．54(b)中，运放同相引脚通过电阻R4接地，所以其输出电压为0V。在图5.54(c)中，同相引脚仍然无偏置电压，所以输出依然为0V。同样在图5.54(d)、(e)和(h)中电阻R4将运放‘+’端接地，所以运放输出均为0V。根据上述计算分析可得： 
H0=H1=H2=H3=H4=H12=H13=H14=0(5．279)
在图5．54(i)中运算放大器的输出不为零，利用戴维南变换电路将其电阻减少为3支，此时电路简化为图5．55(a)电路，利用该简化电路能够求得其直流传递函数。


图5．55利用图5．54(i)所示简化电路有助于计算该配置下的电路增益


在节点p应用KCL可得： 
I2=I1+I3(5．280)
每个电流定义式为： 
I1=VinR3R3+R1-V(p)R2+R3‖R1(5．281)

I2=V(p)R4(5．282)

I3=k·V(p)-V(p)R7(5．283)
将式(5.281)~(5.283)代入输出电压Vout表达式，然后提取因式V(p)和k·V(p)得： 
VoutVin=H23=k·R3(R1+R3)(R2+R1‖R3)1R4+1R2+R1‖R3-k-1R7(5．284)
直流传递函数第二部分电路如图5．56所示。
当运放同相引脚电压由电阻R4单独连接至地时输出电压为0V，图5．56(a)、(b)和(d)所示。通过分析可将电路图5．56(c)整理为图5．56(h)所示的更简单形式。电路中节点p处的电位等于节点1处的电位除以系数k。如果R4和R2的分压比不等于1/k，那么只有当Vout=0V时电路中各节点电压才能正常。此时电路中各节点电压均为0，所以增益为： 
H24=H34=H123=H124=H134=H234=H1234=0(5．285)
上述增益值可由图5．57中的偏置点电压进行计算。

除系数a2之外分子表达式中其余系数均为0，因此： 
a1=τ1H1+τ2H2+τ3H3+τ4H4=0(5．286)



a2=τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ1τ14H14+τ2τ23H23+τ2τ24H24+τ3τ34H34=τ2τ23H23

=C2(R7+R2+R1‖R3)C3R7-k·R4R7+R2+R3‖R1(R2+R3‖R1)+R4×

k·R3(R1+R3)(R2+R1‖R3)1R4+1R2+R1‖R3-k-1R7(5．287)

a3=τ1τ12τ123H123+τ1τ12τ124H124+τ1τ13τ134H134+τ2τ23τ234H234=0(5．288)

a4=τ1τ12τ123τ1234H1234=0(5．289)
利用Mathcad对式(5．287)进行简化可得最终分子表达式为： 
N(s)=a2s2=kC2C3R3R4R7R1+R3s2(5．290)
其中k=R5R6+1。于是传递函数H表达式为： 
H(s)=a2s21+b1s+b2s2+b3s3+b4s4(5．291)
在分母表达式中提取因式a2s2并且将传递函数主导项设置为a2b2，于是H可以重新整理为： 
H(s)=a2b211+b1b2s+sb3b2+s2b4b2+1b2s2(5．292)
然而，式(5.292)中无量纲主导项与谐振频率下的滤波器增益不相符。参考文献［3］对滤波器传递函数进行详细探讨，其中16~32页为4阶带通滤波器实例。参考文献［3］中的等式(1612)提出一种可行解决方案。
图5．58为所有Mathcad计算方程及其相应动态响应曲线，其中所有元件值均来自参考文献［2］，并且0dB增益时的谐振频率为1MHz。理论分析和仿真波形对比如图5．59所示完美匹配。

5．2．5实例5——3阶低通有源GIC滤波器
图5．60为双运算放大器构成的广义阻抗转换器(Generalized Impedance Converter,GIC)电路，实质为滤波电路，其传递函数受有限开环增益AOL控制。鉴于两运算放大器的特殊配置，该电路工作原理令人费解。如前所述，首先将整体电路按照工作原理进行分解，计算每个电路的时间常数。该实例系统地应用SPICE仿真对每步计算结果进行验证，以保证最终传递函数表达式正确。首先由图5．61计算时间常数τ1。
该电路的第一时间常数τ1已经利用图5.61（a）所示简化电路计算求得。原始电路工作点和等效原理图工作点的具体数值的小数点后几位完全匹配非常重要，小的偏差即表明存在错误。本例故意将运算放大器开环增益AOL设置为较低值(100或403)，以仿真该电路的低增益效应。之后将AOL数值提高到更大值(例如100kΩ)，此时SPICE仿真和Mathcad计算结果之间不应存在差异。接下来利用电流和电压方程计算VT/IT，以确定电容C1的驱动电阻。第一方程式为： 


R1=27.87kΩR2=7.823kΩR3=5.451kΩR4=32.13kΩ‖(x,y)=x·yx+y

R5=7.215kΩR6=10kΩR7=6.999kΩC1=20pF

C2=20pFC3=20pFC4=20pFm=R5R6+1=1.7215



τ1=C1·(R3‖R1)=0.091185μs

τ2=C2·(R1‖R3+R2+R7)=0.387625μs

τ3=C3·［R7‖R4·(1-m)］=-323.6559ns

τ4=C4R7·R7=69.99ns

τ12=C2·(R2+R7)=296.44ns

τ13=C3·［R7+R4·(1-m)］=-323.6559ns

τ14=C4·R7=69.99ns

τ23=C3·R7-R4·mR7+(R2+R3‖R1)·(R2+R3‖R1)+R4=25.28025ns

τ24=C4·［(R2+R3‖R1)‖R7］=44.715079ns


τ34=C4·R4·R7R4+R7-R4·m=-0.138961μs

τ123=C3·［R2‖R7+R4·(1-m)］=-389.754943ns

τ124=C4·(R2‖R7)=36.940478ns

τ134=C4·R4·R7R4+R7-R4·m=-0.138961μs

τ234=C4·(R2+R3‖R1)‖R4·R7R4+R7-R4·m=1.136615μs

τ1234=C4·11-mR2‖R7+1R4=-60.904812ns

b1=τ1+τ2+τ3+τ4=0.225145μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ1·τ14+τ2·τ23+τ2·τ24+τ3·

τ34=0.076008μs2

b3=τ1·τ12·τ123+τ1·τ12·τ124+τ1·τ13·τ134+τ2·τ23·τ234

=5.702183×10-3μs3

b4=τ1·τ12·τ123·τ1234=6.416603×10-4μs4

H0=0H1=0H2=0H3=0H4=0

H12=0H13=0H14=0

H23R3·m(R1+R3)·(R2+R3‖R1)·1R4+1R2+R3‖R1-m-1R7

=2.585106H24=0H34=0H124=0

H134=0H234=0H1234=0H123=0

a1=τ1·H1+τ2·H2+τ3·H3+τ4·H4=0μs

a2=τ1·τ12·H12+τ1·τ13·H13+τ1·τ14·H14+τ2·τ23·H23+τ2·τ24·H24+τ3·τ34·H34=0.025332μs2

C2·C3·R3·R4·R7·mR1+R3=0.025332μs2


a3=τ1·τ12·τ123·H123+τ1·τ12·τ124·H124+τ1·τ13·

τ134·H134+τ2·τ23·τ234·H234=0μs3

a4=τ1·τ12·τ123·τ1234H1234=0μs4

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3+s4·b4

N1(s)=H0+s·a1+s2·a2+s3·a3+s4·a4

H10(s)=N1(s)D1(s)

H30(s)=a2b2·11+b1b2·s+s·b3b2+s2·b4b2+1b2·s2

f0=(R1+R3)(C2·C3·R3·R4·R7·m)·12π=999.963586kHz







图5．58利用Mathcad计算各种时间常数




图5．59利用SPICE电路仿真证明理论分析所得动态响应与仿真结果完美

匹配。所用元件值均取自1MHz带通滤波器电路




图5．60通用阻抗转换滤波器利用双运算放大器和三支电容构成3阶电路网络




图5．61利用简化电路求解类似GIC滤波器等复杂电路的
时间常数，
此处利用右侧简化电路计算时间常数


VT=ITR4+I1(R1+R2)-(V(A)-VT)AOL(5．293)
电流I1的定义式为： 
I1=VTAOLR1+R2(5．294)
所以节点A的电压计算公式为： 
V(A)=I1R1-V(A)AOL+VTAOL(5．295)
从上式中提取V(A)得： 
V(A)=R1I1+VTAOL1+AOL(5．296)
将式(5．294)和式(5．296)一同带入式(5．296)，重新整理求得VT/IT表达式为： 
VTIT=R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2(5．297)
当AOL接近无穷大时,式(5．297)的计算结果为0。因此与AOL相关的第一时间常数定义式为： 
τ1=C1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2(5．298)
由图5．62所示电路计算第二时间常数τ2。从图中右侧简化电路可得： 
VT=ITR5+V（A）AOL-V（op）AOL(5．299)


图5．62利用简化电路计算时间常数τ2



节点A处电压表示如下： 
V(A)=（VTAOL-VopAOL）RR1+R2(5．300)
求得节点op处的电压为： 
V(op)=VTAOL-V(op)AOL(5．301)
对式(5.301)提取因式V(op)整理得： 
V(op)=VTAOL1+AOL(5．302)
现在将式(5．302)代入式(5．300)和式(5．299)重新整理得： 
VTIT=R5(R1+R2)+AOLR5(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2(5．303)
当AOL较大时，式(5．303)的计算结果为0。所以第2时间常数定义式为： 
τ2=C2R5(R1+R2)+AOLR5（R1+R2）R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2(5．304)
由图5．63计算第3时间常数。通过对该电路原理进行分析可得如下等式： 
V（B）=(V(A)-V(op))AOL(5．305)

V（C）=(V(B)-V(op))AOL(5．306)
由于电阻R4中无电流流过，所以： 
V(C)=V(op)(5．307)


图5．63同样利用简化电路计算第3时间常数


利用上述等式求得节点电压V(C)为： 
V(C)=A2OLV(A)A2OL+AOL+1(5．308)
根据电阻R2两端电压计算电流I2： 
I2=V(A)-V(C)R2=V(A)-A2OLV(A)1+AOL+A2OLR2=(1+AOL)(VT-ITR3)R2(1+AOL+A2OL)
(5．309)
当电流I1流经电阻R1时节点A处电压为： 
V(A)=R1I1(5．310)
同时
VT=V(A)+ITR3(5．311)
整理得： 
V(A)=VT-ITR3(5．312)
当式(5．310)和式(5．312)相等时可得： 
I1=VT-ITR3R1(5．313)
因为电流IT为I1和I2之和，所以： 
IT=I1+I2=VT-ITR3R1+
(1+AOL)(VT-ITR3)R2(1+AOL+A2OL)(5．314)
对式(5.314)重新整理，然后提取因式VTIT得： 
VTIT=1+R3R1+R3(1+AOL)R2(1+AOL+A2OL)1R1+1+AOLR2(1+AOL+A2OL)(5．315)
于是求得第3时间常数为： 
τ3=C31+R3R1+R3(1+AOL)R2(1+AOL+A2OL)1R1+1+AOLR2(1+AOL+A2OL)(5．316)
当AOL接近无穷大时，式(5．316)可得到大大简化： 
τ3=C3(R1+R3)(5．317)
于是求得第一系数b1的表达式为： 
b1=τ1+τ2+τ3=C1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2+

C2R5(R1+R2)+AOLR5(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2+C31+R3R1+R3(1+AOL)R2(1+AOL+A2OL)1R1+1+AOLR2(1+AOL+A2OL)(5．318)
当AOL接近无穷大时，式(5．318)简化为： 
b1=C3(R1+R3)(5．319)
图5．64中的电容C1短路，通过计算电容C2的端口电阻求得时间常数τ12(直流状态时将电容C3从电路中移除)。


图5．64当电容C1短路、C3从电路移除时C2两端由电流源IT进行偏置


对第一网格分析可得如下等式： 
VT=R5IT+(V(A)-V(op))AOL(5．320)
节点A处电压由电阻R1和R2构成的简单分压器决定，即： 
V(A)=(VTAOL-V(op)AOL)R1R1+R2(5．321)
节点op处电压由如下等式确定： 
Vop=VT-R5IT(5．322)
等价于： 
Vop=V(A)AOL-V(op)AOL(5．323)
整理得： 
V(op)=V(A)AOL1+AOL(5．324)
由式(5．322)和式(5．324)联立求解V(A)得： 
V(A)=(VT-ITR5)(1+AOL)AOL(5．325)
令式(5．325)与式(5．321)相等，求得V(op)表达式为： 
V(op)=(AOL+1)(VT-ITR5)AOL-AOLR1VTR1+R2(R1+R2)AOLR1(5．326)
因为式(5．322)与式(5．326)相同，所以将其重新整理得： 

VTIT=R5(R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR1)(1+AOL)(R1+R2)=R51+AOL+A2OLR1R1+R21+AOL
(5．327)
求得时间常数如下所示： 
τ12=C2R51+A2OL1+AOLR1R1+R2(5．328)
随着AOL增加时间常数τ12逐渐接近无穷大，当其与τ1相乘时可能产生不确定性。如图5．65所示，短路C1，通过电容C3端口确定时间常数τ13。因为V(OP)和V(B)处于相同电位，所以B3输出为0V并且电阻R2右端接地，从而将电路大大简化。求得时间常数为： 
τ13=C3(R3+R1‖R2)(5．329)


图5．65通过观察法可直接求得C3端口电阻值


时间常数τ23计算电路图5．66与图5．65没有差别，所以两电路的时间常数相似，同为： 
τ23=C3(R3+R1‖R2)(5．330)
通过上述计算求得b2表达式为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23=C1R4（R1+R2）+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2·

