第5章
CHAPTER 5


拉普拉斯变换









基于傅里叶级数和傅里叶变换的傅里叶分析方法，把信号(系统的激励信号和系统的响应信号)分解为基本信号ejnω1t或ejωt之和，这种分解揭示了信号的频谱特性和系统的频率特性，是信号处理与系统分析和设计的重要基础，在许多领域获得了广泛的应用。但是傅里叶分析方法也存在着明显的缺陷。例如，傅里叶分析方法只能分析系统的零状态响应，不能分析全响应； 大量如eαtu(t)(α>0)和Atn等形式的信号傅里叶变换不存在，傅里叶变换和逆变换计算困难等。为了克服这些缺点，人们需要一种条件更宽松的变换方法，这种方法就是下面要学的拉普拉斯变换。







5.1拉普拉斯变换的定义


首先分析信号g(t)=f(t)e-σt的傅里叶变换和逆变换。容易得到： 
G(jω)=∫+∞-∞g(t)e-jωtdt=∫+∞-∞f(t)e-(σ+jω)tdt=F(σ+jω)(51)
f(t)e-σt=12π∫+∞-∞F(σ+jω)ejωtdω
f(t)=12π∫+∞-∞F(σ+jω)eσtejωtdω=12π∫+∞-∞F(σ+jω)e(σ+jω)tdω(52)
在式(51)和式(52)中，引入新的复数变量s=σ+jω，并将σ看成常数，可以得到： 
F(s)=∫+∞-∞f(t)e-stdt(53)
f(t)=12πj∫σ+j∞σ-j∞F(s)estds(54)
称式(53)为f(t)的双边拉普拉斯变换，称式(54)为F(s)的双边拉普拉斯逆变换。

考虑因果信号的双边拉普拉斯变换可得： 
F(s)=∫+∞0-f(t)e-stdt(55)
f(t)=12πj∫σ+j∞σ-j∞F(s)estds，t>0(56)
称式(55)和式(56)为单边拉普拉斯变换和逆变换，常常表示为F(s)=L［f(t)］和f(t)=L-1［F(s)］。由于现实中处理的信号都是因果信号，所以单边拉普拉斯变换更常用。

任意信号f(t)和它的双边或者单边拉普拉斯变换F(s)之间是一一对应的。也就是说如果f(t)的拉普拉斯变换是F(s)，那么F(s)的逆变换一定是f(t)。所以f(t)和F(s)常常称为拉普拉斯变换对，用f(t)F(s)表示，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。

从以上定义过程可以看出，拉普拉斯变换是傅里叶变换从虚频域到复频域的推广，也可以说，傅里叶变换是拉普拉斯变换在σ=0处，即s=jω时的特例。同时，也容易看出，拉普拉斯变换的参变量s=σ+jω，按照给定σ改变ω的方式在整个复平面变化，而傅里叶变换的参变量ω只在虚轴上变化，所以拉普拉斯变换定义在整个复平面，而傅里叶变换只定义在复平面的虚轴上。






5.2拉普拉斯变换的收敛域


收敛域就是指F(s)存在的区域。由于F(s)定义在整个复数平面，它可以在整个复平面存在，也可以在复平面的某个区域存在。而傅里叶变换F(jω)只是定义在虚轴上，所以它没有收敛域的概念。

5.2.1双边拉普拉斯变换的收敛域

由式(51)所示的拉普拉斯变换的引出过程可以看出，f(t)的拉普拉斯变换可以看成是f(t)e-σt的傅里叶变换，所以若f(t)满足式（57）： 
∫+∞-∞|f(t)e-σt|dt<∞(57)
则f(t)的拉普拉斯变换一定存在。显然，上述条件主要取决于σ=Re{s}的选取。把能使信号f(t)的拉普拉斯变换存在的σ的取值范围在s平面上的所确定的区域称为F(s)的收敛域或收敛区(Region Of Convergence，ROC)。

一般来说，在整个时域上都不全为零的双边信号f(t)，选取任意时刻t0，都可以将其分成一个左边信号f1(t)和一个右边信号f2(t)之和，如图51所示，即
f(t)=f1(t)+f2(t)(58)
其中，f1(t)=0,t>t0，f2(t)=0,t<t0。其双边拉普拉斯变换为： 
F(s)=F1(s)+F2(s)(59)



图51双边信号的分解


对于左边信号f1(t)，如果其拉普拉斯变换存在，总能找到一个最大的σ1，当
σ<σ1时，使limt→-∞|f1(t)e-σt|=0，从而保证∫t0-∞|f1(t)e-σt|dt<∞。

对于右边信号f2(t)，总能找到一个最小的σ0，当σ>σ0时，使
limt→∞|f2(t)e-σt|=0，从而保证∫∞t0|f2(t)e-σt|dt<∞。

将σ0和σ1称为收敛坐标，σ=σ0和σ=σ1为复平面上平行于虚轴的直线，称其为收敛轴。综上分析，不难得到不同信号的收敛域： ①左边信号的收敛域为σ=Re{s}<σ1，也就是复平面收敛轴σ=σ1以左的区域； ②右边信号的收敛域为σ=Re{s}>σ0，也就是复平面收敛轴σ=σ0以右的区域； ③双边信号的收敛域σ0<Re{s}=σ<σ1，也就是两个收敛轴σ=σ0和σ=σ1之间的带状区域； ④如果找不到相应最小的σ0，则右边信号的拉普拉斯变换不存在； ⑤如果找不到相应最大的σ1，则左边信号的拉普拉斯变换不存在； ⑥若σ0>σ1，则双边信号的拉普拉斯变换不存在
，具体收敛域如图52所示。



