第3章模拟调制系统 3.1学习辅导 3.1.1教学背景 通信的目的是实现信息的有效传输。携带信息的信号有基带信号和频带信号。基带信号的频谱从零频或低频开始，频带信号的频谱分布在带通型信道的某一频带内。在大多数情况下信道是带通型的，所以需要采用频带信号的传输。调制的目的是把基带信号的频谱搬移到较高的频率上，以实现信号在带通型信道上的传输。 按基带信号的不同，调制分为模拟调制和数字调制。按已调信号频谱和基带信号频谱之间的关系，模拟调制又分为线性调制和非线性调制。线性调制是指已调信号频谱是基带信号频谱的线性搬移，非线性调制是指已调信号频谱不是基带信号频谱的线性搬移。 线性调制又称为幅度调制，包括常规调幅、双边带调制、单边带调制和残留边带调制。非线性调制又称为角调制，包括相位调制和频率调制。 模拟线性调制的实现方法简单，带宽不超过基带信号带宽的2倍，抗噪声性能较差。角调制中宽带调频信号的实现方法比模拟线性调制复杂，带宽超过基带信号带宽的2倍，抗噪声性能较强。宽带调频信号的应用更加广泛。 3.1.2知识点框图 3.1.3学习目标 (1) 解释模拟调制的含义。解释模拟线性调制和模拟非线性调制的含义。 (2) 列出常规调幅信号的时域表达式和频域表达式，计算信号带宽、调幅指数和调制效率，画出调制和解调框图。 (3) 列出双边带信号的时域表达式和频域表达式，计算信号带宽，画出调制和解调框图。 (4) 画出滤波法形成单边带信号的框图，对应滤波法列出单边带信号的频域表达式，计算信号带宽。画出相移法形成单边带信号的框图，对应相移法列出单边带信号的时域表达式。画出单边带信号相干解调的框图。 (5) 画出用滤波法形成残留边带信号的框图，对应滤波法列出残留边带信号的频域表达式。通过相干解调的过程解释残留边带滤波器的特性。 (6) 建立通信系统的抗噪声性能分析模型，列出抗噪声性能的指标。建立线性调制相干解调的抗噪声性能分析模型，了解信噪比增益公式的推导过程，计算信噪比实例。建立常规调幅包络检波的抗噪声性能分析模型，了解信噪比增益公式的推导过程，计算信噪比实例。比较各种线性调制信号的抗噪声性能。 (7) 解释角调制的含义。 (8) 比较窄带调频信号和常规调幅信号的异同点。 (9) 对于宽带调频信号： ① 列出单频调制的宽带调频信号的时域表达式和频域表达式。 ② 熟练使用卡森公式计算宽带调频信号的带宽。 ③ 用倍频法实现宽带调频信号的产生。 (10) 建立宽带调频鉴频解调的抗噪声性能分析模型，了解信噪比增益公式的推导过程，计算信噪比实例。比较宽带调频信号和线性调制信号的抗噪声性能。 (11) 了解预加重技术改善输出信噪比的原理和作用。 (12) 说明复用的定义，分析频分复用的原理，用模拟调制实现频分复用。 (13) 举例说明模拟通信系统的应用。 3.1.4学习要点 1. 模拟线性调制系统 (1) 常规调幅 时域表达式，时域波形，调幅指数； 频域表达式，频谱图，信号的带宽； 常规调幅信号的功率，调制效率； 常规调幅信号的调制和解调。 (2) 抑制载波双边带调幅 时域表达式，时域波形； 频域表达式，频谱图，信号的带宽； 双边带信号的调制与解调。 (3) 单边带调制 用滤波法形成单边带信号，单边带信号的频域表达式及带宽； 用相移法形成单边带信号，单边带信号的时域表达式； 单边带信号的相干解调。 (4) 残留边带调制 用滤波法形成残留边带信号，频域表达式及带宽； 残留边带滤波器的特性； 残留边带信号的相干解调和插入大载波的包络检波。 (5) 线性调制系统的抗噪声性能 通信系统的抗噪声性能分析模型； 抗噪声性能的指标：输出信噪比、信噪比增益； 双边带调制相干解调的抗噪声性能； 单边带调制相干解调的抗噪声性能； 常规调幅包络检波的抗噪声性能。 2. 模拟非线性调制系统 (1) 模拟角调制的基本概念 角调制的定义和表示； 调频和调相的关系。 (2) 宽带调频信号的描述和产生 单频调制的宽带调频信号的时域表达式和频域表达式； 宽带调频信号的带宽，卡森公式； 宽带调频信号的产生方法。 (3) 宽带调频信号的抗噪声性能 宽带调频信号的抗噪声性能分析模型； 宽带调频信号的抗噪声性能推导和计算； 增加传输带宽可换取信噪比的改善； 宽带调频信号的非相干解调有门限效应。 (4) 频分复用 复用的定义和目的； 频分复用的定义和原理； 频分复用的实现方法。 (5) 模拟通信系统的应用 模拟通信系统的组成实例； 模拟通信系统的典型应用。 3.1.5学习难点 1. 调制信号、载波和已调信号 调制信号即基带信号，指来自信源的消息信号。