C2R51+A2OL1+AOLR1R1+R2+

C1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2·

C3(R3+R1‖R2)+C2R5(R1+R2)+AOLR5(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2·

C3(R3+R1‖R2)
(5．331)


图5．66该电路与图5．65没有差别，所以C3端口的电阻值相似


那么，当AOL接近无穷大时b2表达式的特性如何呢？此时τ1τ13和τ2τ23均变为零，然而τ1τ12必须进行重新计算才能确定，将其表达式展开得： 
τ1τ12=R4R5(R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR1)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2C1C2(5．332)
将式(5.332)分解因式A2OL得： 

τ1τ12=R4R5R1+R2A2OL+R1+R2AOL+R1A2OL
R1+R2A2OL+R1+R2AOL+R2A2OLC1C2
(5．333)
鉴于AOL的数值非常大，所以表达式(5．333)简化为： 
τ1τ12≈R4R5R1R2C1C2(5．334)
当AOL接近无穷大时,系数b2的表达式重新整理为： 
b2≈R4R5R1R2C1C2(5．335)
将时间常数τ123与τ1和τ12相结合确定系数b3。但是，当AOL接近无穷大时时间常数τ1变为0，所以电路可能存在不确定性。那么为什么不对时间常数进行重新排列呢？如图5．67所示，如果计算时间常数选择τ132而非τ123，此时电路与图5．64相似，其中R3与R1并联。将式(5．328)更新为如下表达式时，计算过程将节省大量时间： 
τ132=C2R51+A2OL1+AOLR1‖R3R1‖R3+R2+R2(5．336)


图5．67以图5．64为参考，通过将R3与R1并联实现电路简化


为了测试AOL接近无穷大时,系数b3如何变化，特构建时间常数τ1τ13τ132并对其进行简化： 
τ1τ13τ132=C1C2C3R4R5(R1R2+R1R3+R2R3+A2OLR1R3+AOLR1R2+AOLR1R3+AOLR2R3)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2(5．337)
分解因式A2OL可得： 
τ1τ13τ132=C1C2C3R4R5R1R2+R1R3+R2R3A2OL+R1R3+AOLR1R2A2OL+AOLR1R3A2OL+AOLR2R3A2OLA2OLR1+R2A2OL+AOL(R1+R2)A2OL+R2A2OL(5．338)
当AOL接近无穷大时上述表达式简化为： 
τ1τ13τ132≈C1C2C3R4R5R1R3R2(5．339)
现在将上述时间常数计算结果进行组合，形成包含运算放大器开环增益效应的系数b3的表达式为： 
b3=τ1τ13τ132=C1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2

C3(R3+R1‖R2)C2R51+A2OL1+AOLR1‖R3R1‖R3+R2(5．340)
当AOL接近无穷大时,系数b3简化为： 
b3≈C1C2C3R4R5R1R3R2(5．341)
将所有系数b组合整理得完整分母D(s)表达式为： 

D(s)=1+s(τ1+τ2+τ3)+s2(τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23)+s3τ1τ13τ132

＝1+sC1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2+
C2R5(R1+R2)+AOLR5(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2+C31+R3R1+R3(1+AOL)R2(1+AOL+A2OL)1R1+1+AOLR2(1+AOL+A2OL)+

s2C1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2·

C2R51+A2OL1+AOLR1R1+R2+C1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2·
C3(R3+R1‖R2)+C2R5(R1+R2)+AOLR5(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2·

C3(R3+R1‖R2)+

s3C1R4(R1+R2)+AOLR4(R1+R2)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2·

C3(R3+R1‖R2)
C2R51+A2OL1+AOLR1‖R3R1‖R3+R2

(5．342)
当开环增益AOL非常大时,分母表达式简化为： 
D(s)≈1+C3(R1+R3)s+R4R5R1R2C1C2s2+C1C23R4R5R1R3R2s3(5．343)
接下来求解分子表达式，首先由图5．68计算准静态增益H0。


图5．68所有电容全部开路时计算增益H0


由图5．68求得电流I1为： 
I1=Vin-VoutR1(5．344)
因为电阻R4中无电流流过，所以式(5.344)等价于： 
I1=Vout-AOL(V（op）－V(A))R2(5．345)
节点op处的电压定义式为： 
V(op)=VoutAOL-V(A)AOL(5．346)
节点A处电压为输出电压Vout与电阻R2两端电压之差。利用式(5．344)计算I1，整理得节点A处电压为： 
V(A)=Vout-R2I1=Vout-R2Vin-VoutR1(5．347)
将式(5．347)代入式(5．346)求得节点op电压定义式为： 
V(op)=AOLR2(Vin-Vout)R1(5．348)
当节点op处电压由式(5．348)替代，并且令式(5．344)和式(5．345)相等时可得： 
Vin-VoutR1=R1Vout-A2OLR2Vin+A2OLR2Vout+AOLR1V(A)R1R2(5．349)
由式(5．347)替代式（5.349）中的V（A），并且分解因式得： 
H0=R2(1+AOL+A2OL)R1+R2+AOL(R1+R2)+A2OLR2(5．350)
分解因式A2OL可得： 
H0=A2OLR21A2OL+1AOL+1A2OLR1+R2A2OL+R1+R2AOL+R2(5．351)
当AOL非常大时,简化为： 
H0≈1(5．352)
如图5．69所示，通过短路C1求得第一增益H1。由于左侧运算放大器的两输入端均处于相同电位，因此输出电压为0V，并将电阻R2低端接地。R2和R1构成简单电阻分压器，从而增益为： 
H1=R2R1+R2(5．353)


图5．69电容C1短路时左侧运算放大器的两输入端
处于相同电位，此时计算增益H1


如图5．70所示，由于C2短路，所以左侧运放同相输入端接地，使得R2低端电位为0V，从而增益H2表达式与H1相同，即： 
H2=R2R1+R2(5．354)


图5．70电容C2短路时计算增益H2



当C3短路时增益H3以及与其相关的增益全部为零，因此： 
H3=H13=H23=H123=0(5．355)
利用图5．71所示电路计算时间常数H12。根据电路方程求解通过电阻R1和R2的电流I1为： 
I1=Vin-VoutR1=Vout-V(A)R2(5．356)


图5．71利用特定简化电路图计算增益H12


根据式(5.356)求得节点A处电压为： 
V(A)=R1Vout-R2Vin+R2VoutR1(5．357)
同时节点A处电压也可定义为： 
V(A)=-V(op)AOL
(5．358)
其中节点op处电位为： 
V（op）=AOL(Vout-V(op))(5．359)
由式(5．359)可得： 
V(op)=AOLVout1+AOL(5．360)
将式(5．360)代入式(5．358)整理得： 
V(A)=-A2OLVout1+AOL(5．361)
令式(5．361)与式(5．357)相等，重新整理求得增益H12表达式为： 
H12=R2R1R1+R2R1+A2OL1+AOL(5．362)
当运算放大器开环增益增加时,H12将变为0。计算增益H123时令电容C3短路，求得增益为：
H123=0(5．363)
将上述计算进行组合，整理得分子N(s)表达式为： 
N(s)=H0+s(τ1H1+τ2H2+τ3H3)+

s2(τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ2τ23H23)+s3(τ1τ13τ132H123)(5．364)
式(5.364)中包含各种时间常数的所有原始定义。通过表达式可以得到运放增益AOL对动态响应的影响。鉴于多项增益为零，所以式(5．364)最终简化为： 
N(s)=H0+s(τ1H1+τ2H2)+s2τ1τ12H12(5．365)
如果增益AOL非常大，则分子表达式N(s)简化为1。现在拥有两个传递函数，一个是包括运算放大器开环增益效应的综合函数，另一个为AOL无限大时的简化函数： 
H（s）=H0
Hsτ1H1+τ2H2H0+s2τ1τ12H12H0
1+s(τ1+τ2+τ3)+s2(τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23)+s3τ1τ13τ132
(5．366)
当AOL无限大时，简化为： 


H（s）≈11+C3(R1+R3)s+R4R5R1R2C1C2s2+C1C2C3R4R5R1R3R2s3
(5．367)
如第2章所述，当3阶分母表达式为主导低频极点与两重合极点相乘的形式时可以进行重新组合。利用最终曲线能够检验简化表达式与原始表达式(5．366)的具体差别。根据第2章定义可得： 
ωp=1b1=1C3(R1+R3)(5．368)

ω0=b1b3=R2(R1+R3)C1C3R1R3R4R5(5．369)

Q=b1b3b1b3b1b2-b3=C2C3R1R3R4R5(R1+R3)R2(R1+R3)C1C3R1R3R4R5C2R21R4R5+R1R3R4R5(C2-C3)(5．370)
因此简化传递函数为： 
H（s）≈11+sωp1+sω0Q+sω02(5．371)
图5．72为电路的全部Mathcad计算程序，图5．73为其频率特性曲线——开环增益为100k或100dB。完整表达式H10及其简化表达式H20均预测出该电路为未峰化的低通滤波器，并且含有高频陷波电路。当N(s)假定为1并且无陷波器时H30的频率响应曲线与实际测试非常一致。最后，如果按照H40绘制表达式(5．371)的特性曲线，则截止频率处存在微小增益偏差和不匹配。

最后利用SPICE仿真对GIC滤波器电路进行验证，具体电路如图5．74所示，该图包括仿真和理论分析结果，两者完美匹配——验证计算正确。


R1=0.9852ΩR2=1ΩR3=0.335ΩR4=1ΩR5=0.8476ΩAOL=105

C1=3.98μFC2=3.98μFC3=3.98μF‖(x,y)＝x·yx+y



τ1=C1·R1·R4+R2·R4+AOL·R4·(R1+R2)R1+R2+AOL·(R1+R2)+A2OL·R2=7.90102×10-5μs

τ2=R5·(R1+R2)+AOL·R5·(R1+R2)R1+R2+AOL·(R1+R2)+A2OL·R2·C2=6.91023×10-5μs

τ3=C3·1+R3R1+R3·(AOL+1)R2·(A2OL+AOL+1)1R1+AOL+1R2·(A2OL+AOL+1)=5.25436μs

τ12=C2R5·1+A2OL1+AOL·R1R1+R2=1.7275×105μs

τ13=［R3+(R1‖R2)］·C3=3.30846μs

τ23=［R3+(R1‖R2)］·C3=3.30846μs

τ132=R5·1+A2OL1+AOL·R1‖R3R1‖R3+R2·C2=6.96196×104μs

b1=τ1+τ2+τ3=5.25451·μsb11=C3·（R16+R3）=5.2544μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=13.64947·μs2b22=R4·R5·R1R2·C1·C2=13.64897μs2

b3=τ1·τ13·τ132=18.19873·μs3b33=C1·C2·C3·R4·R5·R1·R3R2=18.19818μs3

D1(s)=1+b1·s+b2·s2+b3·s3D2(s)=1+b11·s+b22·s2+b33·s3

H0=R2·(A2OL+AOL+1)R1+R2+AOL·R1+AOL·R2+A2OL·R2=0.99999

H1=R2R1+R2=0.50373H2=R2R1+R2=0.50373H3=0

H12=R2R1·R1+R2R1+A2OLAOL+1=1.01501×10-5H13=0H23=0H123=0

a1=τ1·H1+τ2·H2+τ3·H3=0.07461ns

a2=τ1·τ12·H12+τ1·τ13H13+τ2·τ23·H23=1.38539×10-4μs2

a3=τ1·τ13·τ132·H123=0

N1(s)=H0+a1·s+a2·s2+a3·s3N2（s）=H0+s(τ1·H1+τ2·H2)+s2·τ1·τ12·H12+s3·τ1·τ13·τ132·H123

H10（s）=N1(s)D1(s)H20(s)=N2(s)D2(s)H30(s)=1D2(s)

ωp=1b11fp=ωp2π=30.28986kHzQ=b11·b33·b11b33b11·b22-b33=0.96004ω0=b11b33

f0=ω02π=85.51998kHz

C2·C3·R1·R3·R4·R5·（R1+R3）·R2·(R1+R3)C1·C3·R1·R3·R4·R5C2·R21·R4·R5+（R1·R3·R4·R5）·（C2-C3）=0.96004

R2·(R1+R3)C1·C3·R1·R3·R4·R5·12π=85.51998kHz

D3(s)=1+sωp·1+sω0·Q+sω02

H40（s）=1D3(s)

图5．72利用Mathcad计算全部时间常数并对简化表达式进行检验



图5．73完整表达式频率特性曲线： 受高频开关影响的低通滤波器




图5．74SPICE仿真与理论分析完全一致


5．3本章重点
第5章更加深入地对n阶电路进行探讨。以下为本章所学内容总结： 
(1) 与前几章所学相比，处理高阶电路网络并不复杂。分子和分母中所含项数更多，但计算过程仍然一致。求解成功与否主要取决于电路网络分割——每个电路对应分母和分子的相应时间常数计算。
(2) 当求解高阶传递函数时需设定参考电路，将其所有储能元件全部设定为直流状态： 首先在s=0时观察电路，此时电容开路并且电感短路。SPICE软件进行任何类型仿真之前首先进行偏差点计算。应当注意，也可将s接近无穷大时设定为参考状态，然后将储能元件交替设置为其直流状态。上述方式同样为一种可能选择，但是设定s=0对于工程师更加直观。
(3) 系数b1、b2、…、bn的数量由电路阶数n决定。利用二项表达式有助于确定系数的具体数量。利用通用公式能够确定系数中存在的时间常数组合。因为存在时间常数冗余，所以必须对其进行重新组合： ①寻求更简单方法求解中间电路； ②消除不确定性。
（4） n阶分子和分母表达式有时可以按质量因数Q和谐振频率ω0的规范形式进行重新排列。当忽略某些元件时可以采用近似表达式，但是最终动态响应精度往往受到影响。
（5） 通过复杂实例证明利用电路分析技术能够更加快速地求得最终结果。强烈建议利用Mathcad和SPICE等现有工具求解特定电路网络的传递函数。首先计算每个时间常数，然后将其进行组合构成分子和分母系数。如果发现某个系数计算错误时，首先要确定问题时间常数。最后，当分析包含受控源的复杂电路结构时，利用SPICE软件中的简单直流工作点分析可立即检验所得表达式是否正确。
5．4附录5A——习题
5．4．1习题内容
1. 习题1
求解图5．75所示的RC电路网络的传递函数。