图52F(s)的ROC


收敛域之所以具有这样的规律性，也和在定义拉普拉斯变换的过程中，假设σ为常数有关。当σ被看作常数时，参变量s=σ+jω，只能按照给定σ改变ω的方式在整个复平面变化，这就决定了收敛域的上述规律性。


例5.1分别计算信号f(t)=e-|t|和g(t)=e|t|的双边拉普拉斯变换及其收敛域。
解F(s)=∫+∞-∞e-|t|e-stdt=∫0-∞ete-stdt+∫+∞0e-te-stdt
=-e-(s-1)ts-10-∞-e-(s+1)ts+1∞0=F1(s)+F2(s)
容易计算，当Re{s}<1时，F1(s)=-1s-1； 当Re{s}>-1时，F2(s)=1s+1。所以可得： F（s）=-1s-1+1s+1=-2s2-1,-1<Re{s}<1。将-1<Re{s}<1的区域称为该信号的收敛域，该收敛域是一个带状区域，如图53(a)所示。

同理，可以计算:
G(s)=∫+∞-∞e|t|e-stdt=∫0-∞e-te-stdt+∫+∞0ete-stdt=-e-(s+1)ts+10-∞-e-(s-1)ts-1+∞0
由于上式中第一项积分的收敛域为Re{s}<-1； 第二项积分的收敛域为Re{s}>1，如图53(b)所示。由于第一项积分和第二项积分的收敛域之间没有公共部分，所以信号g(t)=e|t|的拉普拉斯变换不存在。





图53双边信号的收敛域



例5.2分别计算信号f(t)=e-tu(t)和g(t)=-e-tu(-t)的双边拉普拉斯变换。
解F(s)=∫+∞-∞e-tu(t)e-stdt=∫∞0e-(s+1)tdt=-e-(s+1)ts+1∞0
上式积分只有在Re{s}+1>0，即Re{s}>-1时存在，此时
e-tu(t)1s+1,Re{s}>-1
G(s)=∫+∞-∞-e-tu(-t)e-stdt=∫0-∞-e-(s+1)tdt=e-(s+1)ts+10-∞
上式积分只有在Re{s}+1<0，即Re{s}<-1时存在，所以可得： 
-e-tu(-t)1s+1,Re{s}<-1
从例5.1可以看出，双边拉普拉斯变换如果存在，其收敛域一定是带状的。从例5.2可以看出，两个不同的信号，它们的双边拉普拉斯变换式完全相同，仅仅是收敛域不同。换个方式说，若不考虑拉普拉斯变换的收敛域，求1/(s+1)的拉普拉斯逆变换，会得到两个完全不同的时域信号，这显然是不对的。因此，收敛域是双边拉普拉斯变换中很重要的概念，只有双边拉普拉斯变换式和给定的收敛域相结合才能在原函数和象函数之间建立起一一对应的关系。这说明双边拉普拉斯变换比较复杂和麻烦。

5.2.2单边拉普拉斯变换的收敛域

f(t)的单边拉普拉斯变换如式(55)所示。容易看出，单边拉普拉斯变换就是t0=0-情况下右边信号的双边拉普拉斯变换。关于其收敛域有如下收敛定理。

如果因果函数f(t)满足： ①在有限区间a<t<b内可积； ②对于某个σ0，
当σ>σ0时，有limt→∞|f(t)|e-σt=0； 则对于Re{s}=σ>σ0,F(s)=∫∞0-f(t)e-stdt绝对且一致收敛。



图54单边拉普拉斯
变换的ROC


收敛定理确定了单边拉普拉斯变换的收敛域，就是复平面收敛轴σ=σ0以右的区域。如图54所示。这样，在单边拉普拉斯变换情况下，即使不标注收敛域，也不会破坏其和原函数之间的一一对应关系，不会出现例5.2的情况，所以，单边拉普拉斯变换一般不标注收敛域。


在涉及拉普拉斯变换的大多数实际问题中，如LTI系统微分方程的求解、电路系统的分析等，人们所关心的往往是有始信号，单边拉普拉斯变换得到了更广泛的应用。鉴于此，下面主要学习单边拉普拉斯。






5.3单边拉普拉斯变换的性质


由于拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，因此拉普拉斯变换的大多数性质与傅里叶变换相似，所以在下面讨论这些性质时，将不再做详细推导，而将精力集中在讨论拉普拉斯变换所具有的特殊问题上。事实上，绝大多数单边拉普拉斯变换性质的证明，只要简单地将信号函数表达式直接代入变换关系式中做简单的推算即可，并不需要太多的技巧。

1. 线性性质

若f1(t)u（t）F1(s),f2(t)u（t）F2(s)，a1,a2为任意常数，则： 
a1f1(t)u（t）+a2f2(t)u（t）a1F1(s)+a2F2(s)(510)
例5.3计算cosωt的单边拉普拉斯变换。

