第3单元
函数的递归
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跟我学Python二级教学辅导
3.1 知识点定位
青少年编程能力“Python 二级”核心知识点3 ：递归及算法。
3.2 能力要求
掌握并熟练使用简单的函数递归，具备利用递归处理简单问题的能力。
3.3 建议教学时长
本单元建议2 课时。
3.4 教学目标
1. 知识目标
本单元以函数递归为主，通过大自然场景联系实际案例，让学生掌握递归
与函数递归及简单的递归实现方法，为Python 的后续学习打好坚实的基础。
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2. 能力目标
通过对Python 函数递归的学习，掌握计算机解决困难问题的方法，锻炼
学习者发现问题、解决问题的能力，培养学习者化繁为简的能力。
3. 素养目标
引入斐波那契数列、斐波那契数列螺旋线及数学问题等相关内容，增加趣
味性，增进学习者对自然界的了解；通过学习自然界的递归问题，用自然科学
解析自然界现象，促进学生养成学以致用的良好习惯。
3.5 知识结构
本单元知识结构如图3-1 所示。
图3-1 函数的递归知识结构
3.6 补充知识点
1. 神秘的斐波那契数列
斐波那契数列在大自然中普遍存在，如植物的花瓣数量、花草分蘖的枝丫、
密集的种子排列……例如，如图3-2 所示的松塔种子、鹦鹉螺结构等也满足斐
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波那契数列排列的规律。据估计，植物中大约有90% 的叶片排列方式或花瓣
数列涉及斐波那契数列。大家感受到这串神秘数字的厉害之处了吗？
斐波那契数列的规律很简单，但就是这么简单的一个数列，却蕴藏着无穷
的秘密。
如果计算这个数列的前一项与后一项的比值，就会发现，随着取得数越来
越大，其比值也会越来越趋近于0.618 033 988…没错，这就是黄金分割率，
让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字，所以斐波那契数列又被称为
黄金分割数列。
图3-2 满足斐波那契数列排列规律的例子
视频资料：“斐波那契数列.mp4”
2. 科赫雪花
所谓科赫雪花，也就是分形几何图形，如图3-3 所示。
分形几何是一种迭代的几何图形，广泛存在于自然界中。
（1）科赫曲线的原理如图3-4 所示。
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图3-3 科赫雪花
图3-4 科赫曲线的原理
原理总结：
① n 阶科赫曲线怎么画出来？先旋转0o，画1/3 长的n–1 阶科赫曲线，
左转60o，画1/3 长的n–1 阶科赫曲线，左转–120o，画1/3 长的n–1 阶科赫曲
线，左转60o，画1/3 长的n–1 阶科赫曲线。
②科赫曲线的边界是当n 等于0，画一条直线。
根据分析完成程序如下：
from turtle import * 
def keh(n,size): 
if n==0: 
fd(size) 
else: 
angles=[0,60,-120,60] 
for angle in [0,60,-120,60]: 
left(angle) 
keh(n-1,size/3) 
keh(3,300) 
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hideturtle() 
done() 
（2）将科赫曲线围成一个倒等边三角形，得到如图3-5 所示的科赫雪花。
from turtle import * 
def keh(n,size): 
if n==0: 
fd(size) 
else: 
angles=[0,60,-120,60] 
for angle in [0,60,-120,60]: 
left(angle) 
keh(n-1,size/3) 
speed(0) 
for i in range(3): 
keh(3,300) 
right(120) 
hideturtle() 
done() 
3.7 教学组织安排
教学环节教学过程建议课时
知识导入
通过中国传统故事，了解故事中讲故事，从而了解程序递归
的实际应用场景
1课时知识拓展播放视频，了解递归的相关概念，引起学生的学习兴趣
递归的概念
通过提问、讨论、测试、动手操作等互动及实践掌握递归的
概念
递归的简单实现采用代码演示操作熟练掌握简单的递归实现方法
1课时
单元总结以提问方式总结本次课所学内容，布置课后作业
图3-5 科赫雪花
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3.8 教学实施参考
1. 讨论式知识导入
通过图3-6 提问，引出从前有座山的故事……故事里不断提到同样的故事。
引导学生查找自然界中的一个结构嵌套在另一个结构中，使同学们意识到递归
的强大。
图3-6 递归方式讲故事
2. 播放视频资料：“斐波那契数列.mp4”
