第3章 CHAPTER 3 正弦交流电路 所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。在生产和生活上所用的交流电，一般都是指正弦交流电，因此，正弦交流电路是电路理论很重要的一部分内容。本章重点讨论正弦交流电的基本概念、相量分析方法、简单正弦交流电路分析、谐振现象及三相交流电的基本知识。 3.1交流电的基本概念 交流电是指大小和方向随时间做周期性往复变化的电压和电流。图31给出了几种周期性交流电的波形。 图31周期性交流电的一般波形 图31(d)所示的交流电，其大小和方向随时间按正弦规律变化，称为正弦交流电，它是最常用的交流电。例如，发电厂提供的电能是正弦交流电的形式； 在收音机里为了听到语音广播信号用到的“高频载波”是正弦波形； 正弦信号发生器输出的信号电压，也是随时间按正弦规律变化的。 3.1.1正弦交流电的三要素 图32示出了正弦量(以电流i为例)的一段变化曲线，该曲线可用下式表示 i=Imsin(ωt+φ0)(31) 式中，i表示交流电流的瞬时大小，称瞬时值； Im是瞬时值中最大的值，称幅值； ω表示正弦电流的角频率； φ0表示正弦电流的初相位。幅值、角频率、初相位合称为正弦量的“三要素”，它们分别表示正弦交流电变化的幅度、快慢和初始状态。下面分别给予详细说明。 图32正弦波形 1. 幅值 幅值是瞬时值中的最大值，又称为最大值或峰值， 通常用Im或Um表示，它们是与时间无关的常数。 2. 角频率 角频率是表示正弦量变化快慢的一个物理量，为了说明角频率的概念，先了解周期T和频率f的含义。 周期T是正弦量变化一周所需要的时间，周期T越大，波形变化越慢； 反之，周期T越小，波形变化越快。周期T的单位是s(秒)。 频率f表示每秒时间内正弦量重复变化的次数。f越大，正弦量变化越快，反之越慢。频率的单位是Hz(赫兹)，较高的频率用kHz(千赫)和MHz(兆赫)表示。1kHz=103Hz，1MHz=106Hz。 周期T和频率f互为倒数，即 T=1f或f=1T(32) 中国发电厂提供的电能规定频率f=50Hz，即每变化一周需要的时间为 T=150=0.02（s） 正弦量变化一个周期，相当于正弦函数变化2π弧度，角频率ω表示正弦量每秒变化的弧度数，单 位是rad/s(弧度/秒)，角频率与周期的关系为 ωT=2π 即 ω=2πT=2πf(33) 中国电力系统提供的正弦交流电的频率f=50Hz，即角频率 ω=100πrad/s=314rad/s 3. 初相位 式(31)中的ωt+φ0称为正弦量的相位角，简称相位，相位角是时间的函数。当t=0时，正弦量的相位称为初相位，又称初相角。初相位φ0的大小和正负，与选择的时间起点有关。 通常规定正弦量由负值变化到正值经过的零点为该正弦量的零点，离计时起点(t=0)最近的正弦量零点到计时起点之间对应的电角度即为初相位φ0。φ0的正负可以这样确定： 当正弦量的初始瞬时值为正时，φ0为正； 初始瞬时值为负时，φ0为负。或从正弦零点所处的位置来看，如果离计时起点最近的正弦零点在纵轴的左侧时，φ0为正； 若在右侧时，φ0为负。两种方法所得结果相同。图33给出了几种不同初相位的正弦电压波形。 图33初相位 图33(a)中，φ0=0，这时正弦电压的表达式u=Umsinωt。 图33(b)中，φ0>0，这时正弦电压的表达式u=Umsin(ωt+φ0)。 图33(c)中，φ0<0，这时正弦电压的表达式u=Umsin(ωt-φ0)。 由上述初相位的定义可知，其取值范围为-π<φ0<π。 3.1.2正弦交流电的相位差 两个同频率的正弦交流电在任何瞬时的相位之差或初相位之差称为相位差，用φ表示。 