图5．75习题1图


2. 习题2
求解图5．76所示的RL电路网络的传递函数。


图5．76习题2图


3. 习题3
求解图5．77所示的扬声器滤波电路的传递函数。
4. 习题4
求解图5．78所示的滤波器的输出阻抗。


图5．77习题3图




图5．78习题4图


5. 习题5
求解图5.79所示电路网络的传递函数。


图5．79习题5图


6. 习题6
求解图5.80所示电路的输出电压与输入电流关系式。


图5．80习题6图


7. 习题7


图5．81习题7图


利用快速分析技术求解图5.81所示电路网络阻抗。

8. 习题8
求解图5.82所示电路网络传递函数。
9. 习题9
求解图5.83所示扬声器模型阻抗。
10. 习题10
求解图5.84所示电路传递函数。


图5．82习题8图





图5．83习题9图




图5．84习题10图


5．4．2习题答案
1． 习题1

图5．85详细列出求解3阶滤波网络分母表达式的分解电路。准静态增益H0由电阻R4与其他串联电阻构成的电阻分压器确定，具体计算公式为： 
H0=RR1+R2+R3+R4(5．372)


图5．85将电路网络分解为独立电路，以求解各种时间常数


第一时间常数由图5．85（b）获得，通过被选电容端口确定其驱动电阻。由图5．85可求得如下时间常数： 
τ1=［R1‖(R2+R3+R4)］C1(5．373)

τ2=［(R1+R2)‖(R3+R4)］C2(5．374)

τ3=［R4‖(R1+R2+R3)］C3(5．375)
于是b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3=［R1‖(R2+R3+R4)］C1+［(R1+R2)‖(R3+R4)］C2+

［R4‖(R1+R2+R3)］C3(5．376)
由图5．85(c)~图5．85(e)求得高阶时间常数为： 
τ12=［R2‖(R3+R4)］C2(5．377)

τ13=［R4‖(R2+R3)］C3(5．378)

τ23=(R4‖R3)C3(5．379)
则系数b2为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=［R1‖(R2+R3+R4)］C1［R2‖(R3+R4)］C2+

［R1‖(R1+R3+R4)］C1［R4‖（R2+R3）］C3+

［（R1+R2）‖（R3+R4）］C2（R4‖R3）C3
(5．380)
最后由图5．85(f)求得最后一个时间常数为： 
τ123=(R3‖R4)C3(5．381)
分母中最后项b3为： 
b3=τ1τ12τ123=［R1‖(R2+R3+R4)］C1［R2‖(R3+R4)］C2(R3‖R4)C3(5．382)
根据上述计算求得分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3

=1+s［R1‖(R2+R3+R4)］C1+［（R1+R2）‖（R3+R4）］C2+
［R4‖（R1+R2+R3）］C3］+
s2［R1‖(R2+R3+R4)］C1［R2‖(R3+R4)］C2+

［R1‖(R2+R3+R4)］C1［R4‖(R2+R3)］C3+

［(R1+R2)‖(R3+R4)］C2(R4‖R3)C3+

s3(［R1‖(R2+R3+R4)］C1［R2‖(R3+R4)］C2(R3‖R4)C3)(5．383)
当任何一个电容设置为高频状态时，输出响应均为零，所以电路网络中不存在零点，即该电路网络的传递函数为： 

H(s)=11+b1s+b2s2+b3s3(5．384)
如果将极点分离，则上述传递函数可表达如下： 
H(s)≈1(1+b1s)1+sb2b11+sb3b2(5．385)
接下来利用 “原始”传递函数作为参考，对所得传递函数表达式进行测试。将图5．75电路网络分解为两个戴维南电路。第一个戴维南电路受其输出阻抗影响，阻抗计算公式为： 
Rth1(s)=1sC1‖R1(5．386)
而第二个电路的阻抗为： 
Rth2(s)=(Rth1(s)+R2)‖1sC2(5．387)
所得完整传递函数表达式为： 
Href(s)=1sC11sC1+R1·1sC2Rth1(s)+R2+1sC2·1sC3‖R41sC3‖R4+Rth2(s)+R3(5．388)
Mathcad计算结果如图5．86所示，通过频率特性曲线证明式(5．384)和式(5．388)非常一致。
为了将两传递函数的幅频和相频曲线进行更精确对比，可将其差值分别绘制输出。如果两曲线完全相同则其误差将会非常小，具体如图5．87所示。
2． 习题2
利用图5．88中各分离电路计算3阶滤波器网络的分母表达式。因为电路进行直流分析时所有电感均短路，所以可直接求得电路的准静态增益值。由图5.88(a)得： 
H0=1(5．389)
由图5.88(b)~(d)分别计算电路的3个第一时间常数，具体计算公式为： 
τ1=L1R1‖R2‖R3(5．390)

τ2=L2R2‖R3(5．391)

τ3=L3R3(5．392)

系数b1 由式(5．390)、式(5．391)和式(5．392)相加组成，即： 
b1=τ1+τ2+τ3=L1R1‖R2‖R3+L2R2‖R3+L3R3(5．393)
利用时间常数τ12、τ13和τ23计算系数b2，上述时间常数分别通过电路图5.88(e)、(f)、(g)进行计算： 


R1=1kΩR2=2.2kΩR3=3.3kΩR4=1kΩ

‖(x,y)=x·yx+yC1=2.2nFC2=1nFC3=10nF



H0=R4R1+R2+R3+R4=0.133Rth1(s)=1s·C1‖R1Rth2(s)=(Rth1(s)+R2)‖1s·C2

τ1=［R1‖(R2+R3+R4)］·C1=1.907μs

Href(s)=1s·C11s·C1+R1·1s·C2Rth1(s)+R2+1s·C2·1s·C3‖R41s·C3‖R4+Rth2(s)+R3

τ2=［(R1+R2)‖(R3+R4)］·C2=1.835μs

τ3=［R4‖(R1+R2+R3)］·C3=8.667μs

b1=τ１+τ2+τ3=12.408μs

τ12=［R2‖(R3+R4)］·C2=1.455μs

τ13=［R4‖(R2+R3)］·C3=8.462μs

τ23=(R4‖R3)·C3=7.674μs

b2=τ１·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=32.988μs2

τ123=(R3‖R4)·C3=7.674μs

b3=τ１·τ12·τ123=21.296μs3

H1(s)=H0·11+b1·s+b2·s2+b3·s3
H2（s）=H0·1(1+b1·s)·1+s·b2b1·1+s·b3b2



图5．86利用Mathcad验证原始传递函数与表达式(5．384)的频率特性非常一致



τ12=L2R1+R2‖R3(5．394)

τ13=L3R3+R2‖R1(5．395)

τ23=L3R3+R2(5．396)
系数b2的计算公式为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=L1R1‖R2‖R3L2R1+R2‖R3+
L1R1‖R2‖R3L3R3+R2‖R1+
L2R2‖R3L3R3+R2
(5．397)


图5．87利用幅频和相频曲线差值对两传递函数进行更精确对比。由图可得两传递函数

之间的误差在噪声范围内，所以两者非常一致



通过电感L3两端点计算最后一个时间常数，此时电感L1和L2设置为高频状态(开路)，具体电路如图5．88
(h)所示，求得时间常数为： 
τ123=L3R3+R2(5．398)


图5．88将电路网络分解成独立电路图，以便于计算各种时间常数



根据上述计算求得系数b3的表达式为： 
b3=τ1τ12τ123=L1R1‖R2‖R3L2R1+R2‖R3L3R3+R2(5．399)
从而求得最终分母表达式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3

=1+sL1R1‖R2‖R3+
L2R2‖R3+L3R3+

s2L1R1‖R2‖R3
L2R1+R2‖R3+L1R1‖R2‖R3
L3R3+R2‖R1+L2R2‖R3
L3R3+R2+

s3L1R1‖R2‖R3
L2R1+R2‖R3+L3R3+R2
(5．400)
由于电路中无零点存在，所以立即求得传递函数表达式为： 
H(s)=1D(s)(5．401)
与式(5．400)相类似的表达式看上去非常复杂，但是如果将并联电阻简化能够使得电路分析更加简单。例如，假设电阻R3变成无穷大，即电路网络空载，则电感L3对电路无作用，并且与R3并联的所有项均得到简化。如果对表达式(5．400)直接分析，则很难得出上述结论。
现在已经求得电路传递函数，接下来通过原始表达式对动态响应进行测试。所用求解方法与习题1相同： 定义戴维南信号源，然后应用阻抗分压器公式。计算结果如下： 
Rth1(s)=sL1‖R1(5．402)

Rth2(s)=(Rth1(s)+sL2)‖R2(5．403)
整理得全部“原始”传递函数表达式为： 
Href(s)=R1sL1+R1·R2Rth1(s)+R2+sL2·R3R3+Rth2(s)+sL3(5．404)
图5．89为Mathcad计算结果，通过频率特性曲线确认两传递函数动态响应非常一致。
3． 习题3
高音扬声器滤波电路能够截断较低频率。该滤波器具有4个独立状态变量的储能元件，所以为4阶系统。与前面章节分析方式一致，首先将原始电路分解为图5．90和图5．91中的系列草图。由图5．90可得两电容与输入信号串联，因此： 
H0=0(5．405)

由图5.90(b)~(e)分别求得4个时间常数，具体计算公式如下： 
τ1=R1C1(5．406)

τ2=(R1+R2‖R3)C2(5．407)

τ3=L3∞=0(5．408)

τ4=L4R2+R3(5．409)
根据上述时间常数整理得分母系数b1为： 


R1=1kΩR2=2.2kΩR3=4.7kΩ‖(x,y)=x·yx+y

L1=10μH
L2=20μH
L3=30μH



H0=1Rth1(s)=(s·L1)‖R1Rth2(s)=(Rth1(s)+s·L2)‖（R2）

τ1=L1R1‖R2‖R3=0.017μsHref(s)=R1s·L1+R1·R2Rth1(s)+R2+s·L2·R3R3+Rth2(s)+s·L3

τ2=L2R2‖R3=0.013μs

τ3=L3R3=6.383×10-3μs

b1=τ1+τ2+τ2=0.036μs

τ12=L2R1+R2‖R3=8.005×10-3μs

τ13=L3R3+R2‖R1=5.568×10-3μs

τ23=L3R3+R2=4.348×10-3μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=2.843×10-4μs

τ123=L3R3+R2=4.348×10-3μs

b3=τ1·τ12·τ123=5.803×10-7μs3

H1（s)=H0·11+b1·s+b2·s2+b3·s3H2(s)=H0·1(1+b1·s)1+s·b2b1
1+s·b3b2


图5．89Mathcad输出曲线完全匹配——证明两传递函数动态响应一致



图5．90将4阶电路网络分解为系列草图——细心是成功的关键


b1=τ1+τ2+τ3+τ4

=R1C1+(R1+R2‖R3)C2+L4R2+R3(5．410)


图5．91高阶系数分解草图


接下来将储能元件分别设置于不同状态，求得此时电路中各元件端口的时间常数为： 
τ12=(R2‖R3)C2(5．411)

τ13=L3R1(5．412)

τ14=L4R2+R3(5．413)

τ23=L3R1+R2‖R3(5．414)

τ24=L4R3+R1‖R2(5．415)

τ34=L4R2+R3(5．416)
将上述时间常数组合求得系数b2为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ1τ14+τ2τ23+τ2τ24+τ3τ34

=R1C1(R2‖R3)C2+R1C1L3R1+R1C1L4R2+R3+

(R1+R2‖R3)C2L3R1+R2‖R3+(R1+R2‖R3)C2L4R3+R1‖R2

=R1C1(R2‖R3)C2+R1C1L3R1+R1C1L4R2+R3+C3L3+

(R1+R2‖R3)C2L4R3+R1‖R2(5．417)
由图5．91求得如下时间常数： 
τ123=L3R1(5．418)

τ124=L4R3(5．419)

τ134=L4R2+R3(5．420)

τ234=L4R2+R3(5．421)
将上述所有时间常数组合求得系数b3为： 
b3=τ1τ12τ123+τ1τ12τ124+τ1τ13τ134+τ2τ23τ234

=R1C1(R2‖R3)C2L3R1+R1C1(R2‖R3)C2L4R3+

R1C1L3R1L4R2+R3+(R1+R1‖R3)C2L3R1+R2‖R3L4R2+R3(5．422)
由图5．91(e)求得最后一个时间常数为： 
τ1234=L4R3(5．423)
所以系数b4为： 
b4=τ1τ12τ123τ1234=R1C1(R2‖R3)C2L3R1L4R3=C1R2R2+R3C2L3L4(5．424)
将式(5．410)、式(5．417)、式(5．422)和式(5．424)进行组合，所得分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3+b4s4

