第3章随机过程的功率谱密度 在电路与信号分析理论中，傅里叶变换是一种非常有用的工具。应用傅里叶变换可以确立时域和频域的关系。由于确定信号在时域上的卷积积分在频域中是简单的乘积运算，这样，在许多情况下可以使问题的分析大大简化。那么，在研究随机过程中，傅里叶分析方法是否仍然适用呢？回答是肯定的。不过，由于随机过程的特殊性，在应用傅里叶变换时须对其做某些限制。本章将介绍平稳随机过程的傅里叶分析方法。 3.1功率谱密度函数 首先回顾一下电路与信号分析理论中确定时间函数的频谱和能量谱密度等概念，然后引入随机过程的功率谱密度函数。 3.1.1确知信号的频谱和能量谱密度 在电路与信号分析理论中，确知信号x(t)的能量定义为 E=∫+∞-∞x2(t)dt(3.1.1) 它表示信号x(t)在单位电阻上消耗的能量。 确知信号x(t)的功率定义为 P=limT→∞12T∫+T-Tx2(t)dt(3.1.2) 它表示信号x(t)在单位电阻上消耗的功率。 若一个确知信号x(t)，在-∞<t<+∞满足狄里赫利条件，且绝对可积，即满足 ∫+∞-∞|x(t)|dt<∞(3.1.3) 那么x(t)的傅里叶变换存在，有 Fx(jω)=∫+∞-∞x(t)e-jωtdt(3.1.4) Fx(jω)也称为确知信号x(t)的频谱。 根据帕塞瓦尔(Parseval)定理，有 ∫+∞-∞x2(t)dt=12π∫+∞-∞|Fx(jω)|2dω(3.1.5) 式中，|Fx(jω)|2=Fx(jω)Fx(-jω)。 式(3.1.5)左端表示信号x(t)的总能量。因此，式（3.1.5）右端积分中的被积函数|Fx(jω)|2相应地称为x(t)的能量谱密度，它表示信号能量沿频率轴的分布情况。这种确知信号称为总能量有限的信号。 3.1.2随机过程的功率谱密度 对于随机过程来说，由于它的持续时间为无限长，其总能量是无限的。因而随机过程的任意一个样本函数不满足绝对可积条件，其傅里叶变换不存在。 那么，随机过程如何运用傅里叶变换呢？下面讨论这个问题。 图3.1X（t）的样本函数x(t)及其 截短函数xT(t) 一个随机过程的样本函数x(t)，尽管它的总能量是无限的，但它的平均功率却是有限的。因此，对于这类函数，研究它的能量谱没有意义，研究其平均功率谱才有意义。 首先把随机过程的一个样本函数x(t)任意截取一段，长度为2T并记为xT(t)。称xT(t)为x(t)的截短函数，如图3.1所示。于是有 xT(t)=x(t)(t≤|T|) 0(t>|T|)(3.1.6) 对于持续时间有限的xT(t)而言，傅里叶变换是存在的，为 Fx(jω,T)=∫+∞-∞xT(t)e-jωtdt=∫+T-Tx(t)e-jωtdt(3.1.7) xT(t)=12π∫+∞-∞Fx(jω,T)ejωtdω(3.1.8) 根据帕塞瓦尔定理，有 ∫+∞-∞x2T(t)dt=∫+T-Tx2(t)dt=12π∫+∞-∞|Fx(jω,T)|2dω(3.1.9) 式(3.1.9)两端除2T，得 12T∫+T-Tx2(t)dt=12π∫+∞-∞|Fx(jω,T)|22Tdω(3.1.10) 式(3.1.10)的左端是样本函数x(t)在时间区间(-T,T)内的平均功率，在T→∞时，它不能代表整个随机过程的平均功率。而且，由于x(t)是随机过程的任意一个样本函数，它取决于试验结果，不同的样本函数在时间区间(-T,T)内的平均功率是不同的。因此，式(3.1.10)左端的平均功率具有随机性，其右端的被积函数也具有随机性，它们都是试验结果的函数。由此可见，为了求出随机过程X(t)的平均功率，还须将式(3.1.10)扩展为对所有样本(所有试验结果)取统计平均，得 E12T∫+T-TX2(t)dt=E12π∫+∞-∞FX(jω,T)22Tdω(3.1.11) 式(3.1.11)两端再取极限，得 limT→∞12T∫+T-TE［X2(t)］dt=12π∫+∞-∞limT→∞E［|FX(jω,T)|2］2Tdω(3.1.12) 式(3.1.12)的左端即是随机过程X(t)的平均功率。因此，式(3.1.12)右边的被积函数表示随机过程X(t)在单位频带内在单位电阻上消耗的平均功率，即随机过程的平均功率沿频率轴的分布，称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度，记为 SX(ω)=limT→∞E［|FX(jω,T)|2］2T(3.1.13) 功率谱密度SX(ω)是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。 因此，式(3.1.12)可以表示为 limT→∞12T∫+T-TE［X2(t)］dt=12π∫+∞-∞SX(ω)dω(3.1.14) 当随机过程X(t)为宽平稳时，此时X(t)的均方值为常数，则有 limT→∞12T∫+T-TE［X2(t)］dt=E［X2(t)］=12π∫+∞-∞SX(ω)dω(3.1.15) 式(3.1.15)说明： 平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值，它可以由随机过程的功率谱密度在全频域上的积分得到。 