第3章
CHAPTER 3


复变函数级数





在高等数学课程中，我们学习了实变函数级数。在计算过程中，运用级数近似表示函数带来了很多便利。级数是研究复变函数理论和应用的重要工具。本章将围绕复变函数级数及复变函数的幂级数展开。我们将看到，一个函数是否解析与能否展开为幂级数是等价的，并由此发现解析函数的一些其他重要性质，从而加深对解析函数的认识。


复变函数
项级数


3.1复数项级数(complex number series)
3.1.1复数项级数的概念(concepts of complex number series)

设有复数序列{wk}，其中wk=uk+ivk,k=1,2,…为复数，则

∑∞k=1wk=w1+w2+…+wk+…(3.1.1)

称为复数项级数。前n项和Sn=w1+w2+…+wn称为级数的部分和。若部分和构成的复数序列{Sn}收敛，即limn→∞Sn=S有限，则称∑∞k=1wk级数收敛(convergent)于S，记作

S=∑∞k=1wk(3.1.2)

式(3.1.2)称为复数项级数的和。若部分和数列Sn发散，则称∑∞k=1wk级数发散(divergent)。
3.1.2复数项级数的性质(properties of complex number series)
和实变项级数类似，复数项级数的收敛可以使用柯西收敛准则判定。
定理3.1∑∞k=1wk级数收敛的充分必要条件是： 对于给定的任意小正数ε，必存在自然数N，使得n＞N时，∑n+pk=n+1wk＜ε，其中p为任意正整数。
Theorem 3.1A sufficient and necessary condition for series to converge ∑∞k=1wk is that: Given any small positive number ε, it is possible to find an integer N so that ∑n+pk=n+1wk＜ε for every n＞N, p is an arbitrary positive integer.
实际上，根据上式判断级数是否收敛是比较困难的，一般不会运用定理3.1判断级数的收敛性，需要寻求其他的判定方法，本节将介绍若干个判定定理。由于复数项级数可以写作以下形式

Sn=∑nk=1wn=∑nk=1uk+i∑nk=1vk(3.1.3)

因此，根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法。
定理3.2设wk=uk+ivk(k=1,2,…)，则级数∑∞k=1wk收敛的充分必要条件是级数的实部∑∞k=1uk和虚部∑∞k=1vk都收敛。
Theorem 3.2Suppose that wk=uk+ivk(k=1,2,…), the sufficient and necessary conditions for the convergence of ∑∞k=1wk is that both ∑∞k=1uk and ∑∞k=1vk converge.
定理3.2设wk=uk+ivk(k=1,2,…)，且S=a+ib，则∑∞k=1wk收敛于S的充分必要条件是limn→∞∑nk=1uk=a且limn→∞∑nk=1vk=b。
Theorem 3.2Suppose that wk=uk+ivk(k=1,2,…) and S=a+ib, if and only if limn→∞∑nk=1uk=a and limn→∞∑nk=1vk=b,∑∞k=1wk converges to S.





定理3.3级数∑∞k=1wk收敛的必要条件是limk→∞wk=0
Theorem 3.3If the terms of an infinite series do not tend to zero, that is limk→∞wk≠0, then the series ∑∞k=1wk diverges.

这个定理用于对级数收敛性的初步判断(preliminary test)，当limk→∞wk≠0时，可以直接判定级数发散，当limk→∞wk=0时，则需要运用其他定理判定级数是否收敛。
例3.1考察级数∑∞n=11n+i2n的敛散性。
解： 由定理3.2可知，只需讨论级数的实部级数∑∞n=11n和虚部级数∑∞n=112n的敛散性。因为级数∑∞n=11n发散，故原级数发散。
绝对收敛级数(absolutely convergent series)若级数∑∞k=1wk收敛，称原级数∑∞k=1wk为绝对收敛级数。
条件收敛级数(conditionally convergent series)若复数项级数∑∞k=1wk收敛，但级数∑∞k=1wk发散，则称原级数∑∞k=1wk为条件收敛级数。
因为

wk+1+wk+2+…+wk+p≤wk+1+wk+2+…+wk+p

由柯西收敛准则可证明绝对收敛的级数必定是收敛的。
定理3.4若级数∑∞n=1wn收敛，则级数 ∑∞n=1wn必收敛，但反之不一定成立。
Theorem 3.4If the series ∑∞n=1wn converges, then ∑∞n=1wn converges, but not vice versa.
例如，级数∑∞n=1(-1)nni=i∑∞n=1(-1)nn是收敛的，但各项取模后的级数∑∞n=1(-1)nni=∑∞n=11n发散，因此原级数∑∞n=1(-1)nni条件收敛。
另外，级数∑∞n=1wn的各项均为非负实数，因此∑∞n=1wn为正项实级数。因此，可运用正项级数的收敛性判别法则，如比较判别法、比值判别法或根式判别法等判断其收敛性。
令wn=un+ivn，则有|un|≤|wn|，|vn|≤|wn|，因此有

∑∞n=1un≤∑∞n=1wn，∑∞n=1vn≤∑∞n=1wn
(3.1.4)

又有wn=u2n+v2n≤|un|+|vn|，因此可得

∑∞n=1wn=∑∞n=1u2n+v2n≤∑∞n=1un+∑∞n=1vn
(3.1.5)

由式(3.1.4)知，若∑∞n=1wn收敛于有限值，则∑∞n=1un、∑∞n=1vn必收敛于有限值。由式(3.1.5)知，若∑∞n=1un、∑∞n=1vn收敛于有限值，则∑∞n=1wn必收敛于有限值。因此有以下定理。
定理3.5级数∑∞n=1wn绝对收敛的充分必要条件是实数项级数∑∞n=1un与∑∞n=1vn都绝对收敛。
Theorem 3.5The series ∑∞n=1wn absolutely converges if and only if both ∑∞n=1un and ∑∞n=1vn are absolutely convergent.
例3.2判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
(1) ∑∞n=0(8i)nn!； (2) ∑∞n=1(-1)nn+12ni。
解： (1) 令(8i)nn!=8nn!=wn，由正项级数的比值判别法有

limn→∞wn+1wn=limn→∞8n+1(n+1)!8nn!=limn→∞8n+1=0

因此级数∑∞n=08inn!=∑∞n=08nn!收敛，则原级数∑∞n=0(8i)nn!绝对收敛。
(2) 因为实部和虚部构成的两个级数∑∞n=1(-1)nn、∑∞n=112n都收敛，故原级数收敛，但因∑∞n=1(-1)nn为条件收敛，由定理3.5知原级数为条件收敛。
3.1.3复变函数项级数(series of complex functions)
复变函数项级数设{fk(z)}(k=0,1,2,…)是定义在区域D上的复变函数序列，则称表达式

∑∞k=0fk(z)=f0(z)+f1(z)+f2(z)+…+fk(z)+…(3.1.6)