=1+R1C1+(R1+R2‖R3)C2+L4R2+R3s+

R1C1(R2‖R3)C2+R1C1L3R1+R1C1L4R2+R3+

C2L3+(R1+R2‖R3)C2L4R3+R1‖R2s2+

R1C1(R2‖R3)C2L3R1+R1C1(R2‖R3)C2L4R3+R1C1L3R1L4R2+R3+

(R1+R2‖R3)C2L3R1+R2‖R3L4R2+R3s3+

C1R2R2+R3C2L3L4s4(5．425)
因为电路包含4个储能元件，所以分子表达式采用如下通用格式进行定义： 
N(s)=H0+s(τ1H1+τ2H2+τ3H3+τ4H4)+

s2(τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ1τ14H14+τ2τ23H23+τ2τ24H24+τ3τ34H34)+

s3(τ1τ12τ123H123+τ1τ12τ124H124+τ1τ13τ134H134+τ2τ23τ234H234)+

s4(τ1τ12τ123τ1234H1234)(5．426)
因为电路含有两个串联电容，使得许多直流传递函数H=0，所以式(5．426)得到大大简化。当储能元件分别设置于高频状态时计算非零传递函数，而无须计算全部储能元件的所有状态。当电路工作于直流状态时电容C1和C2必须设置为高频状态(短路)，而电感L3和L4保持直流状态(短路)。此时传递函数为： 
H12=1(5．427)
第二种可能工作状态如下： 电容C1、C2和电感L3处于高频状态。此时电感L4依旧保持在直流状态，求得传递函数为： 
H123=1(5．428)
因为其他所有传递函数均为零0，所以表达式(5．426)可大大简化，求得最终分子表达式为： 
N(s)=τ1τ12H12s2+τ1τ12τ123H123s3=a2s2+a3s3(5．429)
对式(5.429)提取因式a2s2得： 
N(s)=a2s21+a3a2s=a2s21+C1L3(R2‖R3)C2R1C1(R2‖R3)C2=a2s21+L3R1s(5．430)
将分母同样提取因式a2s2，并将a2/b2作为传递函数主导项，整理得： 
H(s)=a2b21+L3R1s1+b1b2s+b3sb2+1b2s2+b4s2b2(5．431)
对所得传递函数进行继续分析之前，首先利用原始传递函数对其进行检验。两次应用戴维南定理对图5．77进行计算，并将所得输出阻抗按照如下形式进行描述： 
Rth1(s)=(sL3+R1)‖1sC1(5．432)

Rth2(s)=Rth1(s)+1sC2‖R2(5．433)
整理得参考传递函数为： 
Href(s)=R1+sL3sL3+R1+1sC1·R2Rth1(s)+R2+1sC2·R3R3+Rth2(s)+sL4(5．434)
将上述所得传递函数输入Mathcad工作表中，绘制其动态特性曲线并进行对比，结果如图5．92所示，证明所得传递函数正确。



R1=0.5ΩR2=20ΩR3=8Ω‖(x,y)=x·yx+y

C1=24μFC2=10μFL3=50μHL4=50μH



τ1=R1·C1=12μsτ2=(R1+R2‖R3)·C2=62.143μsτ3=L3∞·Ω=0μsτ4=L4R2+R3=1.786μs

b1=τ1+τ2+τ3+τ4=75.929μs

τ12=(R2‖R3)·C2=57.143μsτ13=L3R1=100μs
τ14=L4R2+R3=1.786μsτ23=L3R1+R2‖R3=8.046μs

τ24=L4R3+R1‖R2=5.891μsτ34=L4R2+R3=1.786μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ1·τ14+τ2·τ23+τ2·τ24+τ3·τ34=2.773×103μs2

τ123=L3R1=100μsτ124=L4R3=6.25μs
τ134=L4R2+R3=1.786μsτ234=L4R2+R3=1.786μs

b3=τ1·τ12·τ123+τ1·τ12·τ124+τ1·τ13·τ134+τ2·τ23·τ234=7.589×104μs3
τ1234=L4R3=6.25μs

b4=τ1·τ12·τ123·τ1234=4.286×105μs4


H0=0H1=0H2=0H3=0H4=0
H12=1H13=0H14=0H23=0
H24=0H34=0

H123=1H124=0H134=0H234=0H1234=0

a1=τ1·H1+τ2·H2+τ3·H3+τ4·H4=0μs

a2=τ1·τ12·H12+τ1·τ13·H13+τ1·τ14·H14+τ2·τ23·H23+τ2·τ24·H24+τ3·τ34·H34=685.714μs2

τ1·τ12·H12=685.714·μs2R1·C1·［(R2‖R3)·C2］=685.714μs2

a3=τ1·τ12·τ123·H123+τ1·τ12·τ124·H124+τ1·τ13·τ134·H134+τ2·τ23·τ234·H234=6.857×104μs3

τ1·τ12·τ123·H123=6.857×10-14s3C1·L3·［(R2‖R3)·C2］=6.857×10-4s3

a4=τ1·τ12·τ123·τ1234·H1234=0μs4

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3+s4·b4

N1(s)=H0+s·a1+s2·a2+s3·a3+s4·a4

N2(s)=R1·C1·［(R2‖R3)·C2］·s2+C1·L3·［(R2‖R3)·C2］·s3

H10(s)=N1(s)D1(s)H22(s)=a2b2·1+L3R1·s1+b1b2·s+b3·sb2+1s2·b2+b4·s2b2

Rth1(s)=(s·L3+R1)‖1s·C1Rth2(s)=Rth1(s)+1s·C2‖(R2)

Href(s)=s·L3+R1s·L3+R1+1s·C1·R2Rth1(s)+R2+1s·C2·R3R3+Rth2(s)+s·L4



图5．92由Mathcad输出波形表明分析步骤不同但结果相似


4． 习题4
除了求解图5．77所示电路的输入输出传递函数之外，接下来计算滤波器的输出阻抗。第1章主要对网络分析法进行详细讲解，其中构成分母D(s)的固有时间常数主要由电路结构决定： 无论输出电压取自电阻R3还是R2、输入由R3两端电流源或者与L3或C1串联的电压源提供，所得时间常数不变，所以分母D(s)表达式保持恒定。因为前面章节已经对图5．77所示电路的输出阻抗进行计算，此处不再赘述： H(s)与Zout(s)的传递函数具有相同的分母表达式D(s)。另外，由于激励信号的注入位置以及测试点的不同也会使得电路零点发生变化。根据电路阶数，利用传统方法计算阻抗Z的分子表达式如下，
N(s)=R0+s(τ1Z1+τ2Z2+τ3Z3+τ4Z4)+

s2(τ1τ12Z12+τ1τ13Z13+τ1τ14Z14+τ2τ23Z23+τ2τ24Z24+τ3τ34Z34)+

s3(τ1τ12τ123z123+τ1τ12τ124z124+τ1τ13τ134z134+τ2τ23τ234z234)+

s4(τ1τ12τ123τ1234Z1234)(5．435)


图5．93所示独立电路与电容和电感工作于直流或者高频状态分别一一对应。
首先由图5．93(a)可得： 
R0=R3‖R2(5．436)

Z1=R3‖R2(5．437)

Z2=R1‖R2‖R3(5．438)

Z3=R3‖R2(5．439)

Z4=R3(5．440)


图5．93当电容/电感开路或短路时计算电路输出阻抗



由式(5．437)~式(5．440)求得固有时间常数的系数a1的表达式为： 
a1=R1C1(R3‖R2)+(R1+R2‖R3)C2(R1‖R2‖R3)+0·(R3‖R2)+L4R2+R3R3

=R1C1(R3‖R2)+(R1+R2‖R3)C2(R1‖R2‖R3)+L4R2+R3R3(5．441)
由图5．93(f)~图5．93(i)可得： 
Z12=0(5．442)

Z13=R3‖R2(5．443)

Z14=R3(5．444)

Z23=R2‖R3(5．445)
由图5．94(a)和图5．94(b)可得
Z24=R3(5．446)

Z34=R3(5．447)


图5．94直流增益分解电路图



根据上述计算求得传递函数的系数a2表达式为： 
a2=τ1τ12Z12+τ1τ13Z13+τ1τ14Z14+τ2τ23Z23+τ2τ24Z24+τ3τ34Z34

=R1C1(R2‖R3)C2·0+R1C1L3R1(R3‖R2)+R1C1L4R2+R3R3+

(R1+R2‖R3)C2L3R1+R2‖R3(R3‖R2)+(R1+R2‖R3)C2L4R3+R1‖R2R3+

L3∞·L4R2+R3R3

=R1C1L3R1(R3‖R2)+R1C1L4R2+R3R3+C2L3(R3‖R2)+

(R1+R2‖R3)C2L4R3+R1‖R2R3(5．448)
由图5．94计算系数a3。通过分析计算图5.94(c)~(f)的分解电路图可求得如下阻抗关系式： 
Z123=0(5．449)

Z124=R3(5．450)

Z134=R3(5．451)

Z234=R3(5．452)
通过上述计算可得系数a3表达式为： 
a3=τ1τ12τ123Z123+τ1τ12τ124Z124+
τ1τ13τ134Z134+
τ2τ23τ234Z234

=R1C1(R2‖R3)C2L3R1·0+R1C1(R2‖R3)C2L4R3R3+R1C1L3R1L4R2+R3R3+

(R1+R2‖R3)C2L3R1+R2‖R3L4R2+R3R3

=R1C1(R2‖R3)C2L4+R1C1L3R1L4R2+R3R3+C2L3L4R2+R3R3(5．453)
最后，当所有储能元件均工作于高频状态时计算最后一项H1234。由图5．94(g)可得，当L4处于高频状态(开路)时，将电阻R3与其余电路隔离，因此： 
Z1234=R3(5．454)
整理得： 
a4=C1(R2‖R3)C2L3L4R3(5．455)
将R0约分，所得分子表达式为： 
N(s)=1+R1C1(R3‖R2)+(R1+R2‖R3)C2(R1‖R2‖R3)+L4R2+R3R3R3‖R2s+

R1C1L3R1(R3‖R2)+R1C1L4R2+R3R3+C2L3(R3‖R2)+

(R1+R2‖R3)C2L4R3+R1‖R2R31R3‖R2s2+

R1C1(R2‖R3)C2L4+R1C1L3R1L4R2+R3R3+C2L3L4R2+R3R31R3‖R2s3+

C1(R2‖R3)C2L3L4R31R3‖R2s4(5．456)
接下来将式(5．436)、式(5．425)和式(5．456)组合求得传递函数。首先求得输出阻抗表达式如下所示，其单位为欧姆： 
Zout(s)=(R3‖R2)N(s)D(s)(5．457)
为对计算结果进行检验，必须求得电路的原始传递函数表达式。如图5．78所示，首先求得阻抗表达式： 
Za(s)=1sC1‖(R1+sL3)+1sC2(5．458)

Zb(s)=sL4+R2‖Za(s)(5．459)
整理得： 
Zref(s)=R3‖Zb(s)(5．460)
在图5．95中，利用Mathcad程序对全部时间常数和增益进行计算输出。如图5.95所示，相位和幅度频率特性曲线都有很大扭曲，但两表达式均能完美匹配。

R1=0.5ΩR2=20ΩR3=8Ω‖(x,y)=x·yx+y

C1=24μFC2=10μFL3=50μHL4=50μH




τ1=R1·C1=12μsτ2=(R1+R2‖R3)·C2=62.143μs
τ3=L3∞·Ω=0μsτ4=L4R2+R3=1.786μs

b1=τ1+τ2+τ3+τ4=75.929μs

τ12=(R2‖R3)·C2=57.143μsτ13=L3R1=100μs
τ14=L4R2+R3=1.786μsτ23=L3R1+R2‖R3=8.046μs

τ24=L4R3+R1‖R2=5.891μsτ34=L4R2+R3=1.786μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ1·τ14+τ2·τ23+τ2·τ24+τ3·τ34=2.773×103μs2
τ123=L3R1=100μs

τ124=L4R3=6.25μs
τ134=L4R2+R3=1.786μsτ234=L4R2+R3=1.786μs

b3=τ1·τ12·τ123+τ1·τ12·τ124+τ1·τ13·τ134+τ2·τ23·τ234=7.589×104μs3
τ1234=L4R3=6.25μs

b4=τ1·τ12·τ123·τ1234=4.286×105μs4

Z0=R3‖R2Z1=R3‖R2Z2=R1‖R2‖R3
Z3=R3‖R2Z4=R3Z12=0Z13=R3‖R2

Z14=R3Z23=R3‖R2Z24=R3
Z34=R3
Z123=0Z124=R3Z134=R3Z234=R3Z1234=R3

a1=τ1·Z1+τ2·Z2+τ3·Z3+τ4·Z4=111.429Ω·μs

a2=τ1·τ12·Z12+τ1·τ13·Z13+τ1·τ14·Z14+τ2·τ23·Z23+τ2·τ24·Z24+τ3·τ34·Z34=1.281×104Ω·μs2

a3=τ1·τ12·τ123·Z123+τ1·τ12·τ124·Z124+τ1·τ13·τ134·Z134+τ2·τ23·τ234·Z234=5.857×104Ω·μs3

a4=τ1·τ12·τ123·τ1234·Z1234=3.429×106Ω·μs4

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3+s4·b4

N1(s)=Z0+s·a1+s2·a2+s3·a3+s4·a4

Z10(s)=N1(s)D1(s)Za(s)=1s·C1‖(R1+s·L3)+1s·C2Zb(s)=s·L4+R2‖Za(s)Zref(s)=R3‖Zb(s)



图5．95所有Mathcad动态响应全部互相吻合——计算方法正确


5． 习题5
该电路主要描述功率变换器研发过程中印刷电路板产生的寄生元件效应。电路输入为高压信号，然后通过电阻进行降压。附加电容为电路板寄生元件，影响输入信号与电阻R1之间的信号传播。由于寄生电容的存在，使得该电路成为3阶电路网络。接下来利用传统分解电路方式确定传递函数的分母系数，具体电路如图5．96所示。首先从图5．96左上角电路——图5．96(a)开始分析，当输入信号源频率为0Hz时可直接求得电路增益为： 
H0=R1R1+R2+R3+R4(5．461)