当基带信号是模拟信号时通常称为模拟调制信号，当基带信号是数字信号时通常称为数字基带信号。 载波指未受调制的周期性振荡信号，如正(余)弦波或周期性脉冲信号。第3章使用的是正(余)弦波，相应的调制称为连续波调制。 已调信号是载波经过调制后的信号，通常以调制方式作为已调信号的名称，例如幅度调制信号、频率调制信号等。 2. 线性调制和非线性调制 线性调制是指已调信号频谱是基带信号频谱的线性搬移，非线性调制是指已调信号频谱不是基带信号频谱的线性搬移。 线性调制又称为幅度调制，包括常规调幅、双边带调制、单边带调制和残留边带调制。 非线性调制又称为角度调制，包括相位调制和频率调制。 3. 相干载波和相干解调 在调制中使用的载波称为调制载波。在线性调制信号的解调时，为了实现已调信号的频谱搬移，接收机中使用的载波和调制载波同频同相，所以接收机中的载波称为相干载波，相应的解调方法称为相干解调。 一般来说，相干载波要从接收信号中提取。对接收信号进行处理，使之具有载波分量(或载波倍频分量)后进行提取。提取的方法有直接提取和锁相环提取。直接提取载波的方法简单，但提取的载波不够稳定。锁相环提取载波的方法复杂，但提取的载波比较稳定。 有些发射机在发送已调信号的同时发送导频信号，接收机用滤波器滤出导频信号后将其放大作为解调载波使用。 4. 非相干解调方法和门限效应 相干解调没有门限效应。相干解调器由相乘器和低通滤波器组成，在解调过程中信号和噪声可以分开处理，所以没有门限效应。 常规调幅信号的非相干解调指的是包络检波，宽带调频信号的非相干解调指的是鉴频器解调。在非相干解调过程中信号和噪声无法分开处理。只有当输入信噪比较高时，解调器的输出信噪比才能达到使用要求。当输入信噪比低于一定数值时，解调器的输出信噪比急剧恶化，这种现象称为门限效应。出现门限效应时的输入信噪比称为门限值。门限效应由解调器的非线性解调作用引起，原则上说是无法避免的。在某些场合可通过技术手段降低门限值，也称为门限值的扩展。 5. 多级滤波法产生单边带信号 一般的调制信号都具有丰富的低频成分，经调制后得到的双边带信号的上、下边带之间的间隔很窄，当采用滤波法形成单边带信号时，要求滤波器具有陡峭的截止特性，实现困难。在工程中，一般采用多级滤波法，就是通过多级频率偏移和多级滤波的方法，人为增大上、下边带的间隔，达到增大单边带滤波器过渡带的效果，使得滤波法得以工程实现。 6. 宽带调频信号的功率分配 对于调频信号来说，已调信号和未调制载波的幅度是相同的，所以调频信号的功率和未调载波的功率相同。也就是说，调频信号的功率与调制过程及调频指数无关。 宽带调频信号的功率包括载波分量的功率和边频分量的功率，调制信号改变时载波分量的功率和边频分量的功率随之变化，但总功率保持不变。调制信号对调频信号的功率没有贡献，其作用是改变调频信号功率的分配。 7. 总结宽带调频信号的特点 宽带调频信号是非线性调制信号，已调信号频谱不是基带信号频谱的线性搬移。宽带调频信号的带宽大于基带信号带宽的2倍，而且带宽随调频指数增大而增大。宽带调频信号的抗噪声性能明显优于模拟线性调制信号，增加传输带宽可得到信噪比的改善，具有以带宽换取信噪比的重要特性。宽带调频信号的非相干解调有门限效应。 8. 几组有关联的定义 （1） 单边带宽和双边带宽 单边带宽是指信号在正频率一侧的带宽，双边带宽是指信号在正、负频率两侧的带宽。实际的信号只有在正频率一侧的带宽，即单边带宽。使用双边带宽是为了便于在频域中分析问题。 （2） 噪声的单边功率谱密度和双边功率谱密度、窄带噪声功率 噪声的单边功率谱密度是指噪声功率只在正频率一侧的分布，通常用n0表示。双边功率谱密度是指噪声功率在正、负频率两侧的分布，通常用n0/2表示。窄带噪声功率可以由单边功率谱密度n0和单边带宽B求出，也可以由双边功率谱密度n0/2和双边带宽2B求出，其结果是一致的。在提到信道条件时，有时使用单边功率谱密度n0，有时使用双边功率谱密度n0/2。 （3） 单边带信号和双边带信号 单边带信号是指经过调制以后只有一个边带的信号，其带宽B与基带信号带宽W相同。 双边带信号是指经过调制以后有两个边带的信号，其带宽B是基带信号带宽W的2倍。 3.1.6学习后记 根据通信系统的信道中传输的信号是模拟信号还是数字信号，将通信方式分为模拟通信和数字通信。 第3章讨论了模拟通信系统。模拟通信是最早发展起来的通信方式。模拟通信系统的组成简单，信号占用的带宽窄，但是抗噪声性能差。模拟通信目前主要应用于电视和广播。 数字通信是在模拟通信的基础上发展起来的通信方式。