安培 （André Marie Ampère,1775—1836,法国） 安培发现了安培定则（右手螺旋定则）、电流之间的相互作用规律（安培力），发明了电流计，提出分子电流假说、安培定律和安培环路定理。由于在电磁学领域的重要贡献，他被麦克斯韦誉为“电学中的牛顿”。 第3章恒定磁场 扫码看讲课录像 3.13.1.2 3.1恒定磁场的基本规律 本节简要地复习大学物理中已经学过的恒定磁场的基本规律。 3.1.1磁感应强度B 1. 毕奥萨伐尔定律 毕奥萨伐尔定律给出一个电流元产生的磁场 dB=μ4πIdl′×err2（3.1） 其中r是电流元与场点之间的距离，er是由电流元指向场点的单位矢量。一个线电流回路产生的磁场为 B=μ4π∮lIdl′×err2（3.2） 同理，可以写出体电流和面电流产生的磁场 B=μ4πVJdV′×err2（3.3） B=μ4πSJSdS′×err2（3.4） 2. 磁感应线方程 可以仿照电力线方程写出磁感应线方程，在直角坐标系中为 dxBx=dyBy=dzBz（3.5） 圆柱坐标系中的磁感应线方程为 drBr=rdφBφ=dzBz（3.6） 球坐标系中的磁感应线方程为 drBr=rdθBθ=rsinθdφBφ（3.7） 3.1.2恒定磁场的基本方程 恒定磁场的基本方程也是包括高斯定理和环路定理 SB·dS=0 ∮lB·dl=μ0∑iIi （3.8） （3.9） 其中∑iIi是闭合回路l内包围的所有电流（包括传导电流和磁化电流）。有磁介质时，恒定磁场的基本方程可以写为 SB·dS=0 ∮lH·dl=∑iI0i （3.10） （3.11） 其中∑iI0是闭合回路l内包围的所有传导电流。 下面来证明式（3.10），为了简化，只讨论无界真空中的磁场。在直流回路C的磁场中任取一闭合曲面S，穿过S面的磁通量为 SB·dS=Sμ04π∮CIdl×eRR2·dS=∮Cμ0Idl4π·SeR×dSR2 =∮Cμ0Idl4π·S-1R×dS 上式的推导中利用了式（1.101）。利用矢量恒等式S（n×A）dS=V×AdV（见附录3）可得 SB·dS=∮Cμ0Idl4π·V×1RdV 因为×1R=0，所以 SB·dS=0（3.12） 由高斯定理可以写出式（3.12）的微分形式 ·B=0（3.13） 下面就来证明式（3.11）。在直流闭合回路C的磁场中任取一个闭合回路L，如图3.1所示，由毕奥萨伐尔定律可以写出 ∮LH·dl=∮LI4π∮Cdl′×eRR2·dl=I4π∮L∮C（dl×dl′）·eRR2 =-I4π∮L∮C（-dl×dl′）·eRR2（3.14） 图3.1中的P点（场点）是积分路径L上的一个点，电流回路C所包围的表面对场点P构成的立体角为Ω。P点沿回路L位移dl时，立体角改变dΩ，这同保持P点不动，而回路C位移-dl时立体角的改变是完全一样的。从图3.1中可以看出，如果回路C位移-dl，则回路包围的表面由S变为S′，表面的增量为dS=S′-S=∮C（-dl×dl′），即图中S与S′之间的环形表面（-dl×dl′是图中阴影部分平行四边形的面积），dS对P点的立体角为 dΩ=dS·（-eR）R2 图3.1证明安培环路定理示意图 S、S′、dS构成的闭合曲面对P点的立体角为零，即-Ω1+Ω2+dΩ＝0，所以立体角的变化为 Ω2-Ω1=-dΩ=∮C（-dl×dl′）·eRR2 这就是P点位移dl时立体角的改变量。P点沿着回路L移动一周时，立体角的变化为 -ΔΩ=∮L∮C（-dl×dl′）·eRR2（3.15） 比较式（3.14）和式（3.15）可得 ∮LH·dl=I4πΔΩ（3.16） 环积分的结果取决于ΔΩ，一般分为两种情况。 (1) 积分回路L不与电流回路C套链，如图3.1所示。可以看出，当从某点开始沿闭合回路L绕行一周并回到起始点时，立体角又回复到原来的值，即ΔΩ＝0，由式（3.16） ∮LH·dl=0（3.17） (2) 若积分回路L与电流回路C相套链，即L穿过C所包围的面S，如图3.2所示。如果取积分回路的起点为S面上侧的A点，终点为在S面下侧的B点。由于面元对它上表面上的点所张的立体角为（-2π），对下表面上的点所张的立体角为（+2π），所以S对A点的立体角为（-2π），对B点的立体角为（+2π），ΔΩ＝2π-（-2π）＝4π，由式（3.16） ∮LH·dl=I4π·4π=I（3.18） 图3.2积分回路L与电流回路C相套链 图3.3积分回路L包围的电流 因为L与C相套链，I也就是穿过回路L所包围平面S的电流，而且当电流与回路L成右手螺旋关系时I为正，反之I为负。综合上述两种情况，可以用一个方程表示为 ∮LH·dl=∑iIi（3.19） 其中∑iIi是L所包围的电流的代数和。在图3.3中，∑iIi=I1-I2，积分与I3无关。必须说明的是： 环积分与I3无关，而被积函数H（r）却是3个电流回路产生的总磁场强度。 由斯托克斯定理，式（3.18）的微分形式可以写为 ×H=J（3.20） 式（3.13）和式（3.20）给定了恒定磁场的散度和旋度，根据亥姆霍兹定理，恒定磁场的性质是完全确定的。 3.1.3磁介质的磁化 扫码看讲课 录像3.1.3 常用公式 ∮lH·dl=∑iI0（3.21） H=Bμ0-M（3.22） 其中M是磁化强度矢量。 B=μ0μrH（3.23） M=χmH（3.24） 以上两式适用于各向同性的线性介质，其中χm是介质的磁化率。面磁化电流密度和体磁化电流密度分别为 JmS=M×n^（3.25） Jm=×M（3.26） 磁导率和磁化率的关系可以写为 μ=μ0μr（3.27） μr=1+χm（3.28） 其中，μ是介质的磁导率； μ0是真空磁导率； μr是介质的相对磁导率。根据μr和χm的取值可以把磁介质分为顺磁质、抗磁质（顺磁质和抗磁质统称为非铁磁质）和铁磁质，顺磁质的χm>0（如铝、锰、氧等），抗磁质的χm<0（如铜、银、氢等），真空中的χm=0。顺磁质和抗磁质的χm都非常接近于0，所以μr都非常接近于1，因此工程上对于非铁磁性物质μr都取为1。铁磁质是非线性介质，式（3.23）和式（3.24）都不成立，铁磁质的μr1（如铁、钴、镍等），并且不是常数，随磁场的强弱变化（从铁磁质的磁滞回线上可以看出）。 