第3章
CHAPTER 3


时域离散信号和


滤波器的频谱分析



前面的章节简单介绍了时域离散信号与频谱的关系以及滤波器与频谱的关系，本章将详细研究时域离散信号和滤波器的频谱特性。本章内容包括： 
频谱的定义； 
非周期时域离散信号的频谱； 
非周期时域离散信号傅里叶变换的性质； 
周期序列的频谱； 
序列的Z变换； 
时域离散系统的系统函数； 
利用Z变换分析系统的频率响应特性； 
用几何方法研究零极点分布对系统频率响应的影响。












3.1频谱的定义
由“信号与系统”课程内容可知，信号和系统(也称为滤波器)的分析方法有两种，一种是时域分析方法，另一种是频域分析方法。在模拟信号中，模拟信号一般用连续时间变量的函数表示，其频谱一般用信号的傅里叶变换或拉普拉斯变换表示。在时域离散信号中，时域离散信号用序列表示，其频谱则用离散时间信号的傅里叶变换(DiscreteTime Fourier Transform，DTFT)或Z变换表示。既然频谱分析如此重要，首先要了解信号频谱所代表的含义。
在频域，每个信号都有典型的特征。比如正弦波仅包含单一频率，而白噪声(White Noise)包含几乎所有的频率成分。信号的低频分量决定其平稳变化，信号的高频分量决定边缘的陡峭和剧烈变化程度。比如常见的方波，它既包含平稳变化的低频分量，又包含边缘剧烈变化的高频分量，如图3.1所示。从单一低频正弦波开始，每个图增加一个较高频率的正弦波，只要选择的正弦波具有合适的频率和振幅，将它们叠加在一起便趋近于方波，如图3.1(e)所示。合成波形的表达式为： 
y(t)=4πsin(Ωt)+13sin(3Ωt)+15sin(5Ωt)+17sin(7Ωt)+19sin(9Ωt)+…
其中Ω为信号的角频率。信号的频谱能够详细记录信号所包含的频率分量(频率成分)，包括幅度频谱(幅频)和相位频谱。信号的幅度频谱表示的是每一频率分量的大小或幅度； 信号的相位频谱表示的是不同频率分量的相位关系。以图3.1(e)所形成的合成波形为例，组成这一波形的每个正弦波反映在其幅频图中就是一个个尖峰，如图3.1(f)所示。




图3.1由正弦波组成的方波及其幅频图


滤波器的频谱特性包括幅度频率响应和相位频率响应，其中幅度频率响应是所有频率信号通过系统的增益值的集合； 相位频率响应是所有频率信号通过系统后的相位差的集合。因此，当需要预测滤波器对信号的作用时，既需要知道滤波器的特性，还要知道信号的频谱。
所有的信号都有频谱，但是频谱的计算方法取决于信号是否具有周期性。下面将分别介绍非周期信号和周期信号频谱的计算方法。






3.2非周期时域离散信号的频谱
已知模拟信号x(t)的傅里叶变换定义为： 
X(Ω)=∫∞-∞x(t)e-jΩtdt(3.1)
序列x(n)的傅里叶变换定义为： 
X(ω)=X(ejω)=DTFT［x(n)］=∑∞n=-∞x(n)e-jωn(3.2)
其中X(ejω)是实变量ω(频率变量)的复值函数。注意到式(3.2)是式(3.1)对应傅里叶变换的离散时间表示，其中用求和代替了求积分，以T表示采样间隔，用nT代替了t，从而ω=ΩT。为了区别连续时间和离散时间两种情况，本书用ω表示离散时间的频率变量。
对于所有的实值ω，如果式(3.2)中的双边无限求和收敛(即和为有限值)，则称时域离散信号x(n)的DTFT存在。x(n)的DTFT存在的充分条件是序列x(n)满足： 
∑∞n=-∞|x(n)|<∞(3.3)
X(ejω)的傅里叶反变换为
x(n)=IDTFT［X(ejω)］=12π∫π-πX(ejω)ejωndω(3.4)
式(3.2)和式(3.4)组成一对傅里叶变换公式。式(3.3)是傅里叶变换存在的充分条件，有些函数(比如周期序列)并不满足式(3.3)，说明它的傅里叶变换不存在，对于周期序列的频谱计算，将在3.4节介绍。
【例 3.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。








解： X(ejω)=∑∞n=-∞RN(n)e-jωn=∑N-1n=0e-jωn

=1-e-jωN1-e-jω=e-jωN2ejωN2-e-jωN2e-jω12ejω12-e-jω12

=e-jωN-12sinωN2sinω12
当N =4时，
X(ejω)=∑∞n=-∞x(n)e-jωn=1+e-jω+e-j2ω+e-j3ω
其幅度和相位随频率ω变化的曲线如图3.2所示。



图3.2R4(n)的幅度与相位曲线



【例3.2】设序列
x(n)=0n<0
an0≤n≤q
0n>q，
求x(n)的离散时间傅里叶变换。
解： X(ejω)=∑∞n=-∞x(n)e-jωn

=∑qn=0ane-jωn

=∑qn=0(ae-jω)n

=1-(ae-jω)q+11-ae-jω
【例3.3】例3.2 中令a=0.5,q=50，用MATLAB程序实现这个有限长序列的离散时间傅里叶变换的幅频特性曲线和相频特性曲线。程序如下： 

n=0:50

a=0.5

x=a.^n

w=linspace(-4*pi,4*pi,501)

X=(1-a^51*cos(51*w)+j*a^51*sin(51*w))./(1-a*cos(w)+a*j*sin(w))

X_abs=abs(X)

X_angle=angle(X)

subplot(211)

plot(w/pi,X_abs,'k')

subplot(212)

plot(w/pi,X_angle,'k')

运行结果如图3.3所示。



图3.3例3.3的幅频和相频图



思考题： 
(1) 幅度特性和相位特性的周期是多少？
(2) 幅度特性和相位特性的对称性如何？
【随堂练习】
求下列序列的DTFT。
(1) x(n)=δ(n-3)； 
(2) x(n)=12δ(n+1)+δ(n)+12δ(n-1)； 
(3) x(n)=u(n+3)-u(n-4)。
3.3非周期时域离散信号傅里叶变换的性质
由例3.1可得其频谱函数为X(ejω)=1+e-jω+e-j2ω+e-j3ω，根据DTFT的定义： 
X(ω+2π)=∑∞n=-∞x(n)e-j(ω+2π)n=∑∞n=-∞x(n)e-jωn·e-j2πn
因为e-j2πn=1，所以
X(ω+2π)=∑∞n=-∞x(n)e-j(ω+2π)n=∑∞n=-∞x(n)e-jωn·e-j2πn=∑∞n=-∞x(n)e-jωn=X(ω)
故DTFT具有周期性，其周期为2π。换句话说，所有离散时间傅里叶变换对于所有ω，每2π重复一次，并且不断地重复。因此，得到DTFT的第一个性质。






3.3.1DTFT的周期性
离散傅里叶变换X(ejω)是ω的周期函数，周期为2π，即： 
X(ω+2π)=X(ω)-∞<ω<∞(3.5)
关于X(ejω)周期性的一个重要结论是： X(ejω)可以通过计算任意2π间隔内的X(ejω)来完全确定，比如ω取0≤ω≤2π或-π≤ω≤π。
根据DTFT的周期性分析得到，在ω=0和ω=2πM(M取整数)附近的频谱分布应该相同，在ω=0，±2π，±4π，…点上表示x(n)信号的直流分量； 离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2π为周期，那么最高的频率应是在ω=π处。
还要说明的是，所谓x(n)的直流分量，是指如图3.4(a)所示的波形。例如，x(n)=cosωn，当ω=2πM(M取整数)时，x(n)的序列值如图3.4(a)所示，其幅度值恒为1，不随n变化而变化，因此称为直流信号； 当ω=(2M+1)π时，x(n)波形如图3.4(b)所示,它代表最高频率信号，是一种变化最快的正弦信号。由于DTFT的周期是2π，一般只分析0~2π或-π~π范围的DTFT就够了。


图3.4cosωn的波形








3.3.2线性
设X1(ejω)=DTFT［x1(n)］,X2(ejω)=DTFT［x2(n)］,那么
DTFT［ax1(n)+bx2(n)］=aX1(ejω)+bX2(ejω)(3.6)
其中，a，b是常数。
3.3.3时移与频移性质
在时域的移位相应于频域中的相移
DTFT［x(n-n0)］=e-jωn0X(ejω)(3.7)
时域乘以复指数相应于频域中的移位
DTFT［ejω0nx(n)］=X(ej(ω-ω0))(3.8)
3.3.4时间反转特性(序列的反转)
在时域中的反转相应于频域中的反转
DTFT［x(-n)］=X(e-jω)(3.9)
相关证明，请读者根据DTFT的定义自行推导。






【随堂练习】
已知x(n)的离散傅里叶变换为X(ejω)，用X(ejω)表示下列信号的DTFT： 

 x1(n)=x(1-n)+x(-1-n)；x2(n)=x*(-n)+x(n)2







3.3.5DTFT的对称性
在学习DTFT的对称性之前，首先介绍共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。
在中学数学中，学习过奇函数与偶函数的概念，那些函数的自变量和函数值都是实数。如果将实数的范围变广一些，就到了复数范围，即函数的自变量和函数值是复数。因此，共轭对称与共轭反对称就可以看成是复数范围内的偶对称和奇对称。
设序列xe(n)满足下式： 
xe(n)=x*e(-n)(3.10)
则称xe(n)为共轭对称序列。下面研究共轭对称序列具有什么性质，先将xe(n)表示成实部xer(n) 和虚部xei(n)： 
xe(n)=xer(n)+jxei(n)(3.11)
将式(3.11)两边的n用-n代替，并取共轭，得到： 
x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)(3.12)
对比式(3.11)和式(3.12)，根据共轭对称序列的定义，两式左边相等，因此右边的实部和虚部均要相等，得到： 
xer(n)=xer(-n)(3.13)

xei(n)=-xei(-n)(3.14)
式(3.13)和式(3.14)两式表明共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足式(3.15)的共轭反对称序列xo(n)： 
xo(n)=-xo(-n)(3.15)
同样将xo(n)表示成实部xor(n) 和虚部xoi(n)形式，如下式： 
xo(n)=xor(n)+jxoi(n)(3.16)
再将-xo(-n)表示成实部和虚部形式，如下式： 
-x*o(-n)=-xor(-n)+jxoi(-n)(3.17)
对比式(3.16)和式(3.17)，根据共轭反对称序列的定义，两式左边相等，因此右边的实部和虚部均要相等，可以得到： 
xor(n)=-xor(-n)(3.18)

