第3章集合

集合不仅可用来表示数及其运算，更可用于非数值信息的表示和处理。因此，在程序语言、数据结构、数据库、算法设计和人工智能等领域都得到了广泛的应用。本章介绍集合的基本知识和应用。

3.1集合的基本概念

3.1.1集合与元素的基本概念
什么是集合和集合的元素？
德国数学家康托极其直观地将其定义为： 把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。但就是这个直观的描述所产生的理论，在当时几乎导致了整个数学体系的崩溃，当时康托提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数，这种崩溃源于对无穷量的认识，许多数学家对康托的集合论观点产生激烈的质疑，直到20世纪初，许多数学成果都建立在集合论的基础之上，集合论才被数学界认可。
1908年，策梅洛提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了一个集合是否属于自己的悖论的出现，这被称为公理化集合论。与此对应，1908年以前由康托创立的集合论称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理，它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论。从康托提出集合论至今，集合论的每一步发展都是与康托的开拓性工作分不开的。
集合是一个不能精确定义的基本概念。
定义3.1一般把一些确定的、彼此不同的或具有共同性质的事物汇集成的一个整体，称为一个集合，组成集合的那些事物就称为集合的元素。
例如，清华大学的学生是一个集合，每名学生就是这个集合的一个元素； 全体实数也是一个集合，每个实数就是这个集合的一个元素； 26个英文字母也是一个集合，每个英文字母就是这个集合的一个元素； 等等。
一般用大写英文字母表示集合，用小写英文字母表示元素。
例如，以符号A表示一个集合，a表示一个元素。如果a是A的元素，则称a属于A，记为a∈A，也称a是A的元素或A包含a，如果a不是A的元素，则称a不属于A，记为aA。
集合分为有穷集和无穷集。
定义3.2空集和只含有有限多个元素的集合称为有穷集，否则称为无穷集。
 集合的表示方法常用下面两种。
（1） 枚举法又称列举法，将集合中的元素一一列出来，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，元素之间用逗号“，”隔开，并用花括号“{ }”在两边括起来，表示这些元素构成整体。




枚举法： 列出集合的所有元素或部分元素，可用于有穷集和有一定规律的无穷集。如
A={a，b，…，z}，B={1，4，9，16，25，36，…}，C={a，{c}，{c，d}} 集合中的元素还可以是集合。
（2） 谓词法又叫构造法，如果P(x)是表示元素x具有某种性质P的谓词，则所有具有性质P的元素构成一个集合。
谓词法： 用谓词来描述集合中元素的性质。
如集合B={x|x∈R∧(x+5=0)}，这是描述法表示，则谓词描述法为

B={x|F(x)∧G(x)}

其中，设 F(x): x∈R，G(x): x+5=0。 
集合的性质： 
（1） 集合的元素是彼此不同的，相同的元素应该认为是同一个元素。如{1，3，5}={5，3，3，1}。
（2） 集合的元素是无序的。如{1，3，5}={5，3，1}。
注： 元素与集合的关系是属于∈和不属于。
本书规定： 对任何集合A，都有AA。
例3.1令A={a,{b,c},d,{{d}}}，则

{b,c}∈AbA{{d}}∈A{d}Ad∈A
3.1.2集合与集合间的关系
定义3.3设A,B是任意的两个集合，若A的每一个元素都是B的元素，则称A为B的子集，也称B包含A，或称A包含于B，或称A被B包含。记为AB。
例如A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3}，则有AB,C B。
如果A不被B包含，则记为A/B。
注： 
（1） 子集符号化为ABx(x∈A→x∈B); 
（2） 对任何集合A，都有AA。
定义3.4设A,B是任意的两个集合，若 AB且BA，则称集合A与B相等，记为A=B。
定理3.1A=BAB∧BA。
证明
充分性，即证： A=BAB∧BA。