为复变函数项级数。该级数前n+1项和Sn(z)=∑nk=0fk(z)称为级数的部分和(partial sum)。
如果对于区域D内某点z0，复变函数项级数∑∞n=0fn(z0)收敛，则称z0为∑∞n=0fn(z)的一个收敛点； 若级数在区域D内的每一点都收敛，则称该级数在D内收敛，收敛点的集合称为∑∞n=0fn(z)的收敛域。若级数∑∞n=0fn(z0)发散，则称z0为级数的发散点，发散点的集合称为∑∞n=0fn(z)的发散域。如果级数∑∞n=0fn(z)在D内处处收敛，则其和一定是z的函数，记为S(z)，称为级数∑∞n=0fn(z)在D内的和函数。也即对任意的z∈D，有limn→∞Sn(z)=S(z)=∑∞n=0fn(z)。
判定复变函数项级数的收敛性常用到以下定理。
定理3.6复变函数项级数∑∞n=0fn(z)收敛的充分必要条件是，对于D内各点z，任意给定ε＞0，必有N(z)存在，使得当n＞N(z)时，对于任意的正整数p有

∑n+pk=n+1fk(z)＜ε

Theorem 3.6A sufficient and necessary condition for the convergence of series ∑∞n=0fn(z): Given any small positive number ε＞0, it is possible to find an integer N(z) so that ∑n+pk=n+1fk(z)＜ε for every n＞N(z). Where, p is an arbitrary positive integer.
一致收敛(uniformly convergent)如果对于任意给定的ε＞0，存在一个与z无关的自然数N，使得对于区域D内(或曲线L上)的一切z均有： 当n＞N时，∑n+pk=n+1fk(z)＜ε(p为任意正整数)，则称级数∑∞n=0fn(z)在D内(或曲线L上)一致收敛。
M判别法(majorant Test)对于复变函数序列{fn(z)}，存在正数序列Mn，使得对一切z，有

|fn(z)|≤Mn,n=0,1,2,…(3.1.7)

而正项级数∑∞n=1Mn收敛，则复函数项级数∑∞n=1fn(z)绝对且一致收敛。该方法又称为维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法。
Weierstrass M testIf we can construct a series of positive numbers ∑∞n=1Mn, in which |fn(z)|≤Mn(n=0,1,2,…) for all z in domain D and ∑∞n=1Mn is convergent, then the series ∑∞n=1fn(z) will be absolutely and uniformly convergent in domain D. 
例3.3讨论复级数∑∞n=0zn的收敛性，并讨论该级数在闭圆域|z|≤r(r＜1)上的一致收敛性。 
解： 首先对z的范围分情况讨论： 
(1) 当|z|＜1时，正项级数∑∞n=0|z|n收敛，故此时原级数绝对收敛，其部分和

Sn=1+z+z2+…+zn-1=1-zn1-z

因为limn→∞zn=0，所以

∑∞n=0zn=limn→∞Sn=limn→∞1-zn1-z=11-z

当|z|≥1时，|z|n≥1，所以一般项zn不可能以零为极限，从而级数发散。
(2) 在闭圆域|z|≤r(r＜1)上，显然满足|zn|≤rn。因此，根据M判别法，该级数∑∞n=1zn在闭圆域上绝对且一致收敛。


幂级数


3.2幂级数(power series)
3.2.1幂级数概念(concepts of power series)

幂级数设z0、ak为复常数，表达式

∑∞k=0ak(z-z0)k=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+…+ak(z-z0)k+…(3.2.1)

称为以z0为中心的幂级数。以0为中心的幂级数

∑∞k=0akzk=a0+a1z+a2z2+…+akzk+…(3.2.2)

称为麦克劳林级数(Maclaurin series)。
如果幂级数在某点z收敛，则该点称为幂级数的收敛点； 如果幂级数在某点z发散，则该点称为幂级数的发散点。如果幂级数在某点集E上每一点都收敛，则该点集E称为幂级数的收敛域； 如果幂级数在某点集E上每一点都发散，则称该点集E为幂级数的发散域。
现在，考察级数∑∞k=1ak｜｜z-z0k的收敛性，由比值判别法(ratio test)知

limk→∞ak+1｜｜z-z0k+1ak｜｜z-z0k=limk→∞ak+1akz-z0=z-z0limk→∞akak+1

可以得到，当z-z0＜limk→∞akak+1时

limk→∞ak+1｜｜z-z0k+1ak｜｜z-z0k＜1

则原级数绝对收敛。当z-z0＞limk→∞akak+1时有

limk→∞ak+1｜｜z-z0k+1ak||z-z0k＞1

则原级数发散。定义收敛半径为

R=limk→∞akak+1

可以看出，在半径为R的圆内域z-z0＜R幂级数绝对收敛，圆外域z-z0＞R幂级数发散。
3.2.2收敛半径与收敛圆(radius of convergence and circle 
of convergence)
若存在正数R，使得当z-z0＜R时，级数∑∞n=1an(z-z0)n收敛，而当z-z0＞R时，级数∑∞n=1an(z-z0)n发散，则称R为级数∑∞n=1an(z-z0)n的收敛半径(radius of convergence)，|z-z0|=R称为收敛圆(circle of convergence)。给定一个幂级数，可以运用比值法(D′Alembert formula)或根式法(Cauchy formula)求得其收敛半径

R=limn→∞anan+1(3.2.3)
R=limn→∞1nan(3.2.4)

当R无穷大时，幂级数在整个平面收敛； 当R为0时，幂级数在全平面发散。
例3.4(1) 求幂级数∑∞n=1znn3的收敛半径并讨论在收敛圆周上的敛散性； 
(2) 求幂级数∑∞n=1(z-1)nn的收敛半径并讨论在z=0,2点处的敛散性。
解： (1) 收敛半径

R=limn→∞anan+1=limn→∞(n+1)3n3=1

因此，级数在单位圆内z＜1绝对收敛，在圆外发散。在收敛圆上，有z=1，因此原级数每一项取模得到级数

∑∞n=1znn3=∑∞n=11n3

该级数收敛，所以原级数在收敛圆上处处绝对收敛，故处处收敛。
(2) 收敛半径

R=limn→∞anan+1=limn→∞n+1n=1

因此，级数在单位圆内z＜1绝对收敛，在圆外发散。当z=0时，级数为∑∞n=1(-1)nn，它是交错级数，级数收敛； 当z=2时，级数为∑∞n=11n，级数发散。
例3.5求下列幂级数的收敛圆：
(1) ∑∞k=0(-2)kz2k； (2) ∑∞k=0122kz2k。
解： 可以看出，两个级数都只有偶数项，属于隔项级数，不能直接运用比值法求其收敛半径。
(1) 运用变量替换法令t=z2，变量替换后原级数写为∑∞k=0(-2)ktk，求得其收敛半径为R=12，因此级数∑∞k=0(-2)ktk的收敛域为t＜12，反变换回去有z2＜12，因此原级数∑∞k=0(-2)kz2k的收敛域为z＜22。
(2) 这个级数的收敛半径可以用(1)的办法，也可以用根式判别法，结论是一样的。这里用根式判别法

R=1limk→∞122k12k=2

3.2.3幂级数的性质(properties of power series)
(1) 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛。 
(2) 设f(z)=∑∞n=0anzn的收敛半径为R1，g(z)=∑∞n=0bnzn的收敛半径为R2，则在z＜R=min(R1,R2)内，两函数的和差和乘积构成的新级数收敛

f(z)±g(z)=∑∞n=0anzn±∑∞n=0bnzn=∑∞n=0(an±bn)zn(3.2.5)

f(z)g(z)=(∑∞n=0anzn)(∑∞n=0bnzn)

