第3章随机过程的基本概念







学 习 指 导
本章学习目标
本章学习随机过程变换的基本概念和基本定理，随机过程通过线性系统分析，限带过程，随机过程通过离散时间线性系统分析，最佳线性滤波器，线性系统输出端随机过程的概率分布。最后介绍有色高斯噪声的模拟。
本章学习目标如下： 
 理解随机过程线性变换的概念。
 掌握线性变换的两个基本定理。
 掌握线性系统分析的时域分析法和频域分析法。
 掌握随机序列通过离散时间线性系统的分析方法。
 理解最佳线性滤波器的基本概念和性质，掌握匹配滤波器的定义、性质和计算。
 了解线性系统输出端概率密度的确定。
 了解常用的时间序列模型及其应用。
本章学习的重点和难点
本章学习重点： 
 线性系统分析的时域分析法和频域分析法。 
 最佳线性滤波器的基本概念和性质。
 匹配滤波器的定义、性质和计算。 
本章学习难点： 
 匹配滤波器的定义、性质和计算。 
思维导图
第3章的思维导图如图3.1所示。


图3.1第3章的思维导图


内 容 概 要
随机过程的变换可以看作随机过程通过系统的分析，系统一般分为线性系统和非线性系统两大类，因此随机过程的变换也分为线性变换和非线性变换两大类。
3.1变换的基本概念和线性变换的基本定理
3.1.1变换的基本概念
随机过程的变换可以用系统的观点来加以解释。假定Y(t)看作随机过程X(t)通过系统后的响应，可表示为Y(t)=T［X(t)］。变换有确定性变换和随机性变换两种。若e1和e2是两个随机试验结果，且x(t,e1)=x(t,e2)，则y(t,e1)=y(t,e2)，则称T是确定性变换，否则称为随机性变换。
对于任意两个随机变量A1和A2及任意两个随机过程X1(t)和X2(t)，若满足
L［A1X1(t)+A2X2(t)］=A1L［X1(t)］+A2L［X2(t)］
则称L是线性变换。对于线性变换L,若
Y(t+ε)=L［X(t+ε)］
其中ε为任意常数，即输入的时延对输出也只产生一个相应的时延，则称L是线性时不变的。
3.1.2线性变换的基本定理
设Y(t)=L［X(t)］，其中L是线性变换，变换两个定理描述了随机过程经过线性变换后数字特征的变化。
定理1：E［Y(t)］=L{E［X(t)］}(3.1.1)

即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。
该定理也表明，若把L和E看作算子，则L和E是可以交换次序的。
定理2： RXY(t1,t2)=Lt2［RX(t1,t2)］(3.1.2)
RY(t1,t2)=Lt1［RXY(t1,t2)］=Lt1Lt2［RX(t1,t2)］(3.1.3)
其中Lt1表示对t1作L变换，Lt2表示对t2作L变换。
从两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数分别由输入的均值和相关函数确定。推广而言，对于线性变换，输出的k阶矩由输入的相应阶矩来确定。如
E{Y(t1)Y(t2)Y(t2)}=Lt1Lt2Lt3{E［X(t1)X(t2)X(t2)］}(3.1.4)

由两个基本定理可以看出，对于线性时不变系统，若X(t)是严格平稳的，则Y(t)也是严格平稳的。若X(t)是广义平稳的，则Y(t)也是广义平稳的。
假定X(t)的导数表示为X·(t)，则导数过程有如下性质： 
(1) mX·(t)=dmX(t)/dt(3.1.5)

或者写成EdX(t)dt=ddt{E［X(t)］}(3.1.6)
从式(3.1.6)可以看出，E和ddt运算符号是可以交换次序的。
(2)RXX·(t1,t2)=RX(t1,t2)t2(3.1.7)
RX·(t1,t2)=RXX·(t1,t2)t1=2RX(t1,t2)t1t2(3.1.8)
(3) 若X(t)为平稳随机过程，则
mX·(t)=0(3.1.9)

RXX·(τ)=-dRX(τ)dτ，RX·(τ)=dRXX·(τ)dτ=-d2RX(τ)dτ2(3.1.10)

GXX·(ω)=-jωGX(ω),GX·(ω)=jωGXX·(ω)=ω2GX(ω)(3.1.11)
RXX·(τ)是奇函数,且RXX·(0)=0，可见，平稳随机过程X(t)与它的导数X·(t)在同一时刻是正交的和不相关的，若X(t)服从正态分布，则它们还是相互独立的。
3.2随机过程通过线性系统分析——冲激响应法和频谱法
随机过程通过线性系统的常用分析方法有冲激响应法和频谱法，冲激响应法是随机过程通过线性系统分析的基本方法，对于平稳和非平稳随机过程都是适用的，而频谱法只适用于平稳随机过程。
3.2.1冲激响应法
假定线性系统的冲激响应为h(t)，输入为X(t)，输出Y(t)可表示为
Y(t)=∫+∞-∞X(t-τ)h(τ)dτ=∫+∞-∞X(τ)h(t-τ)dτ=h(t)*X(t)(3.2.1)
则输出的均值为
E［Y(t)］=∫+∞-∞mX(t-τ)h(τ)dτ=h(t)*mX(t)(3.2.2)
若X(t)为平稳随机过程，则
mY=mX∫+∞-∞h(τ)dτ=mXH(0)(3.2.3)
其中H(0)为系统的传递函数在ω=0时的值。
输入和输出的互相关函数、自相关函数分别为
RXY(t1,t2)=∫+∞-∞RX(t1,t2-u)h(u)du=h(t2)*RX(t1,t2)(3.2.4)

RY(t1,t2)=∫+∞-∞RXY(t1-u,t2)h(u)du=h(t1)*RXY(t1,t2)(3.2.5)

RY(t1,t2)=h(t1)*h(t2)*RX(t1,t2)(3.2.6)
若X(t)是平稳随机过程，则
RXY(τ)=∫+∞-∞RX(τ+u)h(u)du=h(-τ)*RX(τ)(3.2.7)

RY(τ)=∫+∞-∞RXY(τ-u)h(u)du=RXY(τ)*h(τ)(3.2.8)

RY(τ)=h(-τ)*h(τ)*RX(τ)(3.2.9)

RYX(τ)=h(τ)*RX(τ)(3.2.10)

RY(τ)=h(-τ)*RYX(τ)(3.2.11)
3.2.2频谱法
所谓频谱法，就是利用系统的传递函数来分析输出的统计特性。线性系统输出与输入的互功率、输出的功率有如下关系：
GXY(ω)=H*(ω)GX(ω)(3.2.12)

GY(ω)=H(ω)GXY(ω)(3.2.13)

GY(ω)= |H(ω)|2GX(ω)(3.2.14)

GYX(ω)=H(ω)GX(ω)(3.2.15)

GY(ω)=H*(ω)GYX(ω)(3.2.16)
3.2.3平稳性的讨论
若输入X(t)是平稳的，h(t)在(-∞,+∞)中都存在(即系统是物理不可实现的)，则输出Y(t)也是平稳的，且输入与输出是联合平稳的。
对于物理可实现系统，即当t<0时，h(t)=0，假定输入X(t)是平稳的，且从-∞ 时加入，则输出是平稳的，且
mY=mX∫+∞0h(u)du(3.2.17)

RXY(τ)=∫+∞0RX(τ+u)h(u)du(3.2.18)

RY(τ)=∫+∞0RXY(τ-u)h(u)du=∫+∞0∫+∞0RX(τ+v-u)h(u)h(v)dudv(3.2.19)
若X(t)是从t=0加入，且令τ=t1-t2，则
mY(t)=mX∫t0h(u)du(3.2.20)

RXY(t1,t2)=∫t20RX(τ-u)h(u)du(3.2.21)

RY(t1,t2)=∫t10RXY(τ-u)h(u)du(3.2.22)

RY(t1,t2)=∫t10RXY(τ-u)h(u)du=∫t10∫t20RX(τ-u+v)h(v)h(u)dvdu(3.2.23)
3.3限带过程
若随机过程在一个有限的频带内具有非零的功率谱，而在频带之外为零，则称其为限带随机过程。很显然，白噪声通过一个限带系统，输出就是一个限带随机过程，常见的限带随机过程有低通随机过程和带通随机过程。
3.3.1低通随机过程
若随机过程的功率谱GX(ω)在|ω|<ωc内不为零，而在其外为零，则称其为低通随机过程。很显然，白噪声通过低通滤波器后，其输出就是这种低通随机过程。
低通随机过程的自相关函数为
RX(τ)=12π∫ωc-ωcGX(ω)ejωτdω(3.3.1)
低通随机过程的自相关函数的任意n阶导数都是存在的，即
R(n)X(τ)=12π∫ωc-ωc(jω)nGX(ω)ejωτdω<∞(3.3.2)
理想低通随机过程的功率谱定义为
GX(ω)=N0/2|ω|<ωc
0其他N0为常数(3.3.3)
其自相关函数为
RX(τ)=N0ωc2πsinωcτωcτ(3.3.4)
总的平均功率为
RX(0)=N0ωc2π(3.3.5)
对于理想低通过程，若以Δt=π/ωc的时间间隔对其进行采样，则采样后得到的这组离散数据{X(n),n=0,±1,±2,…}是相互正交的。
3.3.2带通随机过程
若随机过程X(t)的功率谱GX(ω)集中在ω0为中心的频带内，则称X(t)为带通随机过程，白噪声通过一个带通滤波器后，其输出为带通随机过程。若在频带内，功率谱密度为常数，则称其为理想带通随机过程。
设理想带通随机过程的功率谱密度为
GX(ω)=N0/2ω0-ωc<ω<ω0+ωc或-ω0-ωc<ω<-ω0+ωc

0其他(3.3.6)
对应的自相关函数为
RX(τ)=N0ωcπsinωcτωcτcosω0τ(3.3.7)
总的平均功率为
RX(0)=N0ωcπ(3.3.8)
3.3.3噪声等效通能带
把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效为在一定频带内均匀的物理谱密度，这个频带称为噪声等效通能带，记为Δfe，它表示系统对噪声功率谱的选择性。
噪声等效通能带为
Δfe=12π∫+∞0FY(ω)dωFY(ω0)=∫+∞0|H(ω)|2dω2π|H(ω0)|2(3.3.9)
对于低通网络，等效通能带为
Δfe=12π∫+∞0FY(ω)dωFY(0)=∫+∞0|H(ω)|2dω2π|H(0)|2(3.3.10)
噪声等效通能带只由线性系统特性确定。
根据噪声等效通能带，可以写出输出平均功率的表达式，对于带通网络，输出的平均功率为
RY(0)=N0Δfe|H(ω0)|2(3.3.11)
对于低通网络，输出的平均功率为
RY(0)=N0Δfe|H(0)|2(3.3.12)
3.4随机序列通过离散线性系统分析
随机序列通过离散线性系统的分析同样有冲激响应法和频谱法(或z域法)。假定离散线性系统的单位样值响应为h(n)，系统传递函数H(ω)与单位样值响应之间是离散傅里叶变换的关系，即
H(ω)=∑+∞n=-∞h(n)e-jnω(3.4.1)
或者用z 变换表示为
H(z)=∑+∞n=-∞h(n)z-n(3.4.2)
随机序列X(n)通过线性系统后，输出Y(n)为
Y(n)=∑+∞k=-∞h(n-k)X(k)=h(n)*X(n)(3.4.3)
输出的均值为
mY(n)=∑+∞k=-∞h(k)mX(n-k)=h(n)*mX(n)(3.4.4)
输入与输出的互相关函数为
RXY(n1,n2)=∑+∞k=-∞h(k)RX(n1,n2-k)=h(n2)*RX(n1,n2)(3.4.5)
输出的自相关函数为
RY(n1,n2)=h(n1)*RXY(n1,n2)=h(n1)*h(n2)*RX(n1,n2)(3.4.6)
若输入X(n)为平稳随机序列，则输出也是平稳随机序列，且
mY=mX∑+∞k=-∞h(k)=mXH(0)(3.4.7)
其中，H(0)是系统传递函数H(ω)在ω=0的值。
RXY(m)=h(-m)*RX(m)(3.4.8)