A=B(x(x∈A→x∈B))∧(x(x∈B→x∈A))AB∧BA
必要性，即证：  AB∧BAA=B。
反证法： 假设 A≠B(x(x∈A∧xB))AB 或

A≠B(x(x∈B∧xA))BA
与已知条件矛盾，所以AB∧BAA=B。
因此，定理成立。
今后证明两个集合相等，主要利用这个互为子集的判定条件，证明必要性时所使用的反证法也是常使用的方法。
定义3.5设A,B是任意的两个集合，若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记为AB。
如果A不是B的真子集，则记为AB。
例如A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3}，则有AB,CB,BB。
注：真子集符号化为AB(AB)∧(A≠B)。
例3.2判断下列集合A,B是否相等。
（1） A={1,2,3}，B={2,3,1}（2） A={1,2,3}，B={2,3,3,1}（3） A={{1,2},3}，B={2,3,1}
解
（1） 相等（2） 相等 （3） 不相等
定义3.6不含任何元素的集合称为空集，记为。
例如集合{xx2+1=0∩x∈R}就是空集。
注： 空集符号化为 ={x|x≠x}。
定理3.2空集是任意集合的子集。
证明

Ax(x∈→x∈A)T

因右边的条件式中前件为假，所以整个条件式是真。
推论空集是唯一的。
证明
假设存在空集1和2，则12且21，因此1=2。
根据子集和空集的定义，可知，对于每一个非空集合A，至少有两个不同的子集，分别是和A。
例3.3判断下列命题是否为真。
(1） (2） ∈(3） (4） ∈
解
（1） 真（2） 假 （3） 真 （4） 真
定义3.7在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记为E。
设全集E={a,b,c}，则它的所有子集为，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}。
定义3.8给定集合A，由A的所有子集为元素组成的集合称为集合A的幂集。记为P(A)。
注： 幂集符号化为P(A)={B|BA}。
例3.4设A={a,b,c}，求P(A)。
解
P(A)={，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}}。
定理3.3设A为有穷集，A含有n个元素，则A的幂集P(A)所含元素的个数为2n。
证明集合A的m(m=0,1,2,…,n)个元素组成的子集个数为从n个元素中取m个元素的组合数，即Cmn，故P(A)的元素个数为P(A)=C0n+C1n+…+Cnn。 
根据二项式定理(x+y)n=∑nm=0Cmnxxyn－m，令x=y=1，得2n=∑nm=0Cmn，
故P(A)=2n。
例3.5求下列集合的幂集。
（1） P() （2） P({})（3） P({,{}})（4） P({1,{2,3}})
（5） P({{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}})
解
（1） P()={}
（2） P({})={,{}}
（3） P({,{}})={,{},{{}},{,{}}}
（4） P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}
（5） P({{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}})=P({{1,2}})={,{{1,2}}}
例3.6判断下列命题的真假。
（1） {x}{x}（2） {x}∈{x}（3） {x}∈{x,{x}}（4） {x}{x,{x}}
（5） {x}{x}∪x（6） 若x∈A,A∈P(B),则x∈P(B)
（7） 若xA,AP(B),则xP(B)
解
（1） 真（2） 假（3） 真（4） 真 （5） 真 （6） 假 （7） 真

3.2集合的运算

集合之间的关系和初级运算可以用文氏图进行形象的描述。文氏图的表示方法是首先画一个矩形表示全集E，在矩形内画一些圆或其他的几何图形来表示集合，不同的圆代表不同的集合。