=∑∞n=0(anb0+an-1b1+an-2b2+…+a0bn)zn
(3.2.6)

(3) 设幂级数∑∞n=0cn(z-z0)n的收敛半径为R，那么有
① 它的和函数f(z)，即f(z)=∑∞n=0cn(z-z0)n在收敛圆z-z0＜R内解析； 
② 幂级数在其收敛圆内可逐项求导或逐项积分，即


∑∞n=0cn(z-z0)n

′=∑∞n=0［cn(z-z0)n］′=∑∞n=0ncn(z-z0)n-1(3.2.7)
∫z0∑∞n=0cn(z-z0)ndz=∑∞n=0∫z0cn(z-z0)ndz=∑∞n=0cnn+1(z-z0)n+1(3.2.8)

且逐项求导或逐项积分后的新级数与原级数具有相同的收敛半径。
例3.6设有幂级数∑∞n=0zn与∑∞n=011+anzn(0＜a＜1)，求∑∞n=0zn-∑∞n=011+anzn=∑∞n=0an1+anzn的收敛半径。
解： 容易求得，∑∞n=0zn与∑∞n=011+anzn的收敛半径都等于1，但级数∑∞n=0an1+anzn的收敛半径

R=limn→∞an1+anan+11+an+1=limn→∞1+an+1a(1+an)=1a＞1

这就是说，∑∞n=0an1+anzn自身的收敛圆域大于∑∞n=0zn与∑∞n=011+anzn的公共收敛圆域z＜1。但应注意，等式

∑∞n=0zn-∑∞n=011+anzn=∑∞n=0an1+anzn

成立的条件是三个级数都收敛，因此收敛圆域仍为z＜1，不能扩大。这个例题可以帮助我们深度理解幂级数的性质(2)，由两个幂级数求和差或乘积得到的新级数在z＜R=min(R1,R2)内一定收敛，但并不意味着新级数的收敛半径一定小于原级数。
例3.7求幂级数∑∞n=01n+1zn+1在收敛圆内的和函数。
解： 求得此级数的收敛圆为z=1，设和函数

S(z)=∑∞n=01n+1zn+1,z＜1
逐项求导得

S′(z)=∑∞n=0zn=11-z,z＜1
两边从0到z积分，有

S(z)z0=∫z011-zdz,z＜1
又由原级数得S(0)=0，因此有

S(z)=-ln(1-z),z＜1
3.3泰勒级数(Taylor series)
由3.2节可知，一个幂级数的和函数在其收敛圆内部是一个解析函数。那么任何一个解析函数是否能用幂级数来表示呢？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值，将在本节讨论。


泰勒级数1


3.3.1解析函数的泰勒展开式(Taylor expansion of analytic function)
定理3.7设f(z)在区域D： |z-z0|＜R内解析，则对D内任意点z，f(z)可展开为泰勒级数

f(z)=∑∞k=0ak(z-z0)k,|z-z0|＜R(3.3.1)

其中，ak=12πiCf(ξ)dξ(ξ-z0)k+1=f(k)(z0)k!,k=0,1,2,…，且展式是唯一的。特别地，当z0=0时，级数∑∞n=0f(n)(0)n!zn称为麦克劳林级数(Maclaurin series)。
Theorem 3.7Suppose that a function f is analytic throughout a disk |z-z0|＜R, centered at z0 and with radius R, then f(z) has a unique power series representation

f(z)=∑∞k=0ak(z-z0)k,|z-z0|＜R

Where，ak=12πiCf(ξ)dξ(ξ-z0)k+1=f(k)(z0)k!,k=0,1,2,…. 


图3.1泰勒展开定理证明



证明： 在区域D上作圆周C:ξ-z0=ρ(ρ＜R)，如图3.1所示。因为函数f(z)在区域D内解析，由柯西公式有

f(z)=12πiCf(ξ)ξ-zdξ(3.3.2)

观察式(3.3.2)，要将f(z)展开为以z0为中心的幂级数形式

f(z)=∑∞k=0ak(z-z0)k,|z-z0|＜R

需要将式(3.3.2)右侧被积函数1ξ-z展开为幂级数，考虑使用基本公式∑∞n=0zn=11-z,z＜1，则需要找到模值小于1的某个表达式。观察发现，ξ在圆C上，故ξ-z0=ρ，z在C的内部，故z-z0＜ρ，从而有z-z0ξ-z0＜1，因此

1ξ-z=1(ξ-z0)-(z-z0)=1ξ-z0·11-z-z0ξ-z0(3.3.3)

于是有

1ξ-z=1ξ-z0∑∞n=0z-z0ξ-z0n=∑∞n=0(z-z0)n(ξ-z0)n+1(3.3.4)

代入式(3.3.2)，并交换积分与求和顺序，有

f(z)=∑∞n=012πiCf(ξ)dξ(ξ-z0)n+1(z-z0)n(3.3.5)

式(3.3.5)可以简写为

f(z)=∑∞n=0cn(z-z0)n(3.3.6)

其中，系数

cn=12πiCf(ξ)dξ(ξ-z0)n+1=f(n)(z0)n!,n=0,1,2,…(3.3.7)

这样便得到了f(z)在圆内域|z-z0|＜R的幂级数展开式，但上述展开式是否唯一呢？可以证明其唯一性。假设f(z)在|z-z0|＜R内可展开为另一展开式

f(z)=∑∞n=0dn(z-z0)n(3.3.8)

f(z)是解析函数，因此存在n阶导数，对式(3.3.8)两边求n阶导数，有

f(n)(z)=n!dn+(n+1)!dn+1(z-z0)+…(3.3.9)

令式(3.3.9)中z=z0，可得到

dn=fn(z0)n!=cn,n=0,1,2,…(3.3.10)

故展开式系数唯一。
3.3.2泰勒级数的收敛半径(radius of convergence of 
Taylor series)
定理3.8若一个解析函数展开成以z0为中心的泰勒级数，则其收敛圆是以z0为圆心，以z0与最近奇点b之间距离z0-b=R为半径的圆，R即为泰勒级数的收敛半径。
如果在以z0为中心的圆域z-z0＜R内，一个函数可以展开成泰勒级数，则该函数必须解析，那么所有奇点必须位于圆域外。这样，就不难证明上述定理。当然，也可由泰勒展开式中的系数ak表达式求得收敛半径。
例如，若已知函数11-z在以z0=0为中心的圆内域可以展开为泰勒级数∑∞n=0akzn，有两种方法确定其收敛半径。一种方法是求得ak，然后通过3.2节的方法求得收敛半径，第二种方法是分析函数11-z的奇点与展开中心z0=0之间的关系得到收敛半径。该函数只有一个奇点z1=1，因此收敛半径为该奇点与展开中心的距离，即R=z1-z0=1，展开后幂级数的收敛域为z-z0＜R，即z＜1。第二种方法是函数的解析性与是否能展开成泰勒级数联系的灵活应用，该方法常常对于复杂函数更为方便。
例3.8已知f(z)=z2006(z-10)(z-3)2008可以展开为以z0=0为中心的泰勒级数∑∞k=0akzk，求该泰勒级数的收敛域。
解： 可以看出，函数要展开为泰勒级数，过程是相当烦琐的，因此运用第二种方法计算收敛域更为方便。
函数f(z)有两个奇点z1=3和z2=10，距离展开中心z0=0最近的奇点为z1=3，且距离为z1-z0=3。因此该泰勒级数的收敛半径为3，收敛域为z＜3。


泰勒级数2


3.3.3将函数展开成泰勒级数的实例(examples of Taylor 
series expansion)
将简单的解析函数展开为泰勒级数，可以使用泰勒展开定理中的基本公式，即直接展开法。
例3.9在z0=0的邻域上把f(z)=ez展开为泰勒级数。
解： 对函数f(z)=ez求导，有f(k)(z)=ez，在z0=0时，f(k)(z0)=1，因此有

ck=f(k)(z0)k!=1k!