关于线性和非线性介质、各向同性和各向异性介质、均匀和非均匀介质的概念与2.1.6节中介绍的电介质中的相关概念类似。 例3.1证明式（3.26）Jm=×M。 证明研究磁介质可以用分子电流模型，任何物质的分子都是由原子组成的，原子中原子核带正电，电子带负电，绕原子核运动。分子中所有电子的运动可以等效为一个电流i，称为分子电流。分子电流与其环绕的面积S的乘积称为分子磁矩pm，表达式为 pm=iS（3.29） 其中,i和S、pm的方向满足右手关系，如图3.4所示。没有外磁场时，由于介质内大量分子无规则的热运动，各分子磁矩的排列是杂乱无章的，这时介质没有被磁化。在外磁场中，每个分子磁矩都受到一个力矩的作用，使其在一定程度上转向外磁场方向，介质被磁化，如图3.5所示。外磁场越强，分子磁矩的排列越整齐，单位体积中分子磁矩的矢量和就越大，定义磁化强度矢量等于单位体积中分子磁矩的矢量和 M=ΣpmΔV（3.30） 图3.4分子电流和分子磁矩 图3.5介质磁化 先计算穿过介质内任一曲面S的磁化电流Im，曲面S的边界为C，如图3.6所示。可以看出，在所有的分子电流中，只有环绕边界C的分子电流对穿过S面的磁化电流有贡献。为了计算所有环绕边界C的分子电流，采用微积分的方法，先计算环绕边界C上任一线元dl的分子电流。以dl为轴线作一个斜的圆柱面，底面ΔS等于分子电流的面积，并与分子电流平行，长度为dl，如图3.7所示。可以看出，只有中心在圆柱面内的分子电流环绕dl，而中心在圆柱面内的分子电流的数目，就是圆柱面内分子的数目。设介质的分子密度为N，分子电流为i，则环绕线元dl的分子电流对磁化电流的贡献为 dIm=NdlcosθSi=Ndlcosθpm 由式（3.30）可以写出 M=Npm（3.31） 图3.6穿过介质内S面的磁化电流 图3.7环绕线元dl的分子电流 所以 dIm=Mdlcosθ=M·dl 穿过S面的总的磁化电流为 Im=∮lM·dl 上式左侧的磁化电流可以写成体磁化电流密度对S面的积分，右侧的线积分可以利用斯托克斯定理变换为面积分，可得 图3.8磁介质表面的磁化电流 SJm·dS=S（×M）·dS 最后可得 Jm=×M 均匀磁介质内部的分子电流相互抵消，介质表面出现磁化电流，如图3.8所示。 3.1.4磁场的计算方法 扫码看讲课 录像3.1.4 下面复习一下大学物理中已经学过的磁场的几种计算方法。 1. 利用毕奥萨伐尔定律计算磁场 根据毕奥萨伐尔定律，线电流产生的磁感应强度为 B=μ04π∮lIdl×err2=μ04π∮lIdl×rr3（3.32） 体电流、面电流产生的磁感应强度，可以写出类似的方程。利用毕奥萨伐尔定律计算磁场，有下面两类问题。 1) 直接利用毕萨定律积分 例3.2计算长度为l的直线电流I的磁场。 解采用圆柱坐标系，直线电流与z轴重合，直线电流的中点位于坐标原点，如图3.9所示。显然磁场的分布具有轴对称性， 图3.9计算直线电流的磁场 可以只在φ等于某一常数的平面内计算磁场。从图3.9中可以看出，直线电流上的任一电流元Idl′=ezIdz′，场点P的位置矢量r=err+ezz，源点的位置矢量r′=ezz′， Idl′到场点P的距离矢量为R=r-r′=err+ez（z-z′），代入式（3.32）可得 B(r)=μ04π∫+l/2-l/2ezIdz′×［err+ez（z-z′）］［r2+（z-z′）2］3/2 =eφμ0I4π∫+l/2-l/2rdz′［r2+（z-z′）2］3/2 =eφμ0I4πr（cosθ1-cosθ2） =eφμ0I4πr（sinα1-sinα2）（3.33） 图3.10计算载流圆环轴线上的磁场 式（3.33）中的θ1、θ2、α1、α2如图3.9所示。一段直线电流的两端无限延长即得到无限长直线电流，即α1→π/2,α2→-π/2，利用式（3.33）可以求得 无限长直线电流所产生的磁场为 B(r)=eφμ0I2πr（3.34） 例3.3求半径为a的线电流圆环在其垂直轴线上的磁场。 解采用圆柱坐标系，圆环轴线与z轴重合，圆环位于z=z′平面内，如图3.10所示。圆环上的任一电流元Idl′=eφIadφ′，场点P的位置矢量r=ezz，源点的位置矢量 r′=era+ezz′，Idl′到场点P的距离矢量为R=r-r′=-era+ez（z-z′），R的模为R=a2+（z-z′）2，所以 R=eRR=R-eraa2+（z-z′）2+ezz-z′a2+（z-z′）2 =R（-ersinα+ezcosα） 把Idl′和R代入式（3.32）可得 B(z)=μ0I4π∮ldl′×RR3=μ0Ia4πR2∫2π0eφ×（-ersinα+ezcosα）dφ′ =μ0Ia4πR2ezsinα∫2π0dφ′+cosα∫2π0erdφ′ 上式中sinα=aR，∫2π0erdφ′=0，因此 B(z)=ezμ0Ia22R3=ezμ0Ia22［a2+（z-z′）2］3/2（3.35） 圆环中心处的磁场（z=z′）为 B(z′)=ezμ0I2a（3.36） 2) 利用1)中的结论叠加 利用毕奥萨伐尔定律计算磁场的另一类问题需要利用式（3.34）或式（3.35），再利用叠加原理计算。 例3.4一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与轴z重合，流过电流I，证明在第一象限内 Bx=-μ0I4πaα,By=μ0I4πalnr2r1 图3.11例3.4用图 其中α、r1、r2如图3.11所示。 解利用微积分的方法求解，把导体带分割成许多条无限长载流直导线，第一象限内P点的磁场等于所有这些无限长载流直导线在P点产生的磁场的叠加。设分割出的任意一条无限长载流直导线的宽度为dx，其上的电流为dI=I2adx，在P点产生的磁场为 dB=μ0dI2πr=μ0Idx4πar x分量为 dBx=dBcosπ2-θ=μ0Idx4πarsinθ（3.37） 式(3.37)中含有3个变量x、r、θ，作一个变量代换，由 sinθ=y0(x0-x)2+y20 所以 dθ=y0dxr2，dx=r2dθy0 代入式（3.37）可得 dBx=μ0I4πadθ Bx=μ0I4πa∫θ1θ2dθ=μ0I4πa（θ1-θ2）=μ0I4πaα 由图3.11中可以看出,θ1=α+θ2，Bx沿-x方向。