法拉第 （Michael Faraday，1791—1867，英国） “自然科学家应当是这样一种人： 他愿意倾听每一种意见，却要自己下决心做出判断。他应当不被表面现象所迷惑，不对每一种假设有偏爱，不属于任何学派，在学术上不盲从大师。他应该重事不重人。真理应当是他的首要目标。如果有了这些品质，再加上勤勉，那么他确实可以有希望走进自然的圣殿。” 第5章时变电磁场 前面几章研究了静态电磁场（静电场、恒定电场、恒定磁场）。在静态电磁场中电场、磁场是独立存在的，电场是由电荷产生的，磁场是由电流产生的。若电荷、电流随时间变化，它们所产生的电场、磁场也随时间变化，我们知道变化的电场会在其周围空间激发变化的磁场，变化的磁场又会在其周围空间激发变化的电场，这样电场和磁场相互联系、相互转化，成为不可分割的整体，称为电磁场。 5.1电磁感应定律 1. 法拉第定律 扫码看讲课录像 5.15.3 法拉第定律的内容为： 穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电动势，其数学表达式为 ei=-dψdt（5.1） 其中ψ是穿过导体回路的磁链，对于密绕线圈ψ=NΦ。感应电动势的数值为ei=dψdt，感应电动势的方向有两种判定方法。 图5.1ei和ψ的正方向 满足右手法则 方法1： 规定ei和ψ的正方向满足右手法则，如图5.1所示。首先由ψ的方向确定ei的正方向，如果dψdt>0，则ei为负，如果dψdt<0，则ei为正。 方法2： 根据楞次定律，感应电流产生的磁通，总是阻止引起感应电流的磁通的变化。首先设Φ是穿过导体回路的原磁通，Φ′是感应电流产生的穿过导体回路的磁通，如果Φ增大， Φ′与Φ反方向，如果Φ减少，Φ′与Φ同方向，这样就可以由Φ的方向和变化确定Φ′的方向，从而确定感应电动势和感应电流的方向。 由电动势的定义可以写出 ei=∮lEi·dl=-dψdt（5.2） 2. 动生电动势和感生电动势 根据引起穿过导体回路的磁通量发生变化的原因不同，可以把导体回路中产生的感应电动势分为动生电动势和感生电动势。 1) 动生电动势 磁场B不变化，导体回路在磁场中运动，导体回路中产生的感应电动势称为动生电动势。产生动生电动势的非静电力是洛伦兹力f=qv×B，由电动势的定义，动生电动势的表达式为 ei=∫l（v×B）·dl（5.3) 计算动生电动势可以用式（5.3），也可以用法拉第定律式（5.1）。 2) 感生电动势 磁场B变化，导体回路不运动，导体回路中产生的感应电动势称为感生电动势。产生感生电动势的非静电力是感应电场力（详见麦克斯韦关于感应电场的假说）。由电动势的定义，感生电动势可以写为 ei=∮lEi·dl(5.4) 其中Ei是感应电场的场强。 计算感生电动势可以用式（5.4），也可以用法拉第定律 ei=-dψdt=-SBt·dS(5.5) 3. 麦克斯韦关于感应电场（涡旋电场）的假说 图5.2变化的磁场激发 涡旋电场 麦克斯韦关于感应电场（涡旋电场）的假说基本思想是： 变化的磁场在其周围空间激发涡旋电场，场方程可以写为 ∮lEi·dl=-dψdt=-SBt·dS(5.6） 变化的磁场Bt与涡旋电场Ei之间满足左手关系，如图5.2所示。请注意，涡旋电场的电力线是闭合曲线。 4. 电磁感应定律的积分形式和微分形式 在电磁感应现象中，一般情况下，磁场B变化，导体回路也运动，回路中出现的感应电动势为 ei=∮lEi·dl=-SBt·dS+∫l（v×B）·dl（5.7） 式（5.7）中的Ei是磁场的变化产生的，对于电荷激发的电场（库仑场），由式（2.18） ∮lE库·dl=0（5.8) 空间总的电场E=E库+Ei，所以 ∮lE·dl=∮l(E库+Ei)·dl=-SBt·dS+∫l（v×B）·dl（5.9） 这就是电磁感应定律的积分形式。