图3.1集合A的文氏图

如集合A={a,b,c}，用文氏图表示如图3.1所示。


集合的运算，就是以给定集合为对象，按照确定的规则得到另外一些新集合的过程。集合的基本运算有并（∪）、交（∩）、相对补（－）、绝对补（～）和对称差（）等运算。
定义3.9设A，B为任意两集合，由集合A的所有元素或集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B。
A与B的并集符号化为A∪B ={x|x∈A∨x∈B}。
例3.7设A={a,b,c,d}，B={c,d,e,f}，则A∪B={a,b,c,d,e,f}。
注： 集合是由互不相同的元素组成的，在A∪B中c,d只能写一次，不能重写。
定义3.10设A，B为任意两集合，由集合A和集合B公共元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B。
A与B的交集符号化为A∩B={x|x∈A∧x∈B}。
例3.8设A={a,b,c,d}，B={c,d,e,f}，则A∩B={c,d}。
并集和交集的文氏图如图3.2和图3.3所示。
并集和交集的推广： 设A1,A2,…,An是有限多个集合，则

∪ni=1Ai=A1∪A2∪…∪An={xx∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}
∩ni=1Ai=A1∩A2∩…∩An={xx∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}




图3.2A∪B的文氏图



图3.3A∩B的文氏图


定义3.11设A，B为任意两集合，由属于集合A但不属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的差集（又称B对于A的补集或相对补集），记作A-B。
A与B的差集符号化为A－B={x|x∈A∧xB}。
例3.9设A={a,b,c,d}，B={c,d,e,f}，则A-B={a,b}。
定义3.12设E为全集，A为任意一集合，则全集E与A的差集，称为集合A的补集（又称绝对补集），记作～A。
A的补集符号化为～A=E－A={x|x∈E∧xA}。
特别地，～E=，～=E。 
例3.10设E={a,b,c,d,e,f}，A={c,d,e}，则～A={a,b,f}。
差集和补集的文氏图如图3.4和图3.5所示。


图3.4A-B的文氏图



图3.5～A的文氏图

定义3.13设A，B为任意两集合，由属于集合A而不属于集合B或者属于集合B而不属于集合A的元素构成的集合，称为集合A与B的对称差，记作AB。
A与B的对称差符号化为

AB=(A－B)∪(B－A)={x|(x∈A∧xB)∨(x∈B∧xA)}
等价定义： AB=(A－B)∪(B－A)=(A∪B)－(A∩B)。
例3.11设A={a,b,c,d}，B={c,d,e,f}，则AB={a,b,e,f}。


图3.6AB的文氏图

对称差的文氏图如图3.6所示。


例3.12设任意集合A，给定全集E，求AA、EA、A、A～A。
解
AA=； EA=～A；  A=A；  A～A=E。
例3.13分别对条件（1）~（5），确定集合X与下述哪些集合相等。
S1={1,2,…,8,9}，S2={2,4,6,8}，S3={1,3,5,7,9}，S4={3,4,5}，
S5={3,5}
（1） 若X∩S3=，则X=？
（2） 若XS4,X∩S2=，则X=?
（3） 若XS1,XS3，则X=？
（4） 若X-S3=，则X=？
（5） 若XS3,XS1，则X=？
解
（1） X=S2；  （2） X=S5； （3） X=S1,S2,S4； （4）  X=S3,S5； 
（5） X与 S1,S2,…,S5都不等。
以上定义了集合之间的基本运算及其文氏图表示。
根据以上对集合基本运算的定义，可以得到集合论中的关于集合运算的基本定律。
设A,B,C是集合，则下列运算定律成立。
（1） 幂等律： A∪A=A,A∩A=A。
（2） 结合律： (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
（3） 交换律： A∪B=B∪A,A∩B=B∩A。
（4） 分配律： (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)。
（5） 同一律： A∪=A,A∩E=A。
（6） 零律： A∪E=E,A∩=。
（7） 排中律： A∪～A=E。
（8） 矛盾律： A∩～A=。
（9） 吸收律： A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A。
（10）  德·摩根律： A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C),A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)，

