第3章
CHAPTER 3


电路分析方法之二


——电路方程法



3.1学习要点
3.1.1典型支路的特性方程、2b法
1. 典型支路及其特性方程


如果不考虑受控电源，电路中的一条典型支路如图31所示。其特性方程（支路方程）为



图31电路中的一条典型支路



uk=Rkik+usk-Rkisk


或

ik=Gkuk+isk-Gkusk


2. 2b法
以电路中b条支路的电流、电压共2b个电量为变量列写方程组求解电路的方法称为2b法。
2b法主要用于计算机辅助电路分析。由于所需列写的方程数目较多，计算工作量较大，在人工计算电路时较少使用。
3.1.2支路分析法
以电路中的支路电流或支路电压为变量列出电路中独立节点的KCL方程和独立回路的KVL方程而求解电路的方法称为支路分析法（包括支路电流法和支路电压法）。由于支路电压法在实际中用得较少，下述的支路分析法均指支路电流法。支路分析法也简称为支路法。


1. 视察法列写支路法方程的规则和步骤
（1） 为各支路电流指定参考方向，为各独立回路指定绕行方向。
（2） 列写n-1个独立节点的KCL方程。
（3） 列写各独立回路的KVL方程： 这一方程的形式为∑Rkik=∑usk，即方程的左边为回路中各电阻电压的代数和，当电流ik与回路的绕行方向一致时，该项电压前取正号，否则取负号。方程的右边为回路中所有电压源电压的代数和，当电压源电压的方向与回路的绕行方向一致时，该项电压前为负号，否则为正号。

2. 电路中含受控源时支路法方程的列写
先将受控源视为独立电源列写方程，再将受控源的控制量用支路电流表示后代入方程整理便可。
3. 电路中含无伴电流源支路时支路法方程的列写
可用两种方法进行处理。
（1） 虚设电压变量法，即假设无伴电流源支路的端电压为新的变量后再列写独立回路的KVL方程。
（2） 选“合适独立回路”法，即令无伴电流源支路只和一个回路相关联，从而该独立回路的KVL方程无须列写，这样就减少了方程的数目。





3.1.3节点分析法
以节点电位（电压）为变量列写电路方程（组）求解电路的方法称为节点分析法，简称为节点法。所列写的节点法方程实质是独立节点的KCL方程。


1. 视察法列写节点法方程的规则和步骤
（1） 选定参考节点后给各独立节点编号。
（2） 对各独立节点列写方程。第i个节点的方程的一般形式为g
iiφi-∑k≠iGikφk=∑i
sk。方程左边的gii称为节点i的自电导，其为连接至节点i上所有电阻支路的电导之和，gii前恒取正号。gik称为节点i与节点k间的互电导，其为节点i与节点k之间所有电阻支路的电导之和，gik前恒取负号。方程的右边为连接至节点i上的所有电流源电流的代数和，当电流源电流的参考方向指向节点i时，该电流源电流前取正号，否则取负号。
2. 电路中含受控源时节点法方程的列写
先将受控源视为独立电源列写方程，再将受控源的控制量用节点电位表示后代入所列写的节点法方程中进行整理即可。
3. 电路中含无伴电压源支路时节点法方程的列写
可用三种方法进行处理。
（1） 无伴电压源端点接地法。将无伴电压源的一个端点选为参考点，则其另一个端点（节点）的电位便为已知，于是该节点的方程无须列写，从而可减少所需列写的方程的数目。
（2） 做封闭面法。围绕连接无伴电压源支路的两个节点作封闭面后列写该封闭面的KCL方程。这一方法也能减少方程的数目。
（3） 虚设电流变量法。增设无伴电压源支路的电流为新的变量后再对各独立节点建立方程，同时还需增加用节点电位表示的无伴电压源电压的方程。
3.1.4回路分析法
以独立回路电流为变量建立电路方程求解电路的方法称为回路分析法，简称回路法。所列写的回路法方程实质是各独立回路的KVL方程。
1. 视察法建立回路法方程的规则和步骤
（1） 给各支路电流指定参考方向。
（2） 选取一组独立回路。
（3） 对各独立回路列写方程。第i个回路方程的一般形式为RiiIli±∑k≠iRikIlk=∑Usk。其中Rii称为第i个回路的自电阻，为回路i中所有电阻支路的电阻之和，Rii前恒取正号。Rik称为回路i和回路k之间的互电阻，为i、k两回路间所有公共电阻支路的电阻之和。当i、k两回路的绕行方向关于公共电阻支路为一致时，Rik前取正号，否则取负号。∑Usk为回路i中所有电压源电压的代数和。当电压源电压的参考方向与回路的绕行方向一致时，该电压源电压取负号，否则取正号。
2. 电路中含受控源时回路法方程的列写
先将受控源视为独立电源列写方程，再将受控源的控制量用回路电流表示后代入所写的回路法方程中加以整理即可。
3. 电路中含无伴电流源支路时回路法方程的列写
可用两种方法处理。
（1） 选“合适的独立回路”法。选独立回路时，使无伴电流源支路只属于一个独立回路，于是此独立回路的电流为已知电流源的电流，这一回路的方程无须列写，从而也减少了方程的数目。
（2） 虚设电压变量法。增设无伴电流源支路的端电压为新的变量再对各独立回路建立方程。同时还需增加用回路电流表示的无伴电流源电流的方程。