xoi(n)=xoi(-n)(3.19)
即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。
【例3.4】试分析x(n)=ejωn的对称性。
解： 因为

x(-n)=ejωn=x(n)
满足式(3.10)，所以x(n)是共轭对称序列，若展开成实部和虚部，则得到： 
x(n)=cosωn+jsinωn
表明共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。
类似于一般的实函数总可以表示成奇函数与偶函数和的形式，推广到复数域，一般序列均可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即
x(n)=xe(n)+xo(n)(3.20)
其中，xe(n)和xo(n)可分别用原序列x(n)求出，将式(3.20)中的n用-n代替，再取共轭，得到： 
 x(-n)=xe(n)-xo(n)(3.21)
利用式(3.20)和式(3.21)，得到： 
xe(n)=12［x(n)+x(-n)］(3.22)

xo(n)=12［x(n)-x(-n)］(3.23)
利用式(3.22)和式(3.23)，可以用x(n)分别求出x(n)的共轭对称分量xe(n)和共轭反对称分量xo(n)。
上面分析的是时域函数的共轭对称和共轭反对称，对于频域函数X(ejω)，也有类似的定义和结论： 
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(3.24)
其中，Xe(ejω)和Xo(ejω)分别称为共轭对称部分与共轭反对称部分，它们满足： 
Xe(ejω)=X*e(e-jω)(3.25)

Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(3.26)
同样有： 
Xe(ejω)=12［X(ejω)+X(e-jω)］(3.27)

Xo(ejω)=12［X(ejω)-X(e-jω)］(3.28)
根据上面的定义和结论，研究DTFT的对称性。
(1) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即
x(n)=xr(n)+jxi(n)(3.29)
将式(3.29)进行傅里叶变换，得到： 
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(3.30)
其中
Xe(ejω)=DTFT［xr(n)］=∑∞n=-∞xr(n)e-jωn

Xo(ejω)=DTFT［jxi(n)］=j∑∞n=-∞xi(n)e-jωn
式(3.29)中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。容易证明： Xe(ejω)满足式(3.25)，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数； Xo(ejω)满足式(3.26)，具有共轭反对称性，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。
最后得到结论： 序列分成实部和虚部两部分时，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。
(2) 将序列x(n)分成共轭对称部分xe(n)与共轭反对称部分xo(n)，即
x(n)=xe(n)+xo(n)(3.31)
将式(3.22)和式(3.23)重写如下： 
xe(n)=12［x(n)+x(-n)］

xo(n)=12［x(n)-x(-n)］
然后分别进行傅里叶变换，得到： 
FT［xe(n)］=12［X(ejω)+X(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)(3.32a)

FT［xo(n)］=12［X(ejω)-X(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)(3.32b)
因此式(3.31)的DTFT为
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(3.32c)
式(3.32a)和式(3.32b)表示： 序列x(n)共轭对称部分xe(n)的DTFT对应着X(ejω)的实部XR(ejω)，而序列x(n)共轭反对称部分xo(n)的DTFT对应着X(ejω)的虚部XI(ejω)乘以j。
对于实序列x(n)，X(ejω)是共轭对称的，即： 
X(ejω)=X*(e-jω)(3.33)
它等同于X(ejω)的实部偶对称、虚部奇对称； 或幅度偶对称、相角奇对称。这一性质可在例3.5的图中得到验证。
【例3.5】设x(n)为序列
x(n)=δ(n+1)-δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)
其DTFT为
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)
其中，XR(ejω)和XI(ejω)分别是X(ejω)的实部和虚部。若某一序列y(n)的DTFT为Y(ejω)=XI(ejω)+jXR(ejω)ej2ω，试求出序列y(n)。
解： 求解这个问题的关键是要知道，如果x(n)是实序列，并且如果把X(ejω)用其实部和虚部来表示，那么XR(ejω)就是x(n)共轭对称部分的DTFT，XI(ejω)就是x(n)共轭反对称部分的DTFT，即： 
xe(n)=12［x(n)+x(-n)］←→DTFTXR(ejω)

xo(n)=12［x(n)-x(-n)］←→DTFTjXI(ejω)
所以，-jxo(n)的DTFT是XI(ejω)： 
-jxo(n)←→DTFTXI(ejω)
jxe(n+2)的DTFT是
jxe(n+2)←→DTFTjXR(ejω)ej2ω
于是有： 
jxe(n+2)-jxo(n)←→DTFTY(ejω)=XI(ejω)+jXR(ejω)ej2ω
可得： 
y(n)=jxe(n+2)-jxo(n)
其中
xe(n)=12［x(n)+x(-n)］

=12［δ(n+1)-δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+
δ(-n+1)-δ(-n)+2δ(-n-1)+3δ(-n-2)］

=12［δ(n+1)-δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+
δ(n-1)-δ(n)+2δ(n+1)+3δ(n+2)］

=32δ(n+2)+32δ(n+1)-δ(n)+32δ(n-1)+32δ(n-2)

xo(n)=12［x(n)-x(-n)］

=12［δ(n+1)-δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)-
δ(-n+1)+δ(-n)-2δ(-n-1)-3δ(-n-2)］

=12［δ(n+1)-δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)-
δ(n-1)+δ(n)-2δ(n+1)-3δ(n+2)］

=-32δ(n+2)-12δ(n+1)+12δ(n-1)+32δ(n-2)
所以
y(n)=jxe(n+2)-jxo(n)

=j32δ(n+4)+32δ(n+3)-δ(n+2)+32δ(n+1)+32δ(n)-
j-32δ(n+2)-12δ(n+1)+12δ(n-1)+32δ(n-2)

=j32δ(n+4)+32δ(n+3)+12δ(n+2)+2δ(n+1)+32δ(n)-
12δ(n-1)-32δ(n-2)
求解过程如图3.5所示。



图3.5例3.5图


【例3.6】设x(n)=(0.9exp(jπ/3))n,0≤n≤10，其幅度及相位的频谱特性如图3.6所示，试用MATLAB程序画出X(ejω)，并研究它的周期性和对称性。
解： MATLAB程序如下： 

n=0:10

x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n

k=-200:200

w=(pi/100)*k

X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k)

magX=abs(X)

angX=angle(X)

subplot(2,1,1)

plot(w/pi,magX,'k','lineWidth',2);grid

axis(［-2 2 -1 8］)

subplot(2,1,2)

plot(w/pi,angX,'k','lineWidth',2);grid

axis(［-2 2 -2 2］)



图3.6例3.6幅度及相位的频谱特性


由图3.6可知，上述复数序列x(n)，X(ejω) 是周期的，但不是共轭对称的。
【随堂练习】
若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部为： HR(ejω)=1+cos3ω，求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。
3.3.6时域卷积定理
设y(n)=x(n)h(n)，则
Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)(3.34)
证明： 

y(n)=∑∞m=-∞x(m)h(n-m)

Y(ejω)=DTFT［y(n)］=∑∞n=-∞∑∞m=-∞x(m)h(n-m)e-jωn
令k=n-m，则
Y(ejω)=∑∞k=-∞∑∞m=-∞h(k)x(m)e-jωke-jωm

=∑∞k=-∞h(k)e-jωk∑∞m=-∞x(m)e-jωm

=H(ejω)X(ejω)
该定理说明，两序列卷积的DTFT服从相乘的关系。对于线性时不变系统，输出信号的DTFT等于输入信号的DTFT乘以单位脉冲响应的DTFT。因此，在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积公式(2.25)计算，也可以在频域按照式(3.34)求出输出的DTFT，再作逆DTFT，求出输出信号y(n)。
3.3.7频域卷积定理
设 y(n)=h(n)·x(n)，则
Y(ejω)=12πH(ejω)X(ejω)=12π∫π-πH(ejθ)X(ej(ω-θ))dθ(3.35)
证明： 

Y(ejω)=∑∞n=-∞x(n)h(n)e-jωn
=∑∞n=-∞x(n)12π∫π-πH(ejθ)e-jθndθe-jωn
交换积分与求和的次序，得到： 
Y(ejω)=12π∫π-πH(ejθ)∑∞n=-∞x(n)e-j(ω-θ)ndθ

=12π∫π-πH(ejθ)X(ej(ω-θ))dθ

=12πH(ejω)X(ejω)
该定理表明，在时域两序列相乘，对应到频域则服从卷积关系。
3.3.8帕塞瓦尔定理
∑∞n=-∞|x(n)|2=12π∫π-π|X(ejω)|2dω(3.36)
证明： 
∑∞n=-∞|x(n)|2=∑∞n=-∞x(n)·x(n)=∑∞n=-∞x(n)12π∫π-πX(ejω)ejωndω

=12π∫π-πX(ejω)∑∞n=-∞x(n)ejωndω

=12π∫π-πX(ejω)X(ejω)dω

=12π∫π-π|X(ejω)|2dω
帕塞瓦尔(Parseval)定理表明了信号时域的能量与频域的能量满足能量守恒定理。表3.1和表3.2分别列出了常见的DTFT以及DTFT的主要性质。


表3.1常见的DTFT



序列DTFT
1，所有n∑∞k=-∞2πδ(ω-2πk)
sgn(n)=1,n=0,1,2,…

-1,n=-1,-2,…21-e-jω
u(n)11-e-jω+∑∞k=-∞πδ(ω-2πk)
δ(n)１
δ(n-p)e-jpωp=±1,±2,…
anu(n)|a|<111-ae-jω|a|<1
ejω0n∑∞k=-∞2πδ(ω-ω0-2πk)
cos(ω0n)∑∞k=-∞π［δ(ω+ω0-2πk)+δ(ω-ω0-2πk)］
sin(ω0n)∑∞k=-∞jπ［δ(ω+ω0-2πk)-δ(ω-ω0-2πk)］
cos(ω0n+θ)∑∞k=-∞π［e-jθδ(ω+ω0-2πk)-ejθδ(ω-ω0-2πk)］