利用斯托克斯定理，式（5.9）可以写为 S(×E)·dS=-SBt·dS+S［×(v×B)］·dS 所以 ×E=-Bt+×(v×B)（5.10) 这就是电磁感应定律的微分形式。讨论时变场，不考虑导体回路的运动，式（5.10）可以写为 ×E=-Bt（5.11) 例5.1一个h×w的单匝矩形线圈放在时变磁场B＝eyB0sinωt中。开始时线圈面的法线n^与y轴成α角，如图5.3所示。求： （1）线圈静止时的感应电动势； （2）线圈以角速度ω绕x轴旋转时的感应电动势。 图5.3例5.1用图 解 （1） 线圈静止时，感应电动势是由磁场随时间变化引起的，用式（5.1）计算 Φ=SB·dS=eyB0sinωt·n^hw =B0hwsinωt·cosα ei=-dΦdt=-ωB0hwcosωt·cosα （2） 线圈以角速度ω旋转时，感应电动势既有因磁场随时间变化引起的感生电动势，又有因线圈转动引起的动生电动势，可以用式（5.1）计算。此时线圈面的法线n^是时间的函数，表示为n^(t)，所以 Φ=B(t)·n^(t)S=eyB0sinωt·eyhwcosα=B0hwsinωt·cosωt ei=-dΦdt=-ωB0hwcos(2ωt) 也可以分别计算感生电动势和动生电动势 ei=-SBt·dS+∮l(v×B)·dl 上式中的第一项与静止时的感生电动势相同，第二项为 ∮l(v×B)·dl=∫12n^w2ω×eyB0sinωt·exdx+∫34-n^w2ω×eyB0sinωt·exdx =2w2ωB0sinωt·sinαh=ωB0hwsinωt·sinωt ei=-ωB0hwcosωt·cosωt+ωB0hwsinωt·sinωt =-ωB0hwcos(2ωt) 5.2位移电流 1. 麦克斯韦关于位移电流的假说 麦克斯韦发现了将恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时出现的矛盾，提出位移电流的假说，对安培环路定律作了修正。 图5.4安培环路定律应用于 时变场时出现的矛盾 图5.4表示连接于交流电源上的电容器，电路中电流为i。取一个闭合积分路径C包围导线，如果恒定磁场中的安培环路定律仍然成立，则沿此回路磁场强度H的线积分将等于穿过该回路所张的任一个曲面的电流（瞬时关系）。在回路上张 两个不同的曲面S1和S2，使其中的S1面和导线相截，S2面穿过 电容器的两个极板之间。这时出现了矛盾： 穿过S1面的电流为i，而穿过S2面的电流为0。H沿同一闭合路径的线积分却导出了两种不同的结果，这显然是不合理的。这种矛盾的结果说明，安培环路定律的应用受到了限制。 麦克斯韦深入研究了这一问题，提出了位移电流的假说。他认为，在电容器的两极板间存在着另一种电流，其量值与传导电流i相等。因为对于由S1和S2构成的闭合面，利用电流连续性方程和高斯定理 ∮SJ·dS=-qt（5.12) ∮SD·dS=q(5.13) 其中q为极板上的电荷量。利用以上两式可以导出 ∮SJ·dS=-∮SDt·dS=-∮SJd·dS(5.14) 其中 Jd=Dt(5.15) 麦克斯韦称之为位移电流密度，请读者验证Dt具有电流密度的量纲A/m2。考虑到由S1和S2构成的闭合曲面的法线方向向外，式（5.14）可以写为 S1J·dS=S2Jd·dS 图5.5变化的电场激发 涡旋磁场 所以穿过S1面的传导电流与穿过S2面的位移电流相等，这就消除了原来安培环路定理中的矛盾。 