3.1.5网孔分析法
以网孔电流为变量建立电路方程求解电路的方法称为网孔分析法，也简称为网孔法。所列写的网孔法方程实质是各网孔的KVL方程。网孔法可视为回路法的特例。网孔法只适用于平面电路。
1. 视察法建立网孔法方程的规则和步骤
（1） 给电路中的各网孔编号，指定各网孔的绕行方向为顺时针方向。
（2） 对各网孔列写方程。第i个网孔方程的一般形式为RiiImi-∑k≠iRikImk=∑Usk。其中Rii称为第i个网孔的自电阻，为网孔i中所有电阻支路的电阻之和，Rii前恒取正号。Rik称为网孔i和网孔k之间的互电阻，为i、k两网孔间的所有公共电阻支路的电阻之和，Rik前恒取负号。∑Usk为网孔i中所有电压源电压的代数和。当电压源电压的参考方向与网孔的绕行方向一致时，该电压源的电压取负号，否则取正号。
2. 电路中含受控源时网孔法方程的列写
先将受控源视为独立电源建立方程，再将受控源的控制量用网孔电流表示后代入所列写的网孔法方程中进行整理即可。
3. 电路中含无伴电流源支路时网孔法方程的列写
可用两种方法处理。
（1） 电流源单相关法。使无伴电流源支路只和一个网孔关联，这样该网孔的电流为已知电流源的电流，于是这一网孔的方程无须列写，从而也减少了所需列写的方程的数目。
（2） 虚设电压变量法。增设无伴电流源支路的端电压为新的变量后再对各网孔建立方程。同时还需增加用网孔电流表示的无伴电流源电流的方程。



3.2练习题题解





31
电路如图32所示。
(1) 试列写两种形式的支路方程； 
(2)  试建立该电路的2b法方程式。



图32练习题31图




解（1） 该电路用支路电流表示支路电压的方程为



U1=R1I1+Us

U2=R2(I2+Is)=R2I2+R2Is

U3=R3I3

U4=R4I4

U5=R5I5

U6=R6I6+βUR=R6I6+βR1I1

该电路用支路电压表示支路电流的方程为





I1=G1U1-G1Us

I2=G2U2-Is

I3=G3U3

I4=G4U4

I5=G5U5

I6=-βG6U1+G6U6+βG6Us［因U6=βI6+βUR=R6I6+β(U1-Us)］


式中Gk=1/Rk。
（2）  为写该电路的2b法方程，选节点①、②、③为独立节点，回路l1、l2、l3为独立回路，则所写2b法方程为



I1+I4+I6=0

-I3-I4-I5=0

I2+I5-I6=0

-U1-U3+U4=0

U2+U3-U5=0

-U4+U5+U6=0

U1=R1I1+Us

U2=R2I2+R2Is

U3=R3I3

U4=R4I4

U5=R5I5

U6=R6I6+βR1I1






32列写图33所示电路的支路电流法方程。
解该电路含有一无伴电流源支路，宜采用“选合适回路法”。“选合适回路法”的实质是使无伴电流源支路只与一个回路相关联，而不使其成为两个或多个回路的公共支路。按此思路选出三个回路如图中所示，其中无伴电流源支路只与回路l1相关联，于是只需对l2和l3回路写出KVL方程。该电路的支路法方程为