3.2平稳随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度函数是平稳随机过程的频率域的重要统计参量，它具有如下重要性质。 (1) 功率谱密度为非负函数。即 SX(ω)≥0(3.2.1) 根据功率谱密度的定义式(3.1.13)，有 SX(ω)=limT→∞E［|FX(jω,T)|2］2T 因为|FX(jω,T)|2≥0，所以SX(ω)≥0。 (2) 功率谱密度为ω的实函数。 同样，根据式(3.1.13)可知，|FX(jω,T)|2是ω的实函数，所以SX(ω)必为ω的实函数。 (3) 功率谱密度为ω的偶函数。即 SX(ω)=SX(-ω)(3.2.2) 这也可由功率谱密度函数的定义式直接得出。 (4) 功率谱密度为可积函数。即 ∫+∞-∞SX(ω)dω<∞(3.2.3) 由式(3.1.15)，有 E［X2(t)］=12π∫+∞-∞SX(ω)dω(3.2.4) 即功率谱密度函数的积分等于随机过程的均方值。由于平稳随机过程的均方值是有限的，故SX(ω)可积。 3.3功率谱密度与自相关函数之间的关系 通过上面的讨论可以看出，自相关函数是从时间角度描述随机过程统计特性的最主要的数字特征，而功率谱密度函数则是从频率角度描述随机过程的统计特性的，它们之间是否有联系呢？维纳辛钦定理作出了回答。 维纳辛钦定理： 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度函数是傅里叶变换对。即 SX(ω)=∫+∞-∞BX(τ)e-jωτdτ(3.3.1) BX(τ)=12π∫+∞-∞SX(ω)ejωτdω(3.3.2) 它揭示了从时间角度描述随机过程X(t)的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间的联系。 证明： 由功率谱密度的定义式，有 SX(ω)=limT→∞E［|FX(jω,T)|2］2T=limT→∞E［FX(-jω,T)FX(jω,T)］2T =limT→∞12TE∫T-TX(t1)ejωt1dt1∫T-TX(t2)e-jωt2dt2(3.3.3) 将式(3.3.3)改写为重积分，并变更积分和取统计平均的运算次序，得 SX(ω)=limT→∞12TE∫T-Tdt2∫T-TX(t1)X(t2)e-jω(t2-t1)dt1 =limT→∞12T∫T-Tdt2∫T-TE［X(t1)X(t2)］e-jω(t2-t1)dt1(3.3.4) 式(3.3.4)的被积函数中的统计平均值即为随机过程截取部分的自相关函数，它也定义在区间(-T,T)中。即 E［X(t1)X(t2)］=BX(t1,t2)(|t1|,|t2|<T) E［X(t1)X(t2)］=0(其他t1,t2值) (3.3.5) 对t2进行积分变量代换，令τ=t2-t1,则dt2=dτ。代入式(3.3.4)，适当改变运算次序，得 SX(ω)=limT→∞12T∫T+t1-T-t1dτ∫T-TE［X(t1)X(t1+τ)］e-jωτdt1 =limT→∞12T∫T+t1-T-t1∫T-TBX(t1,t1+τ)dt1e-jωτdτ(3.3.6) 令t=t1，式(3.3.6)又可以写成 SX(ω)=∫+∞-∞limT→∞12T∫T-TBX(t,t+τ)dte-jωτdτ =∫+∞-∞BX(t,t+τ)e-jωτdτ (3.3.7) 其中, BX(t,t+τ)=limT→∞12T∫T-TBX(t,t+τ)dt (3.3.8) 表示自相关函数的时间平均。 式(3.3.7)说明，随机过程X(t)的功率谱密度是此过程的自相关函数时间平均值的傅里叶变换。这是一般随机过程的自相关函数和功率谱密度函数的关系，也适用于非平稳随机过程。 根据傅里叶变换的唯一性，必有 BX(t,t+τ)=12π∫+∞-∞SX(ω)ejωτdω(3.3.9) 因此，式(3.3.7)和式(3.3.9)说明： 任意随机过程X(t)的自相关函数的时间平均值与该随机过程的功率谱密度函数是一对傅里叶变换。 宽平稳随机过程是最常见、最重要的一类随机过程。对于宽平稳随机过程，其自相关函数不随t取值不同而变，仅是τ的函数，即 BX(t,t+τ)=BX(τ) 所以，有 BX(t,t+τ)=BX(τ)=BX(τ) 于是有 SX(ω)=∫+∞-∞BX(τ)e-jωτdτ(3.3.10) BX(τ)=12π∫+∞-∞SX(ω)ejωτdω(3.3.11) 即平稳随机过程的自相关函数与该随机过程的功率谱密度函数是一对傅里叶变换。 维纳辛钦定理是分析随机信号的一个最重要、最基本的定理，在实际中有着重要的应用价值。 由于随机过程的自相关函数BX(τ)是τ的偶函数，从SX(ω)的定义也可看出它也是ω的偶函数，根据欧拉公式，式(3.3.10)可写为 SX(ω)=∫+∞-∞BX(τ)(cosωτ-jsinωτ)dτ =∫+∞-∞BX(τ)cosωτdτ-j∫+∞-∞BX(τ)sinωτdτ 由于BX(τ)cosωτ是τ的偶函数，BX(τ)sinωτ是τ的奇函数，因此，有 SX(ω)=2∫+∞0BX(τ)cosωτdτ(3.3.12) 同理，式(3.3.11)可写为 BX(τ)=1π∫+∞0SX(ω)cosωτdω(3.3.13) 式(3.3.12)和式(3.3.13)是维纳辛钦定理的另一形式。 