麦克斯韦关于位移电流假说的基本思想是： 变化的电场在其周围空间激发涡旋磁场，这样变化的电场等效于一种电流，称为位移电流。场方程为 ∮lH·dl=Ic+Id=SJ·dS+SDt·dS(5.16) 变化的电场Dt与涡旋磁场H之间满足右手关系，如图5.5所示。 2. 全电流定律（安培环路定理） 引入位移电流的假说，安培环路定理写为式（5.16），也称为全电流定律。利用斯托克斯定理可以写出全电流定律的微分形式 ×H=J+Dt(5.17) 5.3麦克斯韦方程组 静止媒质中的麦克斯韦方程组为 ∮lH·dl=SJ+Dt·dS(5.18) ∮lE·dl=-SBt·dS(5.19) SB·dS=0(5.20) SD·dS=q(5.21) 相应的微分形式为 ×H=J+Dt(5.22) ×E=-Bt(5.23) ·B=0(5.24) ·D=ρ(5.25) 对于各向同性线性介质，描述介质性能的方程为 D=ε0εrE(5.26) B=μ0μrH(5.27) J=σE(5.28) 根据亥姆霍兹定理，一个矢量场的性质由它的旋度和散度唯一地确定，所以麦克斯韦方程组全面地描述了电磁场的基本规律。可以看出在时变电磁场中，磁场的场源包括传导电流和位移电流，电场的场源包括电荷和变化的磁场。 扫码看讲课 录像5.4 5.4时变场的边界条件 1. 两种介质界面上的边界条件 图5.6是两种电介质的分界面，介电常数分别是ε1、ε2，两种电介质中的电场强度分别是E1、E2,与分界面法线的夹角分别是θ1、θ2。在两种电介质的分界面上作一个极窄的矩形回路abcda，ab=cd=Δl，bc=da=Δh→0，n^是由介质2指向 图5.6E切向分量的边界条件 介质1的法线矢量，n^1是矩形回路所围面积的法线矢量，如图5.6所示。利用电磁感应定律 ∮lE·dl=-SBt·dS(5.29) 式(5.29)左边对闭合环路的积分可以写为对4条边的线积分之和 ∫abE1·dl+∫bcE·dl+∫cdE2·dl+∫daE·dl 由于矩形回路极窄，bc=da→0，上式中第二项和第四项积分为0，第一项和第三项积分可以写为 ∮lE·dl=∫abE1·dl+∫cdE2·dl =E1sinθ1·Δl-E2sinθ2·Δl=(E1t-E2t)Δl(5.30) 由于矩形回路的面积很小，式（5.29）的右边可以写为 -SBt·dS=limΔh→0-Btn1ΔhΔl=0(5.31) 其中Btn1是Bt在n^1方向的投影。把式（5.30）和式（5.31）代入式（5.29）可以得到E的切向分量满足的边界条件 E1t=E2t(5.32) 用矢量可以表示为 n^×(E1-E2)=0(5.33) 同理，由全电流定律 ∮lH·dl=SJ+Dt·dS(5.34) 式(5.34)的左侧 ∮lH·dl=(H1t-H2t)Δl(5.35) 式（5.34）的右侧 SJ+Dt·dS=limΔh→0IΔhΔln1ΔhΔl+Dtn1ΔhΔl =JSΔl(5.36) 其中IΔln1=JS是穿过矩形回路的面电流密度。把式（5.35）和式（5.36）代入式（5.34）可以得到H的切向分量满足的边界条件 H1t-H2t=JS(5.37) n^×(H1-H2)=JS(5.38) 界面上没有面电流时，上面两式可以写为 H1t=H2t(5.39) n^×(H1-H2)=0(5.40) 用与讨论恒定磁场边界条件相同的方法，由磁场的高斯定理SB·dS=0可以导出B的法向分量满足的边界条件 B1n=B2n(5.41) n^·(B1-B2)=0(5.42) 用与讨论静电场边界条件相同的方法，由电场的高斯定理SD·dS=q可以导出D的法向分量满足的边界条件 D1n-D2n=ρS(5.43) n^·(D1-D2)=ρS(5.44) 界面上没有面电荷时，上面两式可以写为 D1n=D2n(5.45) n^·(D1-D2)=0(5.46) 用与讨论静电场和恒定磁场边界条件相同的方法，可以导出时变电磁场中电力线和磁力线在介质分界面上发生的折射 tanθ1tanθ2=ε1ε2(5.47) tanθ1tanθ2=μ1μ2(5.48) 2. 