表3.2DTFT的性质



性质序列DTFT

线性性质ax(n)+by(n)aX(ejω)+bY(ejω)a,b为常数

时移性质x(n-n0)e-jωn0X(ejω)
乘以nnx(n)jddωX(ejω)
乘以复指数ejω0nx(n)X(ej(ω-ω0))
时域卷积x(n)y(n)X(ejω)Y(ejω)
时域相乘x(n)y(n)12π∫π-πX(ejθ)Y(ej(ω-θ))dθ
乘以sin(ω0n)x(n)sin(ω0n)j2［X(ej(ω+ω0))-X(ej(ω-ω0))］
乘以cos(ω0n)x(n)cos(ω0n)12［X(ej(ω+ω0))+X(ej(ω-ω0))］
共轭对称性
Re［x(n)］Xe(ejω)

jIm［x(n)］Xo(ejω)
帕塞瓦尔定理∑∞n=-∞x(n)·y(n)12π∫π-πX(ejω)Y(ejω)dω

帕塞瓦尔定理特例∑∞n=-∞|x(n)|212π∫π-π|X(ejω)|2dω

【随堂练习】
设X(ejω)是x(n)的DTFT，试求下面序列的DTFT： ①x(n-n0)； ②x(n)； ③x(-n)； ④x(n)*x(-n)； ⑤nx(n)； ⑥x(2n)； ⑦x2(n)； ⑧y(n)=xn2n为偶数
0n为奇数。







3.4周期序列的频谱
周期序列是在整个时域按固定间隔重复出现的信号。每个间隔中出现的采样点数称为时域离散信号的数字周期。由于序列在整个时域不断重复，不满足式(3.2)绝对可和的条件，因此DTFT不适合用来计算周期序列的频谱。用来计算周期序列频谱的工具为傅里叶级数，也称为离散傅里叶级数(Discrete Fourier Series，DFS),这个级数很重要，与后面要研究的离散傅里叶变换联系很密切。
表3.3列出了各类周期信号的傅里叶级数表示，从表中可以看出，每个周期信号可以表示为正弦或余弦之和的形式，利用欧拉公式，这些周期信号也可以表示为复指数之和的形式。设x～(n)是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数为： 



表3.3周期序列的离散傅里叶级数



名称波形分解成的傅里叶级数

方形波
f(t)=4Aπsinωt+13sin3ωt+15sin5ωt+…
矩形脉冲
f(t)=AτT+2πsinωt2cosωt+12sinωtcos2ωt+13sin3ωt2cos3ωt+…
三角波
f(t)=8Aπ2sinωt-19sin3ωt+125sin5ωt-…
锯齿波
f(t)=A12-1πsinωt+12sin2ωt+13sin3ωt+…
全波整流波形
f(t)=4Aπ12-11×3cos2ωt-13×5cos4ωt-15×7cos6ωt-…
半波整流波形
f(t)=Aπ+A2sinωt-2Aπ11×3cos2ωt+13×5cos4ωt+15×7cos6ωt+…



x～(n)=1N∑N-1k=0αkej2πNkn(3.37)
其中，n为采样点编号，标号k=0,1,…,N-1。傅里叶系数ak可由信号采样值x～(n)按式(3.38)求解得到： 
αk=∑N-1n=0x～(n)e-j2πNkn0≤k≤N-1(3.38)

系数ak的求解过程如下，将式(3.37)两边乘以e-j2πNmn，并对n在一个周期(0~N-1)中求和，即
∑N-1n=0x～(n)e-j2πNmn=∑N-1n=01N∑N-1k=0αkej2πNkne-j2πNmn=1N∑N-1k=0αk∑N-1n=0ej2πN(k-m)n(3.39)
其中
∑N-1n=0ej2πN(k-m)n=Nk=m

0k≠m(3.40)
因此，只有k=m时，αk∑N-1n=0ej2πN(k-m)n这一项才有非零值，即∑N-1n=0x～(n)e-j2πNmn=αm。
将m换成k，得
αk=∑N-1n=0x～(n)e-j2πNkn0≤k≤N-1(3.41)
其中，k和n均取整数。因为e-j2πN(k+lN)n=e-j2πNkn,l取整数，即e-j2πNkn是周期为N的周期函数。所以，系数αk也是周期序列，也只有N个主值，此后不断重复，满足αk=αk+lN。
由于x～(n)是周期信号，周期为N，求所有系数αk只需要N个采样值，用任意N个连续值即可，一般取n为0~N-1。
如果令X～(k)=αk，则式(3.37)和式(3.41)可重写如下： 
x～(n)=IDFS［X～(k)］=1N∑N-1k=0X～(k)ej2πNkn(3.42)

X～(k)=DFS［x～(n)］=∑N-1n=0x～(n)e-j2πNkn(3.43) 
其中，X～(k)也是以N为周期的周期序列，称为x～(n)的离散傅里叶级数的系数，用DFS表示。式(3.42)和式(3.43)称为DFS变换对。式(3.42)表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=2πNk,k=0,1,2,…,N-1，幅度为1NX～(k)。基波分量的频率是2πN，幅度是1NX～(1)。一个周期序列可以用其DFS系数X～(k)表示它的频谱分布规律。
由于系数ak通常为复数，也可用极坐标形式表示： 
αk=|αk|ejφk(3.44)
则式(3.37)变为： 
x～(n)=∑N-1k=0|αk|ejφkej2πNkn=∑N-1k=0|αk|ej2πNkn+φk(3.45)
这是周期序列傅里叶级数展开的另一种形式。其中|αk|含有幅度信息，而φk含有相位信息。

同时可以看出，标号k=0,1,…,N-1，k=0表示周期序列的直流成分，它是信号的平均值，k取其他值时，对应的频率称为周期信号的谐波。x～(n)的基波成分是e1(n)=α1ej2πNn，k次谐波成分为ek(n)=αkej2πNkn。因为ej2πN(k+N)n=ej2πNkn，所以，离散傅里叶级数中只有N个独立的谐波成分，展成离散傅里叶级数时，只能取k=0,1,…,N-1的N个独立的谐波分量。
从上面的分析可以看出，周期序列的频谱与非周期序列的频谱有很大的区别。由3.2节知道，DTFT产生连续频谱，这说明频谱在所有的频率处都有值，因此，非周期序列的幅度和相位频谱是光滑连续的曲线。而DFS仅在N个频率点上有值，因此，周期序列的幅度和相位频谱是离散的等间隔的竖线。
【例3.7】设x(n)=1n=0,1

0其他，将x(n)以N=4为周期进行周期延拓，得到如图3.7(a)所示的周期序列x～(n)，周期为4，求DFS［x～(n)］。
解： X～(k)=DFS［x～(n)］=∑N-1n=0x～(n)e-j2πNkn

=∑3n=0x～(n)e-j2π4kn

=1+e-j2π4k

=1+e-jπ2k

=e-jπ4kejπ4k+e-jπ4k

=2cosπ4ke-jπ4k
其幅度特性|X～(k)|如图3.7(b)所示，它也是一个以4为周期的离散序列。


图3.7例3.7图


在MATLAB中可以用矩阵矢量乘法实现高效的DFS计算。重写式(3.42)： 
x～(n)=IDFS［X～(k)］=1N∑N-1k=0X～(k)ej2πNkn=1NW*NX～(k)

X～(k)=DFS［x～(n)］=∑N-1n=0x～(n)e-j2πNkn=WNx～(n)
其中WN 为一矩阵，其形式为： 
WN=111…1
1ej2πN1·1ej2πN1·2…ej2πN1·(N-1)
1ej2πN2·1ej2πN2·2…ej2πN2·(N-1)

1ej2πN(N-1)·1ej2πN(N-1)·2…ej2πN(N-1)·(N-1)
则可由以下函数文件实现DFS： 

function ［XK］=dfs(xn,N)

n=［0:N-1］

K=［0:N-1］

W=exp(-j*2*pi/N)

nk=n'*k

WN=W.^nk

XK=xn*WN

可由以下函数文件实现IDFS： 

function ［xn］=idfs(XK,N)

n=［0:N-1］

K=［0:N-1］

W1=exp(j*2*pi/N)

nk=n'*k

WN1=W1.^nk

xn=XK*WN1

【例3.8】一周期序列由下式给出： 
x～(n)=1mN≤n≤mN+L-1

0mN+L≤n≤(m+1)N-1m=0,±1,±2,…
其中，N是基波周期，L/N 是占空比，首先用MATLAB画出当L=5,N=20 时此序列的3个周期，然后分别画出L=5,N=20； L=5,N=40； L=5,N=60 和L=7,N=60 的幅频图|X～(k)|。
解： 首先画出L=5,N=20时序列的3个周期，相关程序如下： 

L=5,N=20

n=-20:39

x=［ones(1,L),zeros(1,N-L),ones(1,L),zeros(1,N-L),ones(1,L),zeros(1,N-L)］

stem(n,x,'k','lineWidth', 1.2)

axis(［-20 40 0 1.2］)

运行结果如图3.8所示。



图3.8周期序列L=5,N=20


接下来画出L=5,N=20； L=5,N=40； L=5,N=60 和L=7,N=60的幅频|X～(k)|，程序如下： 

clc

clear

L=5,N=20

k=［-N/2:N/2］

xn=［ones(1,L),zeros(1,N-L)］

XK=dfs(xn,N)

magXK=abs(［XK(N/2+1:N) XK(1:N/2+1)］)

subplot(2,2,1)

stem(k,magXK,'k','lineWidth', 2)

axis(［-N/2,N/2,-0.5,5.5］)

xlabel('k','fontsize',18)

ylabel('$|＼tilde{X}(k)|$','interpreter','latex','fontsize',18)

title('L=5,N=20','fontsize',18)

hold on

L=5,N=40

k=［-N/2:N/2］

xn=［ones(1,L),zeros(1,N-L)］

XK=dfs(xn,N)

magXK=abs(［XK(N/2+1:N) XK(1:N/2+1)］)

subplot(2,2,2)

stem(k,magXK,'k','lineWidth', 2)

axis(［-N/2,N/2,-0.5,5.5］)

xlabel('k','fontsize',18)

ylabel('$|＼tilde{X}(k)|$','interpreter','latex','fontsize',18)

title('L=5,N=40','fontsize',18)

hold on

L=5,N=60

k=［-N/2:N/2］

xn=［ones(1,L),zeros(1,N-L)］

XK=dfs(xn,N)

magXK=abs(［XK(N/2+1:N) XK(1:N/2+1)］)

subplot(2,2,3)

stem(k,magXK,'k','lineWidth', 2)

axis(［-N/2,N/2,-0.5,8］)

xlabel('k','fontsize',18)

ylabel('$|＼tilde{X}(k)|$','interpreter','latex','fontsize',18)

title('L=5,N=60','fontsize',18)

hold on

L=7,N=60

k=［-N/2:N/2］

xn=［ones(1,L),zeros(1,N-L)］

XK=dfs(xn,N)

magXK=abs(［XK(N/2+1:N) XK(1:N/2+1)］)

subplot(2,2,4)

stem(k,magXK,'k','lineWidth', 2)

axis(［-N/2,N/2,-0.5,8］)

xlabel('k','fontsize',18)

ylabel('$|＼tilde{X}(k)|$','interpreter','latex','fontsize',18)

title('L=7,N=60','fontsize',18)