根据前面对确知信号的讨论，对照现在的SX(ω)的定义，可知SX(ω)是随机过程X(t)的功率谱密度，它是从频率角度描述随机过程统计特性的重要的数字特征。 当τ=0时，式(3.3.10)成为 BX(0)=12π∫+∞-∞SX(ω)dω(3.3.14) 式(3.3.14)是随机过程X(t)的平均功率，那么，式(3.3.14)右边的被积函数SX(ω)当然也就是功率谱密度函数了。这又从另一个角度证实了SX(ω)的物理意义。 根据以上的讨论，SX(ω)应分布在-∞~+∞的频率范围内，这种对正、负频率都有意义的谱密度称为双边谱密度。 这样一来，在已知随机过程X(t)的功谱密度SX(ω)后，它在任何特定频率范围(ω1,ω2)内消耗在单位电阻上的平均功率可以表示为 PX(ω1,ω2)=22π∫ω2ω1SX(ω)dω(3.3.15) 图3.2单边谱密度与双边谱密度 由于实际上负频率并不存在，在公式中采用频率区间从负到正，纯粹只有数学上的意义和为了运算方便。也可以采用只分布在ω≥0的频率范围内的功谱密度表示，记为S′X(ω)，称为单边谱密度，也称为物理谱密度。单边谱密度S′X(ω)与双边谱密度SX(ω)如图3.2所示，其关系为 S′X(ω)=2SX(ω)(ω≥0) 0(ω<0)(3.3.16) 例3.1平稳随机过程X(t)的自相关函数为 BX(τ)=e-α|τ|(α>0) 求该随机过程的功率谱密度函数。 解： 由维纳辛钦定理，有 SX(ω)=∫+∞-∞e-α|τ|e-jωτdτ=∫0-∞eατe-jωτdτ+∫+∞0e-ατe-jωτdτ =e(α-jω)τα-jω0-∞-e-(α+jω)τα+jω+∞0=1α-jω+1α+jω=2αα2+ω2 例3.2平稳随机过程X(t)的功率谱密度函数为 SX(ω)=ω2+1ω4+5ω2+6 求该随机过程的自相关函数和平均功率。 解： 因为 SX(ω)=ω2+1(ω2+2)(ω2+3)=-1ω2+2+2ω2+3 根据例3.1的结果，可得随机过程的自相关函数为 BX(τ)=-122e-2|τ|+13e-3|τ| 所以，随机过程的平均功率为 X2(t)=BX(0)=13-122 以上讨论的都是不含有直流成分或周期性成分的随机过程的功率谱密度。而随机过程的任何直流分量和周期性分量，在频域上都表现为频率轴上某点的零带宽内的有限平均功率，都在频域的相应位置上产生离散谱线。而且在零带宽上的有限功率等效于无限的功率谱密度。于是当随机过程包含有直流成分时，其功率谱密度在零频率上应是无限的。而在其他频率上是有限的，换言之，该过程的功率谱密度在ω=0处存在一个δ函数。同理，若随机过程含有某个周期成分，则其功率谱密度函数将在相应的离散频率点上存在δ函数。这样，若借助于δ函数，维纳辛钦定理可推广应用于含有直流或周期性分量的平稳随机过程的情况。 δ函数的定义为 ∫+∞-∞δ(x)dx=1 δ(x)=0,x≠0(3.3.17) 对于δ函数，有如下的基本性质。 对任意连续函数f(x)，有 ∫+∞-∞δ(x)f(x)dx=f(0)(3.3.18) ∫+∞-∞δ(x-x0)f(x)dx=f(x0)(3.3.19) 因此，可以写出以下傅里叶变换： 12π∫+∞-∞δ(ω)ejωtdω=12π(3.3.20) 即12π的傅里叶变换为δ(ω)，则常数1的傅里叶变换就是2πδ(ω)。 又有 ∫+∞-∞δ(τ)e-jωtdτ=1(3.3.21) 即δ(τ)的傅里叶变换是常数1，则常数1的傅里叶反变换就是δ(τ)，若用表示傅里叶变换对，有 12πδ(ω) δ(τ)1 根据式(2.5.7)，当X(t)≠0时，有 BX(τ)=BX0(τ)+X(t)2 BX0(τ)是X(t)与X(t+τ)的自协方差，有 BX0(∞)=X0(t)X0(t+∞)=0 它的傅里叶变换显然存在，记为SX0(ω)。但由于BX(τ)中有一常数X(t)2项，使得BX(τ)不满足绝对可积条件，它的傅里叶变换只能借助δ函数，此时， SX(ω)=∫+∞-∞BX(τ)e-jωτdτ=∫+∞-∞BX0(τ)e-jωτdτ+∫+∞-∞X(t)2e-jωτdτ =SX0(ω)+2πX(t)2δ(ω)(3.3.22) 当平稳随机过程含有周期分量时，该成分就在频域的相应频率上产生δ函数。 例3.3平稳随机过程的自相关函数为 BX(τ)=14(1+cosω0τ) 求它的功率谱密度。 解： 根据欧拉公式，可得 BX(τ)=141+e-jω0τ+ejω0τ2 所以，有 SX(ω)=142πδ(ω)+2πδ(ω-ω0)+2πδ(ω+ω0)2 =π42δ(ω)+δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0) 若随机过程的功率谱密度函数为常数，则其自相关函数BX(τ)就是δ函数。如 SX(ω)=n0(n0为常数) BX(τ)=n0δ(τ) 3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 随机过程X(t)的自相关函数BX(τ)反映了它自身在两个不同时刻的关联程度，而功率谱密度函数SX(ω)则反映了它的平均功率沿频率轴的分布情况，说明SX(ω)占有一定的频带。