理想导体与介质界面上的边界条件（设理想导体的下标为2，介质的下标为1） 由于理想导体的电导率σ→∞，由欧姆定律J=σE，在理想导体内，E2＝0。再由法拉第定律 ×E2=-B2t=0 所以B2为常数或为0，在时变场中，B2只能为0。所以在理想导体内，B2=0,H2=0。下面讨论理想导体与介质界面上的边界条件。 由式（5.32）可以得到理想导体表面（介质一侧）电场的切向分量满足的边界条件 E1t=E2t=0(5.49) n^×E1=0(5.50) 由式（5.37）可以得到理想导体表面（介质一侧）磁场的切向分量满足的边界条件 H1t=JS(5.51) n^×H1=JS(5.52) 图5.7导体表面的感应电流 式（5.52）常被用来计算导体表面的感应电流，如图5.7所示。由式（5.41）可以得到理想导体表面（介质一侧）磁场的法向分量满足的边界条件 B1n=B2n=0(5.53) n^·B1=0(5.54) 所以在理想导体的表面，电场的切向分量为零，磁场的法线分量为零。由式（5.43）可以得到理想导体表面（介质一侧）D的法向分量满足的边界条件 D1n=ρS(5.55) n^·D1=ρS(5.56) 真正的理想导体不存在，在实际问题中，金属可以看作是理想导体。一种材料能否被看成是理想导体还与频率有关（详见6.5节），在频率比较低的情况下，大地也可以看成是理想导体。 图5.8例5.2用图 例5.2在两导体平板（z＝0和z＝d）之间的空气中传播的电磁波，已知其电场强度为 E=eyE0sinπdzcos(ωt-kxx) 式中的kx为常数。试求： (1)磁场强度H； (2)两导体表面的面电流密度JS。 解 (1) 这是一个沿x方向传播的电磁波，电场沿ey方向。取如图5.8所示的坐标系，由×E=-μ0Ht可得 -exEz+ezEx=-μ0Ht 所以 H=-1μ0E0-ex∫πdcosπdzcos(ωt-kxx)dt+ez∫kxsinπdzsin(ωt-kxx)dt =exπωμ0dE0cosπdzsin(ωt-kxx)+ezkxωμ0E0sinπdzcos(ωt-kxx) 可以看出，E和H都满足理想导体表面的边界条件，即在z＝0和z＝d处，Et＝Ey＝0，Hn＝Hz＝0。 (2) 导体表面的电流存在于两导体相向的一面，在z＝0的表面上，法线单位矢量n^＝ez，所以 JS= n^×H=ez×H|z=0=eyπωμ0dE0sin(ωt-kxx) 在z＝d的表面上，法线单位矢量n^＝-ez，所以 JS= n^×H=-ez×H|z=d=eyπωμ0dE0sin(ωt-kxx) 5.5坡印廷定理和坡印廷矢量 1. 电磁场的能量 扫码看讲课录像 5.55.6 电场的能量密度为 we=12D·E(5.57) 磁场的能量密度为 wm=12H·B(5.58) 由于变化的电场和变化的磁场统称为电磁场，所以电磁场的能量密度为 w=12D·E+12H·B(5.59) 由于电场、磁场都随时间变化，所以空间每一点处的能量密度w也随时间变化，时变电磁场中就出现能量的流动。 2. 能流密度矢量S（坡印廷矢量） 能流密度矢量S定义为： 单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量，其瞬时值的表达式为 S=E×H(5.60) 能流密度矢量S的单位是W／m2，方向表示该点能量流动的方向。 