～(B∪C)=～B∩～C,～(B∩C)=～B∪～C，

～=E,～E=。
 （11） 双重否定律： ～(～A)=A。
我们选证其中的一部分，在这些证明中大量用到命题逻辑的等价式。在集合之间关系的证明中，主要涉及两种类型的证明，一种是证明一个集合为另一个集合的子集，另一种是证明两个集合相等。
证明一个集合为另一个集合的子集的基本思想是： 设A、B为两个集合公式，欲证公式AB，即证对于任意的x有(x∈A)(x∈B)成立。
证明两个集合相等的基本思想是： 设A、B为两个集合公式，欲证公式A=B，按照集合相等的定义即证AB∧BA为真，也就是证明对于任意的x有(x∈A)(x∈B)和(x∈B)(x∈A)成立。对于某些恒等式可将这两个方向的推理合到一起，就是(x∈A)(x∈B)。
例3.14证明 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)。
证明对任意的x,

x∈A-(B∪C)x∈A∧x(B∪C)
 x∈A∧�瘙
綈(x∈ (B∪C))
 x∈A∧�瘙
綈(x∈B∨x∈C)
 x∈A∧ (�瘙
綈x∈B∧�瘙
綈x∈C)
 x∈A∧(xB∧xC)
 (x∈A∧xB)∧(x∈A∧xC)
 x∈(A-B)∧x∈(A-C)
 x∈(A-B)∩(A-C)


所以等式A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)成立。
例3.15证明 A∪(A∩B)=A。
证明A∪(A∩B)=(A∩E)∪(A∩B) 

=A∩(E∪B)

=A∩E

=A
例3.16证明A∩E=A。
证明对任意x,

x∈A∩Ex∈A∧x∈Ex∈A
所以等式A∩E=A成立。
由此可以看出，集合运算的规律和命题演算的某些规律是一致的，所以命题演算的方法是证明集合等式的基本方法。此外，证明集合等式还可以应用已知等式代入的方法。
除了以上集合的基本运算定律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结论。
设A,B,C是集合，则下列关于集合的重要运算性质成立。
（1） A∩BA,A∩BB
（2） AA∪B,BA∪B
（3） A-BA 
（4） A-B=A∩～B
（5） A∪B=BABA∩B=AA-B=
（6） AB=BA
（7） (AB)C=A(BC)
（8） A=A=A
（9） AA=
（10） AB=ACB=C
例3.17证明 AB=ACB=C。
证明先证AB=ACB=C。
已知AB=AC，则

A(AB)=A(AC)
(AA)B＝(AA)C
B=C
B=C

B=CAB=AC显然成立。
所以等式 AB=ACB=C成立。
例3.18证明A-B=A∩～B。
证明对任意 x,

x∈(A-B)x∈A∧xB
x∈A∧x∈～B
x∈(A∩～B)

所以等式A-B=A∩～B成立。
例3.19证明 A∪B=BABA∩B=AA-B=。
证明
（1） 先证 A∪B=BAB。
已知A∪B=B，对x,

x∈Ax∈A∨x∈Bx∈(A∪B)x∈BAB

所以A∪B=BAB。
反之证ABA∪B=B。
BA∪B显然成立，现在证A∪BB。
已知AB，对x,

x∈A∪Bx∈A∨x∈Bx∈B∨x∈Bx∈BA∪BB

所以ABA∪B=B。
因此等式A∪B=BAB成立。
（2） 再证ABA∩B=A。
显然A∩BA成立 ，现在证AA∩B。
已知AB，对x,

x∈Ax∈A∧x∈Ax∈A∧x∈Bx∈(A∩B)AA∩B


所以ABA∩B=A。
反之证A∩B=AAB。
反证法假设A不是B的子集，则

x(x∈A∧xB)x(x∈A∩B∧xB)

x(x∈A∧x∈B∧xB)=0

假设A不是B的子集不成立，即AB。
所以A∩B=AAB。
因此等式ABA∩B=A成立。
（3） 最后证明 A∩B=AA-B=。

A-B=A∩～B=(A∩B)∩～B=A∩(B∩～B)=A∩＝

反之证A-B=A∩B=A。
因为A-B=A∩～B=

(A∩～B)∪B=∪B

A∪B=B

A∩B=A
因此等式A∩B=AA-B=成立。
例3.20证明(A-B)∪B=A∪B。
证明(A-B)∪B=(A∩～B)∪B

=(A∪B)∩(～B∪B)