那么具体用什么参数来衡量随机过程X(t)的自相关性的强弱和它到底占有多宽的频带呢？下面讨论这两个问题。 3.4.1自相关时间 图3.3表示两个平稳随机过程X1(t)及X2(t)实现的记录，设它们具有相同的数学期望和相同的均方值，即X1(t)=X2(t)，X21(t)=X22(t)。 图3.3X1(t)和X2(t)的样本函数x1(t)和x2(t)的曲线 二者有一个显著的区别，那就是二者的起伏频繁程度不同，X1(t)起伏频繁程度低，而X2(t)起伏较频繁。这个区别，揭示了二者的自相关性不同，也就是说，二者在后继时间上的取值受先行时间上的取值的波及关系不一样。所谓波及，就是随机过程在先行时间点上的取值有尾迹(由于系统惯性影响)，它波及后继时间点，使得后继时间点上的取值要受先行时间点上取值的影响。这种波及的大小，表现在自相关函数BX(τ)上，如图3.4所示。 图3.4X1(t)和X2(t)的自相关函数 从图3.4中看出，不管是BX1(τ)还是BX2(τ)，随着|τ|的增加(正向或负向)，相应的X(t)与X(t+τ)的相关性单调下降，但在相同的τ值，有BX1(τ)>BX2(τ)，而在相同的自相关函数值上，BX1(τ)的相应|τ|值大于BX2(τ)的相应|τ|值，这都是因为BX1(τ)相对于BX2(τ)要张得开些，即X1(t)的自相关性强于X2(t)的自相关性。 为了定量地描述随机过程自相关性的强弱，定义随机过程X(t)的自相关时间为 τk=∫+∞-∞BX(τ)dτ2BX(0)=SX(0)2BX(0)(3.4.1) 自相关时间的概念可用图3.4进行说明。图中有一虚线方框，其高为BX(0)，宽为2τk。定义式(3.4.1)规定这个方框的面积等于BX(τ)曲线下的面积。可以理解，当BX(τ)张开范围越大，或所谓自相关性越强，则∫+∞-∞BX(τ)dτ也随之增大，因而τk随之正比地增大。因此，τk可以用来描述一个随机过程的自相关程度。 从图3.4看到，τk1>τk2，因此，可以说X1(t)的自相关性强于X2(t)的自相关性。 3.4.2等效功率谱带宽 图3.5表示X1(t)和X2(t)的功率谱密度函数。由于X1(t)和X2(t)有相同的平均功率，因此有 BX1(0)=BX2(0) 图3.5X1(t)和X2(t)的功率谱密度函数 这使得SX1(ω)和SX2(ω)与横坐标所围成的面积相等。但是SX1(0)>SX2(0)(SX(0)是BX(τ)曲线与横坐标所围成的面积)。SX(0)较大占带必然较窄，反之亦然。为了定量描述随机过程所占的宽窄，定义等效功率谱带宽(简称等效带宽)为 Δf=12π∫+∞-∞SX(ω)dω2SX(0)=BX(0)2SX(0)(3.4.2) 等效功率谱带宽的概念也可用图3.5进行说明。图中有一虚线方框，其高为SX(0)，宽为2Δω(Δω=2πΔf)，定义式(3.4.2)规定这个方框面积等于SX(ω)曲线下的面积。 定义了Δf后，就可以得到Δf1<Δf2，Δf大的随机过程占有宽的频带。 按上述定义的τk，当τ>τk时，工程实际中就可以认为X(t)与X(t+τ)实际上已经不相关了，并非要τ→∞时，它们才不相关。而按上述定义的Δf，则说明了X(t)中起伏最高频率的大小。若某X(t)的Δf=1MHz，则认为X(t)所含的最高频率成分即为1MHz。 综上所述，对随机过程X1(t)和X2(t)，若X1(t)的起伏频繁程度低，变化缓慢，而X1(t)变化较快，这就使得τk1>τk2，而Δf1<Δf2，即X1(t)的自相关性强于X2(t)，但X1(t)的低频成分多，占有频带较窄，而X2(t)高频成分多，占有较宽的频带。总的来说，一个随机过程的自相关性的强弱与它所占有频带是成反比关系的，这是BX(τ)与SX(ω)为傅里叶变换对的当然结果。这从下面的关系式也可看出。 τkΔf=SX(0)2BX(0)BX(0)2SX(0)=14(3.4.3) 从式(3.4.3)可知，无论怎样的随机过程，它的自相关时间与等效带宽的乘积恒为14。 最后需要说明的是，当E［X(t)］≠0时，BX(τ)中将有恒定的分量，SX(ω)中将有δ(ω)成分，在这种情况下，τk和Δf的定义分别依据BX(τ)中的BX0(0)部分和SX(ω)中的SX0(ω)部分，即 τk=SX0(0)2BX0(0) Δf=BX0(0)2SX0(0) 若E［X(t)］≠0，说明X(t)中含有直流成分。这时如果把横轴向上移E［X(t)］，X(t)的波形的形状完全不会变，只是这时X(t)变成了X0(t)。因此，用X0(t)的自相关函数和功率谱密度函数来定义的自相关时间τk及等效功率谱带宽Δf当然也适合X(t)。也就是说，随机过程是否含有直流成分并不影响它的自相关性的强弱和占有频带的宽窄。 例3.4设有随机过程X(t)的自相关函数为 B(τ)=Ae-τT(T>0，A为常数) 试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽。 