解由欧拉公式可知cosωt=ejωt+e-jωt2。先计算e-αt的单边拉普拉斯变换。L［e-αt］=∫∞0e-αte-stdt=1s+ασ>-α，即e-αtu（t）1s+ασ>-α。由此，可得e-jωtu（t）1s+jωσ>0； ejωtu（t）1s-jωσ>0。利用线性性质可得： 
（cosωt）u（t）ss2+ω2，σ>0； 同理可得： （sinωt）u（t）ωs2+ω2，σ>0。

2. 时域平移性质

若f(t)u（t）F(s),则： 
f(t±t0)u(t±t0)e±st0F(s)(511)
证明
L［f(t±t0)u(t±t0)］=∫∞0f(t±t0)u(t±t0)e-stdt=∫∞t0f(t±t0)e-stdt
令τ=t±t0，则有t=τt0，代入上式得： 
L［f(t±t0)u(t±t0)］=∫∞0f(τ)e-s(τt0)dτ=e±st0∫∞0f(τ)e-sτdτ=e±st0F(s)
注意，这里时域平移性质和傅里叶变换的时域平移性质有较大的区别，就是后面的阶跃信号也要平移。可以验证，L［f(t±t0)u(t)］≠e±st0F(s)。

例5.4计算门函数gτ（t）的单边拉普拉斯变换。

解由于gτ（t）u（t）=u（t）-ut-τ2，所以，先计算阶跃函数u（t）的拉普拉斯
变换。［u（t）］=∫∞0e-stdt=1s，σ>0。由拉普拉斯变换的线性性质和时移性质可得： 
gτ（t）u（t）1s-e-τ2ss=1-e-τ2ss，σ>-∞
3. 尺度变换性质

若a>0为实常数，则： 
f(at)u（t）1aFsa(512)
4. 时域微分性质

若f(t)u（t）F(s)，则： 
ddtf(t)u（t）sF(s)-f(0-)d2dt2f(t)u（t）s2F(s)-sf(0-)-f′(0-)dndtnf(t)u（t）snF(s)-∑n-1j=0s(n-j-1)djf(0-)dtj(513)
证明对ddtf(t)直接进行单边拉普拉斯变换，简单地使用分步积分就可得到： 
∫+∞0-df(t)dte-stdt=f(t)e-st+∞0-+s∫+∞0-f(t)e-stdt=-f(0-)+sF(s)
同理可得d2dt2f(t)u（t）s2F(s)-sf(0-)-ddtf(0-)

重复上述推算，对信号f(t)的n阶微分，可得到:
dndtnf(t)snF(s)-∑n-1j=0s(n-j-1)djf(0-)dtj
特别地，若f(0-)=0，则dndtnf(t)snF(s)。

注意，这里的微分性质将信号的初始状态引入信号的象函数中，有利于分析系统的全响应，和傅里叶变换有明显区别。

例5.5计算冲激函数各阶导数δ(n)（t）的单边拉普拉斯变换。

解容易计算L［δ（t）］=∫∞0-δ（t）e-stdt=1，故有δ(n)（t）sn。

5. 时域积分性质

若f(t)u（t）F(s)，则： 
∫t-∞f(τ)dτu（t）1sF(s)+1s∫0--∞f(t)dt［f(-n)(t)］u（t）1snF(s)+∑nj=11sn-j+1f(-j)(0-)(514)
证明为了计算方便，先将∫t-∞f(τ)dτ改写为如下形式： 
∫t-∞f(τ)dτ=∫0--∞f(τ)dτ+∫t0-f(τ)dτ
上式中，等号右边第一项是常数，第二项是函数，两边作单边拉普拉斯变换，有： 
∫+∞0-∫t-∞f(τ)dτe-stdt=∫∞0-∫0--∞f(τ)dτ+∫t0-f(τ)dτe-stdt=∫+∞0-∫0--∞f(τ)dτe-stdt+∫∞0-∫t0-f(τ)dτe-stdt=1s∫0--∞f(τ)dτ+1sF(s)
重复上述过程，可得到更一般的结果：
［f(-n)(t)］u（t）1snF(s)+∑nj=11sn-j+1f(-j)(0-)
当∫0--∞f(t)dt=0时，［f(-n)(t)］u（t）1snF(s)。

例5.6计算tn的单边拉普拉斯变换。

解由于L［tu（t）］=∫∞0te-stdt=1-s∫∞0tde-st=1-s［te-st∞0-∫∞0e-stdt］

=-1s-1-se-st∞0=1s2σ>0

又由于t2u（t）=2∫t0τdτ，所以由积分性质可得： t2u（t）2s3，重复上述过程，可得： 
tnu（t）n!sn+1σ>0
例5.7求图55所示梯形信号的拉普拉斯变换。





图55梯形信号波形及各阶导数


解直接对f(t)求拉普拉斯变换，需要分段求积，较为麻烦。若利用时域微分和积分性质，则可简化求解过程。

f(t)的一阶导数(参看图55(b))为： 
f′(t)=2g1t-12-2g1t-72
f(t)的二阶导数(参看图55(c))为： 
f″(t)=2δ(t)-2δ(t-1)-2δ(t-3)+2δ(t-4)
由于δ(t)1，ROC为整个s平面，则由时域平移性质和线性性质，得:
L［f″(t)］=2-2e-s-2e-3s+2e-4s
从一个信号的二阶微分求原信号可由积分完成，由图55(b)和图55(c)容易看出： ∫0--∞f′(t)dt=0,∫0--∞f″(t)dt=0，所以，由时域积分性质，得： 
L［f(t)］=1s2L［f″(t)］=2s2(1-e-s-e-3s+e-4s)=2s2［(1-e-s)-e-3s(1-e-s)］=2(1-e-s)s2(1-e-3s)
6. 时域卷积性质