画出图形如图3.9所示。



图3.9对于不同的N和L，周期序列的DFS图


由图3.9可知，这一周期序列的包络类似于sinc函数，在k=0时的幅度等于L,而函数的零点在N/L的整数倍点。
【随堂练习】
设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，形成周期序列x～(n)，求x～(n)的离散傅里叶级数并用MATLAB程序画出其离散傅里叶级数的波形。
3.5序列的Z变换
在模拟信号与系统中，通常用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉斯变换则可看成是傅里叶变换的推广，对信号进行复频域分析。类似于模拟信号与系统，在时域离散信号与系统中，通常用序列的傅里叶变换进行频域分析，而Z变换便是其推广，用其对序列进行复频域分析。Z变换可以使数字信号和系统的描述更加紧凑，它可以简单有效地帮助我们求解线性差分方程，并使数字信号的计算更加容易。






3.5.1Z变换的定义
给定离散时间信号即序列x(n)，其DTFT定义为： 
X(ejω)=∑∞n=-∞x(n)e-jωn(3.46)
注意X(ejω)通常情况下是数字频率变量ω的复值函数。
类似于将因子e-σt加到傅里叶变换中就得到了拉普拉斯变换，将因子r-n加到式(3.46)中，则有： 
X′(ejω)=∑∞n=-∞x(n)r-ne-jωn(3.47)
式(3.47)可改写为： 
X′(ejω)=∑∞n=-∞x(n)(rejω)-n(3.48)
令z=rejω，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。因此X′(ejω)可改写成z函数： 
X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n(3.49)
式(3.49)定义的函数X(z)就被称为序列x(n)的双边Z变换。x(n)的单边Z变换仍用X(z)来表示，定义为： 
X(z)=∑∞n=0x(n)z-n=x(0)+x(1)z-1+x(2)z-2+…(3.50)
由式(3.50)可知，单边Z变换是z-1的幂级数，其系数是序列x(n)的值。
注意，若x(n)=0,n=-1,-2,…，即序列x(n)是因果序列，用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中除特别说明外，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。
式(3.49)中Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即
∑∞n=-∞|x(n)z-n|<∞(3.51)
使式(3.51)成立的z变量的所有取值的集合称为收敛域。一般收敛域为环状域，即
Rx-<|z|<Rx+
将z=rejω代入上式得到Rx-<|r|<Rx+，收敛域是分别以Rx+和Rx-为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图3.10中所示的斜线部分)。当然，Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。


图3.10Z变换的收敛域

常用的Z变换是一个有理数，用两个多项式之比表示： 
X(z)=P(z)Q(z)
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。
对比序列的傅里叶变换定义式(3.2)，很容易得到序列的傅里叶变换和Z变换之间的关系： 
X(ejω)=X(z)z=ejω(3.52)
其中，z=ejω表示在Z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。式(3.52)表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，就可用式(3.52)很方便地求出序列的傅里叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。
【例3.9】计算x(n)=u(n)的Z变换X(z)。
解： X(z)=∑∞n=-∞u(n)z-n=∑∞n=0z-n
X(z)存在的条件是|z-1|<1，得到收敛域为|z|>1，因此
X(z)=11-z-1|z|>1
X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在，不能用式(3.52)求其傅里叶变换。该例题说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存在的。
【随堂练习】
求下列序列的Z变换及其收敛域： ①x(n)=2-nu(n)； ②x(n)=-2-nu(-n-1)； ③x(n)=2-nu(-n)； ④x(n)=δ(n)； ⑤x(n)=δ(n-1)； ⑥x(n)=2-n［u(n)-u(n-10)］。
3.5.2序列特性与收敛域的关系
序列的特性会影响其Z变换的收敛域，了解序列特性与收敛域的一般关系，有助于更好地使用Z变换。






1. 有限长序列
若序列x(n)满足下式： 
x(n)=x(n)n1≤n≤n2

0其他
即序列x(n)从n1到n2的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为
X(z)=∑n2n=n1x(n)z-n
设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果n1<0，则收敛域不包括∞点； 如果n2>0，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下： 
n1<0,n2≤0时，0≤|z|<∞

n1<0,n2>0时，0<|z|<∞

n1≥0,n2>0时，0<|z|<∞
【例3.10】求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。
解： X(z)=∑∞n=-∞RN(n)z-n=∑N-1n=0z-n=1-z-N1-z-1
这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0<|z|≤∞。但由结果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将z=ejω代入X(z)得到，其结果和例3.1中的结果是相同的。
【随堂练习】






有没有序列Z变换的收敛域是全部Z平面，即0≤|z|≤∞？
2. 右边序列
右边序列是指在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1时，序列值全为零的序列。右边序列的Z变换表示为
X(z)=∑∞n=n1x(n)z-n=∑-1n=n1x(n)z-n+∑∞n=0x(n)z-n
第一项为有限长序列，设n1≤-1，其收敛域为0≤|z|<∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-<|z|<∞。如果是因果序列，收敛域为Rx-<|z|≤∞。
【例3.11】求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。
解： X(z)=∑∞n=-∞anu(n)z-n=∑∞n=0anz-n=11-az-1
在收敛域中必须满足|az-1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。






3. 左边序列
左边序列是指在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2时，序列值全为零的序列。左边序列的Z变换表示为： 
X(z)=∑n2n=-∞x(n)z-n
如果n2≤0,z=0点收敛，z=∞点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0≤|z|<Rx+。如果n2>0，则收敛域为0<|z|<Rx+。
【例3.12】求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
解： 这里x(n)是一个左边序列，当n≥0时，x(n)=0，
X(z)=∑∞n=-∞-anu(-n-1)z-n=∑-1n=-∞-anz-n=∑∞n=1-a-nzn
X(z)需满足条件|a-1z|<1，即收敛域为|z|<|a|，因此
X(z)=-a-1z1-a-1z=11-az-1|z|<|a|
注意到，例3.11和例3.12的序列是不同的，即一个是左边序列，一个是右边序列，但其Z变换X(z)的函数表示式相同，仅收敛域不同。换句话说，同一个Z变换函数表达式，收敛域不同，对应的序列是不相同的。所以，X(z)的函数表达式及其收敛域是一个不可分离的整体，求Z变换就包括求其收敛域。






4. 双边序列
一个双边序列可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和，其Z变换表示为
X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-n=X1(z)+X2(z)

X1(z)=∑-1n=-∞x(n)z-n0≤|z|<Rx+

X2(z)=∑∞n=0x(n)z-nRx-<|z|≤∞
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的交集。如果Rx+>Rx-，则其收敛域为Rx-<|z|<Rx+，是一个环状域； 如果Rx+<Rx-，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，因此X(z)不存在。
【例3.13】已知x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。
解： X(z)=∑∞n=-∞a|n|z-n=∑-1n=-∞a-nz-n+∑∞n=0anz-n=∑∞n=1anzn+∑∞n=0anz-n
第一部分收敛条件为|az|<1，得到的收敛域为|z|<|a|-1； 第二部分收敛条件为|az-1|<1，得到的收敛域为|z|>|a|。如果|a|<1，两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|-1，其Z变换如下： 
X(z)=az1-az+11-az-1=1-a2(1-az)(1-az-1)|a|<|z|<|a|-1
如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0<a<1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图3.11所示。



图3.11例3.13图


此外，因为收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界，所以如果求出序列的Z变换，找出其极点，则可以根据序列的特性，较简单地确定其收敛域。例如在例3.11中，其极点为z=a，根据x(n)是一个因果序列，其收敛域必为|z|>|a|； 又例如在例3.12中，其极点为z=a，但x(n)是一个左序列，收敛域一定在某个圆内，即|z|<|a|。
序列的Z变换可以用MATLAB语言里的ztrans命令简单地实现，例3.14给出了求解序列Z 变换的MATLAB程序及运行结果。
【例3.14】用ztrans命令求下列序列的Z变换： 
(1) x(n)=12n+14nu(n)； 
(2) x(n)=sin(an+b)u(n)。
解： MATLAB程序： 

syms n a b

f1=0.5^n+0.25^n

f2=sin(a*n+b)

F1=ztrans(f1)

F2=ztrans(f2)

运行结果： 

F1= z/(z - 1/2) + z/(z - 1/4)

F2 =(z*cos(b)*sin(a))/(z^2 - 2*cos(a)*z + 1) + (z*sin(b)*(z - cos(a)))/(z^2 - 2*cos(a)*z + 1)

但是，收敛域还是需要手动求解。
【随堂练习】
求下列序列的Z变换及其收敛域，并与MATLAB程序实现的结果进行对比： ①x(n)=12n+34nu(n-10)； ②x(n)=1-10≤n≤10

0其他； ③x(n)=2nu(-n)。
3.5.3逆Z变换(Z反变换)
已知序列的Z变换X(z)及其收敛域，求原序列x(n)的过程称为求逆Z变换。求解逆Z变换有多种方法，包括留数法、部分分式展开法和幂级数法(长除法)。因为幂级数法(长除法)一般很难得到闭合解，所以这里仅介绍留数法和部分分式展开法，重点是留数法。







1. 用留数定理求逆Z变换
序列的Z变换及其逆Z变换表示如下： 
X(z)=∑∞n=-∞x(n)z-nRx-<|z|<Rx+

x(n)=12πj ∮cX(z)zn-1dz(3.53)
其中，c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合围线，如图3.12所示。求逆Z变换时，直接计算围线积分是比较麻烦的，用留数定理求则很容易。为了表示简单，用F(z)表示被积函数： 