解： SX(0)=∫+∞-∞BX(τ)dτ=∫+∞-∞Ae-τTdτ=2∫+∞0Ae-τTdτ=2AT τk=SX(0)2BX(0)=2AT2A=T Δf=BX(0)2SX(0)=A4AT=14T 例3.5已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度为 SX(ω)=8δ(ω)+201-|ω|10（|ω|≤10） 0（其他） 求随机过程X(t)的自相关函数、自相关时间和等效功率谱带宽。 解： BX(τ)=12π∫+∞-∞SX(ω)ejωτdω =12π∫+10-108δ(ω)ejωτdω+402π∫+1001-ω10cosωτdω =4π+20π∫+1001-ω10cosωτdω =4π+20πsinωττ100-110∫+100ωcosωτdω =4π+20πsin10ττ-110ωsinωττ100-∫+100sinωττdω =4π+20π110τ21-cos10τ=4π+20π110τ22sin25τ =4π+100πSa25τ 显然X(t)2=4π 则BX0(τ)=100πSa2(5τ) 已知SX0(ω)=201-|ω|10（|ω|≤10） 0（其他） 即BX0(0)=100π SX0(0)=20 所以τk=SX0(0)2BX0(0)=π10 Δf=BX0(0)2SX0(0)=52π 交流分量的自相关函数和功率谱密度函数如图3.6所示。 图3.6交流分量的自相关函数和功率谱密度函数 3.5随机序列的功率谱密度 前面讨论了平稳随机过程的功率谱密度函数和维纳辛钦定理，本节将功率谱密度函数等相关概念推广到平稳随机序列。 3.5.1随机序列的功率谱密度 设平稳随机序列X(n)的均值为0，其自相关函数为 BX(m)=E［X(n)X(n+m)］(3.5.1) 若随机序列的自相关函数满足绝对可和，即∑+∞m=-∞|BX(m)|<∞，则其离散傅里叶变换为 SX(ω)=∑+∞m=-∞BX(m)e-jωm(3.5.2) 称SX(ω)为平稳随机序列X(n)的功率谱密度函数。即平稳随机序列的自相关函数和功率谱密度函数构成傅里叶变换对，其功率谱密度函数的傅里叶反变换为 BX(m)=12π∫π-πSX(ω)ejωmdω(3.5.3) 式(3.5.2)和式(3.5.3)构成的一对傅里叶变换即是离散形式的维纳辛钦定理。 由式(3.5.3)可知，当m=0时，有 BX(0)=E［X2(n)］=12π∫π-πSX(ω)dω(3.5.4) 即功率谱密度函数的积分等于随机序列的均方值，也是随机序列的平均功率。 对于平稳随机序列，其功率谱密度函数具有如下重要性质。 (1) 功率谱密度为非负函数。即 SX(ω)≥0(3.5.5) (2) 功率谱密度为ω的偶函数。即 SX(ω)=SX(-ω)(3.5.6) 这可由平稳随机序列的自相关函数是偶函数直接得出。因为平稳随机序列的自相关函数和功率谱密度都是偶函数，所以式(3.5.2)和式(3.5.3)还可以分别表示为 SX(ω)=2∑+∞m=0BX(m)cos(ωm)(3.5.7) BX(m)=1π∫π0SX(ω)cos(ωm)dω(3.5.8) 在离散时间系统的分析中，通常用z变换更为方便，所以，平稳随机序列的功率谱密度函数可表示为其自相关函数BX(m)的z变换，记为S′X(z)，有 S′X(z)=∑+∞m=-∞BX(m)z-m(3.5.9) 显然，SX(ω)和S′X(z)的关系为 SX(ω)=S′X(z)|z=ejω(3.5.10) S′X(z)的z反变换为 BX(m)=12πj∮DS′X(z)zm-1dz(3.5.11) 式中，D是在S′X(z)的收敛域内环绕平面原点的一条逆时针闭合曲线。 由于平稳随机序列的自相关函数是偶对称的，即BX(m)=BX(-m)，因此，功率谱密度函数如下性质： S′X(z)=S′X1z(3.5.12) 3.5.2平稳随机过程的采样定理 香农采样定理在通信系统、信息传输理论等方面占有十分重要的地位，它是建立连续信号与其离散信号之间变换的理论基础。本节讨论将香农采样定理应用于随机过程，将随机过程变换为随机序列的相关理论。 先回顾一下确定性时间信号的采样定理。 确定性时间信号的采样定理： 一个频带有限的确定性时间信号x(t)，若其频谱只占据0~fm的范围，当以采样间隔(或采样周期)Ts≤12fm(或采样频率fs≥2fm或采样角频率ωs≥2ωm)对该信号等间隔均匀采样时，则该信号可以用这些等间隔采样点x(nTs)唯一地表示。通常把最低允许的采样频率fs=2fm称为“奈奎斯特频率”，把最大允许的采样间隔(或采样周期)Ts=12fm称为“奈奎斯特间隔”(或“奈奎斯特周期”)。 若在满足采样定理的条件下对确定性时间信号x(t)进行理想采样，则利用理想低通滤波器可从采样后的离散信号中无失真地恢复原信号x(t)。 设理想低通滤波器的频率特性为 H(jω)=Ts（|ω|≤ωc） 0（|ω|>ωm）(3.5.13) 式中，ωc是理想低通滤波器的截止频率，Ts是采样周期。则理想低通滤波器恢复的信号可表示为 x(t)=Tsωcπ∑+∞n=-∞x(nTs)Sa［ωc(t-nTs)］(3.5.14) 为讨论方便，通常取ωc=ωs2=πTs，则式(3.5.14)可表示为 x(t)=∑+∞n=-∞x(nTs)Saπ(t-nTs)Ts(3.5.15) 下面，将确定性时间信号的采样定理推广到随机过程中。 