图34中，u和i的波形可用下式表示 u=Umsin(ωt+φ1) i=Imsin(ωt+φ2) (34) u和i的相位差为 φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2(35) 图34相位差 可见，相位差φ的大小与时间t、角频率ω无关，它仅取决于两个同频正弦量的初相位。 当两个同频正弦量的计时起点(t=0)改变时，它们的相位和初相位随之改变，但两者的相位差始终不变。 由图34可见，因为u和i的初相位不同(不同相)，所以它们的变化步调是不一致的，即不是同时到达正的幅值和零值。图中φ>0(φ1>φ2)，所以u较i先到达正的幅值，称u比i超前φ角，或者i比u滞后φ角。图35示出了几种特殊的相位关系。 图35几个特殊的相位关系 图35(a)中，φ=0，称u1和u2同相； 图35(b)中，φ=π，称u1和u2反相； 图35(c)中，φ=π2，称u1和u2正交。 3.1.3正弦交流电的有效值 无论从测量还是使用上，用瞬时值或最大值表示交流电在电路中产生的效果(如热、机械、光等效应)既不确切也不方便。为了使交流电的大小能反映它在电路中做功的效果，常用有效值表示交流电量的量值，如常用的交流电压220V、380V等都是指有效值。 有效值是从电流的热效应来规定的，因为在电路中电流常表现出其热效应。若某一周期电流i通过电阻R(如电阻炉)在一个周期内产生的热量，和另一直流电流I通过同样大小的电阻在相等时间内产生的热量相等，那么，i的有效值在数值上就等于I。 因此可得 ∫T0Ri2dt=RI2T 由此得出交流电流的有效值 I=1T∫T0i2dt(36) 若i= Imsinωt，则 I=1T∫T0I2msin2ωtdt=Im2=0.707Im(37) 同理 U=Um2=0.707Um(38) E=Em2=0.707Em(39) 式(37)~式(39)表明，正弦交流电的有效值等于它的最大值的0.707倍，按照规定，有效值都用大写字母表示。 所有交流用电设备铭牌上标注的额定电压、额定电流都是有效值，一般交流电流表和电压表的刻度也是根据有效值来标定的。 【例31】在某电路中，i=100sin6280t-π4mA。(1)试指出它的频率、周期、角频率、幅值、有效值及初相位各为多少？(2)画出该电流的波形图。 【解】(1) 角频率。 ω=6280rad/s 频率 f=ω2π=62802×3.14=1000（Hz） 周期 图36例31的图 T=1f=11000=0.001（s） 幅值 Im=100mA 有效值 I=0.707 Im=70.7mA 初相位 φ0=-π4 (2) 该电流的波形如图36所示。 3.2正弦量的相量表示方法 如3.1节所述，一个正弦量具有幅值、角频率、初相位三个特征量(三要素)，它可用三角函数式(见式(31))或正弦波形(见图32)来表示，但用这两种方法来计算正弦交流电的和或差时，运算过程烦琐，很不方便。因此，在电路领域，常用相量表示正弦量，相量表示法的基础是复数，就是用复数表示正弦量。 3.2.1用旋转相量表示正弦量 设有一正弦电压u=Umsin(ωt+φ0)，如图37(b)所示，用旋转相量表示的方法如下。 以直角坐标系的O点为原点，取相量的长度为振幅Um，相量的起始位置与横轴正方向之间的夹角为初相位φ0，并以角频率ω绕原点按逆时针方向旋转，这样，该相量在旋转的过程中，它每一瞬时在纵轴上的投影即代表正弦电压在该时刻的瞬时值，如图37(a)所示。 图37用旋转相量表示正弦量 例如，t=0时，u0=Umsinφ0； t=t1时，u1=Umsin(ωt1+φ0)。 如上所述，正弦量可用一条旋转的有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量也可用复数表示。为了与一般的复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“·”表示，例如，正弦电压u=Umsin(ωt+φ0)的相量表示式为 U·m=Umcosφ0+jsinφ0=Umejφ0=Um∠φ0(310) 或 U·=Ucosφ0+jsinφ0=Uejφ0=U∠φ0(311) U·m是电压的幅值相量，U·是电压的有效值相量。