图5．96为确定分母系数，将原始电路分解为多个简单电路


由图5．96(b)确定与电容C2、C3和C4相关的3个时间常数。通过观察各电容端口可得： 
τ4=［R4‖(R1+R2+R3)］C4(5．462)

τ2=［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2(5．463)

τ3=［(R1+R2)‖(R3+R4)］C3(5．464)
将上述时间常数组合构成分母表达式的系数b1为： 
b1=τ4+τ2+τ3

=［R4‖(R1+R2+R3)］C4+［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2+

［(R1+R2)‖(R3+R4)］C3(5．465)
图5．96(c)、图5．96(d)和图5．96(e)分别将储能元件进行组合以构成其他时间常数： 
τ42=［R1‖(R2+R3)］C2(5．466)

τ43=［R3‖(R1+R2)］C3(5．467)

τ23=［R1‖R4+R3‖R2］C3(5．468)
由上述时间常数表达式求得第2个分母系数b2为： 
b2=τ4τ42+τ4τ43+τ2τ23

=［R4‖(R1+R2+R3)］C4［R1‖(R2+R3)］C2+

［R4‖(R1+R2+R3)］C4［R3‖(R1+R2)］C3+

［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2［R1‖R4+R3‖R2］C3(5．469)
最后通过电路图5．96(f)计算组成b3的另一系数，即： 
τ423=(R2‖R3)C3(5．470)
整理得： 
b3=［R4‖(R1+R2+R3)］C4［R1‖(R2+R3)］C2(R2‖R3)C3(5．471)
通过上述计算，求得最终分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3

=1+{［R4‖(R1+R2+R3)］C4+［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2+

［(R1+R2)‖(R3+R4)］C3}s+

［R4‖(R1+R2+R3)］C4［R1‖(R2+R3)］C2+

［R4‖(R1+R2+R3)］C4［R3‖(R1+R2)］C3+

［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2［R1‖R4+R3‖R2］C3s2+

{［R4‖(R1+R2+R3)］C4［R1‖(R2+R3)］C2(R2‖R3)C3}s3
(5．472)
求解分子表达式时，通过电路图5．97计算各种增益值。当单个电容独立短路时由图5.97(a)、(b)和(c)求得增益为： 
H4=0(5．473)

H3=R1R1+R4(5．474)

H3=0(5．475)
所以系数a1为： 
a1=τ4H4+τ2H2+τ3H3=［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2R1R1+R4(5．476)


图5．97分析方法相同，但输入源复原以计算各种增益值


通过图5.97(d)、(e)、(f)求解系数a2。由电路分析可得： 
H42=0(5．477)

H43=0(5．478)

H23=R1‖R2‖R3R1‖R2‖R3+R4(5．479)
当前两项增益为0时可快速求得系数a2为： 
a2=τ4τ43H43+τ4τ42H42+τ2τ23H23

=［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2［R1‖R4+R3‖R2］·

C3R1‖R2‖R3R1‖R2‖R3+R4(5．480)
如图5．97(g)所示，当所有电容均由短路线代替时求得最后增益为： 
H423=0(5．481)
因此最后一项系数a3=0。根据上述计算可得分子N(s)表达式为： 
N(s)=H0+sτ2H2+s2τ2τ23H23

=R1R4+R2+R3+R1+s［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2R1R1+R4+

s2［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2［R1‖R4+R3‖R2］·

C3R1‖R2‖R3R1‖R2‖R3+R4(5．482)
将式(5.482)分解因式H0可得： 
N(s)=H01+sτ2H2H0+s2τ2τ23H23H0

=H01+s［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2R1R1+R4R4+R2+R3+R1R1+

s2［(R1+R4)‖(R3+R2)］C2［R1‖R4+R3‖R2］·

C3R1‖R2‖R3R1‖R2‖R3+R4R4+R2+R3+R1R1(5．483)
将式(5．483)和式(5．472)进行组合，求得传递函数为： 
H(s)=H0D(s)N(s)(5．484)
利用第2章因式分解技术对传递函数分子和分母表达式整理得： 
H(s)≈H01+sωz11+sωz21+sωp11+sωp21+sωp3(5．485)

图5.98为Mathcad计算程序，通过输出波形能够清晰观测传递函数的动态响应曲线。

与前面章节中的实例分析方法一致，利用叠加定理定义原始传递函数以对计算结果进行检验。因为R4和C4影响C2和R3的驱动阻抗，所以不能将C4两端电压交替设置为零。利用SPICE软件对电路进行仿真分析，输出交流特性曲线与图5．98完美重叠——数学推导计算正确。作者的同事卡皮拉博士利用另外一种不同方法——信号流程图计算电路网络传递函数。将两传递函数的幅频和相频特性曲线进行对比，输出曲线与计算结果如图5．99所示，函数之间的计算误差取决于求解器的分辨率噪声。假设在流程图5．98中检测到错误，通过调整一个或多个时间常数对其进行修正并非复杂过程。
6． 习题6
图5.80所示电路为典型的锁相环(PLL)鉴相器滤波电路，测试信号为输入电流。Vout与Iin之间的传递函数为互阻，单位为V/A或者欧姆。因为电路含有3个独立电容，所以为3阶电路。当激励源关闭、除C1保留之外其余电容均开路时电路无直流通路。当其他电容与上述设置相同时电路工作状态一致。为避免电路不收敛或者其他极端情况发生，增加额外电阻R1，以等效电流源输出电阻。实际测试时该电阻确实存在，并且限制了电路的最大直流增益。通过分析最终确定该电阻相当大，对传递函数增益产生很大抑制。首先对图5．100中分解电路进行分析。直流互阻R0定义为： 
R0=R1(5．486)
由图5．100(b)求得3个时间常数分别为： 
τ1=C1R1(5．487)

τ2=C2(R1+R2)(5．488)

τ3=C3(R1+R3)(5．489)
所以系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3=C1R1+C2(R1+R2)+C3(R1+R3)(5．490)
由图5．100(c)、图5．100(d)和图5．100(e)求得系数b2所需时间常数为： 
τ12=C2R2(5．491)

τ13=C3R3(5．492)

τ23=C3(R2‖R1+R3)(5．493)
整理得b2最终表达式为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23=C1C2R1R2+C1R1C3R3+
C2(R1+R2)C3(R2‖R1+R3)(5．494)
由图5．100(f)计算最后一个时间常数为： 
τ123=C3R3(5．495)



C4=2pFC3=1.5pFC2=10pF

R1=39kΩR2=240kΩR3=240kΩR4=5MΩ‖(x,y)=x·yx+y



τ4=［(R4)‖(R1+R2+R3)］·C4=0.94μs
τ2=［(R1+R4)‖(R3+R2)］·C2=4.383μs

τ3=［(R1+R2)‖(R3+R4)］·C3=0.397μs
τ42=［(R2+R3)‖(R1)］·C2=0.361μs

τ13=［(R3)‖(R1+R2)］·C3=0.194μs
τ23=［(R1)‖(R4)+(R3)‖(R2)］·C3=0.238μs

τ423=［(R2)‖(R3)］·C3=0.18μs

b1=τ4+τ2+τ3=5.72μs
b2=τ4·τ42+τ4·τ43+τ2·τ23=1.564μs2
b3=τ4·τ42·τ423=0.061μs3

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3

QD=b1·b3b1b2=0.378ωp1=1b1ωp2=b1b2ωp3=b2b3

fp1=ωp12π=27.823kHzfp2=ωp22π=0.582MHzfp3=ωp32π=4.078MHz

H0=R1R1+R2+R3+R4=7.066×10-3H4=0

H2=R1R1+R4H3=0H43=0H42=0

H23=R1‖(R2‖R3)［R1‖(R2‖R3)］+R4=5.852×10-3

H423=0

a1=τ4·H4+τ2·H2+τ3·H3=0.034μs

a2=(τ4·τ42·H42+τ4·τ43·H43+τ2·τ23·H23)

=6.105×10-3μs2

a3=τ4·τ42·τ423·H423=0

N1(s)=1+s·(τ4·H4+τ2·H2+τ3·H3)H0+s2·τ4·τ42·H42+τ4·τ43·H43+τ2·τ23·H23H0

QN=b2b1=0.219ωN=1b2H10(s)=H0·N1(s)D1(s)

ωz1=H0a1fz1=ωz12π=33.157kHz12·π［C2·(R2+R3)］=33.157kHz

ωz2=a1a2fa2=ωz22π=884.194kHz12π·C3(R2‖R3)=884.194kHz

H20(s)=H0·1+sωz1·1+sωz21+b1·s+b2·s2+b3·s3

H30(s)=H0·1+sωz1·1+sωz21+sωp1·1+sωp2·1+sωp3



图5．98传递函数各异但特性曲线完美匹配



R1=R1R2=R2R3=R3R4=R4C4=C4C3=C3C2=C2

H00=R1R1+R2+R3+R4

ω11=C2·R22+C2·R32+
C2·(C2·R22+C2·R32+2·C2·R2·R3-4·C3·R2·R3)2C2·C3·R2·R3

ω22=C2·R22+C2·R32-C2·(C2·R22+C2·R32+2·C2·R2·R3-4·C3·R2·R3)2(C2·C3·R2·R3)

b11=(C2·R1·R2+C2·R1·R3+C3·R1·R3+C2·R2·R4+C3·R1·R4+C3·R2·R3+(R1+R2+→

→C2·R3·R4+C3·R2·R4+C4·R1·R4+C4·R2·R4+C4·R3·R4)R3+R4)=5.72μs


b22=(C2·C3·R1·R2·R3+C2·C3·R1·R2·R4+C2·C3·R1·R3·R4+C2·C4·R1·R2·R4+(R1+R2+→

→C2·C3·R2·R3·R4+C2·C4·R1·R3·R4+C3·C4·R1·R3·R4+C3·C4·R2·R3·R4)R3+R4)=1.564μs2

b33=C2·C3·C4·R1·R2·R3·R4R1+R2+R3+R4=0.061μs3

Tjose(s)=R1R1+R2+R3+R4·1+sω11·1+sω22b33·s3+b22·s2+b11·s+1



图5．99利用FACT和信号流程图技术获得的传递函数相同




图5．100利用分解电路图求解固有时间常数


所以系数b3为： 
b3=τ1τ12τ123=C1C2C3R1R2R3(5．496)
将式(5．490)、式(5．494)和式(5．496)进行组合，求得分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+s［C1R1+C2(R1+R2)+C3(R1+R3)］+

s2［C1C2R1R2+C1R1C3R3+C2(R1+R2)C3(R2‖R1+R3)］+

s3C1C2C3R1R2R3(5．497)
将式(5.497)提取因数R1可得： 
D(s)=R11R1+sC1+C2R1+R2R1+C3R1+R3R1+

s2C1C2R2+C1C3R3+C2R1+R2R1C3(R2‖R1+R3)+s3C1C2C3R2R3(5．498)
如果R1的值非常大，则分母D(s)简化为： 
D(s)≈R1{s［C1+C2+C3］+s2［C1(C2R2+C3R3)+

C2C3(R2+R3)］+s3C1C2C3R2R3}(5．499)


图5．101增益定义分解电路图


现在对图5．101进行分析，每次当C1或C3设置为高频状态(短路)时输出响应和阻抗Z均为零。实际上图5．101(b)的增益不为零，其阻抗计算式为： 
Z2=R1‖R2(5．500)
通过分析可知分母N(s)表达式非常简单： 
N(s)=R0+sτ2Z2=R01+sτ2Z2R0=R1(1+sR2C2)(5．501)
阻抗传递函数为式(5．501)与式(5．499)之商，即： 
Z(s)=R1(1+sR2C2)R1{s(C1+C2+C3)+s2［C1(C2R2+C3R3)+C2C3(R2+R3)］+s3C1C2C3R2R3}(5．502)通过因式R1对传递函数表达式进行简化，并且利用sR2C2形成倒相零点。此时传递函数变为： 
Z(s)=R2C2C1+C2+C31+1sR2C21+sC1(C2R2+R3C3)+C2C3(R2+R3)C1+C2+C3+s2C1C2C3R2R3C1+C2+C3

(5．503)
如果品质因数非常低，可将2阶形式转换为极点级联形式，此时表达式等效为： 
Z(s)≈R2C2C1+C2+C31+1sR2C21+sC1(C2R2+R3C3)+C2C3(R2+R3)C1+C2+C31+sC1C2C3R2R3C1C2R2+C1C3R3+C2C3R2+C2C3R3

(5．504)
首先R2—C2和R3—C3构成并联阻抗，之后再由C3和R3构成的分压器进行分压，所得参考传递函数为： 
Zref(s)=R1‖Z1(s)‖1sC1‖Z2(s)11+sR3C3(5．505)
其中
Z1(s)=R2+1sC2(5．506)

Z2(s)=R3+1sC3(5．507)
图5．102证明上述计算正确： 式(5．504)中的重新排列传递函数与参考传递函数非常吻合。

7． 习题7
图5.81所示电路代表石英晶体的某种可能模型。在该电路配置中，由于缺少损耗电阻，所以很难轻易形成时间常数。采用之前方法，在晶体两端并联额外电阻Rinf以得到固有时间常数。由图5．103(a)求得第1个传递函数为准静态增益R0： 
R0=Rinf(5．508)
然后由图5．103(b)和图5．103(c)求得时间常数为： 
τ1=RinfC1(5．509)

τ2=RinfC2(5．510)