dB的y分量为 dBy=dBsinπ2-θ=μ0Idx4πarcosθ（3.38） 同样需要作一个变量代换，由 r=y20+(x0-x)2,dr=-(x0-x)dxr 代入式（3.38）可得 dBy=-μ0Idr4πar By=-μ0I4πa∫r1r2drr=μ0I4πalnr2r1 2. 利用安培环路定理计算 具有轴对称、面对称的问题，计算磁场时可以利用安培环路定理，没有磁介质时安培环路定理的表达式为 ∮lB·dl=μ0∑iIi 有磁介质时安培环路定理的表达式为 ∮lH·dl=∑iI0i 等式右侧是对环路所包围的所有传导电流求和。 例3.5长直导体圆柱中电流均匀分布，电流密度为J，其中有一平行的圆柱形空腔，如图3.12所示。计算空腔 图3.12例3.5用图 内的磁场，并证明空腔内的磁场是均匀的。 解设半径为b带有空腔的导体中的电流方向为⊙，可以看成是由半径为b的实心导体圆柱（电流方向为⊙）与半径为a的实心导体圆柱（电流方向为）的叠加。半径为b的实心导体圆柱单独存在时，由安培环路定理 ∮lB1·dl=μ0∑iIi,B1·2πr1=μ0Jπr21 可以解出 B1=μ0Jr12 用矢量可以表示为 B1=μ0Jr12ez×er1=μ0J2ez×r1 半径为a的实心导体圆柱单独存在时，由安培环路定理可以解出 B2=μ0Jr22,B2=μ0J2ez×（-r2） 空腔内的磁场为 B=B1+B2=μ0J2ez×（r1-r2）=μ0J2ez×C 其中C是在如图3.12所示的横截面内，由半径为b的实心导体圆柱的轴线指向半径为a的实心导体圆柱轴线的一个常矢量，所以空腔内的磁场是均匀的。 例3.6铁质的无限长圆管中通有电流I，管的内、外半径分别是a和b。已知铁的磁导率是μ，求管壁中、管内、外的磁感应强度B，并计算管壁中的体磁化电流密度Jm和面磁化电流密度JmS。 解设圆柱坐标系的z轴与圆管的轴线重合，场是轴对称的。电流沿z轴方向流动，磁场只有φ分量，管壁中，由安培环路定理 ∮lH2·dl=H2φ·2πr=Iπ（b2-a2）π（r2-a2） 所以 H2=eφr2-a2b2-a2I2πr，a≤r≤b B2=μH2=eφμr2-a2b2-a2I2πr，a≤r≤b 圆管外，由安培环路定理 ∮lH1·dl=H1φ·2πr=I 所以 H1=eφI2πr，ba(3.77) 对式（3.76）、式（3.77）分别积分2次可得 A1z=-μ0J09r3+C1lnr+C2（3.78） A2z=D1lnr+D2（3.79） r＜a区域内的磁感应强度为 B1=×A1=-eφA1zr=eφ13μ0J0r2-C1r 因为r＝0时，B1的数值是有限的，所以C1＝0，即 B1=eφ13μ0J0r2，ra 把C1、D1代入式（3.78）、式（3.79）可得 A1z=-μ0J09r3+C2,A2z=-μ0J03a3lnr+D2 其中C2、D2与参考点的选取有关。 扫码看讲课录像 3.3.53.4 3.3.5磁偶极子及其磁场 如果场点到线圈的距离r线圈的线度，任意形状的平面载流线圈可以称为磁偶极子，如图3.20所示。磁偶极子的磁矩定义为 pm=IS（3.80） 图3.20计算磁偶极子 的磁场 其中,I是线圈中的电流； S是线圈的面积。I与S构成右手关系。下面计算磁偶极子的磁场，由 A=μ04π∮l′Idl′R（3.81） 利用矢量恒等式 ∮lψdl=Sn^×ψdS 式（3.81）可以写为 A=μ0I4πS′n^×′1RdS′ 利用矢量等式′1R=eRR2，由于r线圈的线度，所以R≈r,eR≈er，可得 A≈μ0I4πS′n^×err2dS′=μ0I4πr2S′n^×erdS′ 由于n^×er=sinθeφ，可提出积分号，所以 A=eφμ0I4πr2sinθ·S（3.82） 磁感应强度为 B=×A=erμ0IS2πr3cosθ+eθμ0IS4πr3sinθ（3.83） 把pm=IS代入式（3.82）和式（3.83）可得 A=μ04πpm×err2（3.84） B=μ0pm4πr3（er2cosθ+eθsinθ）（3.85） 可以看出,磁偶极子在远区产生的A、B仅与pm、r有关，与回路的形状无关。把式（3.85）与第2章式（2.39）对比，可以发现电场和磁场有一定的对偶性。 3.4标量磁位 在静电场中，引入了电位Φ（E=-Φ），Φ是标量，引入Φ使电场的分析计算简化，恒定磁场中能不能引入标量磁位呢？一般情况下 ∮lH·dl=∑iI0i≠0或×H=J≠0 所以磁场是非保守的，不能引入标量磁位。但是在没有电流分布的区域内 J=0,×H=0（3.86） 所以可以引入标量磁位。 1. 标量磁位的引入 由式（3.86）和矢量恒等式×Φ=0，H可以写为 H=-Φm（3.87） Φm称为标量磁位，负号表示H的方向，Φm的单位是安培(A)。空间Φm相等的各点构成曲面称为等磁位面，方程为Φm（x，y，z）＝C，等磁位面与H线处处正交。 2. 标量磁位的微分方程 由·B=0和B=μH,H=-Φm，所以 ·B=·(-μΦm)=-μ2Φm=0 可以得到 2Φm=0（3.88） 所以标量磁位满足拉普拉斯方程。 3. 标量磁位Φm的边界条件 用与讨论电位Φ边界条件类似的方法可以导出标量磁位的边界条件 Φm1=Φm2（3.89） μ1Φm1n=μ2Φm2n（3.90） 式（3.89）与边界条件H1t=H2t等价，式（3.90）与边界条件B1n=B2n等价。 4. 标量磁位Φm的计算 计算标量磁位，一般是在给定的边界条件下求解2Φm=0，在第4章中将详细介绍。 扫码看讲课录像 3.5.13.5.2 3.5电感 3.5.1自感系数和互感系数 一个线圈中通入电流I，它所产生的穿过线圈本身的磁链与线圈中的电流成正比，比例系数称为自感系数，可以表示为 ΨL=LI（3.91） L称为自感系数，单位是亨（H）。