3. 坡印廷定理 坡印廷定理描述电磁场中能量的守恒和转换关系，下面推导坡印廷定理的表达式，由 ×E=-Bt(5.61) ×H=J+Dt(5.62) 用H·式(5.61)减去E·式(5.62)可得 H·(×E)-E·(×H)=-H·Bt-E·J-E·Dt(5.63) 式(5.63)的左边等于·(E×H)，右边的第1项和第3项分别为 H·Bt=μH·Ht=B·Ht =12H·Bt+B·Ht=t12H·B E·Dt=εE·Et=D·Et =12E·Dt+D·Et=t12E·D 把上式代入式（5.63）可得 ·(E×H)=-t12H·B+12E·D-E·J 把上式两边作体积分，并注意到12H·B+12E·D=w，可得 ∫V·(E×H)dV=-t∫VwdV-∫VE·JdV 由散度定理∫V·(E×H)dV=S(E×H)·dS，且∫VwdV=W，所以 Wt=-S(E×H)·dS-∫VE·JdV(5.64) 式(5.64)即为坡印廷定理的数学表达式，其中Wt表示V内单位时间内电磁能量的增量，-S(E×H)·dS表示通过S面流入的功率（单位时间内流入的能量），第3项 ∫VE·JdV=∫VpdV=P 表示V内损耗的焦耳热功率（单位时间内损耗的能量）。所以说坡印廷定理描述了电磁场中能量的守恒和转换关系。 5.6时变电磁场的矢量位和标量位 讨论恒定电、磁场时，为了计算方便，引入了标量电位Φ、矢量磁位A和标量磁位Φm，讨论时变电磁场，也可以引入标量位和矢量位。 5.6.1矢量位A和标量位Φ的引入 1. 矢量位A的引入 由·B=0和矢量恒等式·×A=0，B可以写为 B=×A(5.65) 2. 标量位Φ的引入 把式（5.65）代入×E=-Bt可得 ×E=-t(×A)=-×At 所以×E+At=0，再由矢量恒等式×Φ=0，可以写出 E+At=-Φ或E=-Φ-At(5.66) 可以看出，引入的标量位与标量电位不同，Φ不仅与E有关，而且与A有关； A也与E有关。所以时变电磁场中不再分电位和磁位，而称为时变电磁场的矢量位和标量位。 3. 洛伦兹条件 由式（5.65）和式（5.66）还不能唯一地确定A和Φ。例如，设有 A′=A+ψ,Φ′=Φ-ψt ψ为任意一个标量，则 ×A′=×A+×ψ=×A －Φ′－A′t=－Φ－ψt－t(A+ψ) =－Φ+ψt－At－tψ=－Φ－At=E 即由式（5.65）和式（5.66）可以得到无数多个Φ、A。这是由于式（5.65）只给出A的旋度，没有给定A的散度，根据亥姆霍兹定理A是不确定的。为了唯一地确定A和Φ，必须给定A的散度，讨论时变场，采用洛伦兹条件 ·A=-μεΦt(5.67) 由式（5.65）、式（5.66）、式（5.67）定义的A、Φ是唯一确定的。 5.6.2达朗贝尔方程 达朗贝尔方程是时变电磁场的矢量位A和标量位Φ满足的微分方程。首先推导矢量位A的达朗贝尔方程，对式（5.65）两边取旋度 ×(×A)=×B=μ×H 把×H=J+εEt和E=-Φ-At代入上式可得 (·A)-2A=μJ-μεt(Φ)-με2At2 经过整理可得 2A-με2At2=(·A)-μJ+μεΦt=·A+μεΦt-μJ 利用式（5.67）可得 2A-με2At2=-μJ(5.68) 下面推导标量位Φ的达朗贝尔方程。把D＝εE代入·D=ρ，并利用式（5.66）可得 ε·E=-ε·Φ+At=ρ 所以 2Φ+·At=-ρε(5.69) 其中 ·At=t·A=t-μεΦt 把上式代入式（5.69）可得 2Φ-με2Φt2=-ρε(5.70) 由于电磁波传播速度v=1με，式（5.68）、式（5.70）可以写为 2A-1v22At2=-μJ(5.71) 2Φ-1v2Φt=-ρε(5.72) 式（5.68）、式（5.70）或式（5.71）、式（5.72）称为A、Φ的波动方程或达朗贝尔方程。