RY(m)=h(m)*RXY(m)=h(m)*h(-m)*RX(m)(3.4.9)

GXY(ω)=H(-ω)GX(ω)(3.4.10)

GY(ω)=H(ω)GXY(ω)=|H(ω)|2GX(ω)(3.4.11)
若用z变换表示，则
GXY(z)=H(z-1)GX(z)(3.4.12)

GY(z)=H(z)GXY(z)=H(z)H(z-1)GX(z)(3.4.13)
3.5最佳线性滤波器
对于目标检测系统而言，接收机输出的信噪比越高，越容易发现目标，同样在通信系统中，信噪比越大，信息传输发生错误的概率越小，因此，能给出最大信噪比的接收机，其系统的性能往往也是最好的，以输出信噪比最大作为准则设计的最佳线性滤波器是许多接收机的重要组成部分。
3.5.1输出信噪比最大的最佳线性滤波器
假定线性系统的传递函数为H(ω)，输入波形为
X(t)=s(t)+w(t)(3.5.1)
式中，s(t)是确知信号，w(t)是零均值平稳随机过程，功率谱密度为Gw(ω)。输出Y(t)可表示为
Y(t)=s0(t)+w0(t)(3.5.2)
其中
s0(t)=12π∫+∞-∞S(ω)H(ω)ejωtdω(3.5.3)
式中，S(ω)是输入信号s(t)的频谱，H(ω)是系统的传递函数，w0(t)是输出的噪声，功率谱密度为
Gw0(ω)=Gw(ω)|H(ω)|2(3.5.4)
输出噪声的平均功率为
E［w20(t)］=12π∫+∞-∞Gw(ω)|H(ω)|2dω(3.5.5)
定义在某个时刻t=t0时滤波器输出端信号的瞬时功率与噪声的平均功率之比(简称信噪比)为
d0=s20(t0)E［w20(t)］(3.5.6)
将式(3.5.3)和式(3.5.5)代入式(3.5.6)，得
d0=12π∫+∞-∞S(ω)H(ω)dω2∫+∞-∞Gw(ω)|H(ω)|2dω(3.5.7)
可以证明使信噪比最大的最佳线性滤波器传递函数为
H(ω)=cS*(ω)e-jωt0/Gw(ω)(3.5.8)
最大的信噪比为
dm=12π∫+∞-∞|S(ω)|2dω∫+∞-∞Gw(ω)dω(3.5.9)
最佳滤波器的输出信号为
s0(t)=c2π∫+∞-∞|S(ω)|2Gw(ω)ejω(t-t0)dω(3.5.10)
由式(3.5.10)可以看出，当t=t0时，输出信号达到最大。
最佳滤波器的幅频特性为
|H(ω)|=c|S(ω)|/Gw(ω)(3.5.11)
最佳线性滤波器幅频特性与信号频谱的幅度呈正比，与噪声的功率谱密度呈反比，对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。可见，最佳线性滤波器的幅频特性有抑制噪声的作用。
最佳滤波器的相频特性为
argH(ω)=-argS(ω)-ωt0(3.5.12)
最佳滤波器的相频特性argH(ω)起到了抵消输入信号相角argS(ω)的作用，并且使输出信号s0(t)的全部频率分量的相位在t=t0时刻相同，达到了相位相同、幅度相加的目的。而噪声是平稳随机过程，各频率分量的相位是随机的，argH(ω)不影响噪声的功率，也就是说，滤波器对信号的各频率分量起到幅度同相相加的作用，而对噪声的各频率分量起到功率相加的作用，综合而言，信噪比得到提高。
3.5.2匹配滤波器
若输入噪声是白噪声，这时的最佳滤波器称为匹配滤波器。即匹配滤波器是在白噪声环境下以输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。由式(3.5.8)可得，匹配滤波器的传递函数为
H(ω)=cS*(ω)e-jωt0(3.5.13)
对上式作傅里叶反变换可得冲激响应为
h(t)=cs*(t0-t)(3.5.14)
即匹配滤波器的冲激响应是输入信号的共轭镜像。对于实信号，
h(t)=cs(t0-t)(3.5.15)
即当c=1时，h(t)与s(t)关于t0/2呈偶对称关系。
匹配滤波器的性质和特点： 
(1) 输出的最大信噪比与输入信号的波形无关。
最大的信噪比为
dm=12π∫+∞-∞|S(ω)|2dωN0/2=2EN0(3.5.16)
式中,E代表信号的能量，最大信噪比只与信号的能量和噪声的强度有关，与信号的波形无关。
(2) t0应该选在信号s(t)结束之后。
若要求系统是物理可实现的，则t0必须选择在信号结束之后才能满足h(t)=0(t<0)。
(3) 匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性。
发射信号为s(t)，接收信号为
s1(t)=as(t-τ)
若按照发射信号s(t)设计匹配滤波器，这个匹配滤器对接收信号s1(t)同样也是匹配的，只是出现最大信噪比的时刻相应延迟τ。
需要注意的是，匹配滤波器对信号的频移不具有适应性。也就是说，若一个信号的频谱为
S2(ω)=S(ω+ωd)
ωd可以看作目标由于运动产生的多普勒频移，则原匹配滤波器对s2(t)是不匹配的。
(4) 脉冲串信号的匹配滤波器。
设脉冲串信号为
s(t)=∑M-1k=0s1(t-kT)(3.5.17)
式中，s1(t)是单个子脉冲信号，M为脉冲个数，T为脉冲重复间隔，则匹配滤波器可表示为
H(ω)=H1(ω)H2(ω)(3.5.18)
式中，H1(ω)是单个子脉冲信号的匹配滤波器，而H2(ω)为
H2(ω)=∑M-1k=0e-jω(M-1-k)T=1+e-jωT+…+e-jω(M-1)T(3.5.19)
它是由延迟单元和求和器构成的，通常称为相参积累器，它的作用是调整脉冲串信号的相位，使其在t0=(M-1)T+τ实现同相相加。匹配滤波器输出的最大信噪比为
dm=M·2E1N0=Md1(3.5.20)
式中，E1代表单个子脉冲信号的能量，d1代表子脉冲匹配滤波器输出的最大信噪比。由式(3.5.20)可以看出，脉冲串信号匹配滤波器输出的最大信噪比是单个子脉冲信号匹配滤波器的M倍，即信噪比提高了M倍，信噪比的提高得益于相参积累器的作用。
3.5.3广义匹配滤波器
假定噪声具有有理的功率谱，由式(3.5.11)可分解为
Gw(ω)=G+w(ω)G-w(ω)(3.5.21)
将式(3.5.21)代入式(3.5.8)，得
H(ω)=H1(ω)H2(ω)=1G+w(ω)cS*(ω)e-jωt0G-w(ω)(3.5.22)
式中，H1(ω)=1G+w(ω)称为白化滤波器，它可以将输入噪声变成白噪声，白化滤波器是物理可实现的； 而H2(ω)=cS*(ω)e-jωt0G-w(ω)有可能是物理不可实现的，若只取物理可实现部分，即滤波器的传递函数为
H(ω)=H1(ω)H2c(ω)=1G+w(ω)cS*(ω)e-jωt0G-w(ω)+(3.5.23)
这样的滤波器称为广义的匹配滤波器。若用拉普拉斯变换表示，则式(3.5.23)可表示为
H(s)=H1(s)H2c(s)=1G+w(s)cS(-s)e-st0G-w(s)+(3.5.24)
3.6线性系统输出端随机过程的概率分布
线性系统输出端的概率分布有几种情况是可以确定的。
(1) 正态随机过程通过线性系统，输出服从正态分布。
(2) 白噪声通过有限带宽的线性系统，输出服从正态分布。
(3) 宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
3.7信号处理实例： 有色高斯随机过程的模拟
3.7.1频域法
假定要模拟一个时长为Td的高斯随机过程的一个样本函数X(t)，要求功率谱满足GX(f)，且假定功率谱是带限的，即GX(f)=0(|f|>B)。模拟的步骤总结如下： 
(1) 根据所需的时长Td确定频率f0=1/Td，并由此确定傅里叶级数的系数的长度M=［B/f0］，其中［·］表示取整。
(2) 计算β值。
β=∫B-BGX(f)df∑Mk=-MGX(kf0)(3.7.1)
(3) 产生2M+1个独立的高斯随机变量，即
Xk~N(0,βGX(kf0))(k=-M,-M+1,…,0,…,M-1,M)(3.7.2)
(4) 构建时域样本。
X［i］=X(iΔt)=∑Mk=-MXkej2πf0k(iΔt)(3.7.3)
其中，Δt为任意小的时间间隔。
3.7.2时域滤波器法
根据线性系统的理论，功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出服从正态分布，且输出的功率谱为GX(f)=|H(f)|2，因此，要产生功率谱为GX(f)的有色高斯噪声，只需设计一个滤波器，该滤波器的传递函数应满足
H(f)=GX(f)(3.7.4)

例如，要产生功率谱密度为GX(f)=11+(f/Δf)4的高斯随机过程，经过分解可得到
H(f)=(Δf)2(f-Δfejπ/4)(f-Δfej3π/4)(3.7.5)

对式(3.7.5)作傅里叶反变换可得到系统的冲激响应为
h(t)=-2ω0e-ω0tsinω0tt>0(3.7.6)
其中，ω0=2πΔf。输出的有色高斯过程为
X(t)=W(t)*h(t)(3.7.7)

由于计算机产生的是连续时间信号的抽样值，即离散时间信号，因此，模拟滤波器设计后要转换成离散时间形式。
习 题 解 答
3.1设随机过程X(t)是平稳的和可微的，存在导数X′(t)。证明对于给定的t，随机变量X(t)和X′(t)是正交的和不相关的。
证明： 由于随机过程X(t)是平稳的，故X(t)的均值为常数，所以E［X′(t)］=dE［X(t)］dt=0。
又由于随机过程X(t)是可微的，故RX(τ)的导数必存在，且由于自相关函数RX(τ)在τ=0处取最大值，所以在τ=0处RX(τ)的导数为0，即dRX(τ)dττ=0=0。
同时RXX′(τ)=-dRX(τ)dτ， RXX′(0)=-dRX(τ)dττ=0=0，
故RXX′(0)=E［X(t)X′(t)］=0，X(t)和X′(t)是正交的。
又
KXX′(τ)=RXX′(τ)-mX(t)mX′(t+τ)=RXX′(τ)
所以KXX′(0)=RXX′(0)=0，这表明对于给定的t，随机变量X(t)和X′(t)是不相关的。
归纳： 对于随机变量X(t1)和Y(t2)，
要证明它们是正交的，需要证明互相关函数RXY(t1,t2)=0； 
要证明它们是不相关的，需要证明互协方差函数KXY(t1,t2)=0； 
要证明它们是独立的，需要证明fXY(x,t1,y,t2)=fX(x,t1)fY(y,t2)。
3.2设输入随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=A2+Be-|τ|，系统冲激响应为
h(t)=e-att≥0