注意，相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。另外，式(310)或式(311)中只有两个特征量，即模和幅角，也就是正弦量的幅值(或有效值)和初相位。由于在线性电路中，电路的输入和输出均为同频率的正弦量，频率是已知的或特定的，可不必考虑，只需求出正弦量的幅值(或有效值)和初相位即可。 3.2.2相量图 按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。在相量图上能形象地看出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。例如，图34中用正弦波形表示的两个正弦量，若用相量图表示则如图38所示。 图38相量图 由图34容易看出，电压相量U·比电流相量I·超 前φ角，即正弦电压u比正弦电流i超前φ角。 关于相量表示法作以下几点说明。 (1) 只有正弦周期量才能用相量表示，相量不 能表示非正弦周期量。 (2) 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量不能画在同一相量图上，否则就无法进行比较和计算。 (3) 在相量图中，可以用幅值相量，也可化为有效值相量，但是必须注意，有效值相量在纵轴上的投影不再代表正弦量的瞬时值。 (4) 作相量图时，各相量的相对位置很重要。一般任选一个相量为参考相量，通常把它画在直角坐标系的横轴位置上，其余各相量的位置，则以与这个参考相量之间的相位差来确定，如图38所示。 3.2.3正弦交流电路的相量分析方法 在交流电路的分析计算中，常常需要将几个同频率的正弦量相加或相减。如图39所示的电路中，已知两正弦电流i1=I1msin(ωt+φ1)，i2=I2msin(ωt+φ2)，试确定i=i1+i2。 求解总电流i的方法很多，可用三角函数式求解，也可用复数式求解，还可用正弦波形求解，这里仅讨论相量图求解法，其具体方法如下。 如图310所示，首先做出表示电流i1和i2的相量I·1m和I·2m，然后以I·1m和I·2m为两邻边做一平行四边形，其对角线即为总电流i的幅值相量 I·m，对角线与横轴正方向(参考相量)之间的夹角即为初相位φ0。这就是相量运算中的平行四边形法则。 图39相量运算 图310相量的加法运算 如果要进行正弦量的减法运算，仍可利用平行四边形法则。例如，在图39中，若已知i=Imsin(ωt+φ0)，i2=I2msin(ωt+φ2)，求i1=i-i2。 这时，首先用相量表示i和i2。根据相量关系知道，求i-i2可通过求I·m-I·2m得到，因减相量等于加负相量，故合成相量I·1m=I·m+-I·2m。所以，以I·m和-I·2m为两邻边作一平行四边形，其对角线即为i1的相量，如图311所示。 图311相量的减法运算 由上述可见，利用相量法进行正弦量的加、减运算十分简便，相量法是分析正弦交流电路的常用工具。 3.3交流电路中的基本元件 电阻、电感与电容是组成电路的基本元件。本节重点讨论在正弦交流电路中，三种元件中电压与电流的一般关系及能量的转换问题。 3.3.1电阻元件 图312电阻元件 图312中，u和i为关联参考方向，根据欧姆定律得出 i=uR 或 u=Ri(312) 式(312)表明，电阻元件上的电压与通过它的电流成线性关系。 若式(312)两边同时乘以i，并积分，则得 ∫t0uidt=∫t0Ri2dt 上式表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能。 