两式形式完全相同，而且A仅由J决定，Φ仅由ρ决定，给求解A、Φ带来方便，达朗贝尔方程的求解将在第8章中介绍。 扫码阅读5.7 电磁场 在医学领域的应用 5.7应用案例电磁场在医学领域的应用(电子 资源) 5.7.1CT5.7.2磁共振成像 5.7.3微波切除肿瘤 第5章习题 51已知真空平板电容器的极板面积为S，间距为d，当外加电压U=U0sinωt时，计算电容器中的位移电流，证明它等于导线中的传导电流。 52一圆柱形电容器，内导体半径和外导体内半径分别为a和b，长为l。设外加电压U0sinωt，试计算电容器极板间的位移电流，证明该位移电流等于导线中的传导电流。 53当电场E=exE0cosωtV/m，ω=1000rad/s时，计算下列媒质中传导电流密度与位移电流密度的振幅之比： （1） 铜σ=5.7×107S/m,εr=1； （2） 蒸馏水σ=2×10-4S/m，εr=80； （3） 聚苯乙烯σ=2×10-16S/m,εr=2.53。 54由麦克斯韦方程组，导出点电荷的电场强度计算公式和泊松方程。 55将麦克斯韦方程的微分形式写成8个标量方程： （1） 在直角坐标系中； （2） 在圆柱坐标系中； （3） 在球坐标系中。 56试由微分形式麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连续性方程导出两个散度方程。 57利用麦克斯韦方程证明： 通过任意闭合曲面的传导电流与位移电流之和等于0。 58在由理想导电壁（σ=∞）限定的区域0≤x≤a内存在一个如下的电磁场 Ey=H0μωaπsinπxasin(kz-ωt) Hx=-H0kaπsinπxasin(kz-ωt) Hz=H0cosπxacos(kz-ωt) 验证它们是否满足边界条件，写出导电壁上的面电流密度表达式。 59设区域Ⅰ（z＜0）的媒质参数εr1=1，μr1=1，σ1=0； 区域Ⅱ（z＞0）的媒质参数εr2=5，μr2=20，σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度 E1=ex［60cos(15×108t-5z)+20cos(15×108t+5z)］V/m 区域Ⅱ中的电场强度 E2=exAcos(15×108t-50z)V/m 求： （1） 常数A； （2） 磁场强度H1和H2； （3） 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。 510设电场强度和磁场强度分别为E=E0cos(ωt+ψe)，H=H0cos(ωt+ψm)，证明其坡印廷矢量的平均值为Sav=12E0×H0cos(ψe-ψm)。 511已知真空区域中时变电磁场的瞬时值为H(y,t)=ex2cos20xsin(ωt-kyy)，试求电场强度的复矢量、能量密度及能流密度矢量的平均值。 512一个真空中存在的电磁场为 E=exjE0sinkz，H=eyε0μ0E0coskz 其中k=2π/λ=ω/c，λ是波长。求z=0，λ/8，λ/4各点的坡印廷矢量的瞬时值和平均值。 513已知电磁波的电场E=exE0cos(ωμ0ε0z-ωt)，求此电磁波的磁场、瞬时值能流密度矢量及其在一周期内的平均值。 514已知时变电磁场中矢量位A=exAmsin(ωt-kz)，其中Am、k是常数。求电场强度、磁场强度和瞬时坡印廷矢量。