图3.12围线积分路径

F(z)=X(z)zn-1
如果F(z)在围线c内的极点用zk表示，则根据留数定理有
12πj ∮cX(z)zn-1dz=∑kRes［F(z),zk］(3.54)
其中，Res［F(z),zk］表示被积函数F(z)在极点z=zk的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数之和。
如果zk是单阶极点，则根据留数定理有
Res［F(z),zk］=(z-zk)·F(z)|z=zk(3.55)
如果zk是m阶极点，则根据留数定理有
Res［F(z),zk］=1(m-1)!dzdzm-1［(z-zk)m·F(z)］|z=zk(3.56)
式(3.56)表明，对于m阶极点，需要求m-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可以用以下方法使问题简单化。
如果F(z)在Z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将Z平面上的极点分成两部分： 一部分是c内极点，设有N1个极点，用z1k表示； 另一部分是c外极点，有N2个，用z2k表示。N=N1+N2。根据留数辅助定理，则有： 
∑N1k=1Res［F(z),z1k］=-∑N2k=1Res［F(z),z2k］(3.57)

注意： 式(3.57)成立的条件是F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶或二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)和Q(z)分别是M与N阶多项式。式(3.57)成立的条件是： 

N-M-n+1≥2

因此要求
n<N-M(3.58)
如果满足式(3.58)，c内极点中有多阶极点，而c外没有多阶极点，则逆Z变换的计算可以按照式(3.57)，改求c外极点留数之和，最后加一个负号。
【例3.15】已知X(z)=31-0.5z-1+21-2z-1，求对应X(z)的各种可能的序列表达式。
解： X(z)有两个极点，z1=0.5、z2=2，因为收敛域总是以极点为界，所以收敛域有以下3种情况： |z|<0.5，0.5<|z|<2，|z|>2，这3种收敛域对应3种原序列。
(1) 当收敛域为|z|<0.5时，
x(n)=12πj ∮cX(z)zn-1dz
令
 F(z)=X(z)zn-1=5-7z-1(1-0.5z-1)(1-2z-1)zn-1

=5z-7(z-0.5)(z-2)zn
当n≥0时,c内无极点，x(n)=0； 
当n≤-1时，c内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点有z1=0.5，z2=2，那么
x(n)=-Res［F(z),0.5］-Res［F(z),2］
=(5z-7)zn(z-0.5)(z-2)(z-0.5)|z=0.5-(5z-7)zn(z-0.5)(z-2)(z-2)|z=2

=-3·12n+2·2nu(-n-1)
(2) 当收敛域为0.5<|z|<2时，
F(z)=5z-7(z-0.5)(z-2)zn
当n≥0时,c内有极点0.5，
x(n)=Res［F(z),0.5］=3·12n
当n<0时,c内有极点0.5,0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，x(n)=-Res［F(z),2］=-2·2nu(-n-1)。
最后得到
x(n)=3·12nu(n)-2·2nu(-n-1)
(3) 当收敛域为|z|>2时，
F(z)=5z-7(z-0.5)(z-2)zn
当n≥0时,c内有极点0.5,2。
x(n)=Res［F(z),0.5］+Res［F(z),2］

=(5z-7)zn(z-0.5)(z-2)(z-0.5)|z=0.5+(5z-7)zn(z-0.5)(z-2)(z-2)|z=2

=3·12n+2·2nu(n)
当n<0时,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。或者用另一种分析方法，c内有极点0.5,2,0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。
最后得到： 
x(n)=3·12n+2·2nu(n)
【随堂练习】
(1) 已知X(z)=(1-0.5z-1)-1,|z|>0.5，试用留数法，求其逆Z变换x(n)。
(2) 已知X(z)=1-a2(1-az)(1-az-1),|a|<1，试用留数法，求其逆Z变换x(n)。






2. 部分分式展开法
对于大多数单阶极点的序列，常常也用部分分式展开法求逆Z变换。
设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展开成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表3.4)求得各部分的逆变换，再相加便得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成： 
X(z)=A0+∑Nm=1Amzz-zm(3.59)

X(z)z=A0z+∑Nm=1Amz-zm(3.60)
观察式(3.60)，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在极点z=zm的留数就是系数Am。
A0=ResX(z)z,0(3.61)

Am=ResX(z)z,zm(3.62)
求出系数Am(m=0,1,2,…,N)后，查表3.4可求得序列x(n)。
【例3.16】已知X(z)=5z-11+z-1-6z-2,2<|z|<3，求逆Z变换。
解： X(z)z=5z-21+z-1-6z-2=5z2+z-6=5(z-2)(z+3)=A1z-2+A2z+3

A1=ResX(z)z,2=X(z)z(z-2)|z=2=1

A2=ResX(z)z,-3=X(z)z(z+3)|z=-3=-1

X(z)z=1z-2-1z+3

X(z)=11-2z-1-11+3z-1
因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为2<|z|。第二部分极点是z=-3，因此收敛域应为|z|<3。查表3.4，得到： 
x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

注意： 在进行部分分式展开时，也用到求留数问题； 求各部分分式对应的原序列时，还要确定它的收敛域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。


例3.16可以用一个MATLAB函数residues来校核留数计算，首先将X(z)写成以z-1 升幂的函数： X(z)=5z-11+z-1-6z-2=0+5z-11+z-1-6z-2 ，分子和分母的系数矢量分别为： b=［0,5］； a=［1,1,-6］，则运行下列程序： 

a=［1,1,-6］

b=［0,5］

［R,p,C］=residuez(b,a)

结果为： 

R =

-1

1

p =

-3

2

C =

［］

其中，R为留数； P为极点位置； C为直接项。
一些常见序列的Z变换可参考表3.4。


表3.4常见序列的Z变换



序列Z变换收敛域


δ(n)1整体Z平面
u(n)11-z-1|z|>1
anu(n)11-az-1|z|>|a|
RN(n)1-z-N1-z-1|z|>0
-anu(-n-1)11-az-1|z|<|a|
nu(n)z-1(1-z-1)2|z|>1
nanu(n)az-1(1-az-1)2|z|>|a|
ejω0nu(n)11-ejω0z-1|z|>1
sin(ω0n)u(n)z-1sinω01-2z-1cosω0+z-2|z|>1
cos(ω0n)u(n)1-z-1cosω01-2z-1cosω0+z-2|z|>1

【随堂练习】
(1) 已知X(z)=2-3z-11-3z-1+2z-2，试用部分分式法分别求： 收敛域为1<|z|<2对应的原序列x(n)； 收敛域为|z|>2对应的原序列x(n)。
(2) 试用部分分式法，求下列X(z)的逆Z变换： ①X(z)=1-13z-11-14z-2|z|>12； ②X(z)=1-2z-11-14z-2|z|<12。







3.5.4Z变换的性质和定理
Z变换的性质和傅里叶变换的性质类似，但也有一些不同，可以进行对照学习。
1. 线性性质
设m(n)=ax(n)+by(n)a,b为常数，x(n)和y(n)的Z变换表示为： 
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Ry-<|z|<Ry+
则
M(z)=ZT［m(n)］=aX(z)+bY(z)Rm-<|z|<Rm+(3.63)

Rm+=min（Rx+,Ry+）

Rm-=max（Rx-,Ry-）
这里，M(z)的收敛域(Rm-,Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收敛域，如果没有公共收敛域，例如当Rx+>Rx->Ry+>Ry-时，则M(z)不存在。
2. 序列的移位性质
设
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+
则
ZT［x(n-n0)］=z-n0X(z)Rx-<|z|<Rx+(3.64)
3. 序列乘以指数序列的性质
设
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+

y(n)=anx(n)a为常数
则
Y(z)=ZT［anx(n)］=X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(3.65)
4. 序列乘以n的ZT
设
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+
则
ZT［nx(n)］=-zdX(z)dzRx-<|z|<Rx+(3.66)
5. 复共轭序列的ZT
设
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+
则
ZT［x(n)］=X(z)Rx-<|z|<Rx+(3.67)
6. 初值定理
设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则
x(0)=limx→∞X(z)(3.68)
7. 终值定理
若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其他极点均在单位圆内，则
limn→∞x(n)=limz→1(z-1)X(z)(3.69)
终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，因为
limz→1(z-1)X(z)=Res［X(z),1］
因此
x(∞)=Res［X(z),1］(3.70)
如果在单位圆上X(z)无极点，则x(∞)=0。
8. 时域卷积定理
设
w(n)=x(n)y(n)

X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Ry-<|z|<Ry+
则
W(z)=ZT［w(n)］=X(z)Y(z)Rw-<|z|<Rw+(3.71)

Rw+=min（Rx+,Ry+）

Rw-=max（Rx-,Ry-）






【例3.17】已知某网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n),|a|<1，网络输入序列x(n)=u(n)，求该网络的输出序列y(n)。
解： 求y(n)可用两种方法，一种是直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。
(1) 直接求解线性卷积法，则有： 
y(n)=∑∞m=-∞h(m)x(n-m)

=∑∞m=0amu(m)u(n-m)

=∑nm=0amu(n)=1-an+11-au(n)
(2) Z变换法，因为： 
H(z)=ZT［anu(n)］=11-az-1|z|>|a|

X(z)=ZT［u(n)］=11-z-1|z|>1
根据时域卷积定理有： 
Y(z)=H(z)X(z)=1(1-z-1)(1-az-1)|z|>1
求其逆Z变换，得到： 
y(n)=12πj ∮czn+1(z-1)(z-a)dz
由收敛域判定
y(n)=0n<0
n≥0时，
y(n)=Res［Y(z)zn-1,1］+Res［Y(z)zn-1,a］

=11-a+an+1a-1=1-an+11-a
最后将y(n)表示为
y(n)=1-an+11-au(n)
9. 复卷积定理
如果
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Ry-<|z|<Ry+

w(n)=x(n)*y(n)
则
W(z)=12πj ∮cX(v)Yzvdvv(3.72)
其中，c是v平面收敛域中任一条环绕原点的逆时针方向的闭合围线，W(z)的收敛域为
Rx-Ry-<|z|<Rx+Ry+(3.73)
式(3.72)中v平面上，被积函数的收敛域为
maxRx-,|z|Ry+<|v|<minRx+,|z|Ry-(3.74)
10. 帕塞瓦尔定理
设
X(z)=ZT［x(n)］Rx-<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］Ry-<|z|<Ry+