于是得到泰勒展开式为

f(z)=ez=∑∞k=0ck(z-z0)k=∑∞k=01k!zk=1+z+z22!+z33!+…

例3.10在z0=0的邻域上将f1(z)=sinz和f2(z)=cosz展开为泰勒级数。
解： 对函数f1(z)=sinz求导，有

f′1(z)=cosz

f″1(z)=-sinz

f(3)1(z)=-cosz

f(4)1(z)=sinz

四阶导数为函数本身，因此更高阶导数是前四阶导数的重复，在z0=0处有

f1(0)=0,f′1(0)=1,f″1(0)=0,f(3)1(0)=-1,f(4)1(0)=0

按照定义式有

c2n=0，c2n+1=(-1)n(2n+1)!，n=0,1,2,…

得到展开式为

f1(z)=sinz=∑∞n=0(-1)n(2n+1)!z2n+1=z1!-z33!+z55!-z77!+…

同理也可以得到f2(z)=cosz在z0=0邻域上的泰勒展开式

f2(z)=cosz=∑∞n=0(-1)n(2n)!z2n=1-z22!+z44!-z66!+…

两级数的收敛半径均为无穷大。
当f(z)较复杂时，求f(n)(z0)比较麻烦。因为泰勒展开式的唯一性，可以灵活使用间接展开法，利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等方法将某一函数展开成幂级数，常用的基本展开公式有

11-z=∑∞n=0zn,z＜1(3.3.11)
11+z=∑∞n=0(-1)nzn,z＜1(3.3.12)
11+z2=∑∞n=0(-1)nz2n,z＜1(3.3.13)
ez=∑∞n=0znn!,z＜+∞(3.3.14)
cosz=∑∞n=0(-1)nz2n(2n)!,z＜+∞(3.3.15)
sinz=∑∞n=0(-1)nz2n+1(2n+1)!,z＜+∞(3.3.16)

这些基本公式可以看作有一定条件的恒等式，对于具有类似形式的函数，只要寻找到满足一定条件的表达式，就可以运用这些恒等式简便地完成级数展开，同时利用条件表达式得到收敛域。
例3.11将函数f(z)=zz+1，在|z-1|＜2内展开成幂级数。
解： 函数f(z)=zz+1有一个奇点z=-1，而在z-1＜2内处处解析，所以可展开成z的幂级数。展开域中心为1，展开后幂级数形式为∑∞n=0ak(z-1)n，运用式(3.3.11)，有

f(z)=zz+1=1-11+z=1-1(z-1)+2=1-12·11+z-12

=1-12∑∞n=0(-1)nz-12n=1-∑∞n=0(-1)n(z-1)n2n+1

=12+14(z-1)-18(z-1)2+…

由基本公式的使用条件z-12＜1可得该级数的收敛域为z-1＜2，于是有

f(z)=z1+z=1-∑∞n=0(-1)n(z-1)n2n+1,z-1＜2

需要说明的是，将一个复变函数展开为幂级数，必须同时写出收敛域，因为只有在收敛域内，幂级数才收敛，且和函数为解析函数f(z)。
例3.12将f(z)=1z+2在z0=2处展开为泰勒级数。
解： 函数f(z)=1z+2只有一个奇点z=-2，而在z-2＜4内处处解析，所以可展开为z的幂级数。展开中心为2，展开后幂级数形式为∑∞n=0ak(z-2)n，运用式(3.3.11)，有

f(z)=1z+2=14+z-2=1411+z-24=14∑∞n=0-1nz-24n，z-2＜4

例3.13将f(z)=ez2sinz2展开为泰勒级数。
解： 运用式(3.3.14)和式(3.3.16)有

f(z)=ez2sinz2=∑∞k=01k!z2k·∑∞n=0(-1)n2n+1!z4n+2
=1+z2+z42!+z63!+…z21!-z63!+z105!-z147!+…
=z2-z66+z4+z62…=z2+z4+z63+…， z＜∞

例3.13中，也可以运用欧拉公式有

f(z)=ez2sinz2=ez2eiz2-e-iz22i=12ie(1+i)z2-e(1-i)z2
=12i∑∞n=0(1+i)nz2nn!-∑∞n=0(1-i)nz2nn!=12i∑∞n=0(1+i)n-(1-i)nz2nn!
=∑∞n=02n2(einπ4-e-inπ4)z2nn!2i=∑∞n=02n2sinnπ4n!z2n=z2+z4+z63+…，z＜+∞

可以看出，运用欧拉公式可以得到幂级数的通式，但需要花费更多的时间。在具体的工程实践中，经常只需要级数的前几项就可以了。可以选择第一种方法来完成级数的展开。
例3.14将函数f(z)=ln(1+z)在z0=0处展开成幂级数。
解： 函数f(z)=ln(1+z)只有一个奇点z=-1，而在z＜1内处处解析。函数可以展开成以z0=0为中心的幂级数。又因为导函数

ln(1+z)′=11+z

运用基本公式，右侧函数展开为幂级数

11+z=∑∞n=0(-1)nzn,z＜1

两边计算定积分∫z0，有

ln(1+z)z0=∫z011+zdz=∑∞n=0∫z0(-1)nzndz

从而有

ln(1+z)=∑∞n=0(-1)nzn+1n+1,z＜1

例3.15将函数1(1+z)2在z0=0处展开成幂级数。
解： 函数1(1+z)2在单位圆周z=1上有一个奇点z=-1，而在z＜1内处处解析，所以它在z＜1内可展开成z的幂级数

1(1+z)2=-11+z′=-∑∞n=0(-1)nzn′=∑∞n=0(-1)n-1nzn-1=∑∞n=1(-1)n-1nzn-1

=∑∞n=0(-1)n(n+1)zn,z＜1


例3.16将函数arctanz在z0=0处展开为泰勒级数。
解： 因为(arctanz)′=11+z2，因此先将11+z2展开为泰勒级数，再逐项积分得到原函数的泰勒级数。