若f1(t)u（t）F1(s)，f2(t)u（t）F2(s)，则： 
f1(t)u（t）f2(t)u（t）F1(s)F2(s)(515)

证明f1(t)u（t）f2(t)u（t）=∫+∞-∞f1(τ)u（τ）f2(t-τ)u（t-τ）dτ
=∫+∞-∞12πj∫σ+j∞σ-j∞F1(s)esτdsf2(t-τ)u（t-τ）dτ
=12πj∫σ+j∞σ-j∞F1(s)∫+∞-∞f2(t-τ)u（t-τ）esτdτds
=12πj∫σ+j∞σ-j∞F1(s)∫+∞-∞f2(τ+t)u（τ+t）e-sτdτds
=12πj∫σ+j∞σ-j∞F1(s)F2(s)estds
7. 频域卷积性质

如果f1(t)u（t）F1(s)，f2(t)u（t）F2(s)，则： 
f1(t)u（t）×f2(t)u（t）12πjF1(s)F2(s)(516)
证明假设f(t)=f1(t)u（t）×f2(t)u（t）的拉普拉斯变换为F(s)，则： 
F(s)=∫+∞-∞f1(t)u（t）f2(t)u（t）e-stdt
=∫+∞-∞12πj∫σ+j∞σ-j∞F1(s1)es1τds1f2(t)u（t）e-stdt
=12πj∫σ+j∞σ-j∞F1(s1)∫+∞-∞f2(t)u（t）e-(s-s1)tdtds1
=12πj∫σ+j∞σ-j∞F1(s1)F2(s-s1)ds1=12πjF1(s)F2(s)
证毕。注意，以上两个性质和傅里叶变换对应的性质在形式上相同。

8. s域平移性质

若f(t)u（t）F(s)，则： 
e±s0tf(t)u（t）F(ss0)(517)
例5.8计算e-αttu（t）、e-αt（sinωt）u（t）和e-αt（cosωt）u（t）单边拉普拉斯变换。
解L［e-αttu（t）］=1（s+α）2； L［e-αt（sinωt）u（t）］=ω（s+α）2+ω2
L［e-αt（cosωt）u（t）］=s+α（s+α）2+ω2
9. s域微分性质

若f(t)u（t）F(s)，则： 
-tf(t)u（t）ddsF(s)(518)
推广到n阶复频域微分，可得更一般的形式： (-t)nf(t)u(t)dndsnF(s)。

例5.9求图56所示的周期信号的单边拉普拉斯变换。



图56锯齿波信号的时域波形




解设f0(t)为f(t)的一个周期(如图56(b)所示)，f0(t)=t［u(t)-u(t-T)］
，则单边周期信号f(t)可以表示为f(t)u（t）=∑+∞n=0f0(t-nT)。由s域微分性质可得： 
F0(s)=-dds(1-e-sT)s=Te-sTs-1s2+e-sTs2=e-sT（sT+1）-1s2
由时移特性可得： f(t)u(t)∑∞n=0e-nTsF0(s)=11-e-TsF0(s)

整理后可得： f(t)u(t)11-e-sTe-sT（sT+1）-1s2。

例5.10计算冲激函数序列的单边拉普拉斯变换。
解由于δT(t)u（t）=∑+∞n=0δ(t-nT)，δ(t)1，所以容易得到： 
δT(t)u（t）∑+∞n=0e-nTs=11-e-sT
例5.11计算（tsinωt）u（t）和（tcosωt）u（t）的单边拉普拉斯变换。

解由s域微分性质可得： 
（tsinωt）u（t）-ddsωs2+ω2=2ωs（s2+ω2）2
（tcosωt）u（t）-ddsss2+ω2=s2-ω2（s2+ω2）2
10. 复频域积分性质

若f(t)u（t）F(s)，则： 
1tf(t)u（t）∫+∞sF(s1)ds1(519)
证明因为F(s)=∫+∞0f(t)e-stdt，两边从s→+∞取积分得： 
∫+∞sF(s1)ds1=∫+∞s∫+∞0f(t)e-s1tdtds1=∫+∞0f(t)∫+∞se-s1tds1dt=∫+∞01tf(t)e-stdt
证毕。

例5.12计算信号f(t)=sinttu(t)的单边拉普拉斯变换。

解由于（sint）u(t)1s2+1，则利用复频域积分性质，有F(s)=∫+∞s1s21+1ds1
做变量代换： s1=1s0，则ds1=-1s02ds0。当s1→∞时，s0→0，当s1→s时，s0→1s，所以有F(s)=∫1s01s20+1ds0，通过查积分表得到F(s)=arctan1s。