3.3.2电感元件 图313(a)所示是一个电感线圈，图313(b)是电感元件的符号。 当电感线圈中通过电流i时，在线圈内部和外部建立磁场形成磁通Φ(电感具有储存磁场能量的性质)，Φ与线圈N匝都交链，线圈各匝相链的磁通总和称为磁链Ψ，当线圈中没有铁磁材料时，Ψ或Φ与i成正比关系，即 Ψ=NΦ=Li或L=Ψi=NΦi(313) 图313电感元件及其构成 当通过线圈的磁通(磁链)发生变化时，线圈中要产生感应电动势eL，根据法拉第电磁感应定律(感应电动势等于回路包围的磁链变化率的负值)得 eL=-dΨdt=-NdΦdt(314) 将磁链Ψ=Li代入上式中，则得 eL=-Ldidt(315) eL称为自感电动势。式(315)表明，当电流的正值增大，即didt>0时，eL为负值，表明eL的实际方向与电流的方向相反，这时eL要阻碍电流的增大； 反之，当电流的正值减小，即didt<0时，eL为正值，表明eL的实际方向与电流的方向相同，这时eL要阻碍电流的减小。可见，自感电动势具有阻碍电流变化的性质。 电感L的单位是H(亨利)或mH(毫亨)，线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近介质的导磁性能有关。例如，有一密绕的长线圈，其横截面积为S(m2)，长度为l(m)，匝数为N，介质的磁导率为μ(H/m)，则其电感L(H)为 L=μSN2l(316) 由图313(b)可列出KVL方程为 u+eL=0 即 u=-eL=Ldidt(317) 式(317)表明，电感元件上的电压与通过它的电流成导数关系。当线圈中通过不随时间变化的恒定电流(即在直流电路稳定状态下)时，其上电压为零，因此，电感元件在直流电路中可视为短路。 最后，讨论一下电感元件中的能量转换问题。将式(317)两边乘i，并积分，得 ∫t0uidt=∫t0Lidi=12Li2(318) 式中的12Li2为磁场能量。式（318）表明，当电感元件中的电流增大时，磁场能量增大，在此过程中电能转换为磁能，即电感元件从电源取用能量； 当电流减小时，磁能转换为电能，即电感元件向电源放还能量。 3.3.3电容元件 图314(a)是电容元件的符号，电容元件是实际电容器的理想模型。实际电容器的种类和规格很多，然而就其构成的基本原理来说，都是由被绝缘介质隔离的两片平行金属极板组成的，两极板用金属导线引出，如图314(b)所示。 图314电容元件及其构成 当两极板间加电源时，与电源正极相连的金属板上就要积聚正电荷+q，而与负极相连的金属板上就要积聚负电荷-q，正、负电荷的电量是相等的(电容具有储存电场能量的性质)。电容器极板上所积聚的电量q与其上电压成正比，即 qu=C(319) 式中，C称为电容，电容的单位是F(法拉)。当将电容器充上1V的电压时，极板上积累了1C的电荷量，则该电容器的电容就是1F。由于法拉的单位太大，工程上多采用μF(微法)或pF(皮法)，1μF=10-6F，1pF=10-12F。 电容器的电容与极板的尺寸及其间介电常数有关。例如，有一极板间距离很小的平行板电容器，其极板面积为S(m2)，板间距离为d(m)，其间介质的介电常数为ε(F/m)，则其电容C(F)为 C=εSd(320) 当极板上的电荷量q或电压u发生变化时，在电路中就要引起电流 i=dqdt=Cdudt(321) 式（321）是在u和i为关联参考方向下(见图314(a))得出的，否则要加一个负号。 当电容器两端加恒定电压(直流稳定状态)时，由式(321)可知，i=0，因此，在直流电路中，电容元件可视作开路。 将式(321)两边乘u，并积分，可得 ∫t0uidt=∫t0Cudu=12Cu2(322) 式中的12Cu2为电容极板间的电场能量。式（322）表明，当电容元件上的电压增大时，电场能量增大，在此过程中电容元件从电源取用能量，电容处于充电状态； 当电压减小时，电场能量减小，这时电容元件向电源放还能量，电容处于放电状态。 