对于单匝线圈，穿过线圈的磁链与磁通相等； 对于密绕的多匝线圈，如果无漏磁，则 ΨL=∑iΦi（3.92） 线圈1中通入电流I1，它所产生的穿过线圈2的磁链与线圈1中的电流成正比，比例系数称为互感系数，可以表示为 Ψ12=M12I1（3.93） M12为互感系数，单位也是亨（H）。也可以用线圈2中通入电流I2所产生的穿过线圈1的磁链定义互感系数 Ψ21=M21I2（3.94） 后面将会证明M12=M21=M。自感系数L只与线圈的大小、形状、匝数及周围的介质等因素有关，互感系数M只与两线圈的大小、形状、匝数、周围的介质及相对位置有关。 3.5.2M和L的计算 1. 利用定义式计算 利用定义式计算自感系数的思路为 I→ΨL→L=ΨLI 即由线圈中通入的电流I，求出所产生的穿过线圈本身的磁链ΨL，进而求出自感系数。 利用定义式计算互感系数的思路为 I1→Ψ12→M=Ψ12I1或I2→Ψ21→M=Ψ21I2 即由线圈1（或线圈2）中通入的电流I1（或I2），计算所产生的穿过线圈2（或线圈1）的磁链Ψ12（Ψ21），进而求出互感系数，可以根据问题中的条件选择简便的方法。 2. 利用矢量磁位A计算L和M 1) 利用矢量磁位A计算磁通量 穿过曲面S的磁通量为 Φ=SB·dS（3.95） 把B=×A代入式（3.95） Φ=S（×A）·dS=∮lA·dl（3.96） 其中l是曲面S的边界，式（3.96）提供了一种利用矢量磁位计算磁通量的方法。 2) 利用矢量磁位A计算互感系数M 如图3.21所示，l1、l2是两个载有电流的回路，首先计算l1中的电流I1产生的穿过回路l2的磁链。设I1dl1是回路l1上的任一电流元、dl2是回路l2上的任一线元，回路l1中的电流I1在dl2处产生的矢量磁位为 A12=μ04π∮l1I1dl1r 图3.21计算互感系数 电流I1产生的穿过回路l2的互感磁链为 Ψ12=Φ12=∮l2A12·dl2=μ0I14π∮l2∮l1dl1·dl2r 两回路间的互感系数为 M12=Ψ12I1=μ04π∮l2∮l1dl1·dl2r（3.97） 式（3.97）称为诺伊曼公式。当然也可以首先计算l2中的电流I2产生的穿过回路l1的磁链，进而计算两回路间的互感系数，结果为 M21=Ψ21I2=μ04π∮l1∮l2dl2·dl1r（3.98） 比较式（3.97）和式（3.98）就可以证明M12=M21=M。 图3.22计算自感 系数 若回路l1、l2的匝数分别为N1、N2，很容易导出两回路间的互感系数为 M=N1·N2·μ04π∮l1∮l2dl1·dl2r（3.99） 3) 利用矢量磁位A计算自感系数L 图3.22是一个单匝线圈，l1是线圈的中心线，l2是线圈的内侧边线，可认为电流沿中心线流动，l1上的电流在l2上某一点产生矢量磁位为 A=μ04π∮l1Idl1r 线圈中电流产生的穿过线圈本身的磁链（即l1上的电流产生的穿过l2的磁链）为 ΨL=ΦL=∮l2A·dl2=μ0I4π∮l2∮l1dl1·dl2r 单匝线圈的自感系数为 L=ΨLI=μ04π∮l2∮l1dl1·dl2r（3.100） 对于N匝密绕线圈，自感系数为 L=N2μ04π∮l2∮l1dl1·dl2r（3.101） 图3.23求双线传输线间的自感 例3.11设双线传输线间的距离为D，导线的半径为a（Da），如图3.23所示，求单位长度的自感。 解设导线中的电流为±I，在两导线构成的平面上x处，两导线产生的磁感应强度方向相同，总的磁感应强度为 B=μ0I2π1x+1D-x 两导线间单位长度的磁链为 Ψ=∫D-aaμ0I2π1x+1D-xdx=μ0IπlnD-aa≈μ0IπlnDa 双线传输线单位长度的自感为 L0=ΨI=μ0πlnDa（3.102） 例3.12一个单匝线圈的圆形横截面的半径为a，线圈的平均半径为R，求单匝线圈的自感。 解在线圈的中心轴线上取一个线元dl1=Rdα，在线圈的内侧边线上取一个线元dl2=（R-a）dθ，两线元之间的距离r=R2+（R-a）2-2R（R-a）cosα，如图3.24所示，代入式（3.100）可得 图3.24例3.12用图 L=μ04π∮l2∮l1dl1·dl2r=μ04π∮l2∮l1cosαdl1dl2r =μ04π∫2π0∫2π0R（R-a）cosαdθdαR2+（R-a）2-2R（R-a）cosα（3.103） 给定导线的半径a和线圈的平均半径R，由式（3.103）利用近似计算或数值方法可以计算一个单匝圆线圈的自感系数。 例3.13两个平行且共轴的单匝圆线圈，一个半径为a，另一个半径为b，求两个线圈间的互感。 解由式（3.97），两线圈间的互感为 M=μ04π∮l2∮l1dl1·dl2r（3.104） 在两线圈上分别取线元dl1、dl2，相距r，从dl2向大线圈平面作垂线d，r在大环平面上的投影为r1，如图3.25所示，可以算出 r=d2+r21,r21=a2+b2-2abcosθ dl1=bdψ,dl2=adθ dl1·dl2=abcosθdψdθ 代入式（3.104）可得 M=μ04π∫2π0∫2π0abdψdθcosθ(d2+a2+b2-2abcosθ)1/2 =μ0ab2∫2π0cosθdθ(d2+a2+b2-2abcosθ)1/2（3.105） 图3.25计算两个平行且共轴的圆线圈间的互感 与例3.9中的方法类似，式（3.105）中的积分可以用以下几种方法求解： ① 变换成椭圆积分，② 利用计算机作数值计算，③ 利用近似计算。下面利用近似计算求解ad的情况，式（3.105）中的被积函数为 1d2+a2+b2-2abcosθ≈1(d2+b2-2abcosθ) ≈1d2+b21+abcosθd2+b2 上式中利用了泰勒级数展开，代入式（3.105）可得 M=μ0πa2b22（b2+d2）3/2 3. 内自感 在式（3.91）中由ψL=LI定义了自感系数，由导线外部的磁链定义的自感称为外自感，由导线内部的磁链定义的自感称为内自感。前面讨论的都是外自感，下面通过一个例题介绍内自感。 例3.14半径为a、长度为l的长直圆导线，求内自感。 