数字通信有模拟通信不可比拟的优点，数字通信自20世纪60年代以来发展极为迅速，逐渐替代模拟通信，到20世纪80年代已成为主流的通信方式。 大量需要传输的信号是模拟信号，为了用数字通信系统传输模拟信号，首先要设法把模拟信号转换为数字信号，然后用数字通信系统进行传输。 第4章将讨论通过数字化手段把模拟信号转换为数字信号。第5章和第6章将讨论数字信号的传输。 3.2习题解答 3.1幅度为A0的载波受到幅度为Am的单频余弦波调制产生调幅波。 (1) 试画出其时间波形； (2) 试画出其频谱组成； (3) 指出什么时候开始过调幅。 解由题目已知条件可写出此调幅波的时域表达式为 sAM(t)= (A0+Amcosωmt)cos ωct (1) 调幅波的时间波形如图题解31(a)所示。 图题解31 (2) 已知调幅波的时域表达式后，通过傅里叶变换可求出它的频谱为 SAM(ω)=πA0［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］+ πAm2［δ(ω-ωc-ωm)+δ(ω+ωc+ωm)+ δ(ω-ωc+ωm)+δ(ω+ωc-ωm)］ 频谱组成如图题解31(b)所示。 (3) 载波的幅度为A0，调制信号为单频余弦波，幅度为Am，根据调幅波的性质可知，当Am＞A0时出现过调幅。 3.2使用题3.1的AM波。 (1) 试求在Am=14A0,12A0,34A0和A0时的总边带功率； (2) 画出调制效率与调幅指数Am/A0的依赖关系。 解 (1) 题3.1中的AM波表达式为 sAM(t)=(A0+Amcosωmt)cosωct 调制信号f(t)表达式为 f(t)=Amcosωmt 调幅波的边带功率计算公式为 Pf=f2(t)2 可求此调幅波的边带功率为 Pf= (Amcosωmt)2 2= 14A2m 所以，当Am=14A0时 Pf= 14A2m= 14· A2016= A2064 当Am=12A0时 Pf= 14A2m= 14· A204= A2016 当Am=34A0时 Pf= 14A2m= 14· 9A2016= 9A2064 当Am=A0时 Pf= 14A2m= A204 (2) 调制效率ηAM与调幅指数βAM的关系式为 ηAM= PfPAM= PfPc+Pf= f2(t)A20+f2(t)= A2m2A20+A2m= β2AM2+β2AM 上式经数学推导可知，调制效率ηAM随调幅指数βAM增大而增大，其中在βAM=2/3处有拐点。由此可画出调制效率与调幅指数的依赖关系，如图题解32所示。 图题解32 3.3如果调制信号改为峰峰值为2Am的方波，重复题3.2的内容，并进行比较。 解(1) 调幅波的边带功率计算公式为 Pf= f2(t)2 当f(t)为峰峰值为2Am的方波时，边带功率为 Pf= f2(t)2= A2m2 所以，当Am= 14A0时 Pf= f2(t)2= 12· A2016= A2032 当Am=12A0时 Pf= f2(t)2= 12· A204= A208 当Am=34A0时 Pf= f2(t)2= 12· 9A2016= 9A2032 当Am=A0时 Pf= f2(t)2= A202 (2) 调制效率ηAM与调幅指数βAM的关系式为 ηAM= PfPAM= PfPc+Pf= f2(t)A20+f2(t)= A2mA20+A2m= β2AM1+β2AM 上式经数学推导可知，调制效率ηAM随调幅指数βAM增大而增大，其中在βAM=1/3处有拐点。由此可画出调制效率与调幅指数的依赖关系，如图题解33所示。 图题解33 3.4如果原来是100%的单音调幅波通过滤波器后使其上边带幅度降低一半，试求其输出波形的时间表示式。 解100％的单音调幅波可表示为 sAM(t)= (A0+Amcosωmt)cosωct 由傅里叶变换可求出其频谱为 SAM(ω)=πA0［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］+ 12πAm［δ(ω-ωc-ωm)+δ(ω+ωc+ωm)］+ 12πAm［δ(ω-ωm+ωc)+δ(ω+ωm-ωc)］ 调幅波经过滤波器后其上边带幅度降低一半，则其输出波形的频谱为 SAM(ω)=πA0［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］+ 14πAm［δ(ω-ωc-ωm)+δ(ω+ωc+ωm)］+ 12πAm［δ(ω-ωm+ωc)+δ(ω+ωm-ωc)］ 根据傅里叶反变换，可求出输出波形的时域表达式为 sAM（t）= A0cosωct+ Am4cos ［(ωc+ωm)t］+ Am2cos ［(ωc-ωm)t］ 3.5已知一个AM发射机的负载为50Ω电阻，未调制时负载上的平均功率为100W，当调幅器输入端所加单频正弦测试信号的峰值幅度是5V时，在负载上的平均功率增高50%，试求： (1) 每个边带的平均输出功率； (2) 负载上的调幅指数； (3) 负载上的调幅波形的峰值幅度； (4) 当调制正弦波的幅度减小到2V时，求负载上的平均功率。 