表31列出了电阻元件、电感元件和电容元件在几个方面的特征，希望有助于读者以比较的方式加深理解。 表31电阻、电感和电容元件的特征 特征 元件 电阻元件电感元件电容元件 电压与电流的关系u=Riu=Ldidti=Cdudt 参数意义R=uiL=NΦiC=qu 能量∫t0Ri2dt12Li212Cu2 【例32】如图315(a)所示电路，电流源i(t)的波形如图315(b)所示。(1)试画出电感元件中产生的自感电动势eL和两端电压u的波形； (2)试计算在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的过程中它放出的能量。 图315例32的图 【解】(1) 电流i(t)的函数表达式如下。 i(t)= tmA，0≤t≤4ms (-2t+12) mA，4ms≤t≤6ms 可分段计算eL及u。 当0≤t≤4ms时 eL=-Ldidt=-0.2V u=-eL=0.2V 当4ms≤t≤6ms时 eL=-Ldidt=-0.2×(-2)=0.4(V) u=-eL=-0.4V eL和u的波形分别如图315(c)、图315(d)所示，由图 可以看出，当电感电流变化率(di/dt)为正值时，电感电 压u也为正值； 当电感电流变化率为负值时，电感电压也 为负值。显然，电感电压与电流波形并不相同。 (2) 在电流增大的过程中电感元件所吸取的能量和在电 流减小的过程中所放出的能量是相等的，即为t≤4ms时的 磁能。 12Li2=12×0.2×(4×10-3)2=1.6×10-6(J) 3.4单一参数的正弦交流电路 分析各种交流电路时，必须首先掌握单一参数(电阻、电感、电容)交流电路中电压与电流之间的关系，因为其他电路无非是一些单一参数电路的组合而已。 3.4.1纯电阻电路 图316(a)是一个线性电阻元件的交流电路。 图316电阻元件的交流电路 电压u和电流i的参考方向如图316(a)所示，两者的关系由欧姆定律确定，即 u=Ri 为了分析方便起见，选择电流经过零点并向正值增加的瞬间作为计时起点(t=0)，即设 i=Imsinωt(323) 为参考相量，则 u=Ri=RImsinωt=Umsinωt(324) 也是一个同频率的正弦量。 比较式(323)、式(324)可以看出，在纯电阻交流电路中，电流与电压是同相的(相位差φ=0)，其波形如图316(b)所示。 在式(324)中 Um=RIm 或 UmIm=UI=R(325) 由此可见，在纯电阻正弦交流电路中，电压与电流的幅值(或有效值)的比值，就是电阻R。 若用相量表示电压与电流的关系，则为 U·=Uej0°,I·=Iej0° U·I·=UIej0°=R 或 U·=RI·(326) 式(326)是欧姆定律的相量形式，电压和电流的相量图如图316(c)所示。 下面讨论纯电阻正弦交流电路中的功率问题。在任意瞬间，电压瞬时值u与电流瞬时值i的乘积，称为瞬时功率，用小写字母p表示，即 p=pR=ui=UmImsin2ωt=UmIm2(1-cos2ωt)=UI(1-cos2ωt)(327) 由式(327)可见，p是由两部分组成的，第一部分是常数UI，第二部分是幅值为UI并以2ω的角频率随时间而变化的交变量UIcos2ωt。p随时间变化的波形如图316(d)所示。 在纯电阻正弦交流电路中，由于u和i同相，它们或同时为正，或同时为负，所以瞬时功率总是正值，即p≥0。这表明外电路总是从电源取用能量，即电阻从电源取用电能并转换为热能，这是一种不可逆的能量转换过程。 在纯电阻正弦交流电路中，平均功率为 P=1T∫T0pdt=1T∫T0UI(1-cos2ωt)dt=UI=RI2=U2R(328) 它表示一个周期内电路消耗电能的平均功率。 3.4.2纯电感电路 图317(a)为一电感线圈组成的交流电路，假定这个线圈中只有电感，而忽略线圈电阻，此即一纯电感电路。