解设导线载有电流I，电流在横截面上均匀分布，电流I和磁感应强度B的方向如图3.26所示，利用安培环路定理可以计算导线内磁感应强度B的分布 ∮lBi·dl=μ0∑iIi,Bi·2πr=μ0Iπa2·πr2 Bi=μ0Ir2πa2 在与B垂直的横截面上，穿过图3.26中一个窄条的磁通量为 dΦi=BidS=μ0Ir2πa2ldr 下面求穿过这个窄条的磁链dΨi，从图3.26中可以看出，dΦi只环绕一部分电流 I′=Iπa2·πr2=Ir2a2 若dΦi环绕全部电流I，则dΨi=dΦi； 若dΦi环绕部分电流I′，则dΨi=dΦiI·I′，所以穿过这个窄条的磁链dΨi为 图3.26计算内自感 dΨi=r2a2dΦi=μ0Ir32πa4ldr 这段导线的内磁链为 Ψi=μ0Il2πa4∫a0r3dr=μ0Il8π 内自感为 Li=ΨiI=μ0l8π（3.106） 可以看出，导线的内自感仅与导线的长度l有关，与导线的半径a无关。 4. 电感的串联和并联 两个电感线圈可以串联或并联使用。如果两个串联线圈产生的磁通方向相同称为串联相加，如图3.27（a）所示； 如果两个串联线圈产生的磁通方向相反，称为串联相反，如图3.27（b）所示； 如果两个线圈产生的磁通互相垂直，两个线圈之间的互感为零。同理，可以定义两个并联电感线圈的并联相加和并联相反。 图3.27串联相加和串联相反 1) 电感的串联 图3.28是两个电感线圈串联的电路，设两个线圈的自感系数分别为L1、L2，内阻分别为R1、R2，互感系数为M，串联电路中的电流为i(t)时，每个线圈两端的电压为 图3.28两个电感线圈串联 u1=L1didt+iR1±Mdidt u2=L2didt+iR2±Mdidt 两个线圈串联相加时，以上两式中的互感电压降取正； 两个线圈串联相反时，以上两式中的互感电压降取负。两个线圈两端的电压为 u=（L1+L2±2M）didt+i（R1+R2） 设L为两线圈串联的等效电感，R为两线圈串联的等效电阻，则 L=L1+L2±2M（3.107） R=R1+R2（3.108） 为了判别电路中的电感线圈产生的磁通方向是相加还是相反，一般是通过在线圈的某一端标一个点（·）来识别，如图3.27所示。 图3.29两个电感线圈并联 若两个线圈的电流都是从有标示点的一端流出（或流入），则磁通相加，反之则磁通相反。 2) 电感的并联 两个电感线圈并联，如图3.29所示，利用与导出式（3.107）类似的方法可以得到两个电感线圈并联的等效电感为 L=L1L2-M2L1+L2±2M（3.109） 两个电感线圈并联相加时，式(3.109)分母中取负； 两个电感线圈并联相反时，式(3.109)分母中取正。 3.5.3部分电感 利用3.5.2节介绍的方法，可以计算导体回路的电感。但是常常需要计算导体回路中某一部分电路的电感，例如，需要确定接地导体的电感以计算接地噪声电压，或者需要确定印刷电路板（PCB）上电源迹线的电感，从而确定当一块集成电路板（IC）状态转换并且产生大的瞬态电流时所出现的电压降的大小。利用部分电感的理论可以确定回路中每一部分的电感。 1. 部分自电感 用式（3.91）计算部分电感时，要在线圈表面上对磁通密度求和并确定磁链的值，理解部分电感最重要的是要能确定这个表面积。 对于一个载流导体上的某一段，计算部分自电感的磁通面积，是以这段导体为一个边界，另一边是无穷远，另外两边是与导体段垂直的两条直线，如图3.30所示。 图3.30与导体的一段的部分电感相联系的表面积 穿过图3.30所示的表面积的磁通量等于 =∫SB·dS（3.110） 因此，一个长为l、半径为r1的导体段的部分自电感可以写为 L=μ0l2π∫∞r11rdr（3.111） 由于是无穷上限的积分，式（3.111）不能直接算出。然而因为磁通密度B等于矢量磁位A的旋度B=×A，应用Stokes定理，式（3.111）在表面积上的积分可以转换为矢量磁位A在这个表面的边界C上的线积分，所以 =∫SB·dS=∫CA·dl（3.112） 这个表面的边界有四条边： 一条边沿着导线，两条边与导线垂直，另一条平行于导体在无穷远处，如图3.30所示。 由于矢量磁位A在无穷远处等于零，所以沿无穷远处那条边的积分为零。与导线垂直的两条边与矢量磁位A垂直，因此，沿这条两边的线积分也等于零。所以，沿这个表面边界的积分就简化为仅在与导线相邻的表面的那条边从a点到b点的线积分。因此，式（3.112）简化为 =∫baA·dl（3.113） 这个积分是有限的。对于一个长为l、半径为r1的圆导体段，部分自电感为 L=μ0l2πln2lr1-1（3.114） 2. 部分互电感 两段任意导体之间的部分互电感可以用与前面计算导体的部分自电感相似的方法来确定。部分互感磁通量的面积： 一条边是导体段2，另一条边在无穷远处，剩余的两条边是与导体段1垂直的两条直线，如图3.31所示。 图3.31与两导体段的部分互感相关的表面积 图3.31表示与两个共面、不平行的导体段相关的部分互感的通量面积。两导体段共面不是必需的，但是如果共面，分析会简化。 考虑如图3.32所示两共面、平行的导体段的情况，间距为D。计算电流I1产生的穿过部分互感表面积（导体2和无穷远之间的平面）的通量，除以电流I1，得出两导体段之间的部分互感为 图3.32两个共面平行导体段的例子 M=μ0l2π∫∞D1rdr（3.115） 这里l是载流导体段的长度。 这个无穷积分又不能直接计算，与部分自电感的情况一样，可以利用Stokes定理转化为矢量磁位A在表面边界上的线积分。矢量磁位A的积分只需要在与导体段2邻近的表面的那条边上计算从a点到b点的积分，因为在其他三条边上的积分为零。 对于两个相同的长为l、距离为D、平行放置的圆导体段，部分互感的无穷级数表达式为 M=μ0l2πln2lD-1+Dl+14D2l2+…（3.116） 如果Dl，式（3.116）简化为 M=μ0l2πln2lD-1（3.117） 3. 净余部分电感 任何导体段的净余部分电感Lnp等于该段的部分自电感加上或减去与附近所有载流导体的部分互电感。互感的符号取决于电流的方向，如果两导体段中电流的方向相同，则部分互感项的符号为正； 如果两导体 图3.33有四个导体段的矩形回路 段中电流的方向相反，则符号为负。