0其他
A，B，a均为正实常数。试求输出Y(t)的均值。
解法一： RX(∞)=A2=m2X，故随机过程X(t)的均值为mX=±A。
mY(t)=h(t)*mX(t)=mX∫+∞-∞h(τ)dτ=mX∫+∞0e-aτdτ=±Aa
即mY=±Aa。
解法二： 对冲激响应h(t)进行傅里叶变换。
H(ω)=∫+∞-∞h(τ)e-jωτdτ=1α+jω，H(0)=1a
所以，mY=mXH(0)=±Aa。


图E3.3RC电路

3.3已知一个平稳随机过程输入到RC低通滤波器，如图E3.3所示。X(t)的自相关函数RX(t1,t2)=δ(t1-t2)=δ(τ)，求输出的自相关函数RY(τ)。
解法一： H(ω)=αjω+α， α=1RC，RX(τ)GX(ω)=1
GY(ω)=GX(ω)|H(ω)|2=α2(α+jω)(α-jω)=α2ω2+α2，由于
2αα2+ω2e-α|τ|
所以
RX(τ)=α2e-α|τ|
解法二： h(t)=αe-αtu(t)
RXY(τ)=h(-τ)*RX(τ)

=∫+∞0RX(τ+u)h(u)du

=∫+∞0δ(τ+u)αe-αudu

=0τ>0

αeαττ<0

RY(τ)=h(τ)*RXY(τ)=∫+∞0RXY(τ-u)h(u)du
当τ<0时，
RY(τ)=∫+∞0αeα(τ-u)αe-αudu=α2eατ∫+∞0e-2αue-αudu=α2eατ
由于自相关函数是偶函数，所以，当τ≥0时，RY(τ)=α2e-ατ，即对任意的τ有
RY(τ)=α2e-α|τ|


图E3.4RL电路

3.4如图E3.4所示的RL电路，输入为随机过程X(t)，其均值为E［X(t)］=0，自相关函数为RX(t1,t2)=σ2exp［-β|t1-t2|］=σ2exp［-β|τ|］，试求输出的自相关函数RY(τ)。
解： H(ω)=αjω+α，α=RL，RX(τ)GX(ω)=σ22ββ2+ω2
GY(ω)=GX(ω)|H(ω)|2=σ22ββ2+ω2α2α2+ω2=ασ2α2-β2α2ββ2+ω2-β2αα2+ω2
作傅里叶反变换得
RY(τ)=ασ2α2-β2(αe-β|τ|-βe-α|τ|)
3.5设线性时不变系统的冲激响应为h(t)=e-βtU(t)，输入平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=e-ατ，其中α>0,β>0。
(1) 求输入输出之间的互相关函数RXY(τ)； 
(2) 当令α=3，β=1时，将所得结果画出来。
解： h(t)=e-βtU(t)，H(ω)=1jω+β； RX(τ)=e-α|τ|GX(ω)=2αα2+ω2
RXY(τ)=RX(τ)*h(-τ)=∫+∞-∞RX(τ+u)h(u)du=∫+∞0e-α|τ+u|e-uβdu
当τ≥0时，RXY(τ)=∫+∞0e-α(τ+u)e-uβdu=1α+βe-ατ

当τ<0时，
RXY(τ)=∫-τ0eα(τ+u)e-uβdu+∫+∞-τe-α(τ+u)e-uβdu

=eατ∫-τ0eu(α-β)du+e-ατ∫+∞-τe-(α+β)udu

=eατ1α-βeu(α-β)|-τ0+e-ατ1-(α+β)e-(α+β)u|∞-τ

=1α-βeατ(-1+e-(α-β)τ)+1α+βe-ατe(α+β)τ

=1α-β(-eατ+eβτ)+1α+βeβτ

=1β-αeατ-2αβ2-α2eβτ
即
RXY(τ)=1β+αe-αττ≥0
1β-αeατ-2αβ2-α2eβττ<0
当α=3，β=1时得
RXY(τ)=14e-3ττ≥0
-12e3τ+34eττ<0
绘图的MATLAB程序如下。

clear;

clc;

x=-8:0.01:4;

y=zeros(length(x),1);

for i=1:length(x)

if x(i)<0

y(i)=0.75*exp(x(i))-0.5*exp(3*x(i));

end

if x(i)>=0

y(i)=0.25*exp(-3*x(i));

end

end

plot(x,y);


程序运行结果如图E3.5所示。


图E3.5RXY(τ)图形


3.6如图E3.6所示电路中，输入平稳随机过程X(t)的相关函数为RX(τ)。试求RY(τ)、RXY(τ)。


图E3.6延迟电路


解法一： 由题目可知，Y(t)=X(t-α) 
RXY(τ)=E［X(t+τ)Y(t)］=E［X(t+τ)X(t-α)］=RX(τ+α)

RY(τ)=E［Y(t+τ)Y(t)］=E［X(t-α+τ)X(t-α)］=RX(τ)
从本题可知，对于平稳随机过程，延时并不能改变其自相关函数的特性。
解法二： 根据题意Y(t)=X(t-α)=X(t)*δ(t-α)，系统传递函数为h(t)=δ(t-α)。
对于平稳随机过程，有
RXY(τ)=h(-τ)*RX(τ)=δ(-τ-α)*RX(τ)=δ(τ+α)*RX(τ)=RX(τ+α)

RY(τ)=h(τ)*RXY(τ)=δ(τ-α)*RX(τ+α)=RX(τ)

注意： h(-τ)=δ(-τ-α)=δ(τ+α)，此处利用了冲激函数是偶函数的特性。
3.7设线性时不变系统的传递函数为
H(ω)=jω-αjω+β
输入平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=e-v|τ|，v>0，试求输入输出之间的互相关函数RXY(τ)。
解： 系统的传递函数可以写成
H(ω)=jω-αjω+β=1-α+βjω+β
相应的冲激响应函数为
h(τ)=δ(τ)-(α+β)e-βτu(τ)
所以互相关函数
RXY(τ)=h(-τ)*RX(τ)

=∫+∞-∞RX(τ+x)h(x)dx

=∫+∞-∞［δ(x)-(α+β)e-βxu(x)］e-v|τ+x|dx

=e-v|τ|-(α+β)∫+∞0e-βxe-v|τ+x|dx
当τ≥0时，∫+∞0e-βxe-v|τ+x|dx=∫+∞0e-βxe-v(τ+x)dx=e-vτv+β 

当τ<0时，∫+∞0e-βxe-v|τ+x|dx=∫-τ0e-βxev(τ+x)dx+∫+∞-τe-βxe-v(τ+x)dx

=eβτ-evτv-β+eβτv+β
综合上述结果可得
RXY(τ)=evτ-α+βv-β(eβτ-evτ)-α+βv+βeβττ<0
1-α+βv+βe-vττ≥0
3.8如图E3.3所示，RC低通滤波器的输入为白噪声，其物理谱密度FX(ω)=N0，0<ω<∞，相应的自相关函数RX(τ)=N02δ(τ)。试求输出的FY(ω)和RY(τ)，并证明当t3>t2>t1时，RY(t3-t1)=RY(t3-t2)RY(t2-t1)RY(0)。
解： 系统的传递函数为
H(ω)=1/jωC1/jωC+R=11+jωRC
则输出过程的物理谱密度为FY(ω)=|H(ω)|2FX(ω)=N01+(RC)2ω2，0<ω<∞

输出的功率谱为GY(ω)=N0211+(RC)2ω2=N04RC2/RC1/RC+ω2

通过傅里叶反变换得到输出的自相关函数RY(τ)=N04RCe-1RC|τ|。
当t3>t2>t1时，
RY(t3-t2)RY(t2-t1)RY(0)=N04RCe-1RC(t3-t2)N04RCe-1RC(t2-t1)N04RC

=N04RCe-1RC(t3-t1)=RY(t3-t1)
得证。
注意： 
(1) RY(τ)和GY(ω)是傅里叶变换关系对，且功率谱GY(ω)和物理谱FY(ω)正频存在12的换算关系； 
(2) FY(ω)=|H(ω)|2FX(ω)，此处|H(ω)|2表示传递函数的模|H(ω)|的平方，而不是传递函数H(ω)的平方。
3.9假定功率谱密度为N0/2的高斯白噪声通过一个滤波器，其传递函数为
H(ω)=11+jω/ω1
其中ω1为常数，求输出的概率密度函数。
解： 正态随机过程通过线性系统后输出仍然服从正态分布，所以只需要确定输出的均值mY和方差σ2Y即可确定其概率密度函数。

因为GX(ω)=N02，GY(ω)=|H(ω)|2GX(ω)=ω21ω21+ω2N02=N0ω142ω1ω21+ω2
RY(τ)=N0ω14e-ω1|τ|， RY(0)=N0ω14=m2Y+σ2Y，RY(∞)=0=m2Y
所以输出的均值mY=0，方差σ2Y=N0ω14。
故输出的概率密度函数为fY(y)=2πN0ω1exp-2y2N0ω1。


图E3.10

3.10如图E3.10所示的RL系统中，输入X(t)是物理功率谱密度为N0的白噪声，试用频谱法求系统输出的自相关函数RY(τ)。
解： 此题的解题思路是对GY(ω)求傅里叶反变换得到RY(τ)。
根据题意，GX(ω)=N02，H(ω)=jωLjωL+R
GY(ω)=|H(ω)|2GX(ω)=(ωL)2(ωL)2+R2N02=1-R2(ωL)2+R2N02
所以输出的自相关函数RY(τ)=δ(τ)-R2Le-RL|τ|N02。
3.11如图E3.11所示，X(t)是输入随机过程，GX(ω)=N0/2，Z(t)是输出随机过程。试用频谱法求输出Z(t)的均方值。


图E3.11线性系统示意图


解法一： 系统是由两个系统级联而成，系统1是延时相消，它的传递函数为
H1(ω)=1-e-jωT，冲激响应为h1(t)=δ(t)-δ(t-T)
假定系统1的输出为Y(t)，那么Z(t)=∫t-∞Y(λ)dλ=∫+∞-∞Y(λ)U(t-λ)dλ，所以，系统2的冲激响应为h2(t)=U(t)，系统2的传递函数为H2(ω)=1jω+πδ(ω)
H(ω)=H1(ω)H2(ω)=(1-e-jωT)1jω+πδ(ω)=1jω(1-e-jωT)=2ωsinωT2e-jωT2

GZ(ω)=N02|H(ω)|2=N024ω2sin2ωT2=2N0ω2sin2ωT2

σ2Z=12π∫+∞-∞GZ(ω)dω=12π∫+∞-∞2N0ω2sin2ωT2dω=2N0π∫+∞01ω2sin2ωT2dω=N0T2
注意，在计算中用到了如下积分公式： 
∫+∞0sin2(ax)x2dx=π2|a|
解法二： 
将解法一得出的输出的功率谱改写为
GZ(ω)=sin2(ωT/2)(ω/2)2N02=N0T22Sa2ωT2
作傅里叶反变换得到输出的自相关函数，即
RZ(τ)=N0T21-|τ|T|τ|<T
0其他
所以输出的均方值RZ(0)=N0T2。
3.12零均值平稳随机过程X(t)输入一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数形式的一段，即
h(t)=e-αt0≤t≤T,α>0