11. 初值定理

若f(t)的单边拉普拉斯变换为F(s)，且lims→+∞sF(s)存在，则： 
f(0+)= lims→+∞sF(s)(520)
证明将f(t)在t=0+处做泰勒级数展开： 
f(t)u（t）=∑∞n=01n!tnu（t）dndtnf(0+)=f(0+)+∑∞n=11n!tnu（t）dndtnf(0+)
由于tnu（t）n!sn+1，对上式两边进行单边拉普拉斯变换，得： 
F(s)=1sf(0+)+∑∞n=11sn+1dndtnf(0+)
两边同乘以s，并取s趋于无穷大的极限，有： 
lims→∞sF(s)=f(0+)+lims→∞∑∞n=11sndndtnf(0+)
所以，f(0+)= lims→∞sF(s)
可见，利用初值定理，可以直接从复频域中对sF(s)取s→+∞的极值求取信号f(t)在t=0时的初值f(0)，而不需要求F(s)的逆变换。为了使用初值定理，必须保证信号f(t)在t=0有确定的初值。这意味着要求f(t)在t=0处连续，即f(t)在t=0处不能包含有冲激函数及其导数。初值定理的描述中，条件“lims→∞sF(s)存在”就是这个意思。


12. 终值定理

若信号f(t)的单边拉普拉斯变换为F(s)，且sF(s)在s=0处存在，则： 
limt→∞f(t)= lims→0sF(s)(521)
证明由单边拉普拉斯变换的微分性质可得∫∞0+f′(t)e-stdt=sF(s)-f(0+)
，又因为lims→0∫∞0+f′(t)e-stdt=∫∞0+df(t)=f(∞)-f(0+)= lims→0［sF(s)-f(0+)］
所以： f(∞)= lims→0sF(s)
至此，讨论了单边拉普拉斯变换的12条性质，这些性质在计算单边拉普拉斯变换时是非常有用的，很多复杂信号的单边拉普拉斯变换都可以根据这些性质方便地求得。将上述例题中的结果总结到表51中，这些常用信号的单边拉普拉斯变换大家要熟记。


表51常用信号的单边拉普拉斯变换




信号
变换
收敛域


δ(t)
1
整个s平面
u(t)
1s
Re{s}>0
tnn!u(t)
1sn+1
Re{s}>0
e-αtu(t)
1s+α
Re{s}>-α
tnn!e-αtu(t)
1(s+α)n+1
Re{s}>-α
1πtu(t)1sRe{s}>0

cos(ωt)u(t)
ss2+ω2
Re{s}>0
sin(ωt)u(t)
ωs2+ω2
Re{s}>0
e-αtcos(ωt)u(t)
s+α(s+α)2+ω2
Re{s}>-α
e-αtsin(ωt)u(t)
ω(s+α)2+ω2
Re{s}>-α
（tsinωt）u（t）
2ωs（s2+ω2）2
Re{s}>0
（tcosωt）u（t）
s2-ω2（s2+ω2）2
Re{s}>0
sinttu(t)
arctan1s
Re{s}>0
∑∞n=0δ(t-nT)
11-e-sT
Re{s}>0


5.4单边拉普拉斯变换的零点和极点

1. 零点和极点的定义

一般来说，使象函数F(s)为零的点定义为F(s)的零点； 使象函数F(s)为无穷的点
定义为F(s)的极点。当象函数为有理分式的形式时，即F(s)=B（s）/A（s），其中B（s）和A（s）均为s的实系数多项式，将B（s）=0的根定义为F(s)的零点，将A（s）=0的根定义为F(s)的极点。在复平面上，极点一般用×表示，零点一般用○表示。

零点和极点一般可以分为单阶零极点和多阶零极点，实零极点和复零极点等。由于B（s）和A（s）均为s的实系数多项式，如果出现复零点或者复极点，它们的共轭也一定是零点或者极点，也就是说复零点和复极点都是共轭成对出现的。

常常将复平面以虚轴为分界线进行划分，将其以左的开平面称为左半开平面，将其以右的开平面称为右半开平面，所以复平面被分为三个区域，分别为左半开平面、虚轴和右半开平面。这些区域的极点或者零点分别称为位于左半开平面的零极点、位于虚轴上的零极点和位于右半开平面的零极点。

例5.13判断下述象函数具有哪些零点和极点，分别位于什么区域。
F(s)=(s2+2s+2)s2(s+2)(s2+4s+4)(s2+1)
解容易得到F(s)=(s+1+j)(s+1-j)s2(s+2)3(s+j)(s-j)

所以该象函数的零点共有2个，分别为： z1，2=-1±j为一阶共轭复零点，位于左半开平面。该象函数的极点共有7个，分别为： s1，2=0为二阶实极点，位于虚轴上； s3，4，5=-2为三阶实极点，位于左半开平面； s6，7=±j为一阶共轭复极点，位于虚轴上。

2. 象函数极点分布与其收敛域的关系

由前面的分析知道，单边拉普拉斯变换的收敛域为收敛轴以右的区域。在收敛域内肯定不能出现极点，否则F(s)将不收敛。所以F(s)的所有极点都应该在收敛轴以左的区域。假设F(s)有N个极点，分别为si,i=1,2，…，N，则容易得到F(s)的收敛坐标为： 
σ0= maxi{Re［si］|i=1,2,…，N}(522)
也就是说，其收敛坐标为最右边那个极点的实部。

3.F(s)与F(jω)之间的转换关系

由前面分析知道，F(s)是定义在整个复平面上的，而F(jω)是定义在复平面的虚轴上的。结合式(522)，可以得到结论：  
如果F(s)的极点全在左半开平面，则其收敛域一定包含虚轴，F(jω)=F(s)|s=jω； 
如果F(s)在虚轴或者在右半开平面有极点，则其收敛域一定不包含虚轴，上式不成立，即F(jω)≠F(s)|s=jω。