τ3=L3∞
=0(5．511)
将所有时间常数相加求得系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3=Rinf(C1+C2)(5．512)
由图5．103(d)、图5．103(e)和图5．103(f)确定如下时间常数： 
τ12=C2·0(5．513)

τ13=L3∞
(5．514)

τ23=L3Rinf(5．515)
将上述时间常数与式(5．509)、式(5．510)和式(5．511)相结合，求得系数b2为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=RinfC1·0·C2+RinfC1L3∞
+RinfC2L3Rinf
=C2L3(5．516)
常见错误如下： 将式(5．511)、式(5．513)和式(5．514)假定为0，然后当计算系数b2时将其忽略。实际计算时必须将其与时间常数相乘，以确保消除因数中不确定性。当电路中去除电阻Rinf，并由无穷大电阻替换时将产生许多不确定性。由于式(5．516)计算过程无任何问题，因此可将其进行简化。
由图5．103(g)计算最后一项，其中电容C1和C2均设置为高频状态。此时电感L3两端短路，求得时间常数为： 
τ123=L30
(5．517)
式(5．517)使得电路产生难以预测的不确定性。那么该如何将其消除呢？通常利用时间常数重新组合的方式解决上述问题。此处具有两种选择： τ231或τ321。当对电容C1端口进行测试时，C2和L3均设置为高频状态，所以两时间常数表达式相似。然而，第一种情况下

C1=2.2nFC2=15nFC3=22nFR1=1010ΩR2=150ΩR3=10kΩ‖(x,y)=x·yx+y




τ1=C1·R1=2.2×104ms
τ2=C2·(R1+R2)=1.5×105ms
τ3=C3·(R3+R1)=2.200002×108μs

τ12=C2·R2=2.25μs
τ13=C3·R3=220μs
τ23=C3·(R2‖R1+R3)=0.2233ms

τ123=C3·R3=0.22ms

b1=τ1+τ2+τ3=3.920002×105ms
b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=0.038385s2
b3=τ1·τ12·τ123=1.089×10-8s3

R0=R1Z1=0Z2=R1‖R2Z3=0
Z12=0Z13=0Z23=0Z123=0

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3

D2(s)=1+s［C1·R1+C2·(R1+R2)+C3·(R3+R1)］+s2·［C1·R1·(C2·R2)+C1·R1·(C3·R3)+C2·(R1+R2)·［C3·(R2‖R1+R3)］］+s3·［C1·R1·(C2·R2)·(C3·R3)］

D3(s)=R1·1R1+s·C1+C2·R1+R2R1+C3·R3+R1R1+

s2·C1·(C2·R2)+C1·(C3·R3)+C2·R1+R2R1·［C3·(R2‖R1+R3)］+s3·［C1·(C2·R2)·(C3·R3)］

D4(s)=R1·s·(C1+C2+C3)+s2·［C1·(C2·R2+R3·C3)+C2·C3·(R2+R3)］+s3·(C1·C2·C3·R2·R3)a1=τ1·Z1+τ2·Z2+τ3·Z3=2.25×107Ω·ms
Z2·τ2=2.25×107Ω·ms

a2=τ1·τ12·Z12+τ1·τ13·Z13+τ2·τ23·Z23=0
a3=τ1·τ12·τ123·Z123=0

N1(s)=R0+a1·s+a2·s2+a3·s3
N2(s)=R1·(1+R2·C2·s)
Z10(s)=N1(s)D4(s)

Z20(s)=
1+s·R2·C2{s·(C1+C2+C3)+s2·［C1·(C2·R2+R3·C3)+C2·C3(R2+R3)］+s3·(C1·C2·C3·R2·R3)}

Z30(s)=B2·C2C1+C2+C3·
1+1s·R2·C21+s·C1·(C2·R2+R3·C3)+C2·C3·(R2+R3)C1+C2+C3+s2·C1·C2·C3·R2·R3C1+C2+C3


Z40(s)=R2·C2C1+C2+C3·

1+1s·R2·C21+s·C1·(C2·R2+R3·C3)+C2·C3·(R2+R3)C1+C2+C3·1+s·C1·C2·C3·R2·R3C1·C2·R2+C1·C3·R3+C2·C3·R2+C2·C3·R3

Z1(s)=R2+1s·C2Z2(s)=R3+1s·C3
Zref(s)=R1‖Z1(s)‖1s·C1‖Z2(s)·1C3·R3·s+1



图5．102Mathcad程序证明计算结果正确——包括参考互阻在内的动态响应一致




图5．103利用分解电路图有助于计算时间常数，但可能产生不确定性


引导因子为τ2τ23； 第二种情况下引导因子却为τ3τ32。当电感移除时电容C2两端阻抗无穷大，此时电路将会产生另外一种不确定性。另外，由式(5．515)已经求得时间常数τ23，根据图5．103可求得如下时间常数： 
τ231=C1Rinf(5．518)
联合式(5．518)、式(5．515)和式(5．510)可得： 
b3=τ2τ23τ231=RinfC2L3Rinf
C1Rinf=RinfC1C2L3(5．519)
如果重新整理之后不确定性仍然存在该如何解决呢？此时增加电阻与电感L3并联，为式(5．517)提供一条直流通路。但是通过增加额外电阻已经将电路结构改变(即使将其参数值设置为无限大)，并且由于额外元件的引入，先前的时间常数必须重新计算。
利用所得时间常数求得分母表达式为： 
D(s)=1+Rinf(C1+C2)s+C2L3s2+RinfC2C1L3s3(5．520)
分解因式Rinf可得： 
D(s)=Rinf1Rinf
+s(C1+C2)+s2C2L3Rinf
+s3C1C2L3(5．521)
因为Rinf为高阻值电阻，所以上述表达式简化为： 
D(s)≈Rinf［s(C1+C2)+s3C2C1L3］(5．522)
通过上述计算已经得到分母表达式，接下来利用不同增益值计算电路零点，具体如图5．104所示。当电容C1短路时输出响应为0。该状态与电容C2工作于高频并且其串联电感L3设置于直流状态一致，此时配置电阻为Rinf。计算结果如下： 
Z1=0(5．523)

Z2=0(5．524)

Z3=Rinf(5．525)
则系数a1为： 
a1=τ1Z1+τ2Z2+τ3Z3=RinfC1·0+RinfC2·0+L3∞
·Rinf=0(5．526)



图5．104通过不同工作状态的增益值计算电路零点


由图5．104(d)、图5．104(e)和图5．104(f)可得： 
Z12=0(5．527)

Z13=0(5．528)

Z23=Rinf(5．529)
于是求得系数a2的定义式为： 
a2=τ1τ12Z12+τ1τ13Z13+τ2τ23z23

=RinfC1·0·C2·0+RinfC1L3∞
·0+RinfC2L3Rinf
Rinf

=RinfC2L3(5．530)
在图5．104(g)中输出响应同样为0，所以： 
Z123=0(5．531)
同理可得： 
a3=τ2τ23τ321Z123=RinfC2L3Rinf
C1Rinf·0=0(5．532)
将式(5．526)、式(5．530)和式(5．532)进行组合，求得分子表达式为： 
N(s)=R0+a1s+a2s2+a3s3=Rinf(1+L3C2s2)(5．533)

由式(5．522)和式(5．533)整理得最终传递函数表达式为： 
Z(s)=Rinf(1+s2L3C2)Rinf［s(C1+C2)+s3C2C1L3］
=1+s2L3C2s(C1+C2)+s3C2C1L3(5．534)
原始传递函数表达式非常简单，具体如下所示： 
Zref(s)=1sC1

‖sL3+1sC2

(5．535)

图5．105中的所有曲线全部一致，证明上述计算过程正确无误。现在利用人工计算或者Mathcad软件对式(5.535)进行简化，整理得： 
Z=1s·C.1
·s·L.3+1s·C.2


1s·C.1
·s·L.3+1s·C.2





Rinf=1010ΩC1=10nFC2=2.2nFL3=22μH‖(x,y)=x·yx+y




τ1=Rinf·C1=100sτ2=Rinf·C2=22sτ3=L3∞·Ω
=0μsZref(s)=1s·C1

‖s·L3+1s·C2



τ12=0·C2=0μsτ13=L3∞·Ω
=0μsτ23=L3Rinf
=2.2×10-9μs

τ123=L30
=μsτ321=C1·Rinf

b1=τ1+τ2+τ3=1.22×108μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=0.048μs2

b3=τ2·τ23·τ321=4.84×106μs3

Z0=RinfZ1=0Z2=0Z3=Rinf

Z12=0Z13=0Z23=Rinf

Z123=0

a1=τ1·Z1+τ2·Z2+τ3Z3=0Ω·μs

a2=τ1·τ12·Z12+τ1·τ13·Z13+τ2·τ23·Z23=4.84×108Ω·μs2

a3=τ2·τ23·τ321·Z123=0μs3

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3

N1(s)=Z0+s·a1+s2·a2+s3·a3

Z10(s)=N1(s)D1(s)
Z20(s)=1+C2·L3·s2
(C1+C2)·s+s3·C1·C2·L3





图5．105Mathcad计算结果证明所有方程全部正确


进行约分整理立即求得： 
Z=C.2·L.3·s2+1
C.1·s+C.2·s+C.1·C.2·L.3·s2

上述分析方法比快速分析法还要快得多。因此，对于复杂电路网络，正确选择与其相关的求解工具非常重要： 不要选择铁锤拍死苍蝇。尽管如此，希望读者通过求解石英电路阻抗懂得如何通过重新调整时间常数有效地消除电路不确定性。

8． 习题8
LLC谐振开关变换器的电路结构由文献［1］和［2］进行简单描述。其中电阻R1通常标记为Rac，代表通过二极管整流桥反射到变比为N=NP/Ns的变压器原边的负载电阻值。L3为变压器磁化电感，L2等效其漏感。两者通常由固定变比(例如L3=2L2)确定其特定性能。首先可以忽略变压器变比N，最后再将其带入。该电路为3阶网络，根据储能元件的各种状态组合分别绘制其对应电路，具体如图5．106所示。由图5.106(a)可直接求得直流增益H0为： 
H0=0(5．536)
由图5．106(b)和图5．106(c)求得3个时间常数分别为： 
τ1=0·C1(5．537)

τ2=L2∞(5．538)

τ3=L3R1(5．539)


图5．106LLC电路具有3个储能元件，其固有时间常数分别由分解电路进行确定


将式(5．537)、式(5．538)和式(5．539)相加求得系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3=L3R1
(5．540)
继续对图5．106(d)、图5．106(e)和图5．106(f)进行分析可得如下时间常数： 
τ12=L20
(5．541)

τ13=L30
(5．542)

和
τ23=L3R1
(5．543)
观察式(5．541)和式(5．542)，两者时间常数值均为无穷大，所以将两者与之前时间常数相结合时可能产生不确定性，主要原因在于C1和L2缺少电阻路径。通过在C1和L2之间串联一个小阻值Rd可暂时解决上述问题，此时先前时间常数方程更新如下： 
τ1=RdC1(5．544)

τ2=L2∞(5．545)

τ3=L3R1(5．546)

b1更新为： 
b1=τ1+τ2+τ3=RdC1+L3R1(5．547)
当Rd→0时式(5．547)简化为： 
b1=L3R1
(5．548)
以及
τ12=L2Rd
(5．549)

τ13=L3Rd‖R1

(5．550)

τ23=L3R1

(5．551)
现在系数b2为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=RdC1L2Rd
+RdC1L3Rd‖R1
+L2∞L3R1


=C1L2+C1L3R1+RdR1
(5．552)

当Rd→0时式(5．552)简化为： 
b2=C1(L2+L3)(5．553)
由图5．106(h)求得最后一项为： 
τ123=L3R1
(5．554)
此时系数b3定义为： 
b3=τ1τ12τ123=RdC1L2RdL3R1
=C1L2L3R1
(5．555)
通过上述计算可得完整分母定义式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3=1+sL3R1
+s2［C1(L2+L3)］+s3C1L2L3R1
(5．556)
由图5．107中的所有增益电路计算分子表达式。通过电路分析，可快速求得除H13=1之外其他传递函数值均为0。因此可得： 
a1=τ1H1+τ2H2+τ3H3=0(5．557)

a2=τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ2τ23H23=RdC1L3Rd‖R1
(5．558)


图5．107除H13外其余所有传递函数值均为0，所以在零定义时自然地将C1和L3相关联


当Rd→0时式(5．558)简化为： 
a2=C1L3(5．559)
最后一项同样为0，即： 
a3=τ1τ12τ123H123=0(5．560)
分子N(s)表达式中只含有一个单项，即： 
N(s)=H0+a1s+a2s2+a3s3=s2C1L3(5．561)
将式(5．561)除以(5．556)，并且将图5．82中的Vout与N相除，此时求得最终传递函数为： 
H(s)=1n
s2C1L31+sL3R1
+s2［C1(L2+L3)］+s3C1L2L3
R1(5．562)
重新观察图5．82可得R1与L3并联。当输出电流非常大时，电阻R1阻值非常小，将电感L3短路。与L2和C1相关联的谐振频率定义式为： 
ωs=1L2C1
(5．563)
当输出电流减小或变换器轻载时，L3又重新与L2相串联以形成第2个谐振频率，计算公式为： 
ωm=1C1(L2+L3)(5．564)

如果品质因数Q值为： 
Q=R1C1L2
(5．565)
则经过几次运算之后式(5．562)可重新改写为： 
H(s)=1N
L3L2
sωs

2

1+sL3R1
+sωm

2+s3L3L2
1Qω3s
(5．566)

