第3章 CHAPTER 3 电路的暂态过程 第3章电路的暂态过程 前面我们讲过无源元件，包括电阻、电容和电感元件。电阻元件是将电能转化为热能，这种转换是不可逆的，故称为耗能元件。而电容和电感元件能将电源提供的能量转换为其他形式的能量并存储起来，称为储能元件。 直流电路的分析与计算，是在电路长期处于稳定状态下进行的，稳定状态简称“稳态”。而在含有储能元件的电路中，电路发生变化的瞬间到稳定状态之间，或者电路由一种稳定状态到另一种稳定状态之间总有一个“过渡过程”，即“暂时状态”，简称“暂态”。本章主要分析暂态过程中电路的电压和电流。 3.1电容元件和电感元件 3.1.1电容元件 电容器由两块彼此靠近、中间被线性介质绝缘的金属板构成，介质有空气、绝缘纸、云母、陶瓷等。电容器能够存储和释放电场能量。用电容元件来表示电容器存储电荷的电磁特性，其符号及规定的电压和电流参考方向如图3.1所示。 图3.1电容元件 在电容元件两端加上电压u，电容被充电，两极板上将出现电量相等的异性电荷q(单位库仑)，两极板间形成电场。两极板的电荷量为 q=Cu(3.1) 其中，C为电容器的电容量，简称电容，反映了电容器存储电荷的能力。电容的单位是法拉(F)，工程上常用微法(μF)或皮法(pF)，换算关系为 1μF=10-6F 1pF=10-6μF=10-12F 根据式(3.1)，电容可以表示为 C=qu(3.2) 电容的大小与制造工艺有关，有 C=εAd(3.3) 其中，A为两个极板相对面积，d为极板间距离，ε为介质的介电常数。 当两极板上的电荷量q发生变化时，电路中就会产生电流，即电流等于极板间电荷的时间变化率： i=dq(t)dt=Cdu(t)dt(3.4) 式(3.4)是在u和i关联参考方向下(如图3.1所示)得出的，如果u和i是非关联参考方向，则等式右边要加一个负号。当电压恒定时，电压变化率为零，电流为零，故电容元件在直流电路中相当于开路。 当电容元件两端电压增加时，电容元件从电源取用能量(充电)，并以电场能量的形式储存在极板之间，电场能量增大； 当电压减小时，电容元件将储存的电能释放出来(放电)，电容的电场能量减小。它通过加在两端电压的变化来进行能量交换，本身不消耗能量。电容器存储能量的计算公式为 WC=∫t0uidt=∫u0Cudu=12Cu2(3.5) 3.1.2电感元件 电感器是用漆包线或纱包线在绝缘管上绕一定的圈数构成，绝缘管可以是空心的，也可以装有磁心或铁芯。若线圈中无铁磁物质(即空心)，称为线性线圈，它能够存储和释放磁场能量。电感元件用来表示电感器的主要电磁特性，如图3.2所示。 图3.2电感元件 线圈中通以电流i，将在其周围激发磁场，从而在线圈中形成与电流相交链的磁通Φ，两者的方向遵循右手定则。假设该线圈有N匝，将每匝线圈相连的磁通之和称为该线圈的磁链，记为Ψ，则有 Ψ=NΦ(3.6) 磁链Ψ与通过线圈的电流i之比，称为电感，即 L=Ψi或Ψ=Li(3.7) Ψ和Φ的单位为韦伯(Wb)，电感的单位为亨利(H)，工程上常使用毫亨(mH)，换算关系为 1mH=10-3H 当电路中的电流发生变化时，Ψ和Φ都将发生变化，并在线圈中产生感生电动势e。图3.2中，由电磁感应定律可得线圈的感生电动势为 e=－NdΦdt=－dΨdt(3.8) 将式(3.7)代入，得 u=－e=dΨdt=Ldidt(3.9) 当电流恒定时，电流变化率为零，电压为零，故电感元件在直流电路中相当于短路。 当流过电感元件的电流增大时，电感元件从电源取用能量，并转换为磁场能量存储在电感元件中，磁场能量增大； 当电流减小时，电感元件释放能量，转换为其他形式的能量，磁场能量减小。因此，电感元件是一种储能元件，它通过流过电流的变化进行能量转换，本身不消耗能量。电感元件存储能量的计算公式为 WL=∫t0uidt=∫i0Lidi=12Li2(3.10) 3.2换路定则和初始值 电路的暂态过程是在电路发生变化(如接通、切断、短路、参数变化、连接形式的改变等)时出现的，将这些改变简称为“换路”。在换路过程中，电路中的能量将发生变化，但能量是不能跃变的，因此，换路之后必然出现一个能量连续变化的过程。 含有储能元件的电路中，稳态时，电容元件存储的电场能量和电感元件存储的磁场能量通常不能发生跃变，原因很简单，如电容元件，当其电场能量跃变时，根据式(3.4)，其电压将发生跃变，使得du(t)/dt=∞，则i=∞，这显然是不可能的。根据式(3.9)同样可知，电感元件的磁场能量也不可能跃变。 