11+z2=∑∞n=0(-1)nz2n，z＜1

两边积分

∫z011+ξ2dξ=∑∞n=0(-1)n∫z0ξ2ndξ，z＜1

得

arctanz=∑∞n=0(-1)nz2n+12n+1，z＜1


例3.17将f(z)=11-3z+2z2在z0=0处展开为泰勒级数。
解： f(z)=11-3z+2z2=1(1-2z)(1-z)=	21-2zI-11-zII
又因为第一项在2z＜1条件下可展开为I=2∑∞n=02zn=∑∞n=02n+1zn，而第二项在z＜1条件下可展开为II=∑∞n=0zn，因此有函数f(z)的展开式为

f(z)=∑∞n=02n+1-1zn

且收敛域为2z＜1和z＜1的交集z＜12。
3.4洛朗级数(Laurent series)
由3.3节的讨论知，若函数在给定的圆域内解析，则可以将其展开成泰勒级数。但很多时候，某些函数在讨论的区域中存在奇点，特别是有时需要讨论奇点邻域上函数的性质。那么，能否在挖掉奇点的复连通区域上将函数展开成幂级数呢？这就是本节要讨论的问题——洛朗级数。洛朗级数和泰勒级数都是研究复变函数的有力工具。


洛朗级数1


3.4.1洛朗级数定义(definition of Laurent series)
在3.3节中，将函数11-z在以z0=0点为中心的圆域z＜1上展开为幂级数11-z=∑∞n=0zn。事实上，该函数在整个复平面上仅有z1=1一个奇点，也就是说，函数在z1=1以外的点都是解析的，那么在z＞1的区域内能否展开为幂级数呢？观察发现，当z＞1时，有1z＜1，即1z＜1，从而可得

11-z=-1z11-1z=-1z∑∞n=01zn=-1z-1z2-1z3-…
(3.4.1)

因此，函数11-z在除z=1的整个复平面都可以展开为幂级数，即

11-z=-1z-1z2-1z3-…，z＞1(3.4.2)
11-z=1+z+z2+z3+…，z＜1(3.4.3)


也就是说，如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数，那么就有可能将一个函数在除奇点外的整个复平面展开为幂级数，这就是洛朗级数。
将形如式(3.4.4)的级数称为洛朗级数。

∑∞n=-∞cn(z-z0)n=…+c-n(z-z0)-n+…+c-1(z-z0)-1+

c0+c1(z-z0)+…+cn(z-z0)n+… (3.4.4)

其中，z0、cn(n=0,±1,±2,…)为复常数。容易看出，洛朗级数是一个双边幂级数，由正幂项级数∑∞n=0cn(z-z0)n(含常数项)和负幂项级数∑-1n=-∞cn(z-z0)n两部分组成。洛朗级数可看成正幂项级数与负幂项级数的和，我们规定，当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时原级数收敛。
正幂项级数∑∞n=0cn(z-z0)n和3.3节的幂级数相同，其收敛域是一个圆内域。设其收敛半径为R2，则当z-z0＜R2时该级数收敛，而当z-z0＞R2时级数发散。
负幂项级数∑-1n=-∞cn(z-z0)n=∑∞n=1c-n(z-z0)-n是新类型的级数，如果令ξ=(z-z0)-1，可以得到我们熟悉的单边幂级数

∑∞n=1c-n(z-z0)-n=∑∞n=1c-nξn=c-1ξ+c-2ξ2+…+c-nξn+…(3.4.5)

其收敛域为以ξ=0为中心的圆域，设其收敛半径为1R1，则当ξ＜1R1时级数收敛。变量替换后有1z-z0＜1R1，也即z-z0＞R1，所以负幂项级数在圆外域z-z0＞R1收敛。同理可以得到，该幂级数在圆内域z-z0＜R1是发散的。
综上可知，同时满足z-z0＞R2和z-z0＜R1时原级数收敛。当R1＞R2时，两个收敛域的交集等于空集，此时原级数发散。当R1＜R2时，洛朗级数在正幂项级数和负幂项级数收敛域的公共部分R1＜z-z0＜R2内收敛，在圆环外发散。而在圆环上，可能有些点收敛，有些点发散。
因此，洛朗级数的收敛域为圆环域： R1＜z-z0＜R2。需要指出的是，在一些特殊情况下圆环域的内半径R1可能为0，外半径R2可能是无穷大。
定理3.9设函数f(z)在圆环域R1＜z-z0＜R2内解析，则在此圆环内f(z)必可展开成洛朗级数

f(z)=∑∞n=-∞cn(z-z0)n(3.4.6)

其中，系数

cn=12πiCf(ξ)(ξ-z0)n+1dξ，n=0,±1,±2,…
(3.4.7)

曲线C:z-z0=R(R1＜R＜R2)为圆环域内包围z0的任意闭合圆周(或简单闭曲线)，逆时针为正方向。根据闭路变形定理，C可以是以z0为圆心以R为半径的圆，即z-z0=R(R1＜R＜R2)。
式(3.4.6)称为函数f(z)在该圆环域内的洛朗展开式。负幂项部分称为洛朗级数的主要部分(principal part)，正幂项部分称为洛朗级数的解析部分(analytic part)，又称为正则部分。可以证明洛朗展开式是唯一的。
Theorem 3.9Suppose that a function f(z) is analytic throughout an annular domain R1＜z-z0＜R2 centred at z0, then at each point in the domain, f(z) has the series representation

f(z)=∑∞n=-∞cn(z-z0)n

Where, cn=12πiCf(ξ)(ξ-z0)n+1dξ，n=0,±1,±2,… and C denotes any positively oriented simple closed contour around z0 and lying in that domain. It can be C:z-z0=R(R1＜R＜R2).


图3.2洛朗展开定理的证明




证明： 设z是圆环域R1＜z-z0＜R2内任一点，作以z0为中心，位于圆环内的圆周Γ1： z-z0=ρ1＞R1，Γ2: z-z0=ρ2＜R2,(ρ1＜ρ2)，两者均为逆时针方向，且z满足ρ1＜z-z0＜ρ2，如图3.2所示。
因为f(z)在闭圆环域ρ1≤z-z0≤ρ2内解析，其边界Γ=Γ2+Γ-1，所以由复连通区域的柯西积分公式有

f(z)=12πiΓ2f(ξ)ξ-zdξ-12πiΓ1f(ξ)ξ-zdξ

即

f(z)=12πiΓ2f(ξ)ξ-zdξI+12πiΓ1f(ξ)z-ξdξII


类似泰勒展开定理的证明过程，上式右端第一个积分I可写成

I=12πi∮Γ2f(ξ)ξ-zdξ=∑∞n=0cn(z-z0)n

其中

cn=12πiΓ2f(ξ)(ξ-z0)n+1dξ，n=0,1,2,…

设C:z-z0=R，且满足ρ1＜R＜ρ2，则由闭路变形定理式(2.2.7)，其系数cn可表示为

cn=12πiCf(ξ)(ξ-z0)n+1dξ,n=0,1,2,…(3.4.8)

右端第二个积分II中ξ是Γ1上的点，故有z-z0＞ξ-z0，即ξ-z0z-z0＜1，所以有

1z-ξ=1-(ξ-z0)+(z-z0)=1z-z0·11-ξ-z0z-z0=∑+∞l=1(ξ-z0)l-1(z-z0)l

因此

II=12πiΓ1f(ξ)z-ξdξ=12πiΓ1f(ξ)∑+∞l=1(ξ-z0)l-1(z-z0)ldξ

交换求和与积分顺序，有

II=∑+∞l=112πiΓ1f(ξ)(ξ-z0)l-1dξ(z-z0)-l 

=n=-l∑-1n=-∞12πiΓ1f(ξ)(ξ-z0)n+1dξ(z-z0)n

运用闭路环形定理有

II=∑-1n=-∞12πiCf(ξ)(ξ-z0)n+1dξ(z-z0)n=∑-1n=-∞cn(z-z0)n

其中，C:z-z0=R，沿逆时针方向。综上讨论，可得

f(z)=∑+∞n=-∞cn(z-z0)n,R1＜z-z0＜R2
(3.4.9)