Rx-Ry-<1，Rx+Ry+>1
那么
∑∞n=-∞x(n)y(n)=12πj ∮cX(v)Y1vdvv(3.75)
其中，c是X(v)Y1v收敛域中任一条环绕原点的逆时针方向的闭合围线，v的收敛域为
maxRx-,1Ry+<|v|<minRx+,1Ry-
如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，令v=ejω，得到： 
∑∞n=-∞x(n)y(n)=12π∫π-πX(ejω)Y(ejω)dω
令x(n)=y(n)，得到： 
∑∞n=-∞x(n)x(n)=∑∞n=-∞|x(n)|2=12π∫π-π|X(ejω)|2dω(3.76)
式(3.76)等号的左边表示时间信号的能量，等号的右边表示信号频谱的能量。因此帕塞瓦尔定理的物理意义是： 在时域中计算得到的序列能量与在频域中计算得到的能量相等。式(3.76)还可以表示为： 
∑∞n=-∞|x(n)|2=12πj ∮cX(z)X(z-1)dzz(3.77)
注意： 式(3.77)中X(z)收敛域包含单位圆，当x(n)为实序列时，
X(e-jω)=X(ejω)
3.6时域离散系统的系统函数
3.6.1系统函数与差分方程







首先需要知道什么是时域离散系统的系统函数？如何得到系统函数？
根据前面的知识，一个时域离散系统可以用差分方程来描述系统的功能和特性。比如y(n)=3x(n)这样一个差分方程，可以对输入的信号放大3倍，表示的是一个具有放大功能的系统，类似于麦克风。假设一个任意的时域离散系统可以用下面这个N阶线性常系数差分方程描述： 
∑Nk=0aky(n-k)=∑Ml=0blx(n-l)(3.78)
那么对式(3.78)求Z变换，则需要对方程中的每一项都进行Z变换，即可得到： 
∑Nk=0akY(z)z-k=∑Ml=0blX(z)z-l(3.79)
然后在Z域对系统的输出与输入求比值得： 
H(z)=Y(z)/X(z)

=∑Ml=0blz-l∑Nk=0αkz-k(3.80)
其中，H(z)就称为时域离散系统的系统函数(也称传输函数)。系统函数表示的是系统输出与输入的关系，包含了时域离散系统的所有信息。它不仅可以表征线性时不变系统的动态特性，而且还可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响，是了解系统和计算系统输出的极为有用的工具。
虽然实际系统基本都有非线性的输入输出特性，但是许多系统在标称参数范围内的运行状态非常接近于线性，所以实际应用中完全可以用线性时不变系统理论表示其输入输出行为。
【例3.18】求下列差分方程所描述系统的系统函数： 
2y(n)+3y(n-1)+0.8y(n-2)=2x(n)+x(n-3)
解： 对上面的差分方程逐项进行Z变换得： 
2Y(z)+3z-1Y(z)+0.8z-2Y(z)=2X(z)+z-3X(z)
Y(z)是系统输出y(n)的Z变换，X(z)是系统输入x(n)的Z变换，上式左右两边分别提取公因式Y(z)和X(z)有： 
(2+3z-1+0.8z-2)Y(z)=(2+z-3)X(z)
最后得时域离散系统的系统函数为： 
H(z)=Y(z)X(z)=2+z-32+3z-1+0.8z-2
【随堂练习】
(1) 求下列差分方程所描述系统的系统函数： ①2y(n)+y(n-1)+0.8y(n-2)=x(n-1)+x(n-3)； ②y(n)=0.7x(n)-0.3x(n-2)-0.01x(n-3)。
(2) 求下列系统函数的差分方程： ①H(z)=1+0.7z-11-0.7z-1；  ②H(z)=z(2z-1)(3z+1)。






3.6.2系统函数与单位脉冲响应
到目前为止，已介绍了3种描述系统特性的方法，包括差分方程、单位脉冲响应和系统函数。如图3.13所示。如果对卷积式(2.25)求Z变换，可以得到单位脉冲响应与系统函数的关系： 
y(n)=h(n)*x(n)=∑∞m=-∞h(m)x(n-m)


图3.13时域、Z域系统的输出


两边求Z变换，得： 
Y(z)=∑+∞n=-∞y(n)z-n
=∑+∞n=-∞∑+∞m=-∞h(m)x(n-m)·z-n
=∑+∞m=-∞h(m)·∑+∞n=-∞x(n-m)·z-n
=∑+∞m=-∞h(m)·∑+∞n′=-∞x(n′)·z-(n′+m)
=∑+∞m=-∞h(m)z-m′·∑+∞n′=-∞x(n′)·z-n′
=H(z)X(z)(3.81)
其中，Y(z)是y(n)的Z变换，X(z)是x(n)的Z变换。需要特别注意的是，H(z)是h(n)的Z变换，换句话说，系统的系统函数是其单位脉冲响应的Z变换。由Z变换的定义可以求解： 
H(z)=ZT［h(n)］
=∑∞n=0h(n)z-n(3.82)
【随堂练习】
设数字滤波器的单位采样响应为： 
h(n)=δ(n)+0.5δ(n-1)+0.2δ(n-2)+0.06δ(n-3)
求此滤波器的系统函数和差分方程。






3.6.3利用Z变换计算系统输出
第2章介绍了两种计算系统输出的方法： 一种是通过数字卷积运算计算系统输出，还有一种是通过递推的方法直接计算差分方程得出系统的输出，这两种方法都是在时域中的运算。下面介绍一种在Z域，利用系统的传输函数H(z)和Z变换求解系统的输出。这种方法将求解差分方程变成求解代数方程，让求解过程更加简单。
设N阶线性常系数差分方程描述为： 
∑Nk=0aky(n-k)=∑Mk=0bkx(n-k)(3.83)
1. 求稳态解
如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对式(3.83)求Z变换，得到： 
∑Nk=0akY(z)z-k=∑Mk=0bkX(z)z-k

Y(z)=∑Mk=0bkz-k∑Nk=0akz-k·X(z)(3.84)

对Y(z)求逆Z变换，便可得到系统的输出信号y(n)，即
y(n)=IZT［Y(z)］(3.85)
此时的y(n)是系统的稳态解。
2. 求暂态解
对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0，n<0，已知初始条件y(-1),y(-2),…,y(-N)。对式(3.83)进行Z变换时（注意这里要用单边Z变换），该方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。
设
Y(z)=∑∞n=0y(n)z-n

ZT［y(n-m)u(n)］=∑∞n=0y(n-m)z-n

=z-m∑∞n=0y(n-m)z-(n-m)

=z-m∑∞k=-my(k)z-k

=z-m∑∞k=0y(k)z-k+∑-1k=-my(k)z-k

=z-mY(z)+∑-1k=-my(k)z-k








(3.86)
按照式(3.86)对式(3.83)进行单边Z变换，有
∑Nk=0akz-kY(z)+∑-1l=-ky(l)z-l=∑Mk=0bkX(z)z-k

Y(z)=∑Mk=0bkz-k∑Nk=0akz-k·X(z)-∑Nk=0akz-k∑-1l=-ky(l)z-l∑Nk=0akz-k(3.87)
其中右边第一部分与系统初始状态无关，称为零状态解； 而第二部分与输入信号无关，称为零输入解。求零状态解时，可用双边Z变换求解也可用单边Z变换求解，求零输入解却必须考虑初始条件，用单边Z变换求解。
【例3.19】已知差分方程y(n)=0.5y(n-1)+x(n)，设输入为x(n)=0.7u(n),初始条件为(1)y(-1)=1.5，(2)y(-1)=0，求y(n)。
解： (1) y(-1)=1.5时，将已知差分方程进行单边Z变换： 
Y(z)-0.5z-1Y(z)+0.5y(-1)=X(z)

Y(z)=X(z)-0.5y(-1)1-0.5z-1
其中
X(z)=0.71-z-1,y(-1)=1.5
于是
Y(z)=0.7(1-0.5z-1)(1-z-1)+0.751-0.5z-1

=0.7z2(z-0.5)(z-1)+0.75zz-0.5
部分分式展开得
Y(z)=-0.7zz-0.5+1.4zz-1+0.75zz-0.5

=1.4zz-1+0.05zz-0.5
取逆Z变换，得
y(n)=（-0.05×0.5n+1.4）u(n)
(2) 若y(-1)=0，则Z变换方程为
Y(z)-0.5z-1Y(z)=X(z)
故
Y(z)=-0.7zz-0.5+1.4zz-1
则有
y(n)=（1.4-0.7×0.5n）u(n)
以上计算也可以用MATLAB语言中的filter来求出其数值解，程序如下： 

clc

clear

n=［0:7］

x=0.7*ones(1,8)

xic1=［1.5］

xic2=［0］

b=［1］

a=［1,-0.5］

format long

y1=filter(b,a,x,xic1)

y2=filter(b,a,x,xic2)

运行结果为： 

y1 =

Columns 1 through 4 

2.200000000000001.800000000000001.600000000000001.50000000000000

Columns 5 through 8 

1.450000000000001.425000000000001.412500000000001.40625000000000

y2 =

Columns 1 through 4 

0.700000000000001.050000000000001.225000000000001.31250000000000

Columns 5 through 8 

1.356250000000001.378125000000001.389062500000001.39453125000000

【随堂练习】
用Z变换法解下列差分方程： ①y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),当n≤-1时，y(n)=0； ②y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，且y(-1)=1, 且当n<-1时，y(n)=0； ③y(n)-0.8y(n-1)-0.15y(n-2)=δ(n)，且y(-1)=0.2,y(-2)=0.5,且当n<-2时，y(n)=0。
3.6.4系统函数的级联和并联
通过前面内容的学习，了解到滤波器的输出y(n)既可以通过直接计算差分方程得出，也可通过数字卷积运算计算得到，这两种方法都是在时域的运算。在Z域，可以利用Y(z)=H(z)X(z)，求解Y(z)的逆Z变换得到输出信号y(n)。这种方法的最大优点就是乘法运算一般要比卷积运算简单，而最大的缺点在于要计算Z变换和逆Z变换。
这种利用系统函数H(z)计算滤波器输出的思想，也可以扩展到更加复杂的系统，即系统函数的级联和并联，如图3.14所示。图3.14(a)是滤波器的级联组合，第一级滤波器的输出是第二级的输入，因此级联组合的系统函数是H1(z)和H2(z)的乘积。图3.14(b)是滤波器的并联组合，并联组合的系统函数是系统函数之和H1(z)+H2(z)。