设电流为参考正弦量，即 i=Imsinωt 则 u=Ldidt=Ld(Imsinωt)dt=ωLImcosωt=ωLImsin(ωt+90°) =Umsin(ωt+90°)(329) 也是一个同频率的正弦量。 比较以上两式可知，在纯电感正弦交流电路中，电流的相位滞后电压90°(相位差φ=+90°)(通常规定，当电流滞后于电压时，相位差φ为正； 当电流超前于电压时，相位差φ为负。这样规定是便于说明电路是电感性的还是电容性的)，其波形如图317(b)所示。 图317电感元件的交流电路 在式(329)中 Um=ωLIm 或 UmIm=UI=ωL(330) 由此可见，在纯电感正弦交流电路中，电压与电流的幅值(或有效值)之比为ωL，显然，它的单位是Ω(欧姆)。当电压U一定时，ωL愈大，则电流I愈小，可见ωL具有阻碍交流电流的性质，故称为感抗，通常用XL表示，即 XL=ωL=2πfL(331) 式(331)表明，感抗XL与电感L、频率f成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流则可视作短路，即对直流来讲，XL=0。 当U和L一定时，XL和I与f的关系如图 318所示。应该注意的一点是，XL只是电压与 电流的幅值或有效值之比，而非它们的瞬时值 之比，即XL≠ui。 图 318XL和I与f的关系 如果用相量表示电压与电流的关系，则为 U·=Uej90°I·=Iej0° U·I·=UIej90°=jXL 或 U·=jXLI·=jωLI·(332) 式(332)表明，在纯电感正弦电路中，电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相位上电压比电流超前90°，电压和电流的相量图如图317(c)所示。 最后讨论纯电感正弦电路中的功率问题。 瞬时功率p为 p=pL=ui=UmImsinωtsin(ωt+90°)=UmImsinωtcosωt =UmIm2sin2ωt=UIsin2ωt(333) 由式（333）可见，p是一个幅值为UI并以2ω的角频率随时间而变化的交变量，其波形如图317(d)所示。 平均功率(又称有功功率)P为 P=1T∫T0pdt=1T∫T0UIsin2ωtdt=0(334) 从图317(d)可以看出，在第一个和第三个1/4周期内，电流值在增大，即磁场在建立，p>0，电感线圈从电源取用电能，并转换为磁能而储存在线圈的磁场内； 在第二个和第四个1/4周期内，电流值在减小，即磁场在消失，p<0，线圈放出原先储存的磁能并转换为电能而归还电源。这是一种可逆的能量转换过程，线圈从电源取用的能量一定等于它归还给电源的能量，所以平均功率P=0，这一点从功率波形图上也容易看出。 由上述可知，在纯电感正弦电路中，没有能量消耗，只有电源与电感之间的能量互换，这种能量互换的规模可用无功功率Q来衡量。规定无功功率等于瞬时功率p的幅值，即 Q=UI=XLI2(335) 无功功率的单位是 乏（var，相当于V·A)或千乏(kvar，相当于kV·A)。应该注意，它并不等于单位时间内互换了多少能量。 3.4.3纯电容电路 图319(a)为纯电容正弦交流电路，电路中电流i和电容器两端电压u的参考方向如图中所示。 图319电容元件的交流电路 如果在电容器的两端加一正弦电压 u=Umsinωt 则 i=Cdudt=Cd(Umsinωt)dt=ωCUmcosωt=ωCUmsin(ωt+90°) =Imsin(ωt+90°)(336) 也是一个同频率的正弦量。 比较式（335）和式（336）可知，在纯电容正弦交流电路中，电流的相位超前于电压90°(相位差φ=-90°)。电压和电流的波形如图319(b)所示。 