两正交的导体段之间的部分互感为零。 如果一个回路由许多段导体构成，对每个导体段的净余部分电感（包括自感和互感）求和，结果就是回路的电感。 例3.15一矩形回路如图3.33所示，导体的半径是r1，求回路的电感。 解： 每条边都是一个导体段，回路的净余部分电感为 Lloop=(Lp11-Lp31)+(Lp22-Lp42)+(Lp33-Lp13)+(Lp44-Lp24)（3.118） 其中Lpii是每个导体段的部分自电感，Lpji是每个导体段的部分互感。 将式（3.114）代入式（3.118）中的每个部分自电感，式（3.117）代入每个部分互感，可以得出矩形回路的电感为 Lloop=μπblnar1+alnbr1（3.119） 这个等式忽略了出现在回路拐角处磁场的边缘效应。Grover（1946）给出了以下矩形回路电感的更精确的公式 Lloop=μπaln2ar1+bln2br1+2a2+b2-asinh-1ab -bsinh-1ba-2(a+b)+μ4(a+b)（3.120） 对于如图3.33所示的矩形回路，令a=1m，b=0.5m，r1=0.0001m。由式（3.119）得出的回路电感是5.25μH，由式（3.120）得出的回路电感是4.97μH，二者的差别是由回路拐角处的边缘效应造成的。 图3.34两个不同直径的平行导体 例3.16研究间隔很近的两个导体的部分电感，如图3.34所示。假设每个导体的长度l都远远大于两导体的间距D。导体的半径都是r，两导体中的电流方向相反。 解： 两个导体的净余部分电感为 L=(Lp11-Lp21)+(Lp22-Lp12)（3.121） 根据对称性，Lp11=Lp22，Lp21=Lp12，因此 L=2(Lp11-Lp21)（3.122） 将式（3.114）代入Lp11，将式（3.117）代入Lp12可得 L=μ0lπln2lr-1-ln2lD+1（3.123） 除以l并且把其中各项展开，可以得到两个导体单位长度上的回路电感为 L=μ0πlnDr（3.124） 导体2的净余部分电感等于 Lnp2=L22-L12（3.125） 把式（3.114）代入L22，把式（3.117）代入L12，得到导体2的净余部分电感为 Lnp2=μ0l2πln2lr-ln2lD（3.126） 式（3.126）指出了一个重要事实： 如果载有大小相等方向相反电流的两导体相互靠近在一起时，导体的净余部分电感将会减少，这种方法是减小电感的一种实际方法。如果导体2是接地导体，导体1是信号导体，那么接地电感不仅是接地导体特性的函数，而且是接地导体和信号导体之间间距的函数——信号导体与接地导体越靠近，接地电感就越小。 扫码看讲课录像 3.6.13.6.2 3.6磁场的能量和力 3.6.1电流回路系统的能量 一个电流回路系统的能量等于在建立该系统的过程中电源做的功。如图3.35所示，设第j个回路中的电流ij由0开始增大，穿过第j个回路的磁通量也增大， 图3.35电流回路系统 的能量 回路中出现感应电动势，根据楞次定律,感应电动势阻碍回路中电流的增大，电源必须克服感应电动势做功，这部分功就转变成系统的磁场能量。第j个回路中的电流ij增大时，回路中出现的感应电动势为 ej=-dΨjdt（3.127） 克服感应电动势ej需要的外加电压为 uj=-ej=dΨjdt dt时间内电源对回路j做的功（即非静电力搬运电荷dqj做的功）为 dWj=ujdqj=dΨjdtijdt=ijdΨj dt时间内电源对整个系统（设有N个回路）做的功为 dWm=∑Nj=1ijdΨj（3.128） 下面计算dΨj，穿过系统中第j个回路的磁链可以写为 Ψj=∑Nk=1Mkjik（3.129） k≠j 时，Mkj是互感系数； k＝j时，Mkj是自感系数，所以 dΨj=∑Nk=1Mkjdik 把上式代入式（3.128）可得 dWm=∑Nj=1∑Nk=1ijMkjdik（3.130） 对于线性介质中的磁场，建立某一电流回路系统电源做的功是一定的，与建立该电流回路系统的过程无关。设每个回路中的电流都按比例均匀增大，则在任一时刻各回路中的电流可以写为 ij(t)=α(t)Ij，ik(t)=α(t)Ik，dik=Ikdα 上式中的α(t)由0均匀增大到1。把上式代入式（3.130）可得 dWm=∑Nj=1∑Nk=1MkjIjIkαdα 电路回路系统的总能量为 Wm=∑Nj=1∑Nk=1MkjIjIk∫10αdα=12∑Nj=1∑Nk=1MkjIjIk（3.131） 把式（3.129）代入式（3.131）可得 Wm=12∑Nj=1∑Nk=1MkjIkIj=12∑Nj=1IjΨj（3.132） 式（3.132）与导体系统的能量式（2.128）形式上相同。由式（3.96），式（3.132）可以写为 Wm=12∑Nj=1Ij∮ljA·dlj（3.133） 对于体电流分布，电流系统的总能量可以写为 Wm=12∫VJ·AdV（3.134） 例3.17计算两个线圈组成的电流回路系统的能量，两个线圈的电流分别为I1、I2。 解穿过两个线圈的磁链分别为 Ψ1=Ψ11±Ψ21 Ψ2=Ψ22±Ψ12 其中，Ψ11是线圈1中的电流产生的穿过线圈1的磁链； Ψ21是线圈2中的电流产生的穿过线圈1的磁链； Ψ22是线圈2中的电流产生的穿过线圈2的磁链； Ψ12是线圈1中的电流产生的穿过线圈2的磁链，正号表示两磁链方向相同，负号表示两磁链方向相反。