0其他
证明输出随机过程的功率谱密度为
1α2+ω2(1-2e-αTcosωT+e-2αT)GX(ω)
其中，GX(ω)是输入过程的功率谱密度。
解： 滤波器的冲激响应为h(t)=e-αt［U(t)-U(t-T)］，其中U(t)为单位阶跃函数。
H(ω)=1α+jω［1-e-(α+jω)T］=1α+jω［1-e-αT(cosωT-jsinωT)］

=1α+jω［(1-e-αTcosωT)+je-αTsinωT］
所以输出的功率谱密度
GY(ω)=|H(ω)|2GX(ω)

=1α2+ω2［(1-e-αTcosωT)2+(e-αTsinωT)2］GX(ω)

=1α2+ω2(1-2e-αTcosωT+e-2αT)GX(ω)
得证。
3.13设积分电路输入输出之间满足下述关系： 
Y(t)=∫tt-TX(τ)dτ
其中T为常数，且X(t)和Y(t)均为平稳随机过程。求证Y(t)的功率谱密度
GY(ω)=GX(ω)sin2(ωT/2)(ω/2)2
证明： 首先确定系统的冲激响应，h(t)=∫tt-Tδ(τ)dτ=U(t)-U(t-T)， 
H(ω)=1jω+πδ(ω)-1jω+πδ(ω)e-jωT

=1jω(1-e-jωT)

=2ωe-jωT/2ejωT/2-e-jωT/22j

=sin(ωT/2)ω/2e-jωT/2


图E3.14单输入双输出线性系统

所以
GY(ω)=|H(ω)|2GX(ω)=sin2(ωT/2)(ω/2)2GX(ω)
3.14图E3.14为具有一个输入、两个输出的线性系统。求证： 输出Y1(t)和Y2(t)的互谱密度
GY1Y2(ω)=H1(ω)H2(ω)GX(ω)
证明： 根据图示的线性系统可知，输出Y1(t)和Y2(t)分别为
Y1(t)=X(t)*h1(t)=∫+∞-∞X(t-v)h1(v)dv

Y2(t)=X(t)*h2(t)=∫+∞-∞X(t-u)h2(u)du
所以
RY1X(τ)=E［Y1(t)X(t-τ)］

=E∫+∞-∞X(t-v)h1(v)dvX(t-τ)

=∫+∞-∞RX(τ-v)h1(v)dv

=h1(v)*RX(τ)

RY1Y2(τ)=E［Y1(t)Y2(t-τ)］

=EY1(t)∫+∞-∞X(t-τ-u)h2(u)du

=∫+∞-∞RY1X(τ+u)h2(u)du

=h2(-τ)*RY1X(τ)

=h2(-τ)*h1(τ)*RX(τ)
两边作傅里叶变换，得
GY1Y2(ω)=H1(ω)H2(ω)GX(ω)
得证。
3.15若线性系统输入随机过程X(t)的功率谱密度为
GX(ω)=ω2+3ω2+8
现已知其输出过程Y(t)的功率谱密度GY(ω)=1，求该系统的传递函数。
解： 根据GY(ω)=H(ω)H(ω)GX(ω)，所以有
H(ω)H(ω)=GY(ω)GX(ω)=ω2+8ω2+3=22+jω3+jω22-jω3-jω
所以，系统的传递函数为
H(ω)=22+jω3+jω
3.16假定随机过程X(t)的功率谱为GX(f)=11+f2，该过程加到一个传递函数为H(f)的滤波器，该滤波器的功能是使输出的功率谱为1，称该滤波器为白化滤波器。求该滤波器的传递函数，并画出它的实现电路。
解： GX(f)=11+f2=11+jf·11-jf=G+X(f)G-X(f)
GX(f)=11+f2=11+jf11-jf=G+X(f)G-X(f)
白化滤波器的传递函数为H(f)=1G+X(f)=1+jf
系统实现电路如图E3.16所示。


图E3.16系统实现电路


3.17证明随机过程的采样定理。设X(t)为限带随机过程，即功率谱密度满足GX(ω)=0(|ω|>ωc)，试证明： 
X^(t)=∑+∞n=-∞X(nT)sin(ωct-nπ)ωct-nπ
提示： 要证明上式，只需证明E{［X(t)-X^(t)］2}=0，即X^(t)依均方收敛于X(t)。
证明： 由于限带信号的功率谱密度在|ω|>ωc时为零，而自相关函数与功率谱是傅里叶变换对的关系，根据信号与系统理论中时域抽样的内插公式，X(t)的自相关函数可表示为
RX(τ)=∑+∞n=-∞RX(nT)sin(ωcτ-nπ)ωcτ-nπ(T=π/ωc)
设a为任意常数，则RX(τ-a)GX(ω)e-jωa。很显然，GX(ω)e-jωa也是限带的，故RX(τ-a)可表示为
RX(τ-a)=∑+∞n=-∞RX(nT-a)sin(ωcτ-nπ)ωcτ-nπ(E3.171)
令τ-a改为τ，则
RX(τ)=∑+∞n=-∞RX(nT-a)sin［ωc(τ+a)-nπ］ωc(τ+a)-nπ(E3.172)
在式(E3.171)中，令τ=t，a=mT，则
RX(t-mT)=∑+∞n=-∞RX(nT-mT)sin(ωct-nπ)ωct-nπ
所以
E{［X(t)-X^(t)］X(mT)}=EX(t)-∑+∞n=-∞X(nT)sin(ωct-nπ)ωct-nπX(mT)

=RX(t-mT)-∑+∞n=-∞RX(nT-mT)sin(ωct-nπ)ωct-nπ

=0
即X(t)-X^(t)与X(mT)是正交的，由于X^(t)是X(mT)的线性组合，所以X(t)-X^(t)与X^(t)也是正交的，即E{［X(t)-X^(t)］X^(t)}=0。
E{［X(t)-X^(t)］2}=E{［X(t)-X^(t)］X(t)}-E{［X(t)-X^(t)］X^(t)}

=E{［X(t)-X^(t)］X(t)}

=EX(t)-∑+∞n=-∞X(nT)sin(ωct-nπ)ωct-nπX(t)

=RX(0)-∑+∞n=-∞RX(nT-t)sin(ωct-nπ)ωct-nπ
在式(E3.172)中，令τ=0，a=t，可得
RX(0)=∑+∞n=-∞RX(nT-t)sin(ωcτ-nπ)ωcτ-nπ
因此E{［X(t)-X^(t)］2}=0，即X(t)与X^(t)依均方相等，定理得证。
3.18已知平稳随机过程的相关函数为
(1) RX(τ)=σ2X(1-α|τ|)|τ|≤1α
(2) RX(τ)=σ2Xe-α|τ|
请分别求其等效通能带Δωe。
解： (1) GX(ω)=σ2Xαsin2(ω/2α)(ω/2α)2，可以看成白噪声驱动一个低通滤波器，
其物理谱为

FX(ω)=2GX(ω)=2σ2Xαsin2(ω/2α)(ω/2α)2ω≥0
所以
Δωe=∫+∞0FX(ω)dωFX(0)=2πRX(0)2σ2Xα=πσ2Xσ2Xα=πα
(2) GX(ω)=σ2X2αα2+ω2，仍然可看成白噪声驱动一个低通滤波器，同理

Δωe=2πRX(0)2GX(0)=2πσ2X22σ2Xα=πα2




图E3.19


3.19设X(t)为一个零均值高斯过程，其功率谱密度GX(f)如图E3.19所示，若每1/2W s对X(t)取样一次，得到样本集合X(0),X(1/2W),…，求前N个样本的联合概率密度。
解： 该随机过程的自相关函数RX(τ)=Psin2πWτ2πWτ，
零均值高斯过程X(t)的方差σ2X=RX(0)=P
当抽样时间τ=k2W时，RX(τ)=Psinkπkπ=0，即X(0),X(1/2W),…是相互独立的。
因此以1/2W s的间隔对X(t)均匀抽样，所得的观测值Xk2W是相互独立的，
其中
f(xk)=12πσ2X12exp-x2k2σ2X=12πP12exp-x2k2P
所以前N个样本的联合概率密度为
fX(x)=∏N-1k=0fX(xk)=12πPN2exp-12P∑N-1k=0x2k
其中，x=［x0x1…xN-1］T。
3.20设X(n)是一个均值为零、方差为σ2X的白噪声，Y(n)是单位样值响应为h(n)的线性时不变离散系统的输出，试证： 
(1) E［X(n)Y(n)］=h(0)σ2X； 
(2) σ2Y=σ2X∑+∞n=-∞h2(n)。

证明： 
(1) 
E［X(n)Y(n)］=EX(n)∑+∞k=-∞X(k)h(n-k)

=∑+∞k=-∞E［X(n)X(k)］h(n-k)

=∑+∞k=-∞σ2Xδ(n-k)h(n-k)

=σ2Xh(0)
(2) 
σ2Y=E［Y2(n)］

=E∑+∞k=-∞X(k)h(n-k)∑+∞m=-∞X(m)h(n-m)

=∑+∞k=-∞∑+∞m=-∞E［X(k)X(m)］h(n-k)h(n-m)

=∑+∞k=-∞∑+∞m=-∞σ2Xδ(k-m)h(n-k)h(n-m)

=∑+∞m=-∞σ2Xh(n-m)h(n-m)

=σ2X∑+∞k=-∞h2(k)


图E3.21离散线性系统

3.21图E3.21所示系统，输入为均值为零、方差为σ2X的白噪声序列，其中h1(n)=anU(n)，h2(n)=bnU(n)，且|a|<1和|b|<1。试求σ2Z。
解法一： Z(z)=H1(z)H2(z)X(z)=zz-azz-bX(z)，
所以从X(n)到Z(n)的传递函数H(z)=H1(z)H2(z)=zz-azz-b


由于X(n)为均值为零、方差为σ2X的白噪声序列，所以GX(z)=σ2X

又GZ(z)=H(z)H(z-1)GX(z)=z2(z-a)(z-b)z-2(z-1-a)(z-1-b)σ2X

=zz-1(z-a)(z-1-a)zz-1(z-b)(z-1-b)σ2X

=A1-a2(z-a)(z-1-a)+B1-b2(z-b)(z-1-b)σ2X

其中A=a(1-a2)(1-ab)(a-b)，B=-b(1-b2)(1-ab)(a-b)

且a|n|1-a2(z-a)(z-1-a)是一对z变换关系对，

所以RZ(n)=a(1-a2)(1-ab)(a-b)a|n|-b(1-b2)(1-ab)(a-b)b|n|σ2X
σ2Z=RZ(0)=a(1-a2)(1-ab)(a-b)-b(1-b2)(1-ab)(a-b)σ2X

=(1+ab)(a-b)(1-a2)(1-ab)(1-b2)(a-b)σ2X=(1+ab)(1-a2)(1-ab)(1-b2)σ2X。
解法二： 从X(n)到Z(n)的传递函数为
H(z)=H1(z)H2(z)=zz-azz-b=1a-bazz-a-bzz-b

h(n)=1a-b(an+1-bn+1)u(n)
根据上题的结论，σ2Z=σ2X∑+∞n=0h2(n)=σ2X∑+∞n=0a2n+2-2an+1bn+1+b2n+2(a-b)2