在式(336)中 Im=ωCUm 或 UmIm=UI=1ωC(337) 由此可见，在纯电容正弦交流电路中，电压与电流的幅值(或有效值)之比为1ωC，显然，它的单位是Ω(欧姆)。当电压U一定时，1ωC愈大，则电流I愈小，可见1ωC具有阻碍交流电流的性质，故称为容抗，通常用XC表示，即 XC=1ωC=12πfC(338) 式(338)表明，容抗XC与电容C、频率f成反比。这是因为电容愈大，在同样电压下，电容器所容纳的电荷量就愈大，因而电流愈大； 当频率愈高时，电容的充放电速度愈快，在同样电压下，单位时间内电荷的移动量就愈多，因而电流愈大。所以，电容对高频电流所呈现的容抗愈小，而对直流(f=0)所呈现的容抗XC→∞，可视为开路，因此，电容具有“通交隔直”的作用。 图320XC和I与f的关系 当电压U和电容C一定时，XC和I与f的关系如图320所示。 如果用相量表示电压与电流的关系，则为 U·=Uej0°I·=Iej90° U·I·=UIe-j90°=-jXC 或 U·=-jXCI·=-jI·ωC=I·jωC(339) 式(339)表明，在纯电容正弦电路中，电压的有效值等于电流的有效值与容抗的乘积，在相位上电压比电流滞后90°，电压和电流的相量图如图319(c)所示。 最后，讨论纯电容正弦电路中的功率问题。 瞬时功率p为 p=pC=ui=UmImsinωtsin(ωt+90°)=UmImsinωtcosωt =UmIm2sin2ωt=UIsin2ωt(340) 由式（340）可见，p是一个幅值为UI并以2ω的角频率随时间变化的交变量，其波形如图319(d)所示。 平均功率(或有功功率)P为 P=1T∫T0pdt=1T∫T0UIsin2ωtdt=0 上式说明，电容是不消耗能量的，在电源与电容之间只发生能量的互换，能量互换的规模用无功功率来衡量。 为了同纯电感电路的无功功率相比较，仍设电流为参考相量，即 i=Imsinωt 则 u=Umsin(ωt-90°) 于是 p=pC=ui=-UIsin2ωt 因此，纯电容电路的无功功率Q为 Q=-UI=-XCI2(341) 即电容性电路的无功功率取负值，而电感性电路的无功功率取正值。 3.5RLC串联电路 3.4节讨论了单一参数的正弦交流电路，然而，在实际电路中，不但存在电阻性元件，也存在感性及容性元件，本节将讨论电阻、电感与电容串联的正弦交流电路。 RLC串联电路如图321(a)所示，电路中的电流及各电压的参考方向如图中所示，由图可列出KVL方程如下 u=uR+uL+uC(342) 图321RLC串联电路 设电流i=Imsinωt为参考相量，则 u=uR+uL+uC=Umsin(ωt+φ)(343) 也为同频率的正弦量，其幅值为Um，与电流i 之间的相位差为φ。 将电压uR、uL、uC用相量U·R、U·L、U·C表示， 把它们相加便得到电源电压u的相量U·，见图321 (b)。可见，电压相量U·、U·R及U·L+U·C组成一 个直角三角形，称为电压三角形，利用这个三角形可以方便地确定u的有效值U及相位差φ。 U=U2R+UL-UC2=(RI)2+XLI-XCI2 =IR2+XL-XC2 或写为 UI=R2+XL-XC2(344) 由式(344)可见，在RLC串联正弦交流电路中，电压与电流的有效值(或幅值)之比为R2+XL-XC2，它的单位是Ω(欧姆)。对电流起阻碍作用，称为电路的阻抗模，用|Z|表示，即 Z=R2+XL-XC2=R2+ωL-1ωC2(345) 可见，|Z|、R、(XL-XC)之间也可用一个直角三角形——阻抗三角形来表示(见图323)。 电源电压u和电流i之间的相位差φ为 φ=arctanUL-UCUR=arctanXL-XCR(346) 由式(346)可以看出，φ的大小决定于电路的参数。如果XL=XC，则φ=0，这时电流i与电压u同相，电路呈电阻性； 如果XL>XC，则φ>0，这时电流i比电压u滞后φ角，电路呈感性； 如果XL