由式（3.132），该电流回路系统的能量为 W=12Ψ1I1+12Ψ2I2 =12Ψ11I1±12Ψ21I1+12Ψ22I2±12Ψ12I2（3.135） 由自感系数和互感系数的定义可得 L1=Ψ11I1,L2=Ψ22I2,M12=Ψ12I1,M21=Ψ21I2 其中，M12=M21=M，代入式（3.135）可得 Wm=12L1I21+12L2I22±MI1I2（3.136） 本题也可以用式（3.131）计算，对于两个电流回路的系统，式（3.131）中，j＝1时，k＝1，k＝2，可以写出2项 12M11I21±12M21I1I2 j＝2时，k＝1，k＝2，又可以写出2项 ±12M12I1I2+12M22I22 因为M11=L1,M12=M21=M,M22=L2，所以 Wm=12L1I21+12L2I22±MI1I2 3.6.2磁场的能量 把J=×H代入式（3.134）可得 Wm=12∫VA·（×H）dV =12∫V［H·（×A）-·（A×H）］dV =12∫VH·BdV-12S（A×H）·dS V是磁场≠0的整个空间区域，S是包围V的曲面，可取为无限大，在∞ 处，A、H都趋近于0，所以磁场的能量为 Wm=12∫VH·BdV（3.137） 磁场的能量密度为 wm=12H·B（3.138） 图3.36例3.18用图 对于各向同性的线性介质，磁场的能量密度可以写为 wm=12B2μ=12μH2（3.139） 例3.18长同轴线的横截面如图3.36所示，设内、外导体的横截面上电流均匀分布，求单位长度内的磁场能量和电感。 解先用安培环路定理求各区域内的磁场，在r≤a的区域内 B1·2πr=μ0Iπa2·πr2,B1=eφμ0Ir2πa2 在a≤r≤b的区域内 B2·2πr=μ0I,B2=eφμ0I2πr 在b≤r≤c的区域内 B3·2πr=μ0I-Ir2-b2c2-b2，B3=eφμ0I2πrc2-r2c2-b2 在r＞c的区域内磁场为零。由磁场的能量密度wm=12B2μ0，可以计算出各区域单位长度内的磁场能量分别为 Wm1=12μ0∫a0B21·2πrdr=12μ0∫a0μ0Ir2πa22·2πrdr=μ0I216π Wm2=12μ0∫baμ0I2πr2·2πrdr=μ0I24πlnba Wm3=12μ0∫cbμ0I2πr2c2-r2c2-b22·2πrdr =μ0I24πc4（c2-b2）2lncb-3c2-b24（c2-b2） 同轴线单位长度内的总磁能Wm=Wm1+Wm2+Wm3=12L0I2，所以单位长度的电感为 L0=2WmI2=μ08π+μ02πlnba+μ02πc4（c2-b2）2lncb-3c2-b24（c2-b2） 其中第一项是内导体单位长度的内自感，与式（3.106）相同； 第二项是内、外导体间单位长度的电感，称为主电感； 第三项是外导体单位长度的内自感。 3.6.3磁场力 1. 利用安培力和洛伦兹力公式计算磁场力 扫码看讲课 录像3.6.3 1) 载流导线在磁场中受的力——安培力 一个电流元在磁场中受的安培力为 df=Idl×B（3.140） 一个载流回路在磁场中受的安培力为 f=∫lIdl×B（3.141） 体电流和面电流在磁场中受的安培力分别为 f=∫VJdV×B（3.142） f=∫SJSdS×B（3.143） 2) 载流回路之间的相互作用力 电流元I1dl1对电流元I2dl2的作用力为 df12=I2dl2×B12=μ04πI2dl2×（I1dl1×er）r2（3.144） 其中，r是两电流元之间的距离； er是由电流元I1dl1指向电流元I2dl2的单位矢量。两载流回路之间的相互作用力可以写为 f12=μ04π∮l1∮l2I2dl2×（I1dl1×er）r2（3.145） 式（3.145）是确定电磁单位制中的基本单位——电流单位的依据。设有两条载有恒定电流I的无限长平行直导线，距离为d，如图3.37所示，作用在单位长度一段导线上的力可由式（3.145）计算得到 f=μ04π·2I2d（3.146） 式（3.146）中，μ0=4π×10-7H/m，当d＝1m，每米导线受的力为f=2×10-7N时，导线上的电流即为1A，这就是国际单位制（SI）中电磁基本单位安培的定义。 根据式（3.145）可以制成一种绝对电流计，又称为安培秤，如图3.38所示，可以通过单纯力学量的测量确定电流的值。 图3.37电磁基本单位安培的定义 图3.38安培秤 3) 运动电荷在磁场中受的力——洛伦兹力 运动电荷在磁场中受的洛伦兹力为 f=qv×B（3.147） 其中 v是q在磁场B中运动的速度。 2. 利用虚位移原理计算磁场力 几个电流回路的系统，设除第i个回路外，其余都固定不动，第i个回路也只有一个广义坐标g变化，则所有电源给系统提供的能量dW等于系统磁场能量的增量dWm再加上广义磁场力做的功fdg，可以表示为 dW=dWm+fdg（3.148） 式中，f是广义磁场力； g是广义坐标。f若是力，g就是在力的方向上移动的距离； f若是力矩，g就是在力矩的作用下转动的角度。 若各回路的磁链不变，各回路中没有感应电动势，电源不需要克服感应电动势做功，dW＝0，所以 fdg=-dWmf=-WmgΨj=C（3.149） 若各回路中的电流不变Ij＝C，由式（3.128），dt时间内电源对各回路做的功为 dW=∑jIjdΨj（3.150） 由式（3.132），电流回路系统的能量为 Wm=12∑jIjΨj 所以 dWm=12∑jIjdΨj=12dW（3.151） 把式（3.150）和式（3.151）代入式（3.148）可得 fdg=dW-dWm=dWm 所以磁场力为 f=WmgIj=C（3.152） 对于两个电流回路的系统，系统的磁场能量为 Wm=12L1I21±MI1I2+12L2I22 若一个回路发生位移dg时，L1、L2不变，磁场力为 f=WmgIj=C=±I1I2Mg（3.153） 例3.19图3.39表示一块电磁铁，线圈的匝数为N，电流为I，铁心中磁通为Φ，铁心的横截面为S，求对衔铁的举力。 图3.39例3.19用图 解法一令衔铁产生一虚位移dy（向下），调节电源的电压保持磁路中的Φ恒定，衔铁位移将引起空气隙中磁能的改变（铁心与空气隙中的B相等，由wm=B22μ可知铁心中磁能密度远小于空气隙中的磁能密度，所以铁心中的磁能可以忽略），因此磁能的改变为 dWm=2B22μ0Sdy=Φ2μ0Sdy 所以保持磁路中的Φ恒定，对衔铁的举力为 F=-eyWmy=-eyΦ2μ0S 负号表示这个力的方向与ey方向相反，即为吸引力。 解法二令线圈中的电流不变，用Wm=12LI2表示线圈总的磁能，衔铁产生一个虚位移dy（向下），将引起Φ和L的改变。由磁路的欧姆定律可以写出 Φ=NIRmi+2yμ0S,L=NΦI=N2Rmi+2yμ0S 其中Rmi是铁心的磁阻，2yμ0S是两个空气隙的磁阻。 