=σ2X(a-b)2a2∑+∞n=0(a2)n-2ab∑+∞n=0(ab)n+b2∑+∞n=0(b2)n

=σ2X(a-b)2a211-a2-2ab11-ab+b211-b2，|a|<1，|b|<1

=σ2X(a-b)2(1+ab)(a-b)2(1-a2)(1-ab)(1-b2)

=(1+ab)σ2X(1-a2)(1-ab)(1-b2)
3.22设离散系统的单位样值响应h(n)=na-nU(n)，a>1，该系统输入为自相关函数为RX(m)=σ2Xδ(m)的白噪声，试求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
解： 根据z变换的性质，anU(n)zz-a，h(n)=na-nU(n)-zddzzz-a
所以单位样值响应的z变换为H(z)=az(z-a)2，同时GX(z)=σ2X。
GY(z)=H(z)H(z-1)GX(z)=az(z-a)2az-1(z-1-a)2σ2X=a2σ2X1+a2-a(z+z-1)2
令z=ejω，所以GY(ω)=a2σ2X1+a2-2acosω2。
由于a-|m|1-a21+a2-2acosω，所以(1-a2)2(1+a2-2acosω)2a-|m|*a-|m|
所以相关函数为
RY(m)=a2σ2X(1-a2)2(a|m|*a|m|)
3.23序列Y(n)和X(n)满足差分方程Y(n)=X(n+a)-X(n-a)，其中a为常数，试用X(n)的自相关函数表示Y(n)的自相关函数。
解： RY(n1,n2)=E［Y(n1)Y(n2)］

=E{［X(n1+a)-X(n1-a)］［X(n2+a)-X(n2-a)］}

=RX(n1+a,n2+a)-RX(n1+a,n2-a)-RX(n1-a,n2+a)+

RX(n1-a,n2-a)
3.24实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程X(n)+a1X(n-1)=W(n)，其中a1为常数，W(n)为方差为σ2W的白噪声。证明： 
(1) 若W(n)均值非零，则X(n)非平稳； 
(2) 若W(n)均值为零，a1满足条件|a1|<1，则X(n)的方差为σ2W1-a21； 
(3) 若W(n)均值为零，分别求当0<a1<1和-1<a1<0时X(n)的自相关函数。
解： (1) 假定X(0)=0，由X(n)+a1X(n-1)=W(n)可得
X(n)=-a1X(n-1)+W(n)

=-a1［-a1X(n-2)+W(n-1)］+W(n)

=(-a1)n-1W(1)+…+(-a1)2W(n-2)+(-a1)W(n-1)+W(n)
设E［W(n)］=mW≠0，则随机过程X(n)的均值为
E［X(n)］=E［(-a1)n-1W(1)+…+(-a1)2W(n-2)+(-a1)W(n-1)+W(n)］

=mW［(-a1)n-1+…+(-a1)2+(-a1)+1］=mW1-(-a1)n1+a1
很显然，E［X(n)］不是一个常数，而是一个与n有关的函数，所以X(n)非平稳； 
从相关函数方面来看，也可以说明当W(n)均值非零时X(n)非平稳，

RX(n+m,n)=E［X(n+m)X(n)］

=E{［(-a1)n+m-1W(1)+…+W(n+m)］［(-a1)n-1W(1)+…+W(n)］}

=σ2W［(-a1)m+(-a1)m+2+…+(-a1)m+2(n-1)］

=σ2W(-a1)m1-a2n11-a21|a1|<1
(-1)mσ2Wn|a1|=1，易知RX(n+m,n)与时间起点n有关，所以X(n)非平稳。
(2) 当E［W(n)］=0时，易知E［X(n)］=0为常数，
而且当|a1|<1时，RX(n+m,n)=σ2W(-a1)m1-a2n11-a21，
且limn→∞RX(n+m,n)=σ2W(-a1)m1-a21=RX(m)，则当n→∞时，X(n)是渐近平稳的，
所以σ2X=RX(0)=σ2W1-a21。
(3) 由(1)结论，
当0<a1<1时，RX(n+m,n)=σ2W(-a1)m1-a2n11-a21，
当-1<a1<0时，RX(n+m,n)=σ2W(-a1)m1-a2n11-a21。
3.25假定一广义平稳随机过程由下面的差分方程描述： 
X(n)-aX(n-1)=W(n)-bW(n-1)
其中W(n)为白噪声，方差σ2W=1，对于参数a和b取下面两组值，分别画出X(n)的功率谱密度，并解释你的结果。(1)a=0.9,b=0.2; (2)a=0.2,b=0.9。
（1） MATLAB程序如下。

B=［1 -0.2］; 

A=［1 -0.9］;

Sigma=1;Ts=1;Fs=1/Ts;

［H,w］=freqz(B,A,［0:2*pi/1000:2*pi］.');

h0=impz(B,A,1001);

h=ifft(H);

W=Sigma.*randn(500,1)+0; 

X=conv(W,h);

X=X(1:500);

figure,plot(abs(X));xlabel('序号');ylabel('幅度')

%% 理论功率谱

Gx=abs(H).^2*4;%通过生成的传递函数H计算功率谱理论值

fset=［0:length(Gx)-1］*Fs/length(Gx);

figure,plot(fset,10*log10(abs(Gx)));xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)');


程序运行结果如图E3.25（a）所示。
(2) 改变参数： B=［1 -0.9］;  A=［1 -0.2］; 
程序运行结果如图E3.25（b）所示。


图E3.25


根据功率谱图可以发现图(a)与图(b)的功率谱的幅度形状相反，图(a)集中在低频段，图(b)集中在高频段，这是由于二者传输函数零极点相反造成的。
3.26假定二阶AR过程由如下差分方程描述： 
X(n)-2rcos(2πf0)X(n-1)+r2X(n-2)=W(n)
其中W(n)为白噪声，方差σ2W=1，对于参数r和f0取下面两组值，分别画出X(n)的功率谱密度，并解释你的结果。(1)r=0.7,f0=0.1； (2)r=0.95,f0=0.1。(提示： 确定H(z)极点的位置)
解： (1) MATLAB程序如下。

f0=0.1;r=0.7;

B=［1］;

A=［1 -2*r*cos(2*pi*f0) r*r］;

Sigma=1;Ts=1;Fs=1/Ts;

［H,w］=freqz(B,A,［0:2*pi/1000:2*pi］.');

h0=impz(B,A,1001);

h=ifft(H);

W=Sigma.*randn(500,1)+0; 

X=conv(W,h);

X=X(1:500);

figure,plot(abs(X));xlabel('序号');ylabel('幅度')；

Gx=abs(H).^2*4;%功率谱理论值

fset=［0:length(Gx)-1］*Fs/length(Gx);

figure,plot(fset,10*log10(abs(Gx)));xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)');


程序运行结果如图E3.26(a)所示。
(2) 改变程序中参数r=0.95，程序运行结果如图E3.26(b)所示。


图E3.26


从功率谱形状来看，由于两种情况下，功率谱都为AR模型，所以图E3.26(a)与图E3.26(b)都存在尖峰。然而，图E3.26(b)的尖峰比图E3.26(a)的尖峰更尖锐。从差分方程来看，第二种情况下极点更接近单位圆，因此图E3.26(b)的峰更尖锐。
3.27输入过程X(n)的功率谱密度为σ2X，二阶MA模型Y(n)=X(n)+a1X(n-1)+a2X(n-2)，试求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
解： 系统的传递函数为H(z)=1+a1z-1+a2z-2，输入的功率谱为GX(z)=σ2X，
所以GY(z)=H(z)H(z-1)GX(z)=(1+a1z-1+a2z-2)(1+a1z+a2z2)σ2X

=［1+a21+a22+(a1+a1a2)(z+z-1)+a2(z2+z-2)］σ2X

令z=ejω，所以GY(ω)=［1+a21+a22+2a1(1+a2)cosω+2a2cos2ω］σ2X

对GY(z)=［1+a21+a22+(a1+a1a2)(z+z-1)+a2(z2+z-2)］σ2X进行z反变换得
RY(m)=［(1+a21+a22)δ(m)+(a1+a1a2)δ(|m|-1)+a2δ(|m|-2)］σ2X
3.28平稳随机过程Xc(t)的相关函数为
RXc(τ)=e-4|τ|
若以间隔20s为周期对Xc(t)采样得到随机序列X(n)，求随机序列X(n)的功率谱密度。
解： 根据题意，采样间隔Ts=20，则
RX(m)=E{Xc［(n+m)Ts］Xc(nTs)］=RXc(mTs)=e-4|m|Ts

根据常用相关函数与功率谱密度的关系（若RX(m)=a|m|，则GX(ω)=1-a21+a2-2acosω，-π<ω<π），令a=e-4Ts，则
GX(ω)=1-e-8Ts1+e-8Ts-2e-4Tscosω-π<ω<π

3.29试证明最佳线性滤波器的传递函数为

H(ω)=cS*(ω)e－jωt0/Gw(ω）

式中，c为常数，S(ω)是输入信号的频谱，Gw(ω）是输入噪声的功率谱密度，t0为信噪比最大的时刻。最佳滤波器输出的信噪比为

dm=12π∫+∞－∞S(ω)2Gw(ω)dω


证明： 假设线性滤波器的输入波形X(t)为信号与噪声之和，即

X(t)=s(t)+w(t)

式中,s(t)是已知波形的信号，w(t)是平稳随机噪声，其数学期望为0，功率谱为Gw(ω)。
最佳线性滤波器就是要找到一个合适的线性滤波器，使得它的输出信噪比在某一个时刻t0达到最大，下面从频域着手解决这个问题。
假定线性滤波器的传输函数为H(ω)，Y(t)代表线性滤波器的输出，根据线性系统的理论，

Y(t)=s0(t)+w0(t)

式中，s0(t)和w0(t)分别是输入信号s(t)和噪声w(t)的输出。
输出信号s0(t)可以写为
s0(t)=12π∫+∞-∞H(ω)S(ω)ejωtdω
式中，S(ω)是信号s(t)的频谱，且S(ω)=∫+∞-∞s(t)e-jωtdt。
输出的噪声的平均功率为E［w20(t)］=12π∫+∞-∞|H(ω)|2Gw(ω)dω
定义在t=t0时滤波器输出端的信噪比为d0=s20(t)E［w20(t)］，将s0(t)和E［w20(t)］的表达式代入可得
d0=∫+∞-∞H(ω)S(ω)ejωt0dω22π∫+∞-∞|H(ω)|2Gw(ω)dω(E3.291)
将式(E3.291)改写成如下形式： 
∫+∞-∞H(ω)S(ω)ejωt0dω2=∫+∞-∞H(ω)Gw(ω)S(ω)Gw(ω)ejωt0dω2(E3.292)
根据施瓦茨不等式可得
∫+∞-∞H(ω)Gw(ω)S(ω)Gw(ω)ejωt0dω2≤∫+∞-∞|H(ω)|2Gw(ω)dω∫+∞-∞|S(ω)|2Gw(ω)dω(E3.293)
等号成立的条件是H(ω)Gw(ω)=cS*(ω)Gw(ω)e-jωt0，即
H(ω)=cS*(ω)Gw(ω)e-jωt0(E3.294)
将式(E3.292)和式(E3.293)代入式(E3.291)，得
d0=∫+∞-∞H(ω)S(ω)ejωt0dω22π∫+∞-∞|H(ω)|2Gw(ω)dω≤∫+∞-∞|H(ω)|2Gw(ω)dω∫+∞-∞|S(ω)|2Gw(ω)dω2π∫+∞-∞|H(ω)|2Gw(ω)dω