由以上分析可以看出： 含有储能元件的电路发生换路时，在换路瞬间，电容元件的电压uC和电感元件的电流iL均不能跃变，即保持换路前瞬间的数值，称之为换路定则。 设t=0为换路瞬间，t=0－为换路前的一瞬间，t=0＋为换路后的一瞬间，则换路定则可表示为 uC(0+)=uC(0－)(3.11) iL(0+)=iL(0－)(3.12) 在t=0＋瞬间，电路中各元件的电压和电流，称为初始值，如电容元件的电压初始值表示为uC(0＋)，电感元件的电流初始值表示为iL(0＋)等。 式(3.11)和式(3.12)说明换路瞬间，电容元件两端的电压和电感元件流过的电流是“连续的”。换路定则使用时应注意以下几点。 (1) 换路定则只适用于换路瞬间。 (2) 0＋和0－在数值上都等于0，0＋指从正值趋于0，0－指从负值趋于0。 (3) 在换路过程中，除了电容元件的电压uC和电感元件的电流iL，其他元件的电压、电流都可以跃变。 (4) 在t=0＋瞬间，电容元件可用US=uC(0－)的电压源置换，电感元件可用IS=iL(0－)的电流源置换，进而求解除uC(0＋)和iL(0＋)之外的初始值。 下面举例说明如何用换路定则确定电路元件参数的初始值。 【例3.1】在如图3.3所示电路中，R1=1kΩ，R2=2kΩ，C=10μF，L=10mH，IS=1mA，t=0时开关S打开，求电路中各支路电流、电感和电容元件电压的初始值。 视频3.1 图3.3例3.1图 【解】由换路定则得 uC(0+)=uC(0－)=0 iL(0+)=iL(0－)=0 由KCL得 i1(0+)=0 iC(0+)=IS－iL(0+)=1-0=1(mA) 由KVL得 uL(0+)=uC(0+)+R1iC(0+)－R2iL(0+) =0+1×103×1×10-3－0 =1(V) 3.3RC电路的响应 只包含一个储能元件或者经过等效简化后只有一个独立储能元件的线性电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程，这种电路统称为一阶电路。 3.3.1RC电路的零输入响应 零输入响应是指电路中没有外加激励的作用，仅由储能元件的原始储能引起的响应。在如图3.4所示电路中，换路前开关S处在位置1上，电源对电容充电。换路后开关S处在位置2上，RC电路与电源断开，于是电容C通过电阻R放电，电路中的响应uC、uR、i均是由电容元件的原始储能引起的，即RC电路的零输入响应。 图3.4RC电路零输入响应电路 换路后，根据KVL可列出电路方程为： uC+uR=0(3.13) 即 uC+Ri=0(3.14) 代入i=CduC(t)dt，得 uC+RCduC(t)dt=0(3.15) 式(3.15)为一阶常系数齐次微分方程，令其通解为： uC=Aept(3.16) 代入式(3.15)，消除公因子Aept，得该微分方程的特征方程为： RCp+1=0 其特征根为： p=－1RC 故式(3.15)的通解为： uC=Ae－1RCt(3.17) 可以通过电路的初始值确定积分常数A。设t=0＋时刻，电容元件充电电压uC(0＋)=U0，则A=U0，式(3.17)可写为： uC=uC(0+)e－1RCt=U0e－1RCt(3.18) 其随时间按照指数规律衰减，当暂态过程结束，电路处于稳定状态时，电容两端的电压等于0。设 τ=RC(3.19) τ具有时间的量纲，称其为RC电路的时间常数。式(3.18)可重写为： uC=U0e－tτ 当t=τ时，得 uC=U0e－1=0.368U0(3.20) 可见，时间常数τ是电容元件从初始值U0放电到0.368U0所需的时间。τ与R和C的乘积有关，R、C越大，τ也越大。在一定的初始电压U0下，R越大，放电电流越小，电容两极板的电荷全部放掉需要的时间就越长； 而C越大，电容充到电压U0所存储的电荷就越多，放电时间也就越长。时间常数τ反映了暂态过程持续时间的长短，从理论上来看，只有经过t=∞时间，电路才会达到新的稳定状态。但实际工程上认为经过t=3τ~5τ时间，暂态过程就已结束。暂态过程非常短暂，时间常数τ的数量级在毫秒或微秒范围。 【例3.2】图3.5所示电路中，电源电压U=100V，R1=3Ω，R2=6Ω，R=2Ω，C=10μF，开关S打开前电路已处于稳定状态，t=0时开关S打开，经过t1=10μs时，试计算电容元件的电压uC(t1)。 