=(A∪B)∩E

=A∪B
除了上述的基本定律和重要运算性质之外，关于集合之间的关系的证明，还有利用已知某些集合之间的关系，进而推导出这些集合之间的另外一些关系。
例3.21证明A-B=A∪B=B。
证明A∪B=(A-B)∪B（根据例3.20等式）

=∪B

=B
因此A-B=A∪B=B。

3.3集合中元素的计数

定义3.14集合A中的元素个数称为集合A的基数，记为card A或|A|。
设A为集合，若card A=|A|=n，n为自然数，称A为有穷集合，否则称为无穷集合。
如A={a,b,c}，card A=|A|=3；  B={x|x2+1=0,x∈R}，card B=|B|=0 都是有穷集合。自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等都是无穷集合。
无穷集合的基数问题比较复杂，因此这里重点讨论有穷集合的计数问题。
使用文氏图可以很方便地解决有穷集中元素的计数问题。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般情况，每一条性质决定一个集合，有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊的说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知的元素个数填入该集合的区域内。常常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。若交集的数字是未知的，可以设为x，之后再根据题目中的已知条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。
例3.22有120名软件开发人员，其中52名熟悉Java语言，40名熟悉C#语言，25名熟悉这两种语言。试问： 有多少名软件开发人员对这两种语言都不熟悉？

解设用集合A，B分别表示熟悉Java和C#语言的软件开发人员。根据题意画出文氏图，并把已知的集合基数填入该集合的相应区域，如图3.7所示。
|A|=52，|B|=40，|A∩B|=25，|A-B|=27，|B-A|=15，
|A∪B|=|A-B|+|A∩B|+|B-A|=27+25+15=67
所以|～(A∪B)|=120-67=53。
因此，有53名软件开发人员对这两种语言都不熟悉。
例3.23对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查，其统计结果如下： 会英、日、德和法语的人分别为13、5、10和9人； 其中同时会英语和日语的有2人； 会英、德和法语中任两种语言的都是4人。已知会日语的人既不会法语也不会德语，分别求只会一种语言的人数和会三种语言的人数。
解设用集合A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人，根据题意得文氏图，如图3.8所示。



图3.7例3.22的文氏图



图3.8例3.23的文氏图


设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语言的分别是y1,y2,y3人。则有

y1+2(4－x)+x+2=13
y2+2(4－x)+x=9
y3+2(4－x)+x=10
y1+y2+y3+3(4－x)+x=19



解方程组得x=1,y1=4,y2=2,y3=3。
因此，只会英、法、德、日语一种语言的分别是4、2、3、3人； 会三种语言的为1人。
例3.24 求1~1000之间(包含1和1000在内) ，既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个。

解设集合S={x|x∈Z∧1≤x≤1000}，A={x|x∈S∧x能被5整除}，B={x|x∈S∧x能被6整除}，C={x|x∈S∧x能被8整除}，根据题意得文氏图，如图3.9所示。



图3.9例3.24的文氏图

lcm(x1,x2,…,xn)表示x1,x2,…,xn的最小公倍数，则


|A|=int(1000/5)=200
|B|=int(1000/6)=166
|C|=int(1000/8)=125
|A∩B|=int(1000/lcm(5,6))=33
|A∩C|=int(1000/lcm(5,8))=25
|B∩C|=int(1000/lcm(6,8))=41
|A∩B∩C|=int(1000/lcm(5,6,8))=8