其中，cn=12πiCf(ξ)(ξ-z0)n+1dξ，n=0,±1,±2,…。类似于泰勒展开定理，也可以证明洛朗展开式是唯一的。
由证明过程可知，定理中的C:z-z0=R也可以写成圆环域R1≤z-z0≤R2内绕z0的任一正向简单闭曲线。另外，一个函数可能在几个圆环域内解析，在不同的圆环域内的洛朗展开式是不同的，但在同一圆环域内，不论用何种方法展开，所得的洛朗展开式是唯一的。
需要注意洛朗级数展开系数与泰勒级数展开系数在写法上的区别。洛朗展开式中的cn不能写成f(n)(z0)n!。这是因为，积分路径处于复连通区域中，曲线C内部可能包围了奇点。在多数情况下，z0就是函数f(z)的奇点，而奇点处f(n)(z0)不存在。
在上述定理中，如果f(z)在z-z0＜R内解析，则当n≤-1时被积函数f(ξ)(ξ-z0)n+1在z-z0＜R内解析，由柯西积分公式可知，当n≤-1时，cn=0。这种情况下，洛朗级数就退化成为泰勒级数。由此可见，泰勒级数是洛朗级数的特殊情况。
3.4.2洛朗级数的收敛性(convergence of Laurent series)
设a、b分别为函数f(z)的两个相邻奇点，将函数展开为以z0为中心的洛朗级数∑∞n=-∞cn(z-z0)n，则该级数必在环域a-z0＜z-z0＜b-z0内收敛(设a-z0＜b-z0)。


洛朗级数2


3.4.3洛朗级数展开实例(examples of Laurent series expansion)
理论上，可以运用洛朗级数展开定理中式(3.4.6)和式(3.4.7)完成函数的洛朗级数展开。但由前面的讨论可知，积分形式的系数公式计算往往是相当困难的，因此只有个别情况直接运用展开定理进行洛朗级数展开。因为洛朗展开式的唯一性，常常借助一些已知的级数基本公式及逐项求导、逐项积分、代换等简便方法将函数展开成为洛朗级数。
这里需要注意，不管运用哪种级数展开方式，最后需要将级数合并同类项，也就是说，从最终级数表达式很容易看出其第n项的系数，这对于幂级数的性质研究和应用都非常重要。
例3.18把函数f(z)=ezz2在以z=0为中心的圆环域0＜z＜+∞内展开成洛朗级数。
解： 因为函数形式简单，可以用直接法展开，利用式(3.4.7)有

cn=12πiCeξξ2(ξ-0)n+1dξ=12πiCeξξn+3dξ

其中，C为圆环域0＜z＜+∞内的任意一条简单曲线。
当n+3≤0，即n≤-3时，由于ezz-n-3解析，cn=0，即

c-3=0，c-4=0，…

当n+3＞0，即n＞-3时，运用高阶导数公式(2.3.9)有

cn=12πi∮Ceξξn+3dξ=1(n+2)!(eξ)(n+2)ξ=0=1(n+2)!

故有

ezz2=∑∞n=-2zn(n+2)!=1z2+1z+12!+13!z+14!z2+…

当然也可以运用式(3.3.14)完成级数展开，有

ezz2=1z21+z+z22!+z33!+z44!+…

=1z2+1z+12!+13!z+14!z2+…，z＜+∞

可以看出，间接展开法比直接展开法更加高效。
例3.19函数f(z)=1(z-1)(z-2)在下列圆环域内是处处解析的，将函数f(z)在这些环域内展开成幂级数。
(1) 0＜z＜1；(2) 1＜z＜2； 
(3) 2＜z＜+∞；(4) 0＜z-1＜1。
解： 观察以上几个环域发现，前三个环域的中心都是0，因此展开的形式为∑+∞n=-∞cnzn，最后一个环域0＜z-1＜1的中心为1，因此展开的级数形式为∑+∞n=-∞cn(z-1)n。
(1) 先将f(z)写成部分分式，即

f(z)=1z-2-1z-1=11-z-12·11-z2

由于z＜1，从而z2＜1，利用式(3.3.11)有

11-z=∑∞n=0zn，z＜1
1211-z2=12∑∞n=0z2n=∑∞n=0zn2n+1,z2＜1

所以有

f(z)=∑∞n=0zn-∑∞n=0zn2n+1=∑∞n=01-12n+1zn，0＜z＜1


(2) 在环域1＜z＜2内，有1z＜1，z2＜1，所以有

f(z)=1z-2-1z-1=-12·11-z2-1z11-1z
=…-1zn-1zn-1-…-1z-12-z4-z28-…,1＜z＜2

(3) 由于z＞2，所以2z＜1,1z＜2z＜1，所以有

f(z)=1z-2-1z-1=1z·11-2z-1z·11-1z=∑∞n=02nzn+1-∑∞n=01zn+1

=∑∞n=02n-11zn+1=1z2+3z3+7z4+…，z＞2)

(4) 因为0＜z-1＜1，所以

f(z)=1z-2-1z-1

第二个分式本来就是1为中心的洛朗级数，只需要将第一项展开，运用式(3.3.11)，有

f(z)=-11-(z-1)-1z-1=-∑∞n=0(z-1)n-1z-1,0＜z-1＜1

例3.20将函数f(z)=1(z-2)(z-3)2在0＜z-2＜1内展开为洛朗级数。
解： 由环域0＜z-2＜1可知，展开的级数形式应为∑+∞n=-∞cn(z-2)n。1z-2本身就是这种幂级数形式，因此只需要对1(z-3)2进行幂级数展开，然后逐项乘以1z-2即可。又因为

1z-3=1(z-2)-1=-11-(z-2)=-∑+∞n=0(z-2)n，
z-2＜1

而

1(z-3)2=-1z-3′=∑∞n=0(z-2)n′=∑∞n=1n(z-2)n-1

=1+2(z-2)+…+n(z-2)n-1+…，z-2＜1

所以有

f(z)=1z-21(z-3)2=∑∞n=1n(z-2)n-2

=1z-2+2+3(z-2)+…+n(z-2)n-2+…， 0＜z-2＜1

也可用级数展开法计算闭合环路积分，在洛朗展开式中第n项的系数

cn=12πiCf(ξ)(ξ-z0)n+1dξ，n=0,±1,±2,…

令n=-1，可得

c-1=12πiCf(ξ)dξ(3.4.10)

或写为

c-1=12πiCf(z)dz(3.4.11)

可以看出，由幂级数展开式的系数可以直接计算得到函数沿闭合路径C的回路积分，即

Cf(z)dz=2πic-1(3.4.12)