5.5拉普拉斯逆变换

在信号与系统的复频域分析中，经常会遇到求拉普拉斯逆变换的问题。由式(54)所示的拉普拉斯逆变换的定义式直接计算原函数的方法，在复变函数理论中，称为反演积分法，这是一个基本的方法。但是，它需要复变函数理论的支持，计算也比较困难。

本节主要讨论几种比较简单的常用的拉普拉斯逆变换计算方法，这些方法也可以推广到傅里叶逆变换的计算。





5.5.1查表法


将常用信号的拉普拉斯变换收集成表，则通过表中给出的拉普拉斯变换对，从象函数查原函数是一种很方便的方法。在数学手册中，一般都有比较完备的拉普拉斯变换函数表，表51所列的仅是其中一部分。为了充分发挥拉普拉斯变换表的作用，应该熟练掌握拉普拉斯变换的各种性质，这是因为有些象函数不能直接从表中查到，往往需要通过性质将其形式加以变换，使其能够匹配表中的函数形式，以便查找。

例5.14求F(s)=e-τss的拉普拉斯逆变换。

解查表知1πtu（t）1s，而e-τs仅反映原函数的延时τ。故有： 
1π(t-τ)u（t-τ）1se-sτ
例5.15求F(s)=2s+3(s+1)(s+2)的拉普拉斯逆变换。

解为了查表，将F(s)展开为F(s)=1s+1+1s+2，查表得f(t)=e-tu(t)+e-2tu(t)。

例5.16已知F(s)=11+e-2s，求F(s)的原函数。

解例5.16中F(s)不是有理分式，但是查表51可知，它和冲激函数序列的象函数比较接近，所以将其整理如下： 
F(s)=11+e-2s=1-e-2s(1+e-2s)(1-e-2s)=1-e-2s1-e-4s=11-e-4s-e-2s1-e-4s
查表51，由单边冲激函数序列拉普拉斯变换对及时移性质，易得： 
f(t)=∑∞n=0δ(t-4n)-∑∞n=0δ(t-2-4n)=∑∞n=0［δ(t-4n)-δ(t-2-4n)］

5.5.2部分分式展开法


在实际问题中，象函数常常表现为有理分式形式。当对式(21)所示的LTI系统的数学模型，即一般的常系数线性微分方程两端取拉普拉斯变换，整理后可得有理分式形式的象函数为： 





F(s)=B(s)A(s)=∑mi=0bisi∑nj=0ajsj(523)
式中aj，bi均为实数，n和m分别为分母多项式A(s)和分子多项式B(s)的阶次。根据n和m相对大小的不同，有两种情况： 

(1) m≥n，则F(s)=B(s)A(s)为有理假分式。这时可用多项式除法将B(s)A(s)分解为一个有理多项式和一个有理真分式之和的形式，即
F(s)=c0+c1s+…+cn-1sm-n+D(s)A(s)=N(s)+D(s)A(s)(524)
式中ci（i=0,1,…,n-1）为实数，N(s)为有理多项式，D(s)A(s)为有理真分式。

有理多项式N(s)的拉普拉斯逆变换为： c0δ（t）+c1δ(1)（t）+…+cn-1δ(m-n)（t）； D(s)A(s)的拉普拉斯逆变换可将其展开为部分分式之和后求取。

(2) m<n，F(s)的分子多项式B(s)的阶次小于分母多项式A(s)的阶次，即F(s)=B(s)A(s)为有理真分式，故可直接将其展开为部分分式之和后求逆变换。

下面，假设F(s)=B(s)A(s)为有理真分式，依据其分母多项式A(s)根的具体情况，也就是F(s)极点的情况分别分析其部分分式展开方法。

1. F(s)仅有单极点

若F(s)仅有n个单极点，即A(s)=0有n个单根si(i=1,2,…,n)，则无论si是实数、复数和虚数，都可以将F(s)展开为： 
F(s)=B(s)A(s)=B(s)(s-s1)(s-s2)…(s-sn)=∑ni=1kis-si(525)
两边同乘(s-si)，并令s=si，则可求出各部分分式项的系数为： 
ki=(s-si)F(s)s=si(526)
由于esitu(t)1s-si，所以，当F(s)仅有单阶极点时的单边拉普拉斯逆变换为： 
f(t)=∑ni=1kiesitu(t)(527)
(1) 若n个极点都是实极点，此时部分分式的展开系数ki均为实数，假设si=-σi，则有： 
f(t)=∑ni=1kie-σitu(t)(528)
(2) 若F(s)中有一对复数极点s1,2=-α±jβ，F(s)可展开为： 
F(s)=B(s)(s+α-jβ)(s+α+jβ)A1(s)
容易计算： k1=(s+α-jβ)F(s)s=-α+jβ=B(-α+jβ)2jβA1(-α+jβ);
k2=(s+α+jβ)F(s)s=-α-jβ=B(-α-jβ)-2jβA1(-α-jβ);
容易验证： k1=k*2，k2=k*1。若令k1=|k1|ejφ，则有： 
F(s)=|k1|s+α+jβejφ+|k1|s+α-jβe-jφ+∑ni=3kis-si
由复频域平移性质和线性性质，可得F(s)的原函数为： 
f(t)=［|k1|ejφ·e(-α-jβ)t+|k1|e-jφe(-α+jβ)t］u(t)+L-1∑ni=3kis-si=|k1|e-αt［e-j(βt-φ)+ej(βt-φ)］u(t)+∑ni=3kiesitu(t)=2|k1|e-αtcos(βt-φ)u(t)+∑ni=3kiesitu(t)(529)
(3) 由式(527)容易看出： 