图3.14滤波器的级联与并联


【随堂练习】
两个滤波器的差分方程分别为： y1（n）+0.2y1（n-1）=x1（n）-0.2x1（n-1）； y2（n）-0.1y2（n-1）+0.4y2（n-2）=0.5x2（n-1），①滤波器级联，求总的传输函数； ②滤波器并联，求总的传输函数。
3.7利用Z变换分析系统的频率响应特性
3.7.1频率响应函数、系统函数和单位脉冲响应
1. 频率响应函数与系统函数







频率响应函数与系统函数H(z)之间有密切的联系。设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列δ(n)的输出称为系统的单位脉冲响应h(n)。根据上一节的介绍，对h(n)进行Z变换，可以得到系统函数H(z)，它表征了系统对复频域的响应特性。
同样如果对N阶差分方程式(3.83)进行Z变换，也可得到系统函数的一般表示： 
H(z)=Y(z)X(z)=∑Ml=0blz-l∑Ni=0aiz-i(3.88)
而如果对h(n)进行序列的傅里叶变换(DTFT)，可以得到： 
H(ejω)=∑∞n=-∞h(n)e-jωn=|H(ejω)|ejφ(ω)(3.89)
一般称H(ejω)为系统的频率响应函数，它表征系统的频率响应特性。|H(ejω)|称为幅频响应特性函数，φ(ω)称为相频响应特性函数。
如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，则H(ejω)与H(z)之间的关系如下： 
H(ejω)=H(z)|z=ejω(3.90)
即在z=ejω时，系统的频率响应和系统函数相等。换言之，把系统函数H(z)中所有的z换成ejω，即可得到系统的频率响应H(ejω)。
类比前面利用Z变换求解系统的输出，理论上利用DTFT的方法也可以用来求解系统的输出。但Z变换在计算一般输出时更方便，而DTFT仅限于计算输入为正弦信号时的系统的输出。这是因为系统的频率响应显示了滤波器在每个频率上的特性，当输入信号是单一频率的正弦信号时，根据滤波器的频率响应特性很容易确定输出信号。同时，根据前面的知识，大多数复杂信号可由各种不同频率、幅度和相位的正弦信号叠加而成，甚至还可以构成复数形式的信号，因此，滤波器的输出仍然可以用DTFT的方法求解，这样就扩大了应用的范围，下面举例阐述。
设系统输入一个复数信号x(n)=cos(ωn)+jsin(ωn)=ejωn，则利用卷积和求解，系统输出信号为
y(n)=h(n)x(n)=∑∞m=-∞h(m)x(n-m)=∑∞m=-∞h(m)ejω(n-m)

=ejωn∑∞m=-∞h(m)e-jωm=H(ejω)ejωn
即
y(n)=H(ejω)ejωn=|H(ejω)|ej［ωn+φ(ω)］(3.91)
式(3.91)说明，单频复指数信号ejωn通过频率响应函数为H(ejω)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ejω)|倍，相移为φ(ω)。
为了加深读者对H(ejω)物理意义的理解，再以常见的正弦信号为例进行讨论。当系统输入信号x(n)=cos(ωn)时，求系统的输出信号y(n)： 






因为
x(n)=cos(ωn)=12（ejωn+e-jωn）
所以，利用上面的结论可得到： 
y(n)=12［H(ejω)ejωn+H(ej(-ω))e-jωn］
设h(n)为实序列，则H(ejω)=H(e-jω)，|H(ejω)|=|H(e-jω)|，φ(ω)=-φ(-ω)，故
y(n)=12［|H(ejω)|ejφ(ω)ejωn+|H(e-jω)|ejφ(-ω)e-jωn］

=12|H(ejω)|{ej［ωn+φ(ω)］+e-j［ωn+φ(ω)］}

=|H(ejω)|cos［ωn+φ(ω)］(3.92)
由式(3.92)可见，线性时不变系统对单频正弦信号cos(ωn)的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ejω)|倍，相移增加φ(ω)，这就是“频率响应函数”“幅频响应”和“相频响应”的物理含义。如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ejω)对x(n)的不同的频率成分进行加权处理。对感兴趣的频段取|H(ejω)|=1，其他频段|H(ejω)|=0，则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)，就实现了对输入序列x(n)的理想滤波处理。
【例3.20】设输入信号为数字频率ω=1.5rad的余弦波： 
x(n)=30cos(1.5n+20°)
在此频率下，滤波器系统增益为-21dB,相位差为68°，则输出信号的幅度和相位是多少？
解： 因为输入信号为x(n)=30cos(1.5n+20°)，用极坐标形式可以简写为30∠20°。在1.5rad处，滤波器的增益为-21dB，但分贝不能用于计算，必须转换成线性值。根据题意，20lg|H(ej×1.5)|=-21dB，有
|H(ej×1.5)|=10-2120=0.0891
因为相位差为68°，即φ(ω)|ω=1.5=68°，所以频率响应可简化为0.0891∠68°。
这样，根据式(3.92)可得输出信号为： 
y(n)=30×0.0891×cos(1.5n+20°+68°)=2.673cos(1.5n+88°)
【随堂练习】
已知线性因果系统用下面的差分方程描述： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)，①求系统函数H(z)及其单位脉冲响应h(n)； ②写出频率响应函数H(ejω)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线； ③设输入x(n)=ejω0n，求输出y(n)。






2. 频率响应函数与单位脉冲响应
DTFT提供了另一种描述滤波器的方法，这样所有描述滤波器的方法包括： 差分方程、单位脉冲响应、系统函数和频率响应函数。像其他描述方法一样，滤波器的频率响应含有滤波器的所有信息，利用这些信息，可以预测滤波器的工作状态。根据前面的知识，滤波器的系统函数H(z)是单位脉冲响应h(n)的Z变换。那么，当滤波器的输入x(n)是一个单位脉冲序列δ(n)时，对应的输出y(n)是h(n)。分别对x(n)和y(n)求DTFT得： 
X(ejω)=∑∞n=-∞δ(n)e-jωn=1

Y(ejω)=∑∞n=-∞h(n)e-jωn
因为滤波器的频率响应H(ejω)=Y(ejω)/X(ejω)，所以
H(ejω)=Y(ejω)X(ejω)=∑∞n=-∞h(n)e-jωn1=∑∞n=-∞h(n)e-jωn(3.93)
因此，滤波器的频率响应H(ejω)是单位脉冲响应h(n)的DTFT。滤波器的单位脉冲响应、频率响应和系统函数的关系，如图3.15所示。



图3.15滤波器单位脉冲响应、频率响应和系统函数的关系图








3.7.2系统函数与系统的因果性和稳定性
滤波器的系统函数是描述滤波器特性的一个重要表现形式，根据式(3.88)，滤波器的系统函数一般形式为： 
H(z)=Y(z)X(z)=∑Ml=0blz-l∑Ni=0aiz-i
有关H(z)的收敛域问题有以下结论： 
(1) 一个因果(可实现)系统的单位脉冲响应h(n)一定是因果序列。因此，根据前面所学的序列及其收敛域的关系可知，因果系统函数H(z)的收敛域一定是因果序列的收敛域，即
R-<|z|≤∞
(2) 系统稳定要求∑+∞n=-∞|h(n)|<∞，这是H(ejω)=DTFT［h(n)］存在的条件，对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，如果单位圆外有极点，则系统不稳定(Unstable)； 如果单位圆上有极点，则系统是临界稳定(Marginally Stable)； 如果系统的所有极点都在单位圆内，则系统是稳定的(Stable)。
因此，系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。如果要求系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么H(z)的收敛域可表示为
R-<|z|≤∞0<R-<1
这样H(z)的极点集中在单位圆的内部。此外，如果每个极点的模值都小于1，也说明系统是稳定的。下面通过例3.21说明。
【例3.21】已知H(z)=1-a2(1-az-1)(1-az)0<a<1，分析其因果性和稳定性。
解： H(z)的极点为z=a,z=a-1，如图3.16(a)所示。
(1) 收敛域为a-1<|z|≤∞： 对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。
(2) 收敛域为0≤|z|<a： 对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，这是一个非因果且不收敛的序列。
(3) 收敛域为a<|z|<a-1： 对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图3.16(b)所示。



图3.16例3.21图




下面分析例3.21表示的系统的可实现性。
H(z)的3种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用； 最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。因此严格地讲，这样的系统是无法具体实现的。但是利用数字系统或者说计算机的存储性质，可以近似实现第三种情况。方法是将图3.16(b)在-N~N截取一段，再向右移，形成如图3.16(c)所示的h′(n)序列，将h′(n)作为具体实现的系统单位脉冲响应。N愈大，h′(n)表示的系统愈接近h(n)系统。具体实现时，预先将h′(n)存储起来，备运算时应用。这种非因果但稳定的系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方。
需说明的是，对一个实际物理实现系统，其H(z)的收敛域是唯一的。
【例3.22】数字滤波器的系统函数为：  
H(z)=1-z-21+0.7z-1+0.9z-2
试判断该滤波器的稳定性。
解：  将系统函数转换成Z正幂级数形式： 
H(z)=z2-1z2+0.7z+0.9
其零点为： z=±1，极点为： z=-0.7±j3.112=-0.35±j0.8818
这些极点到单位圆圆心的距离为： 
|z|=(-0.35)2+0.88182=0.9487<1
因此该滤波器系统稳定。






【例3.23】已知一因果系统y(n)=0.7y(n-1)+x(n) 试求H(z) 并用MATLAB软件画出它的零极点图、|H(ejω)| 及∠H(ejω)。
解： 将差分方程写为： 
y(n)-0.7y(n-1)=x(n)
两边取Z变换并按式(3.93)得： 
H(z)=11-0.7z-1
由于系统为因果系统，因此收敛域为|z|>0.7。
为画出其零极点图，编写以下程序： 

b=［1,0］

a=［1,-0.7］ 

zplane(b,a)

运行结果为图3.17。以下程序用于画出|H(ejω)| 及∠H(ejω)： 

b=［1,0］

a=［1,-0.7］

［H w］=freqz(b,a,100)

magH=abs(H)

phaH=angle(H)

subplot(2,1,1)

plot(w/pi,magH,)

grid

subplot(2,1,2)

plot(w/pi,phaH)                                  

grid

所得图形如图3.18所示。




图3.17零极点图




图3.18幅度响应|H(ejω)| 及相位响应∠H(ejω)


【随堂练习】
若一个线性时不变系统的输入为x(n)=12nu(n)+2nu(-n-1)，输出为y(n)=6·12nu(n)-6·34nu(n)，求系统函数H(z)，并判断系统是否稳定和因果。