=12π∫+∞-∞|S(ω)|2Gw(ω)dω
所以最大的信噪比为

dm=12π∫+∞-∞|S(ω)|2Gw(ω)dω(E3.295)


3.30设线性滤波器的输入为X(t)=s(t)+w(t)，其中信号
s(t)=Aeα(t-T)t≤T

0t>T
为指数形式脉冲，α>0，w(t)为平稳白噪声。试求匹配滤波器的传输函数H(ω)，并画出电路示意图。
解： 先求信号s(t)的频谱
S(ω)=∫+∞-∞s(t)e-jωtdt=Aα-jωe-jωT


图E3.30匹配滤波器

实现电路

匹配滤波器的传输函数为
H(ω)=cS(ω)e-jωt0=cAejωTα+jωe-jωt0
取t0=T，有H(ω)=cAα+jω，相应的电路如图E3.30所示。
3.31分析单个射频脉冲信号的匹配滤波。信号s(t)是矩形包络的射频脉冲，脉冲宽度为τ，角频率为ω0，其表示式为s(t)=arect(t)cosω0t，其中，
rect(t)=10≤t≤τ

0其他
且设τ时间内有很多个射频振荡周期T0，即ω0τ=2πτT0=2πm，m1，m为整数，相加白噪声的功率谱Gw(ω)=N02。求s(t)的匹配滤波器的传递函数、输出信号的波形、输出的信噪比，并画出匹配滤波器的实现框图。
解： 先求出信号的频谱
S(ω)=∫+∞-∞s(t)e-jωtdt=a∫τ0cosω0te-jωtdt=a1-e-j(ω-ω0)τ2j(ω-ω0)+1-e-j(ω+ω0)τ2j(ω+ω0)
考虑到ω0τ=2πm，上式变为
S(ω)=a1-e-jωτ2j(ω-ω0)+1-e-jωτ2j(ω+ω0)

=asinω-ω02τω-ω0ejω0τ2+sinω+ω02τω+ω0e-jω0τ2e-jωτ2
可见S(ω)由两部分组成，都是连续频谱。由于m1，s(t)为窄带信号，因而在正频率域内第二项可以忽略，在负频率域内第一项可以忽略。取出匹配滤波器输出信噪比最大的时刻t=t0=τ，根据H(ω)=cS(ω)e-jωt0可以求出此时匹配滤波器的传递函数为
H(ω)=ca1-e-jωτ2j(ω-ω0)+1-e-jωτ2j(ω+ω0)(E3.31)

为了计算输出的最大信噪比dm，先计算输入信号的能量E： 
E=∫+∞-∞s2(t)dt=∫τ0a2cos2ω0tdt=a2τ2
所以
dm=EN0/2=a2τN0

关于输出信号的波形s0(t)，可以用输入信号s(t)与滤波器的冲激响应h(t)的卷积求出： 

s0(t)=∫+∞-∞h(λ)s(t-λ)dλ=c∫+∞-∞s(τ-λ)s(t-λ)dλ=c∫+∞-∞s(t′)s［t′-(τ-t)］dt′

=ca2∫+∞-∞G(t′)G［t′-(τ-t)］cosω0t′cosω0［t′-(τ-t)］dt′

=ca22∫+∞-∞G(t′)G［t′-(τ-t)］cosω0(τ-t)dt′
在上面的推导过程中考虑了∫+∞-∞G(t′)G［t′-(τ-t)］cos2ω0t′-τ-t2dt′≈0。
通过分段积分得
s0(t)=0t≤0
12ca2tcosω0(τ-t)0<t≤τ
12ca2(2τ-t)cosω0(τ-t)τ<t≤2τ
0t>2τ
可见，输出信号波形是一个三角形包络的射频脉冲，其宽度为2τ，射频角频率为ω0，最大峰值在t=τ处。
从式(E3.31)可以看出，当ω>0时，该式右边第一项远大于第二项，故传递函数又可以写为H(ω)=ca2j(ω-ω0)(1-e-jωτ)。可以看出此时H(ω)由两部分级联而成，第一部分ca2j(ω-ω0)可以用选择性很高的谐振放大器来实现，第二部分1-e-jωτ可以用延时单元与减法器来完成。匹配滤波器的实现框图如图E3.31所示。


图E3.31匹配滤波器的实现框图


3.32分析相参射频脉冲串信号的匹配滤波器。设信号s(t)为
s(t)=∑M-1k=0s1(t-kT)
其中，s1(t)是习题3.31所表示的单个射频脉冲信号，求s(t)的匹配滤波器的传递函数、输出信号的波形、输出的信噪比，并画出匹配滤波器的实现框图。
解： 习题3.31讨论的是单个射频脉冲信号的匹配问题，可以看出对于单个射频脉冲而言，匹配滤波器所能带来的好处不是很大，或者说通常的窄带滤波器已接近匹配滤波器的水平，后者没有更大的“潜力”可供挖掘了。本题讨论的是相参射频脉冲列信号的匹配问题，就相参射频脉冲列信号而言，匹配滤波器所能带来的好处是很大的。
为了求出此信号的匹配滤波器的传递函数H(ω)，先计算信号的频谱S(ω)。设有M个脉冲，则有
S(ω)=∫+∞-∞s(t)e-jωtdt

=∫+∞-∞s1(t)e-jωtdt+∫+∞-∞s1(t-T)e-jωtdt+…+∫+∞-∞s1［t-(M-1)T)］e-jωtdt

=［1+e-jωT+…+e-jω(M-1)T］∫+∞-∞s1(t)e-jωtdt

=S2(ω)S1(ω)
S1(ω)就是习题3.31中求出的单个射频脉冲频谱，即
S1(ω)=a1-e-jωτ2j(ω-ω0)+1-e-jωτ2j(ω+ω0)
而S2(ω)=1+e-jωT+…+e-jω(M-1)T=1-ejωMT1-ejωT=sinωMT2sinωT2e-jω(M-1)T2

所以匹配滤波器的传递函数为
H(ω)=cS*(ω)e-jωt0=cS*1(ω)S*2(ω)e-jωt0
其中，t0必须选在信号结束之后，在此取t0=(M-1)T+τ，代入H(ω)的表达式，可以把H(ω)看作由H1(ω)和H2(ω)两部分级联而成，即
H(ω)=H1(ω)H2(ω)
其中，H1(ω)=cS*1(ω)e-jωτ
H2(ω)=S*2(ω)e-jω(M-1)T=［1+ejωT+…+ejω(M-1)T］e-jω(M-1)T

=1+e-jωT+…+e-jω(M-1)T
H1(ω)就是对第一个射频脉冲相匹配的滤波器的传递函数，与习题3.31相同，当然对其他单个脉冲也是匹配的。而H2(ω)体现了对多个射频脉冲的相位进行调整，使各射频脉冲信号同相相加(或称同步积累)。所以合成的相参射频脉冲列的匹配滤波器可用图E3.321表示。


图E3.321相参脉冲串信号的匹配滤波器的实现框图


输出的最大信噪比dm=EN0/2=ME1N0，其中E是脉冲列的信号能量，E1是单个脉冲的信号能量，M是脉冲个数，即最大信噪比dm与脉冲个数M呈正比。
对于相参脉冲列信号通过匹配滤波器后的输出信号波形，可以用输入信号与滤波器的冲激响应卷积求得，下面给出了输入信号为三个射频脉冲时绘制输出信号波形的MATLAB程序。
解: MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

fs = 10e6;

ts = 1/fs;

fc=1e4;

c = 3e8;

tp = 0.5e-3;

Tr=1e-3;%脉冲周期

t = ［0:ts:3*Tr］;

y=zeros(1,length(t));

for i=1:3

tr = (i-1)*Tr;

y=y+BaseBandWave1_cos(tp,fc,t-tr);

end

figure,plot(t,real(y));

axis(［min(t)  max(t) -2 2］);

RefFastSamplingVec = 0:ts:tp-ts;

RefSignal = BaseBandWave1_cos(tp,fc,RefFastSamplingVec);普勒失配的补偿

Z1 = xcorr(y,RefSignal);

z1=Z1(length(RefSignal)*5+1:1:length(RefSignal)*11);

y=zeros(1,5*(Tr/ts));

y1=［z1,zeros(1,2*(Tr/ts))］;

y2=［zeros(1,(Tr/ts)),z1,zeros(1,(Tr/ts))］;

y3=［zeros(1,2*(Tr/ts)),z1］;

y=y1+y2+y3;

tscl1= ［0:1:length(y)-1］*ts;

figure,plot(tscl1,(abs(y1)));

figure,plot(tscl1,(abs(y2)));

figure,plot(tscl1,(abs(y3)));

figure,plot(tscl1,(abs(y)));


程序运行结果如图E3.322~图E3.326所示。



图E3.322信号s(t)波形(假设发射三个

射频脉冲信号)




图E3.323子脉冲匹配滤波输出结果






图E3.324子匹配滤波后经过一个延时单元结果





图E3.325子脉冲匹配滤波后经过两个延时

单元结果



图E3.326加法器输出结果

3.33设图E3.3所示的RC低通滤波器的输入信号为X(t)=s(t)+w(t)，其中，w(t)的功率谱密度为Gw(ω)=N0/2，-∞<ω<+∞，s(t)为矩形脉冲，
s(t)=A0≤t≤τ

0其他
若定义RC低通滤波器的等效噪声频带Δfe=14RC，试求
（1） RC低通滤波器输出信噪比的表达式；
（2） 最佳等效噪声频带Δfe,opt与τ为什么关系时，RC低通滤波器输出端有最大信噪比？
解： H(ω)=1/jωC1/jωC+R=11+jωRC=αα+jω，α=1RC
|H(ω)|2=α2α2+ω2， |H(0)|2=1
（1） 设t0时刻输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为SNR，用d0表示。
d0=12π∫+∞-∞S(ω)H(ω)ejωt0dω2∫+∞-∞Gw(ω)|H(ω)|2dω
=12π∫+∞-∞S(ω)H(ω)ejωt0dω2N022πΔfe|H(0)|2

=1N0Δfe∫+∞-∞S(ω)H(ω)ejωt0dω2
（2） S(ω)=Ajω(1-e-jωτ)
d0=1N0Δfe∫+∞-∞S(ω)H(ω)ejωt0dω2

=AN0Δfe∫+∞-∞1jω(1-e-jωτ)αα+jωejωt0dω2
取t0=τ，则
d0=AN0Δfe∫+∞-∞1jω(ejωτ-1)αα+jωdω2≤AN0Δfe∫+∞-∞2ω2(1-cosωτ)α2α2+ω2dω

=AN0∫+∞-∞1ω2(1-cosωτ)32Δfe16Δf2e+ω2dω
令上式的左边为dm，则
dm=AN0∫+∞-∞1ω2(1-cosωτ)32Δfe16Δf2e+ω2dω
显然这是Δfe的函数，令dm对Δfe的导数等于零可求出最佳的Δfe。
3.34设线性滤波器的输入为X(t)=s(t)+w(t)，其中 
s(t)=A0≤t≤τ