这样，只需要求得函数f(z)在z0去心邻域上幂级数的-1次幂系数，即可得到去心邻域中的闭合环路积分。需要注意一点，曲线C必须是环域中围绕中心z0的闭合环路。
例3.21计算积分|z|=2ze1z1-zdz。
解： 函数f(z)=ze1z1-z在1＜|z|＜+∞内解析，而积分路径|z|=2在此环域内，故可以在1＜|z|＜+∞上将函数展开为洛朗级数，然后运用式(3.4.12)求出积分。注意到1z＜1，因此有

f(z)=ze1z1-z=e1zz-1-1=-e1z1-z-1

=-(1+z-1+z-2+…)1+z-1+12!z-2+…

=-1+2z+52z2+…

故c-1=-2，从而有

|z|=2ze1z1-zdz=2πic-1=-4πi



孤立奇点
的分类


3.5单值函数的孤立奇点(isolated singular points of 
singlevalued functions)

若函数f(z)在某点z0不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f(z)的孤立奇点； 如果在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点(nonisolated singular points)。孤立奇点比较常见，比如z0=0是函数1z和e1/z的孤立奇点，z1=i和z2=-i是函数11+z2的两个孤立奇点。再举一个非孤立奇点的例子，


图3.3非孤立奇点


比如点1sin(1/z)存在无穷多个奇点z0=0，zk=1kπ(k=±1,±2,…)，如图3.3所示。
考察其中一个奇点z0=0，可以看到，由于当k→∞时，zk→0，无论在z0=0多小的邻域内都可以找到其他的奇点，因此z0=0是函数1sin(1/z)的非孤立奇点。 
在孤立奇点z0的去心邻域0＜|z-z0|＜R上，单值解析函数f(z)可以展开为f(z)=∑∞n=-∞cn(z-z0)n，该级数叫作孤立奇点的洛朗级数展开。其中，正幂部分∑∞n=0cn(z-z0)n是该级数的解析部分(the analytic part)，负幂部分∑-∞n=-1cn(z-z0)n是该级数的主要部分(the principal part)，级数中负一次幂系数c-1具有特殊的作用，被称为f(z)在点z=z0处的留数(residue)。
根据孤立奇点邻域0＜z-z0＜R上洛朗级数的特点，可以将孤立奇点分为三大类。如果主要部分不存在，即洛朗级数为

f(z)=c0+c1(z-z0)+c2(z-z0)2+…(3.5.1)

则该孤立奇点称为可去奇点(removable singular points)，显然有

limz→z0f(z)=c0(3.5.2)

可见，该函数在可去奇点的邻域上是有界的。如果定义新的函数

g(z)=f(z)，z≠z0
c0，z=z0
(3.5.3)

则函数在z0点的奇异性就可去了，可以将其看作解析函数，这也是称其为可去奇点的由来。
容易证明，以下每一条都可以作为判定孤立奇点z0为可去奇点的充分必要条件(sufficient and necessary conditions)，也可作为可去奇点的定义。 
(1) f(z)在奇点z0去心邻域内的洛朗级数无主要部分。 
(2) limz→z0f(z)=c0，c0≠∞。 
(3) f(z)在z0的去心邻域内有界。
例如，z0=0是函数f(z)=sinzz的奇点，又因为在z0=0的去心邻域0＜z＜+∞上函数可展开为

sinzz=1z∑∞n=0(-1)nz2n+1(2n+1)!=∑∞n=0(-1)nz2n(2n+1)!,0＜z＜+∞(3.5.4)

可以看出，该幂级数没有主要部分，因此z0=0是函数f(z)=sinzz的可去奇点。如果定义新的函数

g(z)=sinzz，z≠0
1，z=0

该函数就是z＜+∞域上的解析函数了。
如果在环域0＜z-z0＜R上洛朗级数的主要部分为有限项，即

f(z)=∑∞n=-mcn(z-z0)n
=c-m(z-z0)-m+c-m+1(z-z0)-m+1+…+

c0+c1(z-z0)+…， c-m≠0
(3.5.5)

则称z0为f(z)的m阶极点(poles of order m)。显然，对于极点z0有limz→z0f(z)=∞。
例如，函数f(z)=1z-22只有z0=2一个奇点。可以看出，函数f(z)本身就是一个只有-2次幂的幂级数形式，因此z0=2为函数的二阶极点。而函数g(z)=1(z-1)(z-2)有两个奇点z1=1、z2=2，且在奇点z1=1、z2=2邻域上的级数展开形式分别为

g(z)=1(z-1)(z-2)=1z-11z-2=-1z-111-z-1
=-∑∞n=-1(z-1)n，0＜z-1＜1
g(z)=1(z-1)(z-2)=1z-21z-1=1z-211+z-2
=∑∞n=-1(-1)n+1(z-2)n，0＜z-2＜1

所以两个奇点均是一阶极点，又称为单极点(simple pole)。极点还可以由以下定理判定。
零点(zero)不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成

f(z)=(z-z0)mφ(z)(3.5.6)

其中，m为某一正整数，φ(z)在z0点解析且φ(z0)≠0，那么z0称为f(z)的m阶零点。
定理3.10如果z0是函数f(z)的m阶极点，那么z0就是函数1f(z)的m阶零点，反过来也成立。
Theorem 3.10If z0 is the pole of order m for the function f(z), then z0 is the zero of order m for the function 1f(z) and vice versa.

可以证明，以下每一条都可以作为孤立奇点z0为m阶极点的充分必要条件。 
(1) f(z)在奇点z0的去心邻域内的洛朗级数形式为

f(z)=∑∞n=-mcn(z-z0)n,c-m≠0(3.5.7)

(2) f(z)=1(z-z0)mφ(z)，φ(z)解析且φ(z0)≠0。 
(3) limz→z0(z-z0)mf(z)=a(a≠0)。
实际上，孤立奇点z0是极点的充分必要条件是limz→z0f(z)=∞，但不能判断极点阶数。
如果函数在环域0＜z-z0＜R上洛朗级数的主要部分为无穷项，即

f(z)=∑∞n=-∞cn(z-z0)n(3.5.8)

则称z0为f(z)的本性奇点(essential singular point)。在本性奇点处，极限limz→z0f(z)不存在。
例如，z0=0为函数e1z的奇点，又因

e1z=∑∞n=01n!z-n，0＜z＜+∞

有无穷多项负幂项，故z0=0是函数e1z的本性奇点。沿正实轴和负实轴两个不同方向求得极限limz→0e1z值分别为∞和0，因此该极限不存在。
可以证明，以下每一条都可以作为孤立奇点z0为本性奇点的充分必要条件。 
(1) f(z)在奇点z0去心邻域内的洛朗级数形式为

f(z)=∑∞n=-∞cn(z-z0)n，c-m≠0(3.5.9)