当一阶极点位于左半开平面时，即Re［si］=σi<0，则其对应的原函数满足： 
limt→∞|kiesitu(t)|=0(530)
当一阶极点位于右半开平面时，即Re［sj］=σj>0，则其对应的原函数满足： 
limt→∞|kjesjtu(t)|=∞(531)
当一阶极点位于虚轴时，即Re［sl］=σl=0，则其对应的原函数满足： 
k*les*ltu(t)+klesltu(t)=2|kl|cos(ωlt-φl)或者klesltu(t)=klu(t)(532)
例5.17已知象函数F(s)=2s2+9s+18s2+4s+8，求其原函数f(t)。

解整理上式为： 
F(s)=(2s2+8s+16)+s+2s2+4s+8=s+2s2+4s+8+2=s+2(s+2)2+4+2=F1（s）+2
容易看出，F1（s）=s+2（s+2+2j）（s+2-2j）具有两个共轭复根，s1,2=-α±jβ=-2±j2，其对应的系数k1=(s+2-j2)F1(s)s=-2+j2=12。由式(529)可得： f1(t)=e-2tcos2tu(t)。所以，f(t)=2δ(t)+e-2tcos2tu(t)，limt→∞|f(t)|=0。该结果也可以通过查表得到。

例5.18求F(s)=2s3+7s2+10s+6s2+3s+2的原函数f(t)。

解F(s)是一个有理假分式，首先分解出真分式，故采用多项式除法，得： 

F(s)=1+2s+3s+4s2+3s+2=1+2s+F1(s)
F1(s)=3s+4(s+1)(s+2)=k1s+1+k2s+2
k1=(s+1)F1(s)|s=-1=(s+1)3s+4(s+1)(s+2)s=-1=3s+4s+2s=-1=1
k2=(s+2)F1(s)|s=-2=(s+2)3s+4(s+1)(s+2)s=-2=3s+4s+1s=-2=2
则其逆变换为:
f(t)=δ(t)+2δ′(t)+(e-t+2e-2t)u(t)
limt→∞|f(t)|=0
该例子的MATLAB实现的程序如下： 

syms s          %定义符号变量s 

Fs = (2*s^3+7*s^2+10*s+6)/(s^2+3*s+2);     

ft = ilaplace(Fs) %拉普拉斯逆变换求原函数


计算结果： ft=exp(-t)+2*exp(-2*t)+dirac(t)+2*dirac(1，t)

2.  F(s)仅有重极点

假设F(s)在s=s1处有r重极点，则可以将F(s)展开为： 
F(s)=B(s)A(s)=B(s)(s-s1)r=∑ri=1k1i(s-s1)r-i+1=k11(s-s1)r+k12(s-s1)r-1+…+k1r(s-s1)(533)
其展开系数k1i(i=1,2,…,r)可由式（534）确定： 
k1i=1(i-1)!di-1dsi-1［F(s)(s-s1)r］s=s1i=1,2,…,r(534)
由式(534)容易得到： 
K11=［F(s)(s-s1)r］|s=s1，K12=dds［F(s)(s-s1)r］|s=s1，K13=12d2ds2［F(s)(s-s1)r］|s=s1…
由复频域平移性质、线性性质和s域微分性质可得，F(s)的原函数为： 
f(t)=(k1,r+k1,r-1t+k1,r-22t2+…+k11（r-1）!tr-1)es1tu(t)
=∑ri=1k1,i（r-i）!tr-ies1tu(t)(535)
(1) 若r重极点s1=-σ1是实极点，则部分分式的展开系数k1i(i=1,2,…,r)为实数，则： 
f(t)=∑ri=1k1i（r-i）!tr-ie-σ1tu(t)(536)
(2) 若r重极点s1=-α+jβ是复极点，则必有另一极点s2=-α-jβ也是r重极点，且满足s2=s*1。此时部分分式也呈现与复单极点类似的特点，即若对应s1和s2各有r个展开系数，分别为k11,k12,…,k1i,…,k1r和k21,k22,…,k2i,…,k2r，则有： k1i=k*2i=|k1i|ejφi，
i=1,2,…,r。则原函数的一般形式为： 
f(t)=2∑ri=1|k1i|（r-i）!tr-ie-αtcos(βt-φi)u(t)(537)
例如，设F(s)有二重共轭复根，s1=-α+jβ,s2=-α-jβ，则F(s)可展开为:
F(s)=B(s)(s+α+jβ)2(s+α-jβ)2=k12(s+α+jβ)+k11(s+α+jβ)2+k22(s+α-jβ)+k21(s+α-jβ)2=k12(s+α+jβ)+k11(s+α+jβ)2+k*12(s+α-jβ)+k*11(s+α-jβ)2=|k12|ejφ1(s+α+jβ)+|k11|ejφ2(s+α+jβ)2+|k12|e-jφ1(s+α-jβ)+|k11|e-jφ2(s+α-jβ)2
由式(537)可得： 
f(t)=2|k12|e-αtcos(βt-φ1)u(t)+2|k11|te-αtcos(βt-φ2)u(t)
(3) 由式(535)容易看出，