视频3.2 图3.5例3.2图 【解】t=0－时， uC(0－)=R1//R2R1//R2+RU =3×63+63×63+6+2×100=50(V) 根据换路定则，得 U0=uC(0+)=uC(0－)=50(V) 换路后，电压源与右侧电路断开，不起作用，电容元件C通过电阻R1和R2支路放电，时间常数为 τ=(R1//R2)C=3×63+6×10×10-6=20(μs) 根据RC电路零输入响应表达式，得 uC(t1)=50e－10×10－620×10－6=50e－0.5=50×0.607=30.35(V) 3.3.2RC电路的零状态响应 零状态响应是指电路中储能元件的原始储能为0，电路的响应是由电源激励所产生的。在如图3.6所示电路中，换路前开关S断开，电容两极板上没有电荷，电容元件电压等于0。换路后开关S闭合，电容元件开始充电，当电容电压等于电源电压时， 图3.6RC电路零状态响应电路 电路达到稳态，电路中的响应uC、uR、i均是由电源作用引起的，即RC电路的零状态响应。 换路前后的电路相当于在RC支路电路加上一个阶跃电压u，其表达式为 u=0，t<0 U，t≥0(3.21) 换路后，根据KVL可列出电路方程为 U=uR+uC=Ri+uC=RCduCdt+uC(3.22) 式(3.22)为一阶常系数非齐次微分方程，其通解包括两部分： 齐次方程通解和非齐次方程特解。齐次方程通解即为式(3.16)的解Aept，且p=－1/(RC)。非齐次方程的特解即换路后的稳态值，故式(3.22)的通解为 uC=Aept+U=Ae－1RCt+U(3.23) 积分常数A仍可以通过电路的初始值确定，即A=－U。 因此，RC电路的零状态响应为 uC=Aept+U=U－Ue－1RCt=U(1－e－tτ)=uC(∞)(1－e－tτ)(3.24) uR=U－uC=Ue－tτ(3.25) i=uRR=URe－tτ(3.26) 其中，时间常数τ=RC。可见，式(3.24)由两个分量组成： 一个是不随时间变化的稳态分量u′C=U，其变化规律和大小都与电源电压有关； 另一个是按指数规律衰减的暂态分量u″C=－Ue－t/τ，其大小与电源电压有关。当t=τ时，得 uC=U(1－e－1)=U(1－0.368)=0.632U(3.27) 图3.7例3.3图 【例3.3】在如图3.7所示的电路中，U=9V，R1=6kΩ，R2=9kΩ，C=1000pF，uC(0－)=0V。当t＝0 时开关闭合，求t≥0时的电压uC。 【解】 τ=(R1//R2)C=6×103×9×103(6+9)×103×1000×10－12 =3.6(μs) uC=U(1－e－tτ)=9－9e－t3.6×10－6V 3.3.3RC电路的全响应 全响应是指电源激励和储能元件的初始值均不为0，电路的响应称为全响应，即零输入响应和零状态响应的叠加。在如图3.6所示的电路中，若换路前uC(0－)=U0，换路后电路KVL方程同式(3.22)，故其通解为uC=Aept+U。但两种情况下电容两极板上电压初始值不同，因此积分常数A的值不同，但仍可以通过电路的初始值来确定。 在t=0+时刻，uC(0+)=U0，则A=U0－U，此时电容电压为 uC=U+Ae－1RCt=U+(U0－U)e－1RCt=U+(U0－U)e－tτ(3.28) 或 uC=U0e－tτ+U(1－e－tτ)(3.29) 其中，时间常数τ=RC。显然，式(3.29)中第一项同式(3.19)，即零输入响应； 第二项同式(3.24)，即零状态响应。故一阶电路的全响应可写为 全响应=零输入响应+零状态响应 因此，电路暂态分析中的全响应是零状态响应和零输入响应叠加的结果。 式(3.28)也包括两项： 第一项是稳态分量，即换路后达到稳定状态时电容的电压值； 第二项是暂态分量，故全响应还可以写为 全响应=稳态分量+暂态分量 3.4RL电路的响应 3.4.1RL电路的零输入响应 图3.8所示是一个RL串联电路，t<0时，开关位于1处，电路已处于稳态，当t=0时，开关位于位置2处。由图3.8可知，当t≥0时，无外接激励，电路为零输入电路。当t<0时，有 iL0－=UR 图3.8RL电路 t>0时，根据KVL方程，有 uR+uL=0 即 iLR+LdiLdt=0 这是一个一阶常系数齐次线性方程，对应的特征方程为 p+RL=0 特征根为 p=－RL 通解为 iL(t)=Ae－tLR 根据换路定则有iL(0－)=iL(0+)，代入上式得电感元件电流的零输入响应为 iL(t)=iL(0+)e－tLR=iL(0+)e－tτ(3.30) 其中 τ=LR(3.31) 称为RL电路的时间常数。