解由题目条件可画出AM发射机的示意图，如图题解35所示。 图题解35 (1) 由题目条件可知，当调幅器未调制时负载上的平均功率为100 W，即负载上的载波功率 Pc=100W 当调幅器输入端所加单频正弦信号的峰值幅度是5V时，在负载上的平均功率增高50%，即此时负载上的调幅信号的功率为 PAM=100×(1+50%)=150(W) 调幅信号的功率为载波功率与边带功率之和，由此可求出边带功率为 Pf=PAM-Pc=50(W) 所以，每个边带的平均输出功率为 12Pf=25(W) (2) 调幅波的调制效率ηAM与调幅指数 βAM的关系为 ηAM= PfPAM= β2AM2+β2AM 把PAM=150W，Pf=50W代入上式中，可求出调幅指数为 βAM=1 (3) 方法一： 假设负载上的调幅波的表达式为(A0+Amsinωmt）cosωct，其中A0为载波幅度，Am为调制信号幅度，载波在电阻R上所消耗的平均功率为Pc，则有PcR=(A0cosωct)2=12A201+cos2ωct=12A20，因此，负载上的载波功率的计算式为 Pc=A202R 载波幅度可表示为 A0= 2RPc 把Pc=100W，R=50Ω代入上式中，可求出负载上的载波幅度为 A0=2RPc=100(V) 由于放大器不改变调幅指数，可知负载上的调制信号幅度为 Am=βAMA0 把βAM=1代入上式中，可求出负载上的调制信号幅度为 Am=βAMA0=1×100=100(V) 所以，负载上的调幅波形的峰值幅度为 A0+Am=200(V) 方法二： 利用功率与幅度的关系直接求解。50Ω负载上的边带功率为Pf=f2（t）2R，当采用单频正弦信号调制时 Pf=A2m4R=50（W） Am=4PfR=4×50×50=100（V） 则负载上的调幅波形的峰值幅度为200（V）。 (4) 方法一： 本题中负载上的调幅波的边带功率为 Pf=14R A2m 即本题中调幅波的边带功率只与调制正弦波的幅度有关，设调制正弦波改变前后的幅度分别用Am和Am1来表示，那么改变前后的边带功率Pf和Pf1有如下关系： Pf1Pf= Am1Am2 当正弦波的幅度由5V减小到2V时，可求出 Pf1=252Pf=8(W) 由于载波功率没有改变，所以此时输出端的平均输出功率PAM1为 PAM1=Pc+Pf1=108(W) 方法二： 通过幅度值求功率： 测试信号的峰值功率负载上的调制信号幅度 Atest=5VAm=100V Atest1=2VAm1=? 由于放大器对幅度值是等比放大，可得 Am1=40（V） 则利用幅度与功率的关系 Pf1=A2m14R=40×404×50=8（W） 则输出端的平均输出功率 PAm1=108（W） 3.6把载波A0cosωct和信号f(t)之和x(t)加到一个平方律器件上，其输出为y(t)=kx2(t)，k为常数。 (1) 求输出信号，在输出端出现什么类型信号？ (2) 为了得到不失真的调幅信号，ωc与信号带宽的关系应如何？ 解(1) 根据题目叙述的信号流程，可知输出信号为 y(t)=kx2(t)=k［A0cosωct+f(t)］2 =k［A20cos2ωct+2A0f(t)cosωct+f2(t)］ =kA20 cos2ωct+12+ 2A0f(t)cosωct+f2(t) =kA202+ 2A0f(t)cos ωct+ A20cos2ωct2+f2(t) 从中可以看出，输出端信号包括直流、双边带信号、载波倍频项、信号平方项4种信号。 (2) 设f(t)的最高频率为ωm，则f(t)的频谱范围为［-ωm,ωm］，f2(t)的频谱范围为［-2ωm,2ωm］，A0f(t)cosωct的频谱范围为［-ωc-ωm,-ωc+ωm］和［ωc-ωm,ωc+ωm］，A20cos2ωct的频谱是在±2ωc点上的两根谱线。为了得到不失真的调幅信号，要求输出信号的频谱不能有重叠，所以有 ωc-ωm≥2ωm ωc≥3ωm 此时能得到不失真的调幅信号。 3.7证明只要适当选择图题37中的放大器增益K，不用滤波器即可实现抑制载波双边带调制。 