分析与本习题无关的LLC变换器时，可直接应用式(5．566)的直流变换器传递函数表达式。但不要与其小信号响应相混淆，因为很难通过分析直接求得小信号响应，并且此时R1(文献［1］中同样标记为Rac)必须替换为： 
R1=8π2
N2RL(5．567)
如需理解式(5．567)的计算过程请参阅文献［1］。
此时Q值计算公式更新为： 
Q=N2RLC1L2
(5．568)
其中，RL为LLC变换电路的负载电阻。更新之后的传递函数表达式变为： 
H(s)=1N
L3L2
sωs

2

1+sπ2L38·N2RL
+sωm

2+s3L3L2
π28·Qω3s
(5．569)

于是可直接求得参考传递函表达式为： 
Href(s)=1N
sL3‖R1sL3‖R1+sL2+1sC1
(5．570)
图5．108中的所有曲线证明上述方法正确。式(5．566)由公式Hm1进行绘图； 而Hm1为相同绘图公式，但取决于LLC负载RL——与式(5．567)和式(5．568)相关。


RL=100ΩC1=38nFL2=110μHNps=2‖(x,y)=x·yx+y


Rd=10-6Ωm=2L3=m·L2R1=sπ2
·N2ps·RL=324.227788Ω



τ1=Rd·C1=3.8×10-8μsHref(s)=1Nps
·(s·L3)‖(R1)(s·L3)‖（R1）+s·L2+1s·C1



τ2=L2∞·Ω
=0ms
τ3=L3R1
=0.678535μs
τ12=L2Rd
=1.1×108μs
τ13=L3Rd‖R1
=2.2×108μs

τ23=L3R1
=0.678535μs
τ123=L3R1
=0.678535μs

b1=τ1+τ2+τ3=0.0678535μs
b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2+τ23=12.54μs2

b3=τ1·τ12·τ123=2.836278μs3

H0=0H1=0H2=0H3=0
H12=0H13=1H23=0H123=0

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3D2(s)=1+s·L3R1
+s2·［C1·(L2+L3)］+s3·C1·L2·L3R1


a1=τ1·H1+τ2·H2+τ3·H3=0ms

a2=τ1·τ12·H12+τ1·τ13·H13+τ2·τ23·H23=8.36μs2

a3=τ1·τ12·τ123·H123=0

N1(s)=H0+a1·s+a2·s2+a3·s3N2(s)=s2·C1·L3

H10(s)=N2(s)D1(s)
H40(s)=1Nps
·s2·C1·L3
1+s·L3R1
+s2·［C1·(L2+L3)］+s3·C1·L2·L3R1


ωs=1L2·C1
ωm=1C1·(L2+L3)
Q1=R1·C1L2

Q2=N2ps·RLZ0
Z0=L2C1


Hm1(s)=1Nps
·L3L2
·sωs

2

1+s·L3R1
+sωm

2+s3·L3L2·Q1·ω3s



Hm2(s)=1Nps
·L3L2
·sωs

2

1+s·π2·L38·N2ps·RL
+sωm

2+s3·π2·L38·L2·Q2·ω3s





图5．108Mathcad输出曲线表明所有传递函数的交流动态响应相同


9． 习题9
图5.83所示电路为扬声器模型，文献［3］对其进行了详细描述。当驱动变量为电流源、输出响应为电路网络两端电压时计算端口阻抗。当激励源设置为0A时，电路中电感L1上端悬空，从而产生0值时间常数，使得分母无穷大。此时电路可能产生不确定性，通过在电路网络中增加电阻或者将某些时间常数重新组合以消除不确定性。首先从图5．109（a）开始分析，求得电路网络的直流电阻R0为： 
R0=R1(5．571)
由图5．109（b）~（e）求得其他4个时间常数分别为： 
τ1=L1∞(5．572)
τ2=L2R2(5．573)
τ3=C3·0(5．574)
τ4=L4R3(5．575)



图5．109利用分解电路图有助于计算各种时间常数


整理得系数b1为： 
b1=τ1+τ2+τ3+τ4=L2R2+L4R3(5．576)

由图5．109(f)~(h)和图5．110(a)~(c)分别计算如下时间常数： 
τ12=L2R2(5．577)
τ13=C3·0(5．578)
τ14=L4R3(5．579)
τ23=C3R2(5．580)
τ24=L4R3(5．581)
τ34=L4R3(5．582)
整理得系数b2为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ1τ14+τ2τ23+τ2τ24+τ3τ34

=L1∞L2R2+L1∞·0·C3+L1∞L4R3+L2R2C3R2+L2R2L4R3+C3·0·L4R3

=L2R2C3R2+L2R2L4R3=L2C3+L2R2L4R3(5．583)


图5．110利用该系列电路图计算第二部分固有时间常数


现在利用图5．110（d）~（g）分别计算如下时间常数： 
τ123=C3R2(5．584)
τ124=L4R3(5．585)
τ134=L4R3(5．586)
τ234=L4R3(5．587)
根据上述所得时间常数求得系数b3为： 

b3=τ1τ12τ123+τ1τ12τ124+τ1τ13τ134+τ2τ23τ234

=L1∞L2R2C3R2+L1∞L2R2L4R3+L1∞·0·C3L4R3+L2R2C3R2L4R3

=L2C3L4R3 (5．588)
最后由图5．110（h）求得如下时间常数： 
τ1234=L4R3(5．589)
所以系数b4为： 
b4=τ1τ12τ123τ1234=L1∞L2R2C2R2L4R3=0(5．590)
根据上述计算所得每项系数值，整理得分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3+b4s4

=1+sL2R2+L4R3+s2L2C3+L2R2L4R3+s3L2C3L4R3(5．591)
根据上述计算已经求得分母表达式，接下来计算分子表达式。通常情况下利用NDI比通用公式更复杂，但计算电路网络阻抗除外。因为将图5．83中的输出响应置零时激励电流源由短路线代替，所以电路得到简化。将NDI技术应用于该电路网络使得分析非常简单，具体如图5．111和图5．112所示。首先从图5．111（a）~（d）开始分析，求得如下时间常数： 

τ1N=L1R1(5．592)
τ2N=L2R1‖R2(5．593)
τ3N=C3·0(5．594)
τ4N=L4R1‖R3(5．595)


图5．111因为电流源由短路线代替，所以利用NDI可快速求得零点值



第一项分子系数a1为： 
a1=τ1N+τ2N+τ3N+τ4N=L1R1+L2R1‖R2+C3·0+L4R1‖R3

=L1R1+L2R1‖R2+L4R1‖R3(5．596)

由图5．111（e）~（b）求得如下时间常数： 
τ12N=L2R2(5．597)
τ13N=C3·0(5．598)
τ14N=L4R3(5．599)
τ23N=C3（R2‖R1）(5．600)
τ24N=L4R3‖（R1+R2）(5．601)
τ34N=L4R3‖R1(5．602)
整理得a2表达式为： 
a2=τ1Nτ12N+τ1Nτ13N+τ1Nτ14N+τ2Nτ23N+τ2Nτ24N+τ3Nτ34N

=L1R1L2R2+L1R1C3·0+L1R1L4R3+L2R1‖R2C3（R2‖R1）+

L2R1‖R2L4R3‖(R1+R2)

+C3·0L4R3‖R1

=L1R1L2R2+L1R1L4R3+L2C3+L2R1‖R2L4R3‖（R1+R2）(5．603)

由图5．112（c）~（f）计算与a3相关的时间常数为： 
τ123N=C3R2(5．604)
τ124N=L4R3(5．605)
τ134N=L4R3(5．606)
τ234N=L4R3‖R1(5．607)
于是a3表达式为： 

a3=τ1Nτ12Nτ123N+τ1Nτ12Nτ124N+τ1Nτ13Nτ134N+τ2Nτ23Nτ234N

=L1R1L2R2C3R2+L1R1L2R2L4R3+L1R1C3·0L4R3+L2R1‖R2C3（R2‖R1）L4R3‖R1

＝L1L2R1C3+L1R1L2R2R3L4
+L2C3L4R3‖R1(5．608)
由图5．112（g）计算最后一项时间常数： 
τ1234N=L4R3(5．609)


图5．112再次利用NDI对电路进行分析以计算分子表达式



求得a4表达式为： 
a4=τ1Nτ12Nτ123Nτ1234N=L1R1L2R2C3R2L4R3=L1L2L4C3R1R3(5．610)
根据上述计算，整理得分子N(s)的完整表达式为： 
N(s)=1+sa1+s2a2+s3a3+s4a4

=1+sL1R1+L2R1‖R2+L4R1‖R3+s2L1R1L2R2+L1R1L4R3+L2C3+L2R1‖R2L4R3‖（R1+R2）+

s3L1L2R1C3+L1R1L2R2L4R3+L2C3L4R3‖R1+s4L1L2L4L3R1R3(5．611)
于是传递函数表达式为： 
Z(s)=R0N(s)D(s)=R1·N（s）1+sL2R2+L4R3+s2L2C3+L2R2L4R3+s3L2C3L4R3(5．612)
原始传递函数为一系列阻抗的串联连接： 
Zref(s)=sL1+R1+Z1（s）+Z2（s）(5．613)
其中
Z1（S）=R2‖1sC3‖sL2(5．614)

Z2(s)=R3‖sL4(5．615)

如图5．113所示，将所有计算公式全部输入Mathcad软件，所有动态响应均完全一致。
10． 习题10
图5.84所示电路为反相2阶滤波器，文献［4］对其工作原理进行详细介绍。接下来利用经典电路图分析方法求解电路传递函数，包括电路固有时间常数以及传递函数增益。由图5．114（a）可得直流增益值，即： 
H0=0(5．616)



R1=7.67ΩR2=15.5ΩR3=31.9Ω‖(x,y)=x·yx+y

C3=394μFL1=34.6μHL2=2.9mHL4=112μH



τ1=L1∞·Ω=0μs
τ2=L2R2=187.097μs

τ3=C3·0=0μsτ4=L4R3=3.511μs

b1=τ1+τ2+τ3+τ4=190.608μs

τ12=L2R2=187.097μs
τ13=C3·0=0μs

τ14=L4R3=3.511μs
τ23=C3·R2=6.107ms

τ24=L4R3=3.511μs
τ34=L4R3=3.511μs

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ1·τ14+τ2·τ23+

τ2·τ24+τ3·τ34=1.143×10-6s2

τ123=C3·R2=6.107ms
τ124=L4R3=3.511μs


τ134=L4R3=3.511μs
τ234=L4R3=3.511μs

b3=τ1·τ12·τ123+τ1·τ12·τ124+τ1·τ13·τ134+

τ2·τ23·τ234=4.012×106μs3

τ1234=L4R3=3.511μs
b4=τ1·τ12·τ123·τ1234=0μs4

R0=R1
τ1N=L1R1=4.511μs
τ2N=L2R1‖R2=565.193μs

τ3N=C3·0=0μs
τ4N=L4R1‖R3=18.113μs

a1=τ1N+τ2N+τ3N+τ4N=587.818μs

τ12N=L2R2=187.097μs
τ13N=C3·0=0μs

τ14N=L4R3=3.511μs
τ23N=C3·（R2‖R1）=2.022ms

τ24N=L4R3‖(R1+R2)=8.345μs
τ34N=L4R3‖R1=18.113μs

a2=τ1N·τ12N+τ1N·τ13N+τ1N·τ14N+τ2N·τ23N+

τ2N·τ24N+τ3N·τ34N=1.148×10-6s2

τ123N=C3·R2=6.107ms
τ124N=L4R3=3.511μs


τ134N=L4R3=3.511μs
τ234N=L4R3‖R1=18.113μs

a3=τ1N·τ12N·τ123N+τ1N·τ12N·τ124N+τ1N·τ13N·τ134N+

τ2N·τ23N·τ234N
=2.585×107μs3

τ1234N=L4R3=3.511μs
a4=τ1N·τ12N·τ123N·τ1234N=1.81×107μs4

D1（s）=1+s·b1+s2·b2+s3·b3+s4·b4

D2（s）=1+s·L2R2+L4R3+s2·L2·C3+L2·L4R2·R3+s3L2·L4·C3R3

N1（s）=1+s·a1+s2·a2+s3·a3+s4·a4
Z10（s）=R0·N1（s）D2（s）



Z1（s）=1s·C3‖R2‖（s·L2）
Z2（s）=R3‖（s·L4）

Zref（s）=s·L1+R1+Z1（s）+Z2（s）










图5．113利用Mathcad程序验证计算方法正确


然后由图5．114（b）确定如下3个时间常数： 
τ1=C1R1(5．617)

τ2=C2R1(5．618)

τ3=C3R1(5．619)
于是可将分母系数b1简化为： 
b1=τ1+τ2+τ3=R1(C1+C2+C3)(5．620)
接下来继续分析图5．114(c)~(e)。在图5.114(c)中输出电压为0V、无驱动信号，运放输出负端接0并且电阻R1接地。因此时间常数为： 
τ12=C2R2(5．621)


图5．114根据分解电路图确定分母表达式D




图5．115τ13计算电路图


在图5.114(d)中，利用图5．115中间电路进行计算非常必要。测试电流IT为I1和I2之和，即： 
IT=I1+I2(5．622)

第一电流I1由电阻R1与输入负端决定。输入负端为Vout与运算放大器开环增益AOL之商。所以电流I1为： 
I1=-VoutAOLR1(5．623)
第二电流I2等于反相引脚电压和输出电压之差再与电阻R2之商，计算公式如下： 
I2=V(-)-VoutR2=-VoutAOL-VoutR2=-1AOL+1R2Vout(5．624)
VT为输入负引脚电压，即： 
VT=-VoutAOL(5．625)
所以电容C3两端阻抗为： 