0其他
w(t)是平稳噪声，其功率谱为
Gw(ω)=2αω2α2+ω2，-∞<ω<+∞
试求输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数。
解： S(ω)=A1jω+πδ(ω)(1-e-jωτ)=Ajω(1-e-jωτ)，则
H(ω)=cS*(ω)/Gw(ω)e-jωt0=cA-jω(1-ejωτ)α2+ω22αω2e-jωt0
取t0=τ，得
H(ω)=cAjω(1-ejωτ)α2+ω22αω2
3.35设信号s(t)=1-cosω0t，0≤t≤2π/ω0，若噪声的物理谱Fw(ω)=N0，0<ω<+∞，试设计匹配滤波器： 
(1) 求传输函数和冲激响应； 
(2) 求输出波形； 
(3) 画出匹配滤波器的结构方框图。
解： (1) h(t)=cs(t0-t)，取t0=2πω0
h(t)=c1-cosω02πω0-t=c(1-cosω0t)

H(ω)=c∫2π/ω00(1-cosω0t)e-jωtdt

=c-jωe-jωt2π/ω00-c2∫2π/ω00(ejω0t+e-jω0t)e-jωtdt

=cjω(1-e-j2πω/ω0)-c2∫2π/ω00(ej(ω0-ω)t+e-j(ω0+ω)t)dt

=cjω(1-e-j2πω/ω0)-c2j(ω0-ω)ej(ω0-ω)t2π/ω00-c2j(ω0+ω)ej(ω0+ω)t2π/ω00

=cjω(1-e-j2πω/ω0)+c2j(ω0-ω)(1-ej(ω0-ω)2π/ω0)+c2j(ω0+ω)(1-ej(ω0+ω)2π/ω0)

=cjω(1-e-j2πω/ω0)+c2j(ω0-ω)(1-e-j2πω/ω0)+c2j(ω0+ω)(1-ej2πω/ω0)
当ω>0时，上式的第三项要远大于第二项，因此，第三项可以忽略不计，那么
H(ω)≈cjω(1-e-j2πω/ω0)+c2j(ω0-ω)(1-e-j2πω/ω0)

=cjω+c2j(ω0-ω)(1-e-j2πω/ω0)
(2) 输出信号
s0(t)=s(t)*h(t)=cs(t)*s(t)

=c∫t0(1-cosω0u)(1-cosω0(t-u))du0≤t≤2πω0

c∫2πω0t-2πω0(1-cosω0u)(1-cosω0(t-u))du2πω0<t≤4πω0

0其他

=c122ω0t-3sin(ω0t)+ω0tcos(ω0t)ω00≤t≤2πω0

-c128π-3sin(ω0t)-4πcos(ω0t)+2ω0t+ω0tcos(ω0t)ω02πω0<t≤4πω0
0其他
(3) 由于
H(ω)≈cjω(1-e-j2πω/ω0)+c2j(ω0-ω)(1-e-j2πω/ω0)=cjω+c2j(ω0-ω)(1-e-j2πω/ω0)cjω可用积分电路实现，c2j(ω0-ω)可用选择性很高的谐振放大器来实现，而1-e-j2πω/ω0可用延时单元和减法器来实现。因此，匹配滤波器的结构如图E3.35所示。


图E3.35匹配滤波器的结构图


计算机作业
3.36模拟产生一个功率谱为GX(ω)=1/(1.25+cosω)的正态随机序列，画出随机序列的波形。
解： 满足上述功率谱密度要求的正态随机序列可以看成方差为1的正态白噪声，通过差分方程为X(n)=-0.5X(n-1)+W(n)的离散线性系统后的输出，此系统属于一阶AR模型。正态序列样本如图E3.36所示。
MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

B=［1］; 

A=［1 0.5］;

sigma=1;

W=sigma.*randn(500,1)+0; 

X=filter(B,A,W);




图E3.36正态随机序列波形


3.37图E3.371是用MATLAB的Simulink模拟白噪声通过例3.3的RC电路，其中输入为高斯白噪声，a=1RC，用示波器观察输入和输出的波形，改变RC的值，使电路时常数改变，观察输出波形的变化。


图E3.371白噪声通过RC电路MATLAB的Simulink 仿真模块


解: 当a=1时，示波器观察输出波形变化如图E3.372所示，当a=0.1时，示波器观察输出波形变化如图E3.373所示。



图E3.372输出噪声波形(a=1)





图E3.373输出噪声波形(a=0.1)


由实验结果可知，a越大，输出噪声波形变化越快，输出过程的相关时间越小； a越小，输出噪声波形变化越缓慢，输出过程的相关时间越大。
研讨题
3.38在雷达信号处理中，杂波的对消非常重要，用杂波衰减因子来描述杂波对消的效果，它的定义为CA=Ci/Co，其中Ci表示杂波对消器的输入杂波功率，Co表示杂波对消器的输出杂波功率。图E2.33描述的就是一种最简单的二脉冲杂波对消器，假定进入二脉冲对消器的杂波功率谱密度为GX(f)=Pc2πσcexp-f22σ2c，Pc为输入杂波的功率，求二脉冲对消器的杂波衰减因子。(提示： 对正弦函数可以采用近似计算，对于小的x，sinx≈x，在实际中通常有fT1)
解： 二脉冲对消器的功率传递函数为|H(f)|2=2(1-cos2πfT)=4(sin(πfT))2
输出的杂波功率为
Co=∫+∞-∞Pc2πσcexp-f22σ2c4(sin(πfT))2df

=∫+∞-∞Pc2πσcexp-f22σ2c4(πfT)2df

=(2πT)2Pc∫+∞-∞f212πσcexp-f22σ2cdf

=(2πT)2σ2cPc=(2πT)2σ2cCi

CA=CiCo=1(2πT)2σ2c
3.39设有图E3.33所示RC低通滤波器，输入X(t)=s(t)+w(t)，s(t)=acos(ω0t+Φ)，其中a,ω0是已知常数，Φ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量，w(t)是功率谱密度为N0/2的白噪声，且与s(t)统计独立。
(1) 求输出Y(t)的自相关函数； 
(2) 如果定义输出的信噪比(SNR)为输出信号的平均功率与输出噪声的平均功率之比，求输出信噪比SNR的表达式； 
(3) RC应该如何选择可使输出信噪比达到最大？
解： (1) GX(ω)=a22π［δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)］+N02
GY(ω)=GX(ω)|H(ω)|2

=a22π［δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)］+N02α2α2+ω2

=a2π2α2α2+ω20［δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)］+N02α2α2+ω2

RY(τ)=a22α2α2+ω20cosω0τ+αN04e-α|τ|=Rs(τ)+Rw(τ)
(2) 输出信号的平均功率为Rs(0)=a22α2α2+ω20，输出噪声的平均功率为Rw(0)=αN04,
SNR=Rs(0)/Rw(0)=a22α2α2+ω20αN04=2a2αN0(α2+ω20)
(3) 令dSNRdα=0，则α=ω0，即1RC=ω0时输出SNR最大。
3.40在3.7.1节中介绍了频域法模拟有色高斯随机过程的方法。假定要产生一段5ms的零均值高斯随机过程的样本，其功率谱密度要求为
GX(f)=11+(f/Δf)4
式中，Δf=1kHz是功率谱的3dB带宽，严格地说，该过程的带宽是无限的，但当频率足够高时，功率谱密度已经很小，取B=6Δf。编写模拟有色高斯过程的MATLAB程序，并画出模拟产生的高斯随机过程的一个样本函数。
解： MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

I=sqrt(-1);%参数设置

Td=5e-3;fo=1/Td;f3=1e3;dt=1e-5;

M=floor(6*f3*Td);m=［-M:M］;

x=［0:0.01:10］;

psd=1./(1+x.^4);

power=2*f3*sum(psd)*0.01;

s=1./(1+((m*fo)/f3).^4);

beta=power/sum(s);

s=beta*s;%构造离散功率谱

f=［-8:0.01:8］*f3;

psd=1./(1+(f/f3).^4); %构造连续功率谱

figure,stem(m*fo,s/fo); hold on

plot(f,psd,'g'); hold off

axis(［-8*f3 8*f3 0 1.2］)

xlabel('频率/Hz'); ylabel('PSD');

z0=randn(1);z0=z0*sqrt(s(M+1));

zplus=sqrt(s(M+2:2*M+1)/2).*(randn(1,M)+I*randn(1,M));

zminus=conj(fliplr(zplus));

z=［zminus z0 zplus］;%产生频域样本

t=［0:dt:Td］;

rp=zeros(1,length(t));

for m=-M:M

rp=rp+z(m+M+1)*exp(I*2*pi*m*fo*t);%产生时域随机过程

end    

figure,plot(t*1000,real(rp));

xlabel('时间/ms');

ylabel('样本波形')


程序运行结果如图E3.401、图E3.402所示。



图E3.401功率谱离散采样





图E3.402随机过程波形


3.41在3.7.2节中介绍了时域滤波法模拟有色高斯随机过程的方法，请根据3.7.2节介绍的时域滤波法，按照双线性变换法设计相应的数字滤波器，编写模拟有色高斯过程的MATLAB程序，并画出模拟产生的高斯随机过程的一个样本函数。
解： MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

I=sqrt(-1);

imp_len=150;

sim_len=150;

f3=1000;

fs=30000;

g=fs/(pi*f3);

b0=1;b1=2;b2=1;b=［b0 b1 b2］;

a0=1+sqrt(2)*g+g^2;a1=2-2*g^2;

a2=1-sqrt(2)*g+g^2;a=［a0 a1 a2］;

x=zeros(1,imp_len);x(1)=1;

y=filter(b,a,x);

scale=［1:length(y)］/fs;

figure,plot(scale*1000,y);

xlabel('时间/ms');

ylabel('离散冲激响应')

x=randn(1,sim_len);

y=filter(b,a,x);

scale=［1:length(y)］/fs;

figure,plot(scale*1000,y);

xlabel('时间/ms');

ylabel('样本波形')


程序运行结果如图E3.411、图E3.412所示。



图E3.411冲激响应波形





图E3.412模拟随机过程的样本函数


3.42设有图E3.421所示系统。



图E3.421匹配滤波器在二元PAM信号传输中的应用


假定信号为脉冲幅度调制(PAM)信号，s(t)=∑M-1k=0Akp(t-kts)，Ak等概率取+1和-1两个值，ts=1，信号在信道中传输会受到加性高斯白噪声的污染，在接收端每一个脉冲要判断发射的是“1”还是“0”。
(1) 画出信号、信号加噪声的波形； 
(2) 对匹配滤波器输出信号，每隔tss进行取样(在每个脉冲结尾时刻取样)，取样值与一个门限值进行比较，超过门限判“1”，低于门限判“0”，画出匹配滤波器输出的波形，并标出取样值。
(3) 产生10000个二进制数字(随机产生)，统计输出端检测的误码率。
解： (1) MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

ts=1;%抽样间隔

fs=1/ts;

s2=［1   1   0   1   1   0   0   1   1   1  ］;%s2为消息序列

s3=［］;

M=10; 

for i=1:M

if s2(i)==1

s3=［s3 ones(1,10)］;

else 

s3=［s3 ones(1,10)*(-1)］;

end

end

figure,plot(s3);xlabel('n倍脉冲周期');

noise=wgn(1,length(s3),10*log10(1)); 

s=s3+noise;

figure,plot(s);xlabel('n倍脉冲周期');