对于零均值的平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度SX(ω)只占据0~ωm的范围，即 SX(ω)=SX(ω)（|ω|≤ωm） 0（|ω|>ωm） 则称X(t)为带限随机过程。当采样间隔(或采样周期)Ts满足Ts≤πωm(或采样频率fs≥2fm或采样角频率ωs≥2ωm)时，则该随机过程可以用这些等间隔采样点X(nTs)唯一地表示。平稳随机过程X(t)可表示为 X(t)=l.i.mN→∞∑Nn=-NX(nTs)Saπ(t-nTs)Ts(3.5.16) 式中，l.i.m表示均方意义下的极限，即均方极限。也就是说，在均方意义下，X(t)和∑Nn=-NX(nTs)Saπ(t-nTs)Ts相等，即在N→∞时，它们的均方误差等于零。 l.i.mN→∞EX(t)-∑Nn=-NX(nTs)Saπ(t-nTs)Ts2=0(3.5.17) 3.6联合平稳随机过程的互功率谱密度 在第2章中已经建立了两个随机过程联合平稳的概念。本节将把单个随机过程的功率谱密度的概念推广到两个随机过程的情况。 3.6.1互功率谱密度 设X(t)、Y(t)为两个平稳随机过程，仿照3.1节中的方法，对X(t)、Y(t)的样本函数x(t)、y(t)分别取截短函数xT(t)、yT(t)为 xT(t)=x(t)(|t|<T) 0(其他) (3.6.1) yT(t)=y(t)(|t|<T) 0(其他)(3.6.2) 则xT(t)、yT(t)的傅里叶变换存在，所以有 xT(t)←→Fx(jω,T) yT(t)←→Fy(jω,T) 两个随机过程的样本函数在(-T,T)区间内的互功率为 Pxy(T)=12T∫T-TxT(t)yT(t)dt=12T∫T-Tx(t)y(t)dt(3.6.3) 根据帕塞瓦尔定理，有 ∫+∞-∞xT(t)yT(t)dt=12π∫+∞-∞Fx(-jω,T)Fy(jω,T)dω(3.6.4) 由式(3.6.3)和式(3.6.4)得 Pxy(T)=12T∫T-Tx(t)y(t)dt=12π∫+∞-∞Fx(-jω,T)Fy(jω,T)2Tdω(3.6.5) 同样，由于x(t)、y(t)以及Fx(jω,T)、Fy(jω,T)都具有随机性，所以互功率Pxy(T)是一个随机变量。为了求出两个随机过程X(t)、Y(t)的互功率，须将式(3.6.5)扩展为对所有样本取统计平均，得 E12T∫T-TX(t)Y(t)dt=E12π∫+∞-∞FX(-jω,T)FY(jω,T)2Tdω(3.6.6) 式(3.6.6)两边取极限(令T→∞)，得 limT→∞12T∫T-TEX(t)Y(t)dt=12π∫+∞-∞limT→∞E［FX(-jω,T)FY(jω,T)］2Tdω(3.6.7) 式(3.6.7)的左边即是随机过程X(t)、Y(t)的互功率PXY PXY=limT→∞12T∫T-TE［X(t)Y(t)］dt(3.6.8) 因此，定义两个随机过程X(t)、Y(t)的互功率谱密度(简称为互谱密度)为 SXY(ω)=limT→∞E［FX(-jω,T)FY(jω,T)］2T(3.6.9) 于是有 PXY=12π∫+∞-∞SXY(ω)dω(3.6.10) 类似地，还可以定义两个随机过程Y(t)、X(t)的互功率谱密度为 SYX(ω)=limT→∞E［FX(jω,T)FY(-jω,T)］2T(3.6.11) 由式(3.6.8)可知 PXY=PYX(3.6.12) 3.6.2互功率谱密度和互相关函数的关系 正如随机过程的自相关函数和其功率谱密度函数是傅里叶变换对一样，两个随机过程的互相关函数和互功率谱密度也有类似的关系。 对于两个随机过程X(t)、Y(t)，其互相关函数BXY(t,t+τ)和互功率谱密度SXY(ω)之间的关系为 SXY(ω)=∫+∞-∞BXY(t,t+τ)e-jωτdτ(3.6.13) BXY(t,t+τ)=12π∫+∞-∞SXY(ω)ejωτdω(3.6.14) 式(3.6.13)和式(3.6.14)说明，任意随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数的时间平均值与X(t)和Y(t)的互功率谱密度函数是一对傅里叶变换。 当两个的随机过程X(t)和Y(t)为联合平稳时，有 BXY(t,t+τ)=BXY(τ)(3.6.15) 则 BXY(t,t+τ)=BXY(τ)=BXY(τ)(3.6.16) 所以有 SXY(ω)=∫+∞-∞BXY(τ)e-jωτdτ(3.6.17) BXY(τ)=12π∫+∞-∞SXY(ω)ejωτdω(3.6.18) 两个联合平稳的随机过程的互相关函数和互功率谱密度是一对傅里叶变换。 同样，对于两个联合平稳的随机序列X(n)、Y(m)，其互相关函数和互功率谱密度也是一对傅里叶变换，有 SXY(ω)=∑+∞m=-∞BXY(m)e-jωm(3.6.19) BXY(m)=12π∫π-πSXY(ω)ejωmdω(3.6.20) 3.6.3互功率谱密度的性质 两个随机过程的互功率谱密度具有如下性质。 (1) SXY(ω)=S*YX(ω)(3.6.21) SYX(ω)=S*XY(ω)(3.6.22) 即互功率谱密度不再是ω的实偶函数。 证明： 由定义式(3.6.9)有 SXY(ω)=limT→∞E［FX(-jω,T)FY(jω,T)］2T =limT→∞E［FX(jω,T)FY(-jω,T)］2T* =S*YX(ω) 同理可得SYX(ω)=S*XY(ω) (2) Re［SXY(ω)］=Re［SXY(-ω)］(3.6.23) Re［SYX(ω)］=Re［SYX(-ω)］(3.6.24) Im［SXY(ω)］=-Im［SXY(-ω)］(3.6.25) Im［SYX(ω)］=-Im［SYX(-ω)］(3.6.26) 即互功率谱密度的实部为ω的偶函数，虚部为ω的奇函数。该性质利用性质(1)可以很容易得到证明。 (3) 若随机过程X(t)和Y(t)正交，则有 SXY(ω)=0,SYX(ω)=0(3.6.27) (4) 若随机过程X(t)和Y(t)不相关，且X(t)和Y(t)的均值分别为常数mX、mY，则 SXY(ω)=SYX(ω)=2πmXmYδ(ω)(3.6.28) 性质(3)和性质(4)的证明留作习题。 例3.6已知联合平稳随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度为 SXY(ω)=A+jBω,（|ω|<Δω） 0（其他） 其中，A，B为常数，Δω>0。求X(t)和Y(t)的互相关函数BXY(τ)。 解： BXY(τ)=12π∫+∞-∞SXY(ω)ejωτdω=12π∫+Δω-Δω(A+jBω)ejωτdω =A2π∫+Δω-Δωejωτdω+jB2π∫+Δω-Δωωejωτdω =AπτsinΔωτ+B2πτ2ΔωcosΔωτ-∫+Δω-Δωejωτdω =AπτsinΔωτ+ΔωBπτcosΔωτ-Bπτ2sinΔωτ =1πτ2(Aτ-B)sinΔωτ+ΔωBτcosΔωτ 3.7白噪声与色噪声 随机过程按它的功率谱密度函数的形状来进行分类，可以分成白噪声和有色噪声两大类。若一个随机过程的功率增密度是常数，无论是什么分布，都称为白噪声。白噪声的“白”字是借用光学中的白光，白光在它的频谱上包含了所有可见光的频率。而有色噪声的功率谱密度中各种频率分量的大小是不同的。具有均匀功率谱的白噪声是一种最为重要的随机过程。 3.7.1理想白噪声 若平稳随机过程N(t)的数学期望为零，并且在整个频率范围内，其功率谱密度为非零常数，即 SN(ω)=N02(-∞<ω<+∞)(3.7.1) 则称随机过程N(t)为理想白噪声，常简称为白噪声或白色过程。式(3.7.1)中，N0是正实常数。 利用傅里叶反变换可求出理想白噪声的自相关函数为 BN(τ)=N02δ(τ)(3.7.2) 其自相关时间和等效带宽为 τk=SN(0)2BN(0)=N0/22δ(τ)=0(3.7.3) Δf=BN(0)2SN(0)→∞(3.7.4) 平均功率为 P=12π∫+∞-∞N02dω→∞(3.7.5) 图3.7理想白噪声的组成示意图 式(3.7.3)说明，理想白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多么邻近)的取值都是不相关的，所以理想白噪声又称为不自相关的随机过程。 由于理想白噪声的不自相关性质，其组成一定是大量无限窄的彼此独立的脉冲的随机组合。图3.7给出了理想白噪声的组成示意图。 可以将此过程中任一个独立成分看成一个平稳的随机过程，因为这个独立过程出现的时间是等概率地分布在全时域上，它在一个时间点t1上取值的概率特性与在任意其他时间点t上取值的概率特性是相同的。 按式(3.7.1)定义的白噪声只是一种理想化的模型，实际上不可能存在，因为实际的随机过程总是具有有限的平均功率，而且在非常邻近的两个时刻的状态总会存在一定的相关性，也就是说其相关函数不可能是一个严格的δ函数，这种被理想化了的模型称为理想白噪声。尽管如此，由于白噪声在数学处理上具有简单方便的优点，所以在实际应用中仍占有重要的地位，实际上，当所研究的随机过程在所考虑的有用频带宽得多的范围内，具有均匀的功率谱密度时，就可以把它当作白噪声来处理，而不会带来多大的误差。无线电设备中的许多起伏过程都可以作为白噪声来处理，例如，后面要介绍的散弹噪声和电阻热噪声在相当宽的频率范围内都具有均匀的功率谱密度，一般就当作白噪声。其他许多干扰过程，只要它的功率谱比电子系统的频带宽得多，而其功率谱密度又在系统通带内及其附近分布比较均匀，都可以作为白噪声来处理。这种白噪声，就是下面要介绍的带限白噪声。 3.7.2低通型带限白噪声 若一个零均值的平稳随机过程N(t)在某个有限频带范围内具有非零的常数功率谱，而在此频率范围之外为零，则称此过程为带限白噪声。带限白噪声可分为低通型和带通型两种。 若带限白噪声的功率谱密度为 SN(ω)=N02(常数)(|ω|≤Δω) 0(|ω|>Δω)(3.7.6) 则称此过程为低通型带限白噪声。