因此，不能被5、6和8整除的数有1000-(200+100+33+67)=600个。
定理3.4（包含排斥原理）设S为有穷集,P1,P2,…,Pm是m个性质。S中的任何元素x或者具有性质Pi，或者不具有性质Pi (i=1,…,m)，两种情况必具其一。
若Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的子集，则S中不具有性质P1,P2,…,Pm的元素数为

|1∩2∩…∩m|=|S|－∑mi=1Ai+∑1≤i<j≤m|Ai∩Aj|－

∑1≤i<j<k≤m|Ai∩Aj∩Ak|+…+

(-1)m|A1∩A2∩…∩Am|


推论S中至少具有一条性质的元素数为

|A1∪A2∪…∪Am|=∑mi=1Ai－∑1≤i<j≤m|Ai∩Aj|+
∑1≤i<j<k≤m|Ai∩Aj∩Ak|－
…+(－1)m－1|A1∩A2∩…∩Am|


证明设A1，A2为有穷集合，其元素个数分别为|A1|，|A2|。
若A1，A2不相交，即A1∩A2=，则| A1∪A2|=|A1|+|A2|。
若A1，A2相交，即A1∩A2≠，则|A1|=|A1∩2|+|A1∩A2|。
同理

|A2|=|A2∩1|+|A1∩A2|


则

|A1|+|A2|=|A1∩2|+|A2∩1|+2|A1∩A2|


但

|A1∪A2|=|A1∩2|+|A2∩1|+|A1∩A2|


故

|A1∪A2|=|A1|+|A2|－|A1∩A2|


又由于

|1∩2|=|E|－|A1∪A2|


所以

 |1∩2|=|E|－(|A1|+|A2|)+|A1∩A2|


同理可得到三个集合的情况： 

|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|－|A1∩A2|－

|A1∩A3|－|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|
|1∩2∩3|=|E|－(|A1|+|A2|+|A3|)+

(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)－|A1∩A2∩A3|

依此可推广到m个集合的情况： 

|A1∪A2∪…∪Am|=∑mi=1Ai－∑1≤i<j≤m|Ai∩Aj|+∑1≤i<j<k≤m|Ai∩Aj∩Ak|－

…+(－1)m－1|A1∩A2∩…∩Am|
|A1∩A2∩…∩Am|=|S|－∑mi=1Ai+∑1≤i<j≤m|Ai∩Aj|－∑1≤i<j<k≤m|Ai∩Aj∩Ak|+

…+(－1)m|A1∩A2∩…∩Am|


根据包含排斥原理，例3.24中既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有

|∩∩|=|S|－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+

|B∩C|)－(|A∩B∩C|)

=1000-(200+166+125)+(33+25+41)-8
=600


例3.25用包含排斥原理及推论计算例3.22。 
解
设用集合A，B分别表示熟悉Java和C#语言的软件开发人员。

|A|=52，|B|=40，|A∩B|=25，
 |∩|=120－(|A|+|B|)+|A∩B|
=120-（52+40）+25
=53


因此，有53名软件开发人员对这两种语言都不熟悉。
例3.26某班有25个学生，其中14人会打台球，12人会打乒乓球， 6人会打台球和乒乓球，5人会打台球和网球，还有2人会打这三种球，已知6个会打网球的人都会打台球或乒乓球。求不会打球的人数。
解设用集合A，B，C分别表示会打台球、会打乒乓球、会打网球的人。

|A|=14，|B|=12，|A∩B|=6，|A∩C|=5，|A∩B∩C|=2，|C|=6
又6=|C∩(A∪B)|

=|(C∩A)∪(C∩B)|

=|C∩A|+|C∩B|-|A∩B∩C|

=5+| C∩B |-2
故

|C∩B|=3
先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。 
由包含排斥原理可知，会打球的人数为