程序运行结果如图E3.422、图E3.423所示。



图E3.422信号波形





图E3.423信号加噪声波形


(2) MATLAB程序如下。

refsignal=ones(1,10);

MF_s_n=conv(refsignal,s);

MF_s_n=MF_s_n(1:M*10);

figure,plot((MF_s_n));

xlabel('n倍脉冲周期');

程序运行结果如图E3.424所示。


图E3.424匹配滤波器输出的波形


此处，选取0作为门限，超过门限判“1”，低于门限判“0”。从判决结果来看，该信噪比条件下存在误判的情况，因此有必要对误码率进行分析。
(3) 一次Monte Carlo仿真实验的误码率程序如下。

counter=0;flag=0;

for i=1:M

if MF_s_n(i*10)>0

flag=1;

else flag=0;

end

if flag==s2(i)

counter=counter+1;

else continue;

end

end

err_rate=counter/M;

误码率随信噪比变化的关系如表E3.42所示。



表E3.42误码率与信噪比关系



信噪比/dB-5-10-15-20-25-30

误码率/%0.96220.8290.7130.62160.57080.5396

实验
实验3.1典型时间序列模型分析
通过本实验熟悉几种常用的时间序列，实验内容如下。

1. 设有AR(1)模型，
X(n)=-0.8X(n-1)+W(n)

W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。
(1) 用MATLAB模拟产生X(n)的500个观测点的样本函数，并绘出波形； 
(2) 用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差； 
(3) 画出X(n)的理论的自相关函数和功率谱； 
(4) 估计X(n)的自相关函数和功率谱。
解： (1) MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

B=［1］; 

A=［1 0.8］;

Sigma=2;Ts=1;Fs=1/Ts;

［H,w］=freqz(B,A,［0:2*pi/1000:2*pi］.');

h0=impz(B,A,1001);

h=ifft(H);

W=Sigma.*randn(500,1)+0; 

X=conv(W,h);

X=X(1:500);

figure,plot(abs(X));xlabel('序号');ylabel('幅度')

程序运行结果如图实3.11所示。


图实3.11X(n)的样本函数


(2) 样本均值为0.0216，方差为11.87。
(3) MATLAB程序如下。

Gx=abs(H).^2*4; 

fset=［0:length(Gx)-1］*Fs/length(Gx);

figure,plot(fset,10*log10(abs(Gx)));xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)');

Rx=fftshift(ifft(Gx));

figure,plot(abs(Rx));xlabel('序号');ylabel('幅度');axis(［0 1000 0 12］)；

程序运行结果如图实3.12、图实3.13所示。



图实3.12X(n)的理论的自相关函数





图实3.13X(n)的理论的功率谱密度


(4) MATLAB程序如下。

Rx1=xcorr(X);

figure,plot(abs(Rx1));xlabel('序号');ylabel('幅度')

nfft=1024;

%周期图法(加窗)

window=hann(length(X));

［Pxx2,fset2］=periodogram(X,window,nfft,Fs);

figure,plot(fset2,Pxx2);xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)')

程序运行结果如图实3.14、图实3.15所示。



图实3.14X(n)自相关函数





图实3.15X(n)的功率谱密度


2. 设有AR(2)模型，
X(n)=-0.3X(n-1)-0.5X(n-2)+W(n)

W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。

(1) 用MATLAB模拟产生X(n)的500个观测点的样本函数，并绘出波形； 
(2) 用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差； 
(3) 画出X(n)的理论的自相关函数和功率谱； 
(4) 估计X(n)的自相关函数和功率谱。
解： (1) MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

B=［1］; 

A=［1 0.3 0.5］;

Sigma=2;Ts=1;Fs=1/Ts;

［H,w］=freqz(B,A,［0:2*pi/1000:2*pi］.');

h0=impz(B,A,1001);

h=ifft(H);

W=Sigma.*randn(500,1)+0; 

X=conv(W,h);

X=X(1:500);

figure,plot(abs(X));xlabel('序号');ylabel('幅度')

程序运行结果如图实3.16所示。


图实3.16X(n)的样本函数



(2) 样本均值为0.0373，方差为6.12。
(3) MATLAB程序如下。

Gx=abs(H).^2*4; 

fset=［0:length(Gx)-1］*Fs/length(Gx);

figure,plot(fset,10*log10(abs(Gx)));xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)');

Rx=fftshift(ifft(Gx));

figure,plot(abs(Rx));xlabel('序号');ylabel('幅度');axis(［0 1000 0 5］)

程序运行结果如图实3.17、图实3.18所示。



图实3.17X(n)的理论的自相关函数





图实3.18X(n)的理论功率谱密度


(4) MATLAB程序如下。

Rx1=xcorr(X);

figure,plot(abs(Rx1));xlabel('序号');ylabel('幅度')

nfft=1024;

window=hann(length(X));

［Pxx2,fset2］=periodogram(X,window,nfft,Fs);

figure,plot(fset2,Pxx2);xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)')

程序运行结果如图实3.19、图实3.110所示。



图实3.19X(n)的自相关函数





图实3.110X(n)的功率谱密度


3. 设有ARMA(2,2)模型，
X(n)+0.3X(n-1)-0.2X(n-2)=W(n)+0.5W(n-1)-0.2W(n-2)

W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。
(1) 用MATLAB模拟产生X(n)的500个观测点的样本函数，并绘出波形； 

(2) 用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差； 
(3) 画出X(n)的理论的自相关函数和功率谱； 
(4) 估计X(n)的自相关函数和功率谱。
解： (1) MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

B=［1 0.5 -0.2］; 

A=［1 0.3 -0.2］;

Sigma=2;Ts=1;Fs=1/Ts;

［H,w］=freqz(B,A,［0:2*pi/1000:2*pi］.');

h0=impz(B,A,1001);

h=ifft(H);

W=Sigma.*randn(500,1)+0; 

X=conv(W,h);

X=X(1:500);

figure,plot(abs(X));xlabel('序号');ylabel('幅度')

程序运行结果如图实3.111所示。


图实3.111X(n)的样本函数


(2) 样本均值为0.613，方差为3.93。
(3) MATLAB程序如下。

Gx=abs(H).^2*4; 

fset=［0:length(Gx)-1］*Fs/length(Gx);

figure,plot(fset,10*log10(abs(Gx)));xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)');

Rx=fftshift(ifft(Gx));

figure,plot(abs(Rx));xlabel('序号');ylabel('幅度');axis(［0 1000 0 5］)

程序运行结果如图实3.112、图实3.113所示。



图实3.112X(n)的理论的自相关函数





图实3.113X(n)的理论的功率谱密度


(4) MATLAB程序如下。

Rx1=xcorr(X);

figure,plot(abs(Rx1));xlabel('序号');ylabel('幅度');

nfft=1024;

window=hann(length(X));

［Pxx2,fset2］=periodogram(X,window,nfft,Fs);

figure,plot(fset2,Pxx2);xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度(dB)');

程序运行结果如图实3.114和图实3.115所示。



图实3.114X(n)的自相关函数





图实3.115X(n)的功率谱密度


实验3.2随机过程通过线性系统分析
3.6.2节介绍了随机过程的正态化问题，任意分布的白噪声通过线性系统后，输出服从正态分布； 宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布，本实验的目的是要验证以上结论。
实验内容如下： 
假定滤波器为图3.7给出的RC电路(低通滤波器)。
(1) 将低通滤波器转化成数字低通滤波器； 
(2) 产生一组均匀分布的白噪声序列，让这组白噪声序列通过数字低通滤波器，画出输出序列的直方图，并与输出的理论分布进行比较； 
(3) 产生一组拉普拉斯分布的白噪声序列，让这组白噪声序列通过数字低通滤波器，画出输出序列的直方图，并与输出的理论分布进行比较； 
(4) 改变滤波器的参数(电路RC值)，重做(1)~(3)，并与前一次的结果进行比较。
解： (1) MATLAB程序如下。

clc,clear,close all

N=50000;        

u=rand(1,N);      

figure,plot(u(1:1000));  

xlabel('序号'),ylabel('幅度');

%% LP filter设计

Fs=1000; % 采样频率1000Hz  

N=0; % 阶数  

Fp=50; % 通带截止频率50Hz  

Fc=100; % 阻带截止频率100Hz  

Rp=1; % 通带波纹最大衰减为1dB  

Rs=60; % 阻带衰减为60dB  

% 计算最小滤波器阶数  

na=sqrt(10^(0.1*Rp)-1);  

ea=sqrt(10^(0.1*Rs)-1);  

N=ceil(log10(ea/na)/log10(Fc/Fp));  

%  巴特沃斯滤波器  

Wn=Fp*2/Fs;  len = 1024; 

N=ceil(log10(ea/na)/log10(Fc/Fp));  

［Bb Ba］=butter(N,Wn,'low'); % 调用MATLAB butter函数快速设计滤波器  

［BH,BW］=freqz(Bb,Ba); % 绘制频率响应曲线  

Bf=filter(Bb,Ba,u); % 进行低通滤波  

%% 输入输出直方图对比

figure,subplot(211);hist(u,50);   

title('均匀分布白噪声直方图');

subplot(212);hist(Bf,50); 

title('低通滤波器输出直方图');

程序运行结果如图实3.21、图实3.22所示。


图实3.21均匀分布白噪声样本函数





图实3.22均匀分布白噪声通过低通滤波器前后输入输出直方图对比


(2) MATLAB程序如下。

%% 产生拉普拉斯分布白噪声序列

N=50000; 

mu=0;

sigma=1;

b=sigma/sqrt(2);

a=rand(1,N)-0.5;

u=mu-b*sign(a).*log(1-2*abs(a)); %生成符合拉普拉斯分布的随机数列

figure,plot(u(1:1000));

xlabel('序号'),ylabel('幅度');

%% LP filter设计

Fs=1000; % 采样频率1000Hz  

N=0; % 阶数  

Fp=50; % 通带截止频率50Hz  

Fc=100; % 阻带截止频率100Hz  

Rp=1; % 通带波纹最大衰减为1dB  

Rs=60; % 阻带衰减为60dB  

% 计算最小滤波器阶数  

na=sqrt(10^(0.1*Rp)-1);  

ea=sqrt(10^(0.1*Rs)-1);  

N=ceil(log10(ea/na)/log10(Fc/Fp));  

%  巴特沃斯滤波器  

Wn=Fp*2/Fs;  len = 1024; 

N=ceil(log10(ea/na)/log10(Fc/Fp));  

［Bb Ba］=butter(N,Wn,'low'); % 调用MATLAB butter函数快速设计滤波器  

［BH,BW］=freqz(Bb,Ba); % 绘制频率响应曲线  

Bf=filter(Bb,Ba,u); % 进行低通滤波  

%% 输入输出直方图对比

figure,subplot(211);hist(u,50);    

title('Laplace分布白噪声直方图');

subplot(212);hist(Bf,50); 

title('低通滤波器输出直方图');

程序运行结果如图实3.23、图实3.24所示。


图实3.23拉普拉斯分布白噪声序列分布函数





图实3.24拉普拉斯分布白噪声通过低通滤波器前后输入输出直方图对比


通过上述两例发现，不论白噪声服从何种分布，经过低通滤波器之后都将服从正态分布。