科普计算机编程中的斐波那契数列与大自然的关系，提高学生的学习兴趣。
3. 知识点一：什么是递归
（1）通过帮助小萌的提问使学生理解递归、代码封装的概念。
（2）讲解汉诺塔问题，需要移动五千多年，用递归实现起来却只有十几行
代码，说明递归的优势。
（3）通过讲解例3-1 中求1+2+…+n 的和问题，编程实现过程。
（4）运行出错，提出递归边界问题。
（5）提出递归的两个关键特征。
（6）以问答的方式完成学生用书上的“想一想”中的问题3-1，理解递归
边界即递归链。
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（7）以问答的方式完成学生用书上的“想一想”中的问题3-2，理解递归
的简洁。
（8）以测试的方式完成“练一练”中的问题3-3，了解学生关于递归概念
的掌握情况。
4. 知识点二：简单的递归实现
（1）通过例3-2 用递归解决的问题：兔子问题，引入斐波那契数列及其代码
实现。
（2）斐波那契数列用在兔子问题上，引出自然界的斐波那契数列，引出
例3-3 斐波那契数列的图形和黄金螺旋线。
（3）分析斐波那契曲线的算法，完成斐波那契数列的图形和螺旋线程序。
（4）以问答的方式，完成学生用书上的“想一想”中的问题3-4，加深学
生对斐波那契数列的图形和螺旋线的程序理解。
（5）以测试的方式完成“练一练”中的问题3-5，测试学生关于递归程序
的掌握情况。
5. 单元总结
小结本次课的内容，布置课后作业。
3.9 拓展练习
（1）使用turtle 库和递归绘制如图3-7 所示的二叉树。
参考代码如下：
from turtle import * 
def tree(branch_len): 
if branch_len>5: 
fd(branch_len) 
right(20) 
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tree(branch_len-15) 
left(40) 
tree(branch_len-15) 
right(20) 
fd(-branch_len) 
left(90) 
pencolor('green') 
speed(0) 
hideturtle() 
penup() 
goto(0,-100) 
pendown() 
tree(95) 
done() 
（2）使用递归完成输入数据的逆序，并判断该数据是不是回文数据，例如，
如图3-8 所示的文字“人人为我我为人人”正着看反着看都一样，还有数字
12321 等。
图3-7 二叉树图3-8 人人为我我为人人
程序代码如下。
def reverse(s): 
if s=="": 
return s 
else: 
return reverse(s[1:])+s[0] 
s = input("输入要判断回文数的数据：") 
if s == reverse(s): 
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print(s,"是回文数据") 
else: 
print(s,"不是回文数据") 
运行结果1 ：
输入要判断回文数的数据:人人为我我为人人
人人为我我为人人是回文数据
运行结果2 ：
输入要判断回文数的数据:我为人人
我为人人不是回文数据
3.10 问题解答
【问题3-1】递归函数如果没有边界条件，会内存溢出报错。
【问题3-2】递归函数的代码简单，不复杂。
【问题3-3】选A。递归函数必须有边界条件，递归代码简单，不包含循
环结构。
【问题3-4】将for i in range(1,n+1) 改为for i in range(n) 不行。如果改了，
i 的值将从0 开始，而斐波那契数列从第一项开始，不存在第0 项。会出错。
【问题3-5】选C。阶乘用递归实现else 部分n 的阶乘return n 乘以(n–1) 
的阶乘，(n–1)! 用函数jc(n–1)。
3.11 第3单元习题答案 
1. A 2. C 3. A 4. D 5. C 6. C 7. B 8. C 9. A 
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10. C 
11. 参考代码如下。
def mu2(n): 
if n in [1,2]: 
return n 
else: 
return mu2(n-1)*mu2(n-2) 
print(mu2(6)) 
12. 参考代码如下。
def apple(m): 
n=2 
if m == 0: 
return 2 
else: 
return (apple(m-1)+1)*2 
print(apple(3)) 
13. 参考代码如下。
def add2(n): 
if n in [1,2,3,4]: 
return n 
else: 
return add2(n-2)+add2(n-4) 
print(add2(8)) 
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