-I1+Is+I4=0

I2-I4+I5=0

R1I1+R4I4+R5I5=Us1

R2I2-R5I5=-Us2

33试建立图34所示电路的节点电位法方程。



图33练习题32图




图34练习题33图



解给各节点编号及选参考节点如图34中所示。因电路中有两个无伴电压源支路，采用“作封闭面法”建立方程。作封闭面如图中虚线所示，对该封闭面建立KCL方程为

1R1(φ2-φ1)+1R3(φ2-3u2)+1R4φ3+1R2(φ3-φ1)+Is=0

将φ1=E1及u2=φ1-φ2=E1-φ2代入上式并进行整理，可得

1R1+4R3φ2+1R2+1R4φ3=1R1+1R2+3R3E1-Is（1）

又有

φ2-φ3=2i1



图35练习题34图

将i1=1R1(φ2-φ1)=1R1(φ2-E1)代入上式后得

1-2R1φ2-φ3=-2R1E1（2）


式（1）和式（2）的联立便是该电路的节点电位法方程。





34用回路法求图35所示电路中独立电流源的功率。

解选合适回路如图35所示。只需列写回路l1的方程，该方程为

(1+2+1+1)il1-（1+1）il2+（1+2）il3=6

又有


il2=6A，U1=1×（il2-il1）=6-il1

il3=3U1=3(6-il1)=18-3il1


将上述各式整理后得到

4il1-36=0

得

il1=9A，il3=18-3il1=-9A

由电路可得


i1=il2-il1=6-9=-3A

U=2(-il1-il3)+1×(-il1+il2-il3)=6V

U1=6-il1=6-9=-3V


则所求为


P6V=6i1=6×(-3)=-18W

P3U1=3U1U=3×(-3)×6=-54W




35试列写图36所示电路的网孔法方程。



图36练习题35图


解选定各网孔电流的方向为顺时针方向并给各网孔编号如图36所示。由于网孔电流im3和im4就是相应电流源的电流，因此只需对m1和m2网孔建立方程。可得

m1： (1+2+3)im1-im2-3im3-2im4=0


m2： -im1+(1+1+3)im2-im3-3im4=0

将im3=2A，im4=-2I1，I1=-im1+im2代入上述方程，整理后得到

im1+im2=2


-7im1+11im2=2



3.3习题题解

31用支路电流法求图37所示电路中的各支路电流及各电压源的功率。


图37题31图

解给出各支路电流的参考方向如图37中所示。列写出支路法方程为

I1+I2+I3=0

-I3+I4+I5=0

-I1+2I2=8

-2I2+2I3+I4=2-1

-I4+I5=1



解之，得

I1=-4A，I2=2A，I3=2A，I4=1A，I5=1A

各电压源的功率为


P8V=8I1=8×(-4)=-32W，P2V=-2I3=-2×2=-4W

P1V=1×I4=1×1=1W




图38题32图


32用支路电流法求图38所示电路中独立电压源和受控电流源的功率。



解因电路中含有一个无伴电流源，因此选图38中所示的两个回路后建立方程。给出各支路电流的参考方向如图38中所示。列出支路法方程为

I1-I2+2U1=0


2I2+I1=20-6


将U1=I1代入方程后，解得


I1=2A，I2=6A

U3=-3×2U1+U1+6=-5U1+6=-5×2+6=-4V


则所求为



P20V=-20I2=-20×6=-120WP6V=6I1=6×2=12W

P2U1=2U1U3=2×2×(-4)=-16W



33用支路电流法求图39所示电路中各支路电流。

解电路中有一个3A的无伴电流源，在选取图39中所示的三个独立回路后，写KVL方程时只需列写l1和l2两个回路的方程。所写出的支路法方程为




-i1+i4=3

i1-i3+i5=0

i2-i4-i5=0

2i4-2i5=-6

i3+2i5=-8-12


解上述方程组，可求得


i1=-9.5A，i2=-10A，i3=-13A,i4=-6.5A,i5=-3.5A



34用节点分析法求图310所示电路中各独立电源的功率。


图39题33图




图310题34图



解选参考节点及给出各支路电流的参考方向如图310中所示，建立电路的节点法方程为

12+13φ1=5+62+63

求得


φ1=12V

I1=φ1-63=2A，
I2=φ1-62=3A，U=φ1+3×5=27V



则所求为


P6V①=6I2=6×3=18W，P6V②=6I1=6×2=12W

P5A=-5U=-5×27=-135W


35电路如图311所示，用节点分析法求各支路电流。


图311题35图