图题37 证明由图题37的框图可得求和输出信号为 s(t)=a［K（f(t)+Acosωct）］2-b［f(t)-Acosωct］2 =aK2［f2(t)+2Af(t)cosωct+A2cos2ωct］- b［f2(t)-2Af(t)cosωct+A2cos2ωct］ =(aK2-b)f2(t)+2(aK2+b)Af(t)cosωct+ A2(aK2-b)cos2ωct 由上式可知，为了不用滤波器实现抑制载波双边带调制，应满足条件 aK2-b=0 可求得 K=±ba 这时，输出信号为 s(t)=2(aK2+b)Af(t)cosωct 此信号为抑制载波的双边带信号。此题得证。 3.8当调制信号为双频信号时，画出双边带信号的时间波形和频谱组成。其中，f1(t)=Acosωmt，f2(t)=Acos2ωmt，并且载频ωc=5ωm。 解当调制信号为双频信号时，设双边带信号为 s(t)=［f1(t)+f2(t)］cosωct 由题意，把 f1(t)=Acosωmt，f2(t)=Acos2ωmt，ωc=5ωm代入上式，可得双边带信号 s(t)=(Acosωmt+Acos2ωmt)cos ωct =A(cosωmt+cos2ωmt)cos ωct =A(cosωmtcosωct+cos 2ωmtcosωct) = A2［cos（ωc-ωm）t+cos（ωc+ωm）t+ cos（ωc-2ωm）t+cos（ωc+2ωm）t］ =A2［cos4ωmt+cos6ωmt+cos3ωmt+cos7ωmt］ 双边带信号的时间波形如图题解38(a)所示。 已知双边带信号的时域表达式后，通过傅里叶变换可求得双边带信号的频谱为 S(ω)=πA2［δ(ω-4ωm)+δ(ω+4ωm)+δ(ω-6ωm)+ δ(ω+6ωm)+δ（ω-3ωm）+δ（ω+3ωm）+ δ（ω-7ωm）+δ（ω+7ωm）］ 双边带信号的频谱如图题解38(b)所示。 图题解38 3.9某通信系统发送部分如图题39(a)所示，其中f1(t)及f2(t)是要传送的两个基带调制信号，它们的频谱如图题39(b)所示。 图题39 (1) 写出合成信号f(t)的频谱表达式，并画出其频谱图； (2) 写出已调波s(t)的频域表达式，并画出其频谱图。 解(1) 根据图题39(a)，可知合成信号 f(t)=f1(t)+f2(t)cos2ωmt 已知合成信号f(t)的时域表达式后，通过傅里叶变换可求得合成信号 f(t)的频谱为 F(ω)=F1(ω)+ 12 ［F2(ω-2ωm)+F2(ω+2ωm)］ 结合图题39(b)可以画出合成信号f(t)的频谱，如图题解39(a)所示。 (2) 根据图题39(a)，可知已调波为 s(t)=f1(t)cosωct+f2(t)cos 2ωmtcosωct 已知已调波s(t)的时域表达式后，通过傅里叶变换可求得已调波s(t)的频谱为 S(ω)= 12 ［F1(ω-ωc)+F1(ω+ωc)］+ 14 ［F2(ω-ωc-2ωm)+ F2(ω-ωc+2ωm)］+14 ［F2(ω+ωc-2ωm)+ F2(ω+ωc+2ωm)］ 结合图题39(b)可以画出已调波s(t)的频谱，如图题解39(b)所示。 图题解39 3.10设已调波为sDSB(t)=f(t)cosω0t，通过理想传输后，若接收端相干载波相位误差为Δθ，试问若使解调信号是最大值的90%，允许的Δθ是多少？ 解由题目条件，可设相干载波为 c(t)=cos(ω0t+Δθ) 接收端的已调波为 sDSB(t)=f(t)cosω0t 与相干载波相乘后为 sDSB(t)·c(t)=f(t)cosω0t·cos(ω0t+Δθ) =12f(t)cos (2ω0t+Δθ)+12 f(t)cosΔθ 相乘结果经LPF后输出为 sd(t)= 12 f(t)cosΔθ 若要使解调信号是最大值的90％，则要求 cosΔθ=90% 可求出允许的相位误差为 θ=25.8° 3.11若环行调制器中载波是方波，频率为fc，当调制信号是频率为fm的单频余弦信号时，求已调信号的频谱。 解设方波信号c(t)对应的傅里叶级数表示式为 c(t)= ∑∞n=-∞Cn ej2nπfct 与调制信号在环行调制器中相乘后为 c(t)·f(t)= ∑∞n=-∞ Cnf(t) ej2nπfct 取上式的傅里叶变换为 F［c(t)·f(t)］=∑∞n=-∞CnF(ω-2nπfc) 其中，F(·)为调制信号的傅里叶变换。 