其自相关函数为 BN(τ)=12π∫+∞-∞SN(ω)ejωτdω=12π∫Δω-ΔωN02ejωτdω =12π∫Δω-ΔωN02ejωτdω=ΔωN02πsinΔωτΔωτ(3.7.7) 低通型带限白噪声的功率谱密度和自相关函数如图3.8所示。 图3.8低通型带限白噪声的功率谱密度和自相关函数 3.7.3带通型带限白噪声 若带限白噪声的功率谱密度为 SN(ω)=N02(常数)ω0-Δω2≤|ω|≤ω0+Δω2 0(其他)(3.7.8) 则称此过程为带通型带限白噪声。应用维纳辛钦定理，不难求出其自相关函数 BN(τ)=1π∫+∞0SN(ω)cosωτdω=1π∫ω0+Δω2ω0-Δω2N02cosωτdω =N02πτsinω0+Δω2τ-sinω0-Δω2τ =N02πτ2cosω0τsinΔωτ2=ΔωN02πsin(Δωτ/2)Δωτ/2cosω0τ =ΔωN02πSaΔωτ2cosω0τ(3.7.9) 带通型带限白噪声的功率谱密度和自相关函数如图3.9所示。 图3.9带通型带限白噪声的功率谱密度和自相关函数 还应指出，白噪声只是从随机过程的功率谱密度的角度来定义的，并未涉及随机过程的概率分布。因此可以有各种不同分布的白噪声。其中，正态分布的白噪声最为常见和重要。 若白噪声的n维概率密度都服从正态分布，则称此类白噪声为高斯白噪声。 3.7.4色噪声 按功率谱密度函数的形式来区分随机过程，把除了白噪声以外的所有随机过程都称为有色噪声，简称色噪声，其功率谱密度函数必为频率的函数。下面给出一个色噪声的例子。 例3.7若N(t)为宽平稳噪声信号，其自相关函数为 BN(τ)=Ae-3|τ| 其中A为常数。求其功率谱密度函数。 解： 由维纳辛钦定理，有 SN(ω)=∫+∞-∞Ae-3|τ|e-jωτdτ=∫0-∞Ae(3-jω)τdτ+∫+∞0Ae-(3+jω)τdτ =A3-jω+A3+jω=6A9+ω2 由上看出，SN(ω)在频带内不为常数，故N(t)为色噪声。BN(τ)和SN(ω)如图3.10所示。 图3.10色噪声N(t)的自相关函数和功率谱密度函数 习题 3.1下面哪些函数是平稳随机过程功率谱密度的正确表达式？为什么？对正确的功率谱密度表达式，求其自相关函数。 (1) S1(ω)=ω2+9(ω2+2)(ω+6)2(2) S2(ω)=2jωω4+5ω2+6 (3) S3(ω)=ω2+4ω4-3ω2+2(4) S4(ω)=ω3+3ω4+7ω2+10 (5) S6(ω)=ω2+1ω4+3ω2+2+δ(ω)(6) S5(ω)=e-jω4ω2+5 3.2已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度为 SX(ω)=ω2ω4+3ω2+2 求X(t)的平均功率。 3.3已知平稳随机过程X(t)的功率谱密度为 SX(ω)=ω2+4ω4+10ω2+9 求随机过程X(t)的自相关函数和平均功率。 3.4已知平稳过程X(t)的自相关函数为 BX(τ)=Ae-α|τ|cosω0τ(ω00) 求随机过程X(t)的功率谱密度，并画出功率谱密度的示意图。 3.5已知平稳过程X(t)的自相关函数为 BX(τ)=4e-|τ|cosπτ+cos3πτ 求随机过程X(t)的功率谱密度。 3.6已知平稳过程X(t)的自相关函数为 BX(τ)=1-|τ|T(-T<τ<T) 0（其他） 求随机过程X(t)的功率谱密度。 3.7设随机过程X(t)=acos(ωt+θ)，其中a为常数，θ是(0,2π)区间均匀分布的随机变量，ω也是随机变量，它的概率密度函数为P(ω)，且为偶函数，ω与θ相互独立。试求X(t)的功率谱密度。 3.8已知平稳随机过程的自相关函数为 (1) BX(τ)=σ2e-a|τ|(2) BX(τ)=σ2(1-a|τ|)（|τ|≤1/a） 求其自相关时间和等效功率谱带宽。 题3.9图 3.9一个零均值的随机过程X(t)具有如题3.9图所示的三角形功率谱密度。试求： (1)平均功率； (2)自相关函数； (3)自相关时间和等效功率谱带宽。 3.10如题3.10图所示系统中，若输入X(t)为平稳随机过程，系统的输出随机过程为Y(t)=X(t)+X(t-T)。证明： Y(t)的功率谱密度为SY(ω)=2SX(ω)(1+cosωT)。 题3.10图 3.11设周期性平稳随机过程X(t)的自相关函数如题3.11图所示，其周期为T。求该随机过程的功率谱密度，并画出功率谱密度的示意图。 题3.11图 3.12联合宽平稳随机过程X1(t)和X2(t)作用于线性时不变系统，输出响应为Y(t)，系统的频率特性为H(jω)。证明： Y(t)的功率谱为 SY(ω)=|H(jω)|2［SX1(ω)+SX2(ω)+SX1X2(ω)+SX2X1(ω)］ 3.13设X(t)和Y(t)是两个相互独立的平稳随机过程，均值分别为常数mX和mY，且X(t)的功率谱密度为SX(ω)。定义Z(t)=X(t)+Y(t)，求SXY(ω)和SXZ(ω)。 3.14X(t)和Y(t)是正交随机过程，证明： SXY(ω)=0，SYX(ω)=0。 3.15若随机过程X(t)和Y(t)不相关，X(t)和Y(t)的均值分别为常数mX、mY。证明： SXY(ω)=SYX(ω)=2πmXmYδ(ω)。