F=eyWmyIj=C=eyI22dLdy=-ey1μ0SNIRmi+2yμ0S2=-eyΦ2μ0S 与解法一中的结果相同。 图3.40例3.20用图 例3.20一平面载流线圈中的电流为I1，面积为S，置于均匀外磁场B中，线圈的法线矢量与B的夹角为α，如图3.40所示，求线圈受的力矩。 解法一设均匀外磁场是由电流I2产生的，线圈与磁场的互感磁能为 Wm=MI1I2=I1ψ21=I1·BScosα 线圈受的力矩为 T=WmαIj=C=－BSI1sinα=－Bpmsinα 用矢量可以表示为T=pm×B。其中载流线圈的磁偶极矩为 pm=SI1（3.154） 解法二线圈与外磁场的互感系数为 M=ψ12I2=BScosαI2 线圈受的力矩为 T=I1I2Mα=-I1BSsinα 3.7恒定磁场的应用(电子资源) 3.7.1磁屏蔽 3.7.2磁记录3.7.3回旋加速器 3.7.4磁聚焦3.7.5等离子体的磁约束3.7.6电磁传感器 3.7.7霍尔效应及应用 扫码看讲课录像 3.7恒定磁场的应用 扫码阅读 3.7恒定磁场的应用 第3章习题 31一个半径为a的导体球带电荷量为Q，以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。 32两个相同的半径为b，各有N匝的同轴线圈，相距d，如图题32所示。电流I以相同方向流过两个线圈。 图题32 （1） 求两个线圈中点处的B=exBx； （2） 证明： 在中点处dB/dx等于零； （3） 使中点处d2Bx/dx2也等于零，则b和d之间应有何种关系。 （这样一对线圈可用于在中点附近获得近似的均匀磁场，称为亥姆霍兹线圈） 33若无限长半径为a的圆柱体中电流密度J=ez(r2+4r)，r≤a，试求圆柱体内、外的磁感应强度。 34下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。 （1） H=erar（圆柱坐标）； （2） H=ex（-ay）+eyax； （3） H=exax-eyay； （4） H=eφar（圆柱坐标）。 35半径为a的磁介质球，其磁化强度为M=（Az2+B）ez，A、B均为常数。若采用分子电流模型，求磁化电流Jm和JmS。 36一圆形截面的无限长直铜线，半径为1cm，通过电流25A，在铜线外套上一个磁性材料制成的圆筒，与之同轴，圆筒的内、外半径为2cm及3cm，相对磁导率为2000。 （1） 求圆筒内每米长的磁通量； （2） 求圆筒内的磁化强度M； （3） 求圆筒内的磁化电流Jm和JmS。 37一环形螺线管，平均半径为15cm，其圆形截面的半径为2cm，铁心的相对磁导率是μr=1400，环上绕有1000匝线圈，通过电流0.7A。 （1） 计算螺线管的电感； （2） 若铁心上开个0.1cm的空气隙，假定开口后铁心的μr没有变化，再计算电感； （3） 求空气隙和铁心内的磁场能量的比值。 图题39 38证明： 单匝线圈励磁下磁路的自感量为L0=1/Rm，Rm为磁路的磁阻，故NI激励下，电感量为L=N2/Rm。磁路中单匝激励下的磁场储能Wm0=12Φ20Rm，则NI激励下的Wm=N2Wm0。 39如图题39所示，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为μ1和μ2的两种磁介质的分界面，试求两种媒质中的磁感应强度B1的B2。 310一根极细的圆铁杆和很薄的圆铁盘放在磁场B0中并使它们的轴与B0平行。求两样品内的B和H。如已知B0=1T，μ=5000μ0，求两样品内的M。 311已知y＜0区域为磁性媒质，其相对磁导率μr＝5000，y＞0的区域为空气。试求： （1） 当空气中的磁感应强度B0=ex0.5-ey10mT时，磁性媒质中的磁感应强度B； （2） 当磁性媒质中的磁感应强度B0=ex10+ey0.5mT时，空气中的磁感应强度B0。 312证明矢量磁位A满足的泊松方程2A=-μ0J的解为A=μ04π∫V′J(r′)|r-r′|dV′。 提示： 利用函数21|r-r′|在r′处的奇点特性 313根据A=μ04π∫V′J(r′)|r-r′|dV′，证明·A=0。 314已知在半径为a、磁导率为μ1的长直圆柱导体中，有电流I沿轴向流动。柱外充满磁导率为μ2的均匀介质，求导体内、外的矢量磁位和磁场。 图题315 315一对无限长平行导线，相距2a，线上载有大小相等、方向相反的电流I，如图题315所示，求矢量磁位A，并求B。 316一个半径为a的均匀带电球体，总电荷量为q，它以角速度ω绕其自身某一直径转动，试求它的磁矩。 317两个长的平行矩形线圈放置在同一平面上，长度分别为l1和l2，宽度分别为w1及w2，两线圈最靠近边的距离为s。 证明： 两个线圈的互感是 M=μ0l22πlnw2+ss1+w2w1+s 设l1≥l2，两个线圈都只有一匝，且已略去端部效应。 318两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力Fm。 319一个通有电流I1的长直导线和一个通有电流I2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d。证明： 两电流间相互作用的安培力为Fm＝μ0I1I2（secα-1），α是圆环对直线最接近圆环的点所张的角。 320如图题320所示的长螺线管中，单位长度内有N匝线圈，通过电流I，铁心磁导率为μ，截面积为S，求作用在它上面的磁力。 图题320 321已知半径分别为a和b的两个同轴圆线圈，分别载有电流I1和I2，两线圈平面间的距离为d，并设ad，试证明两线圈的相互作用力为 Fz=-32μ0πI1I2a2b2d(d2+b2)-5/2 322现有一个能提升1t重物的电磁铁，如图题322所示。其铁心的横截面积为20cm2，铁心与衔铁间的缝隙为0.1mm，铁心的平均长度l1=30cm，相对磁导率μ1=4000，忽略衔铁的磁阻，即设衔铁的磁导率μr=∞，试求此电磁铁所需的安匝数。 图题322