由上式可见，相乘信号的频谱是以±2nπfc为中心频率的无数组抑制载波的双边带信号，经中心频率为fc的带通滤波器后可得到一组抑制载波的双边带信号，可表示为 SDSB（ω）=C1［F（ω-2πfc）+F（ω+2πfc）］ =C1π［δ（ω-2πfc-ωm）+δ（ω-2πfc+ωm）+ δ（ω+2πfc-ωm）+δ（ω+2πfc+ωm）］ 由此可得，已调信号频谱如图题解311所示。 图题解311 3.12试画出三级滤波法产生上边带信号的频谱搬移过程，调制系统如图题312所示。其中，f01=50kHz,f02=5MHz,f03=100MHz，调制信号为300~3400Hz的话音信号。 图题312 解由题目条件可知，调制信号为300~3400Hz的语音信号，可画出语音信号的频谱图F(f)如图题解312(a)所示。第一级调制使用的载波频率f01=50kHz，调制后上边带与下边带的频率间隔为600Hz，用第一级高通滤波器H1(ω)滤出上边带信号F1(f)，频谱搬移过程如图题解312(b)所示。用F1(f)作为调制信号，第二级调制使用的载波频率f02=5MHz，调制后上边带与下边带的频率间隔约为100kHz，用第二级高通滤波器H2(ω)滤出上边带信号F2(f)，频谱搬移过程如图题解312(c)所示。用F2(f)作为调制信号，第三级调制使用的载波频率f03=100MHz，调制后上边带与下边带的频率间隔约为10MHz，用第三级高通滤波器H3(ω)滤出上边带信号F3(f)，频谱搬移过程如图题解312(d)所示。 多级调制有效地增加了上边带与下边带的频率间隔，为滤波器的实现提供条件。 图题解312 图题313 3.13图题313的系统是同一个载波被两个消息信号进行SSB调幅的一种方式，LPF、HPF分别为低、高通滤 波器，截止频率均为ωc。 (1) 当f1(t)=cosω1t，f2(t)=cosω2t时，试推导s(t)的表示式； (2) 画出适应s(t)解调的框图。 解(1) 由图题313可知，在上支路中，f1(t)与 cosωct相乘后为 f1(t)cosωct=cosω1tcosωct =12cos(ωc+ω1)t+12cos(ωc-ω1)t 再经LPF滤波后输出为 12cos(ωc-ω1)t 在下支路中，f2(t)与cosωct相乘后为 f2(t)cosωct=cosω2tcosωct=12cos(ωc+ω2)t+12cos(ωc-ω2)t 再经HPF滤波后输出为 12cos (ωc+ω2)t 上支路中，经滤波器输出的信号与下支路中经滤波器输出的信号相加后，输出信号为 s(t)= 12 ［cos(ωc-ω1)t+cos(ωc+ω2)t］ (2) 适应s(t)解调的框图如图题解313所示。在上支路中，s(t)信号先经过截止频率为ωc的低通滤波器，然后与本地载波相乘，再经过截止频率为ω1的低通滤波器，输出即为f1(t)； 在下支路中，s(t)信号先经过截止频率为 ωc的高通滤波器，然后与本地载波相乘，再经过截止频率为 ω2的低通滤波器，输出即为f2(t)，解调完毕。 图题解313 3.14模拟保密通信中采用的一种倒频器由第一级乘法器、高通滤波器、第二级乘法器与低通滤波器级联而成。第一级与第二级乘法器所使用载波的频率分别为fc与fb+fc，且fc＞fb。语音信号的频率范围为(fa，fb)，高通与低通滤波器的截止频率都等于fc。 (1) 画出倒频器框图； (2) 写出倒频器输出信号表达式，并画出各级的频谱； (3) 设计一个接收系统，以恢复原始语音信号。 解(1) 由题意可画出倒频器框图如图题解314(a)所示。 (2) 由图题解314（a）可知，调制信号经倒频器第一级乘法器再经过HPF后，输出信号为上边带信号，根据题意可知上边带信号 f1(t)=12 f(t)cosωct- 12 f^(t)sinωct 图题解314 上边带信号f1(t)经第二级乘法器后，再经过LPF后输出信号为下边带信号，根据题意可知下边带信号 s(t)=12f1(t)cos (ωc+ωb)t+ 12f^1(t)sin(ωc+ωb)t =12 12f(t)cosωct- 12 f^(t)sinωct cos(ωc+ωb)t+ 12 12 f(t)sinωct+ 12 f^(t)cosωct sin (ωc+ωb)t =14 f(t)［cosωctcos (ωc+ωb)t+sinωctsin (ωc+ωb)t］+ 14 f^(t)［cosωctsin(ωc+ωb)t- sinωctcos(ωc+ωb)t］ =14 f(t)cosωbt+ 14 f^(t)sinωbt 由此可以画出信号s(t)的各级频谱，如图题解314(b)所示。 (3) 由s(t)的产生过程可知调制信号经过了两次单边带调制，相应地进行两次解调就可恢复出原始信号，所以设计的接收系统如图题解314(c)所示。