解选参考节点及给出各支路电流参考方向如图311中所示。建立电路的节点法方程为

14+1+12φ1-φ2-12φ3=134

-φ1+(1+1)φ2-φ3=-1-5

-12φ1-φ2+12+1+16φ3=5

解之，得

φ1=5V，φ2=2.5V，φ3=6V

进而又求得


I1=φ1-134=-2A，I2=φ1-φ21=2.5A，I3=φ3-φ12=0.5A

I4=φ2-φ3+51=1.5A，I5=φ36=1A


36用节点法求图312所示电路中的电流I。



图312题36图


解给各节点编号及选参考节点如图312中所示。建立电路的节点法方程为

130+120+110φ1-110φ2=120-2I

-110φ1+110+110φ2=710+2I

将I=φ130代入方程，整理后得到

15φ1-6φ2=3


-5φ1+6φ2=21



图313题37图

解之，得

φ1=2.4V，φ2=5.5V

则所求为

I=φ130=2.430=0.08A


37电路如图313所示，用节点分析法求两个受控源的功率。

解给各节点编号及选参考节点如图313中所示。建立电路的节点法方程为

12+13φ1-13φ2=2-2u1

-13φ1+13+13+13φ2=2u1+i2

将u1=13(φ1-φ2)及i2=φ12代入方程整理后得到

3φ1-2φ2=4


-9φ1+10φ2=0

解之，得

φ1=103V，φ2=3V

又求得


u1=13(φ1-φ2)=13103-3=19V

i2=φ12=53A，i=13(φ2-3i2)=13(3-5)=-23A


则所求为

P2u1=2u1(φ1-φ2)=2×19×13=227W，P3i2=3i2i=3×53×-23=-103W







38某网络的节点法方程为

1.6-0.5-1

-0.51.6-0.1

-1-0.13.1φ1
φ2
φ3=1
2
-1

试绘出电路图。

解该节点法方程中的节点电导矩阵为一对称矩阵，因此对应的电路中不含有受控电源。根据电路方程作出与之对应的一种电路如图314所示。



图314题38图




图315题39图



39在图315所示电路中，网络N是具有4个节点的含受控源的线性时不变网络，其节点方程如下： 

4-2-1

-26-4

-1-23φ1
φ2
φ3=3
0
1

现在节点③与节点④之间接入一含受控源的支路，如图315所示，试求0.2Ω电阻及1.2φ2受控源的功率。



解此受控源支路是接在节点③和参考节点之间，因此只需对原方程组中的对应于节点③的方程进行修改调整。该方程调整为

-φ1-2φ2+3+10.2φ3=1+1.2φ20.2

即

-φ1-8φ2+8φ3=1

于是接入受控源支路后的电路节点法方程为

4-2-1

-26-4

-1-88φ1
φ2
φ3=3
0
1

解之，得

φ1=31V，φ2=39V，φ3=43V

由此可求得

I=φ3-1.2φ20.2=19A

P0.2Ω=I2×0.2=72.2W

P1.2φ2=1.2φ2I=889.2W







图316题310图



310求图316所示电路中受控电源的功率。
解给各节点编号并选参考节点如图316所示。建立节点①的方程为

15+1φ1-φ2=55+2

将φ2=-9V代入上式，解出

φ1=-5V

由电路又有

φ3=1.5i+φ2=1.5i-9

但i=φ1-φ21=4A，于是

φ3=1.5i-9=6-9=-3V

又求得

i1=-2-φ33=-1A

则受控源的功率为


图317题311图



P1.5i=1.5ii1=1.5×4×(-1)=-6W



311
用回路法求图317所示电路中的电压U和电流I。

解该电路有四个独立回路，且有两个无伴电流源，因此选如图317所示的一组独立回路，其中两个无伴电流源分别只与回路l2和l3相关联，于是有


il2=6A,il3=2U=2×6il4=12il4

列出回路l1的方程为



(3+4)il1+3il2=26I-20=26il1-20

解之，得


I=il1=2A


又对l4回路列写方程，可得


(2+6)il4-6il2=20


将il2=6A代入上式，求出


il4=7A

于是求出

U=6(il4-il2)=6(7-6)=6V


312用回路法求如图318（a）所示电路中各电压源支路的电流i1、i2、i3和i4。


图318题312图

解此电路中有五个无伴电流源支路，共有六个独立回路。为便于分析，将电路中的每一条支路均用一根线段代替，可得图318（b）所示的“图”。令每个无伴电流源只与一个独立回路关联，选择出一组独立回路如图318(b)中所示。只需列写回路l1的方程，可得