VTIT=-VoutAOL-1AOL+1R2Vout-VoutAOLR1=R1R2R1+R2+AOLR1(5．626)
此时与C3相关联的时间常数为： 
τ13=C3R1R2R1+R2+AOLR1(5．627)
由图5.114(e)求的时间常数为： 
τ23=C3·0(5．628)
所以系数b2为： 
b2=τ1τ12+τ1τ13+τ2τ23

=C1R1C2R2+C1R1C3R1R2R1+R2+AOLR1+C2R1·0·C3
=C1R1C2R2+C1R1C3R1R2R1+R2+AOLR1(5．629)
当开环增益AOL接近无穷大时式(5．629)简化为： 
b2=C1C2R1R2(5．630)
由图5．114(f)求得时间常数τ123为： 
τ123=C3·0(5．631)
所以3阶系数b3的定义式为： 
b3=τ1τ12τ123=C1R1C2R2·0·C3=0(5．632)
根据上述计算整理得分母D(s)表达式为： 
D(s)=1+b1s+b2s2+b3s3=1+sR1(C1+C2+C3)+s2C1C2R1R2(5．633)
如图5．116所示，通过计算电路增益求得分子表达式。



图5．116根据分解电路可轻易确定增益值


通过对每个电路图分析可得，除图5.116(f)中的H13=-AOL之外，其余所有增益均为0，即： 
H0=H1=H2=H3=H12=H23=H123=0(5．634)

H13=-AOL(5．635)
根据上述所得增益值，只有τ1τ13H13非零，所以分子系数为： 
a1=τ1H1+τ2H2+τ3H3=C1R1·0+C2R1·0+C3R1·0=0(5．636)

a2=τ1τ12H12+τ1τ13H13+τ2τ23H23

=C1R1C2R2·0-C1R1C3R1R2R1+R2+AOLR1AOL+C2R1C3·0·0
=-C1R1C3R1R2R1+R2+AOLR1AOL (5．637)
a3=τ1τ12τ123H123=R1C1R2C2·0·C3·0=0(5．638)
当AOL接近无穷大时a2表达式简化为： 
a2=limAOL→∞-C1R1C3R1R2R1AOL+R2AOL+R1=-C1C3R1R2(5．639)
所以分子表达式N(s)可由如下一项进行定义： 
N(s)=-s2C1C3R1R2=-sω02(5．640)
其中
ω0=1C1C3R1R2(5．641)
如果所有电容均为C，则式(5．641)简化为： 
ω0=1CR1R2(5．642)
现在通过式(5．640)与式(5．633)之商得到最终传递函数为： 
H(s)=-s2C1C3R1R21+sR1(C1+C2+C3)+s2C1C2R1R2(5．643)
根据第2章定义，利用品质因数和谐振频率对传递函数进行重新整理。其中品质因数计算公式为： 
Q=b2b1=C1C2R1R2(C1+C2+C3)R1=1C1+C2+C3C1C2R2R1(5．644)
如果所有电容均为C，则式(5．644)简化为： 
Q=13R2R1(5．645)
谐振角频率通过如下公式计算： 
ω0=1b2=1C1C3R1R2(5．646)


如果所有电容均为C，则式(5．646)简化为： 
ω0=1CR1R2(5．647)
利用上述计算结果将传递函数表达式(5．643)重新整理为： 
H(s)=-sω021+sω0Q+sω02(5．648)
可以按照第2章指导原则以更紧凑的形式重新整理式（5.648）： 
H(s)=-H∞11+ω0sQ+ω0s2(5．649)
其中H∞为s接近无穷大时的增益值——1或0dB。
图5.117中的所有曲线证明上述方法正确。


C1=337.6pFC2=337.6pFC3=337.6pFR1=2.222kΩR2=10kΩAOL=105‖(x,y)=x·yx+y




τ1=C1·R1=0.750147μs

τ2=C2·R1=0.750147μs

τ3=C3·R1=0.750147μs

τ12=C2·R2=3.376μs

τ13=C3·R1·R2R1+R2+AOL·R1=0.033758ns

τ23=C3·0=0ms

τ123=C3·0=0ms

b1=τ1+τ2+τ3=2.250442×10-3ms

b2=τ1·τ12+τ1·τ13+τ2·τ23=2.532522μs2

b3=τ1·τ12·τ123=0

D3(s)=1+s·R1·(C1+C2+C3)+s2·(C1·C2·R1·R2)

H0=0H1=0H2=0H3=0

H12=0H13=-AOLH23=0H123=0

D1(s)=1+s·b1+s2·b2+s3·b3

a1=τ1·H1+τ2·H2+τ3·H3=0ms

a2=τ1·τ12·H12+τ1·τ13·H13+

τ2·τ23·H23=-2.532358μs2

a3=τ1·τ12·τ123·H123=0

N1(s)=H0+a1·s+a2·s2+a3·s3

Q=b2b1=0.707146ω0=1b2

f0=ω02π=100.010016kHz

H10(s)=N1(s)D1(s)H20(s)=-C1·C3·R1·R2·s2D3(s)

H30(s)=-11+ω0s·Q+ω0s2




图5．117所有传递函数动态响应一致




参考文献


1． Basso C． Understanding the LLC Structure in Resonant Application． ON Semiconductor application note AND8311, http://www．onsemi．com/pub_link/Collateral/AND8311D．PDF (last accessed 12/12/2015)．

2． Basso C． A Simple Dc SPICE Model for the LLC Converter． ON Semiconductor application note AND8255, http://www．onsemi．com/pub_link/Collateral/AND8255D．PDF (last accessed 12/12/2015)．

3． https://gasstationwithoutpumps．wordpress．com/2013/02/15/seventeenthdayofcircuitsclassinductorsandgnuplottutorial/(last accessed 12/12/2015)．

4．  http://www．filtersolutions．com/active．html (last accessed 12/12/2015)．









专业术语



交流： 交变电流。双极性或变化电流的缩写。因为交流最初用于定义电流，所以交流增益或交流电压现在看起来有些古怪。本书将术语交流响应扩展为波特图，并且该术语可与动态或频率响应互换。应当注意，除非ac位于句首，否则不能大写。
偏置点： 偏置点又称直流或静态工作点，用于描述电路激励为零时所有电流和电压值。利用SPICE对电路进行任何仿真之前，系统首先进行静态工作点（.OP）计算； 然后以工作点为基础对非线性电路进行线性化处理，最后进行电路仿真分析。
波特图： 也称为频率响应曲线，波特图（以Hendrik Bode命名）为复数传递函数的图形表示。其中纵轴为相位或角度（以度为单位）和幅度（以dB为单位）； 横轴为频率，按照对数形式分布。
巴特沃斯： 巴特沃斯滤波器通常称为最大平坦度响应。巴特沃斯滤波器的分母可由归一化形式表示，以确保不同阶次的最大平坦度响应。
补偿器： 补偿器为控制系统中使用的有源（例如运算放大器）或无源电路。通过设定穿越频率确保电路具有足够的相位和增益余量，以保证闭环系统精确、稳定工作。 
穿越频率： 当控制系统开环工作时（反馈回路断开），穿越频率fc为输出变量与控制变量相关联的传递函数幅度等于1dB或0dB时的频率值。
直流： 直流电流。最初为恒定电流或单极性电流的缩写，通常用于标定其他变量，例如增益或电压。但是当回想原始定义时，直流电压或直流增益听起来似乎矛盾。定义准静态增益为0Hz频率处电路放大或衰减倍数似乎更合理。应当注意，除非dc位于句首，否则不能大写。
DPI： 驱动点阻抗。激励与响应在同一端口测量。例如，使用1A交流电流源对端口进行偏置，通过测量端口电压计算该端口阻抗。阻抗为6种可定义传递函数中的一种。
EET： 额外元件定理由R.D.Middlebrook创立。根据EET理论可得，当线性电路中某元件设置为额外元件（该元件存在时通常使得电路分析变复杂）所得电路传递函数（该元件短路或开路）通过与修正因子相组合构成电路完整传递函数。EET理论为FACT铺平道路。
激励： 应用于所研究电路的驱动波形。既可应用于电路输入端，也可作为独立源对电抗端口进行驱动。通常情况下电流源与电路元件相并联，电压源与电路元件相串联。
熵：   在热力学中，熵表征系统的无序程度。通过类比，高熵传递函数意味着输出结果混乱，并且不能预测动态响应如何变化。相反，低熵传递函数能够通过极点、零点和增益对其输出响应进行明确预测。
FACT： 电路快速分析技术。利用该技术可在两种情况下(关闭激励源和输出响应为零)确定电路时间常数，以最有效方式求得传递函数。
增益裕度： 在开环条件下补偿控制系统的频率响应波特图中，增益裕度（GM）定义为环路相位为0°的频率处幅度曲线与0dB线的距离。
GIC： 通用阻抗转换器。基于运算放大器的特定结构，用于要求元件值变化具有鲁棒性的滤波应用电路中。
检验： 在某种情况下，不必利用KVL或KCL推导传递函数，也不用书写代码，通过观察或检验电气图以判断传递函数的正确性。在许多应用实例中，通常用于零点检验。通过检验能够使得递函数形式尽量简化。
KCL： 基尔霍夫电流定律。电路中各节点之间的电流关系： 流入节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。
KVL： 基尔霍夫电压定律。环路电压的代数和总为零。
Mathcad： 数学计算软件，用于方程式输入、方程组求解、绘制传递函数曲线及其他多种计算。本书中计算实例以15版本为基础，并且书中大部分实例可通过个人网页进行下载： http://cbasso.pagespersoorange.fr/Spice.htm。
NDI： 空双注入。由名称可得，双注入涉及第二激励源——通常为电流源IT——以使得输出响应为零。通常利用NDI计算传递函数的零点。通过书中SPICE实例，利用电压控制电流源仿真给定电路的零响应。
陷波滤波器： 陷波滤波器为带阻滤波器的一种——又称抑制器——受高频品质因素影响。
空： 响应为空表示特定条件使得激励源不能传播到输出端，即输出响应为零（见前面章节中NDI定义）。输出变量为空即输出电压为0V或输出电流为0A，但不同于第2章输出短路。
阶数： 电路阶数由多项式的分母次数决定。次数取决于电路中储能元件的数量。更确切地说，次数取决于独立状态变量的数量。当电路中包含电容回路或纯电感节点时电路发生降阶。有关更多详情，请参阅第2章。
相位裕度： 在开环条件下补偿控制系统的频率响应波特图中，相位裕度（PM）定义为当频率为fc时相位曲线与-360°或0°的差值。相位裕度影响瞬态响应，通常大于45°。
端口： 端口由一对连接端点组成，并且通过每个端点的电流相同。通过连接端口，可对所研究电路进行激励或对响应信号进行测试。输入/输出端口为常用术语。当电抗(电容或电感)暂时从电路中移除时，通过其开路端子创建新的观察窗口时可动态创建测试端口。
准静态： 准静态增益表示频率f接近0Hz时的电路增益。然而并非表示静态工作点的输出电压Vout与输入电压Vin之比，而是ΔVout和ΔVin之比。实际上，当输入分别为Vin2和Vin1时对应的输出电压分别为Vout2和Vout1，而ΔVout=Vout2-Vout1、ΔVin=Vin2-Vin1。当分析电路时，准静态增益比直流增益更加重要，因为直流表示直接读取的连续电流，在某些场合应用直流增益分析电路并不适合。
电抗： 电抗为阻抗的虚部。电感的电抗为正值； 电容的电抗为负值，电阻的电抗值为0。根据本书扩展，电抗表示储能元件，即电容（容抗）或电感（感抗）。
响应： 对电路进行激励时的观测波形。观测点可以在电路输出端，也可在电路的任何其他节点。当电路中的观测点改变时，传递函数的零点位置（如果有）将发生变化，从而使得分子N随之改变，但固有时间常数不会改变： 分母D不变。
小信号： 小信号或增量模型用于描述给定工作点上非线性元件的线性化行为。通过线性化处理，将元件的近似线性行为通过线性表达式进行描述。物理学上的小信号激励即驱动信号振幅足够小，当研究其激励响应时电路能够维持在线性模式。当输出响应不失真时表明电路工作在线性区。
SPICE： 集成电路仿真程序。利用该计算机程序能够完成静态工作点计算、谐波分析和瞬态分析。目前有多种免费演示版软件包可供下载，例如（OrCAD PSpice、Intusoft IsSpice、Design Soft Tina）； 同时也有完全版软件可供免费下载，例如Linear Technology公司开发的LTSpice。
状态变量： t=0时电路的状态值。如果需要计算电容或电感电路通电后（t> 0）各节点的电压值，首先必须确定t=0时刻各元件的储能状态。电容或电感的初始条件（SPICE中标记为IC）即电路的状态变量。通常将电容电压标记为x2，而将电感电流标记为x1。
储能： 电容和电感为储能元件。电容C的储能计算公式为 12CV2，其中V为电容两端电压。电感L的储能计算公式为 12LI2，其中I为流入电感的电流。 
开关变换器： 电流和电压随时间断续的功率变换器，与线性变换器相对应，后者的电流和电压随时间连续变化。开关变换器或直流—直流变换器比线性变换器结构更加紧凑、更加高效。但是开关变换器的电磁干扰非常强烈。利用FACT计算开关变换器的传递函数时，必须首先对其进行线性化处理。
时间常数： 由电阻R和电容C构成的时间常数τ的定义式为τ=RC。当储能元件为电感L时，时间常数的定义式为τ=L/R。时间常数的单位为秒［s］。当激励源关闭时计算电路的固有时间常数。将固有时间常数进行组合，构成电路传递函数的分母表达式。
传递函数： 输入激励与输出响应之间的数学关系式。第1章详细介绍了6种类型的传递函数： 电压或电流增益、阻抗或跨阻、导纳或跨导。