|A∪B∪C|=(|A|+|B|+|C|)－(|A∩B|+|A∩C|+

|B∩C|)+|A∩B∩C|
=(14+12+6)-(6+5+3)+2
=20

故25-20=5人。
也可以直接求出不会打球的人数，计算如下：

|∩∩|=25－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+

|A∩C|+|B∩C|)－|A∩B∩C|
=25-(14+12+6)+(6+5+3) -2
=5

因此，不会打球的有5人。 




习题3

1. 列出下述集合的全部元素：  
（1） A={x|x∈N∧x是偶数∧x＜15}； 
（2） B={x|x∈N∧4+x=3}； 
（3） C={x|x是十进制的数字}。
2. 用谓词法表示下列集合： 
（1） {奇整数集合}； 
（2） {小于7的非负整数集合}； 
（3） {3，5，7，11，13，17，19，23，29}。
3. 用列元素法表示下列集合。
(1) S1＝{x|x是十进制的数字}；
(2) S2＝{x|x＝2∪x＝5}；
(3) S3＝{x|x∈N∩3<x<12}；
(4) S4＝{x|x2－1=0∩x>3}；
(5) S5＝{(x，y)|x，y∈Z∩0≤x≤2∩1≤y≤0}。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性。
（1） 如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
（2） 如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
（3） 如果AB∧B∈C，则A∈C。
5. 求下列集合的幂集。
（1） {a，b，c}
（2） {a，{b，c}}
（3） {}
（4） {，{}}
（5） {{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}
6. 给定自然数集合N的下列子集。
A={1，2，7，8}
B={x|x2＜50}
C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}
D={x|x=2K，K∈I∧0≤K≤6}
列出下面集合的元素。
（1） A∪B∪C∪D
（2） A∩B∩C∩D
（3） B-（A∪C）
（4） （∩B）∪D
7. 对下列集合，画出其文氏图。
（1） ∩
（2） A—(B   -)
（3） A∩（∪C）
8. 设F表示一年级大学生的集合,S表示二年级大学生的集合,M表示数学专业学生的集合，R表示计算机专业学生的集合,T表示学离散数学课学生的集合,G表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合,H表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合。问： 下列各句子所对应的集合表达式分别是什么?
(1) 所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课。
(2) 这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉。
(3) 学离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会。
(4) 这个音乐会只有大学一、二年级的学生参加。
(5) 除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会。
9. 对60个人的调查表明，有25人阅读《每周新闻》杂志，26人阅读《时代》杂志，26人阅读《幸运》杂志，9人阅读《每周新闻》和《幸运》杂志，11人阅读《每周新闻》和《时代》杂志，8人阅读《时代》和《幸运》杂志，还有8人什么杂志都不阅读。那么阅读全部3种杂志的有多少人？只阅读《每周新闻》的有多少人？只阅读《时代》的有多少人？只阅读《幸运》的有多少人？只阅读一种杂志的有多少人？
10. 75个学生去书店买语文、数学、英语课外书，每种书每个学生至多买1本。已知有20个学生每人买3本书，55个学生每人至少买2本书。设每本书的价格都是1元，所有的学生总共花费140元。那么恰好买2本书的有多少个学生？至少买2本书的学生花费多少元？买一本书的有多少个学生？至少买一本书的有多少个学生？没买书的有多少个学生？
11. 设|A|=3,|P(B)|=64,|P(A∪B)|=256，求|B|、|A∩B|、|A－B|、|AB|。
12. 求不超过120的素数个数。
13. 求1~250这250个整数中，至少能被2、3、5、7之一整除的数的个数。
14. 化简下列各式。
（1） (A∩B)∪(A－B)（2） A∪(B－A)－B
（3） (A∪B∪C)∩(A∪B)－((A∪(B－C)∩A)
15. 设A,B,C为任意三个集合，
（1） 证明： (A－B)－CA－(B－C)。
(2) 在什么条件下，（1）中的等号成立？


习题答案


16. 75名儿童到游乐场玩，他们可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已知其中20人这三种游戏都玩过，其中55人至少乘过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场总共收入700元，试确定有多少儿童没有乘坐其中任何一种。