本题答案不唯一。 3.15设下边带调制信号为sSSB(t)，它的希尔伯特变换为 s^SSB(t)。又设消息信号为f(t)，其希尔伯特变换为f^(t)，载波幅度为Ac，频率为fc。 (1) 证明： f(t)=2Ac ［sSSB(t)cos(2πfct)+s^SSB(t)sin(2πfct)］ 及f^(t)=- 2Ac ［s^SSB(t)cos(2πfct)-sSSB(t)sin(2πfct)］ (2) 画出由上式原理构成的单边带接收机框图。 证明(1) 假设单边带调制信号为下边带调制信号。 则保留下边带的单边带调制信号可表示为 sSSB(t)= Ac2 ［f(t)cos(2πfct)+f^(t)sin (2πfct)］ (1) 由希尔伯特变换的对应关系可知，保留下边带的单边带调制信号的希尔伯特变换为 s^SSB（t）= Ac2 ［f(t)sin(2πfct)- f^(t)cos(2πfct)］ (2) 在式(1)两端分别乘以cos(2πfct)得 sSSB(t)cos (2πfct)= Ac2 ［f(t)cos(2πfct)+ f^(t)sin(2πfct)］cos(2πfct) =Ac2 ［f(t)cos2(2πfct)+ f^ (t)sin(2πfct)cos(2πfct)］ (3) 在式(2)两端分别乘以sin(2πfct)得 s^SSB(t)sin (2πfct)= Ac2 ［f(t)sin(2πfct)- f^(t)cos(2πfct)］sin(2πfct) =Ac2 ［f(t)sin2(2πfct)- f^ (t)sin(2πfct)cos(2πfct)］ (4) 在式(1)两端分别乘以sin(2πfct)得 sSSB(t)sin (2πfct)= Ac2 ［f(t)cos(2πfct)+ f^(t)sin(2πfct)］sin(2πfct) =Ac2 ［f(t)cos(2πfct)sin(2πfct)+ f^(t)sin2(2πfct)］ (5) 在式(2)两端分别乘以cos(2πfct)得 s^SSB(t)cos (2πfct)= Ac2 ［f(t)sin(2πfct)- f^(t)cos(2πfct)］cos(2πfct) =Ac2 ［f(t)sin(2πfct)cos(2πfct)- f^(t)cos2(2πfct)］ (6) 由式(3)和式(4)左右两边对应相加，可得 sSSB(t)cos (2πfct)+ s^SSB(t)sin (2πfct)= Ac2f(t) 由此可得 f(t)= 2Ac ［sSSB(t)cos(2πfct)+ s^SSB(t)sin (2πfct)］ 由式(6)和式(5)左右两边对应相减，可得 s^SSB(t)cos (2πfct)-sSSB(t)sin (2πfct)=- Ac2 f^(t) 由此可得 f^(t)=- 2Ac ［s^SSB(t)cos (2πfct)-sSSB(t)sin(2πfct)］ 此题得证。 如果以单边带调制信号为上边带调制信号来证明，则可得到如下结论： f(t)=2Ac［sSSB(t)cos(2πfct)+s^SSB(t)sin(2πfct)］ f^(t)=2Ac［s^SSB(t)cos(2πfct)-sSSB(t)sin(2πfct)］ (2) 由证明结果可知，使sSSB(t)和 s^SSB(t)分别与同相载波和正交载波相乘，然后相加就得到了 f(t)，即实现了解调，接收机框图如图题解315所示。 图题解315 3.16调制信号频谱如图题316(a)所示，用图题316(b)所示的两次滤波法实现单边带调幅，若第一次取下边带，第二次取上边带。 图题316 (1) 画出已调波频谱； (2) 若H1（ω）及H2（ω）均为理想滤波器，画出它们的幅频特性； (3) 画出由接收已调信号恢复原信号f(t)的框图。 解(1) 已调波频谱如图题解316(a)所示。 图题解316 (2) H1(ω)及H2(ω)的幅频特性如图题解316(b)所示。 (3) 接收已调信号是调制信号经过了两次单边带调制产生的，相应地进行两次解调就可恢复出原始信号。根据单边带调制相干解调的方法，可以先解调第二次单边带调制，用到相干载波（载波角频率为70）和LPF； 再解调第一次单边带调制，用到相干载波（载波角频率为30）和LPF。其中，LPF的截止频率可以根据所要恢复信号的频谱范围确定。由接收已调信号恢复原信号f(t)的框图如图题解316(c)所示。 3.17将双边带信号通过残留边带滤波器，产生残留边带信号。