3.7.3利用系统零极点分布分析系统的单位脉冲响应和
阶跃响应特性

由于滤波器的系统函数是描述滤波器特性的一个重要表现形式，H(z)的一般形式为： 
H(z)=Y(z)X(z)=∑Ml=0blz-l∑Ni=0aiz-i
因此，H(z)就可能存在零点和极点。其中极点(Pole)是系统函数分母为零时z的取值，零点(Zero)是系统函数分子为零时z的取值。极点对数字滤波器特性的影响最大，零点用来调整极点所引起的滤波器特性，调整的大小取决于零点与极点的相对位置。
为了更好地理解极点位置对系统特性的影响，此处不进行复杂的理论推导，通过研究一组二阶滤波器系统来发现规律。在此讨论6个系统函数： 
(1) H(z)=z-21+0.2z-1+0.01z-2； 
(2) H(z)=z-21+1.7z-1+0.7625z-2； 
(3) H(z)=z-21-1.7z-1+0.6z-2； 
(4) H(z)=z-21-1.6z-1+0.9425z-2； 
(5) H(z)=1-0.3z-11-1.6z-1+0.9425z-2； 
(6) H(z)=1-1.6z-1+0.8z-21-1.6z-1+0.9425z-2。
每个系统函数的形式相同，为了确定极点，将系统函数化为z的正幂级数形式： 
H(z)=z-21+αz-1+βz-2=1z2+αz+β(3.94)
单位脉冲响应和单位阶跃响应可由下列差分方程求解： 
y(n)=-αy(n-1)-βy(n-2)+x(n-2)
由于输入有两位时延，每个输出响应也有起始两位的时延。
用下面的MATLAB程序将以上各系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应和零极点图画出，如图3.19所示(以下程序中使用系统(1) 中参数)： 

%输入是脉冲信号

m1=［0,0,1］;

m2=zeros(1,57);

m=［m1,m2］;

a=1;%分子的系数

b=［1,0.2,0.01］;%分母的系数

h=filter(a,b,m);

n=1:60;

subplot(2,2,3)

stem(n,h(n))

xlabel('n')

ylabel('h(n)')%输入是阶跃序列时的输出

u1=［0,0,1］;

u2=ones(1,57);

u=［u1,u2］;

s=filter(a,b,u);

n=1:60;

subplot(2,2,4)

stem(n,s(n))

xlabel('n')

ylabel('s(n)') %画零极点图

 ［z,p,k］=tf2zp(a,b)%求解零点、极点和增益值

subplot(2,2,1)

zplane(a,b)

title('(a)  极点： -0.1 ,-0.1')




图3.19零极点位置对系统响应的影响






图3.19(续)




图3.19(续)



从图3.19的结果可以看出，零极点的位置对系统响应的影响。图3.19(a)、图3.19(b)和图3.19(c) 对应的零点都在原点，极点的模值对系统趋于最终的稳态值所需的时间有很大影响，在图3.19(a)中，极点的模值为0.1,系统用了不到3个采样点就稳定了，而图3.19(b)和图3.19(e)中极点的模值靠近单位圆，因此输出稳定需很长时间。图3.19(c)中极点的模值超出了单位圆，则输出就不稳定，这与前面的讨论是一致的。图3.19(d)、图3.19(e)和图3.19(f)有相同的极点，零点的位置逐渐接近极点，这时脉冲响应的幅度逐渐减小。







3.8用几何方法研究零极点分布对系统频率响应的影响
将系统函数H(z)=Y(z)X(z)=∑Ml=0blz-l∑Ni=0aiz-i因式分解，得到： 
H(z)=A∏Mr=1(1-crz-1)∏Nr=1(1-drz-1)(3.95)
其中，A=b0a0，cr是H(z)的零点，dr是H(z)的极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小。影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。下面采用几何方法研究不同零极点分布对系统频率响应特性的影响。
将式(3.95)的分子、分母同乘以zN+M，得到： 
H(z)=AzN-M∏Mr=1(z-cr)∏Nr=1(z-dr)(3.96)

设系统稳定，将z=ejω代入上式，得到频率响应函数
H(ejω)=Aejω(N-M)∏Mr=1(ejω-cr)∏Nr=1(ejω-dr)(3.97)
在Z平面上，ejω-cr用一根由零点cr指向单位圆上ejω点B的向量crB表示，同样，ejω-dr用一根由极点dr指向单位圆上ejω点B的向量drB表示，如图3.20所示，即crB和drB分别称为零点向量和极点向量，将它们用极坐标表示： 
crB=ρr·ejαr

drB=lr·ejβr
将crB和drB表示式代入式(3.97)，得到： 
H(ejω)=Aejω(N-M)∏Mr=1crB∏Nr=1drB=|H(ejω)|ejφ(ω)(3.98)

|H(ejω)|=|A|∏Mr=1ρr∏Nr=1lr(3.99)

φ(ω)=ω(N-M)+∑Mr=1αr-∑Nr=1βr(3.100)
系统的频率响应特性由式(3.99)和式(3.100)确定。当频率ω从0变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照式(3.99)和式(3.100)，分别估算出系统的幅频特性和相频特性。例如图3.20表示了具有一个零点和两个极点的频率特性。


图3.20频率响应的几何表示法


按照式(3.99)，知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时，极点向量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点越靠近单位圆，极点向量长度越短，峰值越高越尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为∞，系统不稳定。对于零点，情况正好相反，当B点转到零点附近时，零点向量长度最短，因而幅度特性可能出现谷值，且零点越靠近单位圆，零点向量长度越短，谷值越接近零。如果零点在单位圆上，则幅度特性为零。综上所述，极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。
这种通过零极点位置分布分析系统频率响应特性的几何方法提供了一个直观的概念，对于分析和设计系统是十分有用的。
【例3.24】设线性时不变系统的系统函数为H(z)=1-a-1z-11-az-1,a为实数。
(1) 在Z平面上用几何方法证明该系统是全通网络(即系统频率响应的幅度在所有频率ω处皆为常数)，|H(ejω)|=常数； 
(2) 参数a如何取值，才能使系统因果稳定？画出极点、零点分布与收敛域。
解： (1) H(z)=1-a-1z-11-az-1=z-a-1z-a，极点z=a，零点z=a-1，|H(ejω)|=ejω-a-1ejω-a,z=ejω,单位圆中OA=1，如图3.21所示。
设a=0.6
|H(ejω)|=ABAC
在△AOC和△BOA中，∠AOC=∠BOA
AOOC=1a； BOOA=1a
∴△AOC∽△BOA，|H(ejω)|=ABAC=1a为常数。
∴H（z）是全通网络。
(2) 当|a|<1，才能使收敛域包含单位圆,如图3.22所示。设a=0.6，极点： z=0.6；  零点： z=10.6=1.66； 收敛域： |z|>0.6。



图3.21几何方法图




图3.22系统的零极点图



【随堂练习】
(1) 已知H(z)=z-1，分析其频率特性。
(2) 设一阶系统的差分方程为： 
y(n)=by(n-1)+x(n)
用几何法分析其幅度特性。
习题
1. 写出下列序列的DTFT的表达式： 
(1) x1(n)=δ(n)-δ(n-1)+δ(n-2)； 


图3.23习题2图

(2) x2(n)=e-j0.1n［u(n)-u(n-4)］； 
(3) x3(n)=δ(n)+0.5δ(n-1)+0.25δ(n-2)。
2. 设图3.23所示的序列x(n) 的DTFT用X(ejω)表示，不直接求出，完成下列运算或工作： 
(1) X(ej0)； 
(2) ∫π-πX(ejω)dω； 
(3) X(ejπ)； 
(4) ∫π-π|X(ejω)|2dω； 
(5) ∫π-πdX(ejω)dω2dω。
3. 设x(n)=R3(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。
4. 已知x(n)=0.5nu(n)，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。
5. 若序列x(n)是实因果序列，x(0)=1，其傅里叶变换的虚部为
XI(ejω)=sinω
求序列x(n)及其傅里叶变换X(ejω)。
6. 求下列序列的Z变换： 
(1) x1(n)=3sinπ5nu(n)； 
(2) x2(n)=0.5nu(n)； 
(3) x3(n)=2e-j0.2ncosπ7nu(n)。
7. 求下列X(z)的逆Z变换： 
(1)  X(z)=zz+0.12|z|>0.12
(2)  X(z)=51-z-1|z|<1
(3)  X(z)=4z2(z-0.5)|z|>12
(4)  X(z)=2z-1z-0.9|z|<0.9
(5) X(z)=1(z-0.2)(z+0.4)|z|>0.4
(6)  X(z)=1z(z+0.2)(z-1)|z|>1
8. 由滤波器的单位脉冲响应h(n)=2δ(n)-1.5δ(n-1)+δ(n-2)+0.5δ(n-3)，求系统函数和差分方程。
9. 两个滤波器级联，它们的单位脉冲响应分别为h1(n)=0.2n［u(n)-u(n-3)］和h2(n)=-3n［u(n)-u(n-4)］，用Z变换求级联系统的单位脉冲响应。
10. 滤波器的系统函数如下式，试求其频率响应表达式： 
(1) H(z)=11-1.1z-1+0.4z-2； 
(2) H(z)=z-0.7z2-0.5z+0.3。
11. 滤波器的差分方程为： 
y(n)+0.8y(n-1)-0.9y(n-2)=x(n-2)
判断滤波器的稳定性。
12. 滤波器的传输函数为
H(z)=21-0.4z-1
(1) 确定滤波器的差分方程； 
(2) 找出零点和极点，判断其稳定性； 
(3) 求解并画出单位脉冲响应。
13. 数字滤波器的传输函数为： 
H(z)=z-0.2z2(z-0.7)
(1) 系统是否稳定？
(2) 如果输入x(n)=0.9nu(n)，求输出y(n)。
14. 如图3.24所示的两个线性时不变系统的单位脉冲响应分别为h1(n)和h2(n)，已知系统h1(n)的输出满足差分方程x(n)=s(n)-e-8αs(n-8),其中α>0。



图3.24习题14图


(1) 求H1(z)的系统函数H1(z)，画出零极点图并说明收敛域。
(2) 设系统h2(n)的输出为y(n)=s(n)，求h2(n)的系统函数H2(z)及其收敛域，并说明系统是否稳定和因果。
(3) 求能够使输出为y(n)=s(n)的稳定的h2(n)的一般表达式。