(2) 极限limz→z0f(z)不存在。
例3.22判断z0=1是函数f(z)=e1z-1的何种类型奇点。
解： 在z0=1的去心邻域上，函数f(z)=e1z-1展开为洛朗级数

e1z-1=1+1z-1+12!(z-1)2+13!(z-1)3+…

因此，z0=1为f(z)=e1z-1的本性奇点。
对于形式为f(z)=eg(z)的函数，如果g(z)以z0为极点，那么z=0为f(z)=e1z的本性奇点。例如，例3.22中的函数f(z)=e1z-1，由于1z-1以z0=1为一阶极点，因此z0=1是函数f(z)=e1z-1的本性奇点。
例3.23求下列函数的孤立奇点，并指出类型。
(1) f(z)=z-2(z2+1)(z-1)2； 
(2) f(z)=(z2-1)(z-2)3(sinπz)2。
解： (1) 复变函数f(z)=z-2(z2+1)(z-1)2=z-2(z-i)(z+i)(z-1)2，因此三个孤立奇点分别为z1=i,z2=-i,z3=1，由极点的充分必要条件(2)可知三个奇点分别为单极点、单极点、二阶极点。
(2) 函数f(z)=(z2-1)(z-2)3(sinπz)2=(z-1)(z+1)(z-2)3(sinπz)2的奇点为

zk=k，k=0,±1,±2，…

因为

limz→1(z-1)f(z)= limz→1(z-1)2(z+1)(z-2)3(sinπz)2
= limz→1(z-1)2(sinπz)2limz→1(z+1)(z-2)3=-2π2
limz→-1(z+1)f(z)=limz→-1(z+1)2(z-1)(z-2)3(sinπz)2
=limz→-1(z+1)2(sinπz)2limz→-1(z-1)(z-2)3=54π2
limz→2f(z)= limz→2(z2-1)(z-2)3(sinπz)2= limz→2(z-2)3(sinπz)2limz→2(z2-1)=0

当k≠1,-1,2时，有

limz→k(z-k)2f(z)= limz→k(z-k)2(sinπz)2limz→k(z2-1)(z-2)3=(k2-1)(k-2)3π2

因此，三个奇点1、-1、2分别为单极点、单极点和可去奇点，其他k(k≠1,-1,2)为二阶极点。
3.6基于MATLAB的幂级数展开(power series expansion 
based on MATLAB)
本节介绍幂级数展开及求和函数的编程实现。如果一个幂级数是收敛的，可以运用函数实现幂级数和函数的计算，也可以将一个解析函数展开为以给定点为中心的泰勒级数。常见的MATLAB级数操作命令如下： 

syms var1，var2，…           %定义变量

s=symsum(f, n, a, b)            %其功能是计算级数和∑bn=af。其中f是包含符号变量n的表达式。当
%f的表达式中只含一个变量时，参数n可省略

r=taylor(f, n, z, z0)             %将函数 f 展开为以z0为中心的泰勒级数。其中，z是变量，n为泰勒
%展开式项数，其默认值为n=6，z0的默认值为z0=0

gamma(n+1)                  %求阶乘n!

例3.24求下列幂级数的和函数。

f1(z)=∑∞n=01n+1zn+1； f2(z)=∑∞n=0(-1)n(n+1)zn； f3(z)=∑∞n=01n!zn。

MATLAB代码：

clear

clc

syms n z;

f1=z^(n+1)/(n+1);               %级数f1

s1=symsum(f1,n,0,inf)

f2=(-1)^n*(n+1)*z^n;            %级数f2

s2=symsum(f2,n,0,inf)

f3=z^n/gamma(n+1);            %级数f3

f3=symsum(f3,n,0,inf)

结果如下： 

s1 =-log(1-z)

s2 =1/(z+1)^2

f3 =exp(z)

例3.25将函数f(z)=zz+1展开成以1为中心的泰勒级数。
MATLAB代码：

syms z 

f=z/(z+1);

r=taylor(f,8,z,1)

运行结果为

r=1/4+1/4*z-1/8*(z-1)^2+1/16*(z-1)^3-1/32*(z-1)^4+1/64*(z-1)^5-1/128*(z-1)^6+1/256*(z-1)^7

运用MATLAB编程也可以观察级数的收敛性。
例3.26观察下列级数的部分和变化趋势。

f1(n)=∑∞n=11n，f2(n)=∑∞n=1(-1)nn

MATLAB代码： 

clear

clc

clf

for n=1:100

for k=1:n

f1(k)=1/2^k;             %级数f1

f2(k)=(-1)^k/k;           %级数f2

end

s1(n)=sum(f1);

s2(n)=sum(f2);

end

figure(1)

plot(s1)

figure(2)

plot(s2)

运行结果如图3.4所示。可以看出，f1发散，f2收敛，运用symsum()函数还可以求出收敛和，语句和结果如下： 

sym n;

symsum((-1)^n/n,1,inf)

运行结果为

ans =-log(2)



图3.4级数部分和的变化趋势


第3章习题
1. 判断下列级数的收敛性与绝对收敛性。
(1)  ∑∞k=1ikk； (2) ∑∞k=1ikk2。
2. 确定下列级数的收敛半径。 
(1) ∑∞k=0zkk!；(2) ∑∞k=1klnkzk ； (3) ∑∞k=1k!kkzk；
(4) ∑∞k=1122kz2k； (5) ∑∞k=1［2+(-1)k］kzk。
3. 已知幂级数∑∞k=1akzk和∑∞k=1bkzk的收敛半径分别为R1和R2，确定下列级数的收敛半径。 
(1) ∑∞k=0knakzk；(2) ∑∞k=1kkakzk；(3) ∑∞k=0ankzk； 
(4) ∑∞k=0ak+bkzk； (5) ∑∞k=0ak-bkzk； (6) ∑∞k=0akbkzk； 
(7) ∑∞k=0akbkzk。
4. 将下列函数展开成泰勒级数，并指出其收敛域。 
(1) 1(1-z)2在z=0处； (2) 1(z-1)(z-2)在z=0处； (3) z-3(z-1)(z-2)在z=0处； 
(4) arctanz在z=0处； (5) 11+z+z2在z=0处； (6) z2(z+1)2在z=1处； 
(7) zz+2在z=1处。
5. 将下列函数在指定环域内展开为洛朗级数。
(1) z+1z2(z-1),0＜z＜1,1＜z＜∞；(2) z2-2z+5(z-2)(z2+1),1＜z＜2； 
(3) z-3(z-1)(z-2),1＜z＜2,1＜z-1＜∞； (4) 1z2-3z+2,2＜z＜∞。
6. 将函数f(z)=1z(1-z)在下列区域中展开为级数。
(1) 0＜z＜1；(2) 0＜z-1＜1；(3) z+1＜1；(4) z+1＞2。
7. 求出下列函数的奇点，并确定它们是哪一类的奇点(对于极点，要指出它们的阶)。
(1) z-1z(z2+4)2；(2) z5(1-z)2； (3) zsinz； (4) z1-cosz-2z3； 
(5) z9cos1z； (6) zz+1；(7) ez1+z2；(8) ze1z。
8. 已知f(z)=z6(z-10)8=∑∞k=0akz-1k，求该幂级数的收敛半径。
9. 将函数f(z)=1(z-1)2在z=0处展开为幂级数并指出收敛半径。
10. 函数f(z)=1z(z-1)以z=0为中心的洛朗级数展开式为 

1z(z-1)=1z-1-1z=-1z-∑∞k=0zk=-1z-1-z-z2-z3…,0＜z＜1

和

1z(z-1)=1z211-1/z=1z2∑∞k=01zk=1z2+1z3+1z4+…,1＜z＜∞

这是否与洛朗级数展开的唯一性相矛盾？说明理由。
11.  在z=1的邻域上，将函数f(z)=sin1z-1展开为洛朗级数，并判断z=1的奇点类型。