当r重极点位于左半开平面时，即Re［s1］=σ1<0，则其对应的原函数满足： 
limt→∞|f(t)|= limt→∞∑ri=1k1i（r-i）!tr-ies1tu(t)=0(538)
当r重极点位于虚轴或者右半开平面时，即Re［s1］=σ1≥0，则其原函数满足： 
limt→∞|f(t)|= limt→∞∑ri=1k1i（r-i）!tr-ies1tu(t)=∞(539)
3. 单根和重根同时存在的情况

一般情况下，F(s)既有各类单极点，也会有各类r重极点，即
F(s)=B(s)(s-s0)r(s-s1)…(s-sn-r)=∑ri=1k1i(s-s0)r-i+1+∑n-ri=1kis-si=F1(s)+F2(s)(540)
式中，F1(s)仅含有r重极点，F2(s)的极点全为单极点。根据线性性质，可以分别用式(527)和式(535)中讨论的方法求出F1(s)和F2(s)对应的原函数，从而得到： 
f(t)=f1(t)+f2(t)=∑ri=1k1i（r-i）!tr-ies0tu(t)+∑n-ri=1kiesitu(t)(541)
例5.19计算F(s)=s2(s+2)(s+1)2的原函数。
解F(s)=s2(s+2)(s+1)2=k1s+2+k11(s+1)2+k12s+1
k1=(s+2)s2(s+2)(s+1)2s=-2=s2(s+1)2s=-2=4
k11= (s+1)2s2(s+2)(s+1)2s=-1=s2(s+2)s=-1=1
k12=dds(s+1)2s2(s+2)(s+1)2s=-1=ddss2s+2s=-1=2s(s+2)-s2(s+2)2s=-1=s2+4s(s+2)2s=-1=-3
所以，查表可得： f(t)=(4e-2t-3e-t+te-t)u(t)，limt→∞|f(t)|=0。

该例子的MATLAB实现的程序如下： 

syms s%定义符号变量s

Fs = (s^2)/((s+2)*(s+1)* (s+1));

ft = ilaplace(Fs);%拉普拉斯逆变换求原函数

计算结果：  ft =4*exp(-2*t) - 3*exp(-t) + t*exp(-t) 

本章小结

本章重点介绍了单边拉普拉斯变换的定义、收敛域、性质及正变换和逆变换的计算方法，介绍了象函数的零极点的概念，在此基础上，介绍了基于极点分布的收敛域判定方法，拉普拉斯变换和傅里叶变换的转换方法，以及不同区域极点所对应原函数的变化趋势。希望大家掌握这些概念和结论，熟练掌握拉普拉斯正变换和逆变换的计算方法。


习题

5.1求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。

(1) u(t+1)(2) (e2t+e-2t)u(t)

(3) (t-1)u(t)(4) (1+te-t)u(t)

5.2求下列函数的单边拉普拉斯变换。

(1) sinω0(t-1)U(t-1)(2) 1-2e-t+e-2t

(3) 2δ(t)-e-t(4) 3sint+2cost

(5) te-2t(6) e-tsin(2t)

5.3利用常用信号拉普拉斯变换对及拉普拉斯变换的性质，求下列函数的单边拉普拉斯变换。

(1) e-t［u(t)-u(t-2)］(2) sin(πt)u(t)-sin［π(t-1)］u(t-1)

(3) δ(4t-2)(4) sin2t-π4u2t-π4

(5) ∫t0sin(πx)dx(6) d2sin(πt)dt2u(t)

(7) t2e-2tu(t)(8) te-αtcos(βt)u(t)

5.4设f(t)u(t)F(s)，且有实常数a>0,b>0，试证明： 

(1) f(at-b)u(at-b)1ae-basFsa

(2) 1ae-batftau(t)F(as+b)

5.5图57所示均为从t=0起始的周期信号。求f(t)的单边拉普拉斯变换。



图57单边周期信号波形



5.6已知因果信号f(t)的象函数为F(s)，利用初值和终值定理计算下列F(s)的原函数f(t)的初值f(0)和终值f(∞)，并检验其正确性。

(1) F(s)=s+1(s+2)(s+3)(2) F(s)=s+3s2+6s+10

(3) F(s)=2s(s+2)2(4) F(s)=2s+1s3+3s2+2s=2s+1s(s+1)(s+2)

(5) F(s)=1-e-2ss(s2+4)

5.7已知f(t)为因果信号，求下列信号的象函数。

(1) e-2tf(2t)(2) (t-2)2f12t-1

(3) te-tf(3t)(4) f(at-b),a>0,b>0

5.8求下列各象函数的拉普拉斯逆变换。

(1) 1(s+2)(s+4)(2) s2+1s2+5s+6(3) 2s(s2+4)

(4) 2s(s+2)(s2+2s+1)(5) s2+4s+5s2+3s+2(6) s2+4s(s+1)(s2-4)

(7) 1(s2+1)2(8) s+5s(s2+2s+5)(9) 1s(1+e-s)

(10) 1-e-ss2(11) π(1+e-s)(s2+π2)(1-e-2s)(12) π(1-e-2s)s2+π2

(13) 1(s+3)(s+2)2