当电阻单位为欧姆，电感单位取亨时，单位为秒。RL电路的零输入响应与RC电路的零输入响应类似，当t为(3~5)τ时，iL稳态值仅为iL(0+)时的5%~0.7%。 3.4.2RL电路的零状态响应 图3.9RL电路零状态响应电路 对于如图3.9所示的电路，当t<0时，电路处于稳态，即iL(0－)=0，电路为零状态。当t=0时，开关闭合。t>0时，根据KVL方程，有 uR+uL=U 即 iLR+LdiLdt=U 上式是一个非齐次线性方程，通解为 iL1(t)=Ae－tLR 特解为 iL2(t)=UR 于是有 iL(t)=UR+Ae－tτ 根据换路定则，有iL0－=iL0+=0，代入上式得 A=－UR 则零状态响应为 iL(t)=UR(1－e－tτ) 其中，UR是电路达到稳态时电感的电流iL(∞)，因此上式可以写成 iL(t)=iL(∞)(1－e－tτ)(3.32) 3.4.3RL电路的全响应 在如图3.10所示的电路中，换路前电路达到稳态，iL(0－)=UR0+R。当t=0时，开关闭合。 图3.10RL电路的全响应电路 1. 零输入响应 当t>0时，可得 iL(t)=iL(0+)e－tLR 根据换路定则，有 iL0－=iL0+=UR0+R 2. 零状态响应 换路后电路与图3.9相同，故其零状态响应为 iL(t)=iL(∞)(1－e－tτ) 3. 全响应 由于全响应=零输入响应+零状态响应，则该电路的全响应为 iL(t)=iL(0+)e－tτ+iL(∞)(1－e－tτ) =iL(∞)+［iL(0+)－iL(∞)］e－tτ(3.33) 式(3.33)右边第一项是稳态分量，第二项是暂态分量。同样地，RL电路的全响应还可以表示为稳态响应与暂态响应的和，即 全响应=稳态响应+暂态响应 3.5一阶线性电路的三要素法 由3.3节和3.4节的分析可知，RC、RL一阶电路的全响应均可以表示为稳态分量和暂态分量两部分。当外加激励为直流电源时，其通式可写为 f(t)=f(∞)+Ae－tτ(3.34) 其中，f(t)是待求的电压或电流，f(∞)是稳态分量(即稳态值)，Ae－t/τ是暂态分量。在t=0+时刻，f(t)=f(0+)，代入式(3.34)，得 A=f(0+)－f(∞) 式(3.34)可写为 f(t)=f(∞)+［f(0+)－f(∞)］e－tτ(3.35) 式(3.35)是分析一阶线性电路暂态过程中电压电流响应的一般公式，只要得到f(0+)、f(∞)和τ 3个“要素”，就可以写出电路的响应，该方法也称为三要素法。要素中的时间常数τ与特征根有关，而特征根又是由对应的齐次线性常微分方程求得的，因此，τ只取决于电路的参数和结构，与激励无关。求取时，首先去掉激励(理想电压源短路，理想电流源开路)，然后求从储能元件两端看过去的戴维宁等效电阻R，则RC、RL电路的时间常数τ可分别由式(3.19)和式(3.31)求得。 【例3.4】如图3.11所示的电路原处于稳态，当t=0时，开关闭合。IS=2A，R1=2Ω，R2=2Ω，L=1H，求换路后电感的电流。 视频3.3 图3.11例3.4题图 【解】根据换路定则，有 iL0－=iL0+=1A 换路后电路达到稳态时有 iL(∞)=0A 求换路后电路的等效电阻，得到时间常数为 τ=LR2=0.5s 代入式(3.33)得 iL(t)=iL(∞)+iL(0+)－iL(∞)e－tτ=e－2tA 【例3.5】如图3.12所示电路在换路前已达稳态。当t =0时开关接通，求t>0的uC(t)。 图3.12例3.5图 【解】换路前电路已达稳定状态，有 uC(0+)=uC(0－)=42×10－3×3×103=126(V) 换路后，电容元件放电，再次达到稳定状态，有 uC(∞)=0 τ=RC=6×103×100×10－6=0.6(s) 换路后电容元件的电压为 uC(t)=uC(∞)+［uC(0+)－uC(∞)］e－tτ =0+(126－0)×e－t0.6 =126e－5t3(V) 3.6工程应用 在电子技术中，一阶电路有着广泛的应用，例如，微分电路、积分电路、去抖动电路等。本节将对这些电路做一简单介绍。 3.6.1微分电路 把RC电路连接成如图3.13(a)所示电路。设uC(0－)=0，输入信号是占空比为50%的脉冲信号，幅度为U，其输入波形如图3.13(b)中ui所示。 图3.13RC微分电路波形 由三要素法可知，当0≤t