(2+4+2+3)il1+(2+3+4)il2-2il3-3il4+4il5+(2+3)il6=-2-7+12-10

将il2=2A，il3=4A，il4=1A，il5=1A，il6=3A代入该方程，解得

il1=-3A

于是所求各支路电流为


i1=il1=-3A，i2=il1+il2-il3+il6=-2A

i3=il1+il2-il4+il6=1A，i4=il1+il2+il5=0


313电路如图319（a）所示，试用回路法求受控电压源的功率。


图319题313图

解

令电路中的每一无伴电流源只与一个回路相关联，则选出一组
回路如图319（b）所示。只需列写回路l1的方程，可得

(10+4+2)il1+4il2+10il3=2+50i

又有


il3=1.5u1=1.5×2il1=3il1

i=il3-il2=il3-1=3il1-1



将上述两式代入所写的方程后解得

il1=0.5A

又求出

i4=-il1-il3=-4il1=-2A，i=3il1-1=0.5A

则受控电压源功率为

P50i=50ii4=50×0.5×(-2)=-50W




图320题314图

314用网孔法求图320所示电路中各支路电流。
解给出各支路电流及网孔电流的参考方向如图320所示。建立网孔法方程为

(2+8)im1-8im2=-3


-8im1+(8+4)im2=5+3

解之，得

im1=0.5A，im2=1A

则各支路电流为

i1=im1=0.5A，i2=im1-im2=0.5-1=-0.5A，i3=im2=1A




315电路如图321（a）所示，用网孔法求各电源的功率。


图321题315图

解因电路中含有一无伴电流源支路，为使其只与一个网孔相关联，可将电路改画为如图321（b）所示，给出各网孔电流及相关电量的参考方向如图321（b）中所示。建立网孔法方程为

(4+3)im1-4im3=10


(2+6)im2-2im3=-10

将im3=1A代入上述方程，解出

im1=2A，im2=-1A

又求得


i=im2-im1=-1-2=-3A

U=4(im1-im3)+2(im2-im3)=4×1+2×(-2)=0


则两电源的功率为

P10V=10i=-30W，P1A=1×U=0



316用网孔法求图322所示电路中的U和I。


图322题316图

解给出各网孔电流的参考方向如图322所示。列写电路的网孔法方程为

4im1-2im2-im3=-5

-2im1+4im2-im3=0

-im1-im2+2im3=-2U

将U=2(im2-im1)代入网孔法方程后，解出各网孔电流为

im1=-5512A，im2=-154A，im3=356A

由此可求得

I=-im1=5512A，U=2(im2-im1)=53V

317已知某电路的网孔法方程为

1.7-0.5-0.2

1.52-8

-2.2-13.4im1
im2
im3=10
0
0

试构造与之对应的电路。


图323题317图

解所给网孔法方程中的网孔电阻矩阵为非对称矩阵，则对应的电路中应含有受控电源。为作出电路，需将方程左边的系数矩阵整理变换为对称矩阵，则所得方程为

1.7-0.5-0.2

-0.52-1

-0.2-13.4im1
im2
im3=10
-2im1+7im3
2im1

与此方程对应的电路形式之一如图323所示。


318求图324（a）所示电路中的电流i。


图324题318图

解
这是一个非平面电路，用回路法求解。
令三个无伴电流源支路
分别只与一个回路关联，作出一组独立
回路如图324（b）所示。只需建立回路l1对应的方程，可得

6il1+3il2-3il3+3il4=0


将il2=1A，il3=3A，il4=1A代入上式，解得

il1=0.5A

则所求为

i=il1=0.5A



319求图325所示电路中2V电压源及2A电流源的功率。


图325题319图

解
用节点法求解。电路中有两个无伴电压源，有四个独立节点，因此只需列写两个方程。选参考节点如图325中所示，且包围无伴受控电压源作一封闭面如图325中虚线所示。列写节点①和封闭面的方程如下：


节点①1+11/2φ1-φ3=2

封闭面(φ3-φ1)-2U1+2(φ2-φ4)+φ2=0

又有


φ3-φ2=4U2=4φ2

U1=φ1，φ4=2V


对上述方程联立求解，求得


φ1=4V，φ2=2V，φ3=10V

U=2-φ1=-2V,i=i1+i2=
φ11/2+
φ21
=10A



图326题320图


则所求为


P2A=2U=2×(-2)=-4W

P2V=-2i=-2×10=-20W



320电路如图326所示，求电流I1。
解用回路法求解。选取回路如图326中所示，只需列写对应于回路l3和l4的方程。所建立的方程为

1+1+23il3+il1+1+23il2-il4=-2

(2+1)il4-il3=0

将受控源的控制量I用回路电流表示，有

I=1+il4

又将il1=1A，il2=3I=3+3il4代入所列写的方程中，可解得

il3=-2A，il4=-23A

则所求为

I1=-il2-il3=-3I-il3=-3(1+il4)-il3=-3×13+2=1A