若此滤波器的传递函数H(f)如图题317所示。当调制信号f(t)为下列3种情况： 图题317 (1) Acos(1000πt)； (2) A［cos(1000πt)+cos(6000πt)］； (3) Acos(1000πt)·cos(2000πt)。 若载频为10kHz，试确定所得VSB信号的表示式，并画出每一情况下所得残留边带信号的频谱。 解本题有以下两种解法。 解法一： 时域加权和频域加权等效，直接用时域表达式求解。 (1) 由题意可知载波c(t)为 c(t)=cos(10×103×2πt) 调制信号f(t)为 f(t)=Acos(1000πt)= Acos(0.5×103×2πt) 所以双边带信号为 sDSB(t)=f(t)c(t) =Acos(0.5×103×2πt)cos (10×103×2πt) =A2［cos (10.5×103×2πt)+cos(9.5×103×2πt)］ 由滤波器的传递函数可知，在 10.5kHz处加权系数为3/4，在9.5kHz处加权系数为1/4。由于频域加权和时域加权等效，经滤波器后得到的残留边带信号为 sVSB(t)= A2· 34 cos(10.5×103×2πt) + A2· 14 cos(9.5×103×2πt) =38Acos (2.1×104πt)+ 18 Acos(1.9×104πt) 频谱如图题解317(a)所示。 (2) 由题意可知载波c(t)为 c(t)=cos(10×103×2πt) 调制信号f(t)为 f(t)=A［cos(1000πt)+cos(6000πt)］ =A［cos(0.5×103×2πt)+cos(3×103×2πt)］ 所以双边带信号为 sDSB(t)=f(t)c(t) =A［cos(0.5×103×2πt)+ cos(3×103×2πt)］cos(10×103×2πt) =A2 ［cos(10.5×103×2πt)+cos(9.5×103×2πt)+ cos(13×103×2πt)+cos(7×103×2πt)］ 由滤波器的传递函数可知，在10.5kHz处加权系数为3/4，在9.5kHz处加权系数为1/4，在13kHz处加权系数为1，在7kHz处加权系数为0。由于频域加权和时域加权等效，经滤波器后得到的残留边带信号为 sVSB(t)= A2· 34cos (10.5×103×2πt)+ A2·14 cos(9.5×103×2πt)+ A2·1·cos(13×103×2πt) =3A8cos (2.1×104πt)+ A8cos (1.9×104πt)+ A2 cos(2.6×104πt) 频谱如图题解317(b)所示。 (3) 由题意可知载波c(t)为 c(t)=cos(10×103×2πt) 调制信号f(t)为 f(t)=A［cos(1000πt)·cos(2000πt)］ =A2［cos(1000πt)+cos(3000πt)］ =A2［cos(0.5×103×2πt)+ cos(1.5×103×2πt)］ 所以，双边带信号为 sDSB(t)=f(t)c(t) =A2 ［cos(0.5×103×2πt)+ cos(1.5×103×2πt)］cos(10×103×2πt) =A4［cos(10.5×103×2πt)+cos(9.5×103×2πt)+ cos(11.5×103×2πt)+cos(8.5×103×2πt)］ 由滤波器的传递函数可知，在 10.5kHz处加权系数为3/4，在9.5kHz处加权系数为1/4，在 11.5kHz处加权系数为1，在8.5kHz处加权系数为0。由于频域加权和时域加权等效，经滤波器后得到的残留边带信号为 sVSB(t)= A4· 34cos (10.5×103×2πt)+ A4·14cos(9.5×103×2πt)+ A4·1·cos(11.5×103×2πt) =3A16cos (2.1×104πt)+ A16cos (1.9×104πt)+ A4cos (2.3×104πt) 频谱如图题解317(c)所示。 图题解317 解法二： 由频域表达式得到时域表达式。 (1) 由傅里叶变换可知 Acos(1000πt)πA ［δ(ω+1000π)+δ(ω-1000π)］ 信号经10kHz载频调制后，频谱为 πA2［δ(ω+21000π)+δ(ω+19000π)+ δ(ω-19000π)+δ(ω-21000π)］ 所得频谱与残留边带滤波器H(f)相乘，即为残留边带信号的频谱，可得 SVSB(ω)= 3πA8 ［δ(ω+21000π)+δ(ω-21000π)］+ πA8［δ(ω+19000π)+ δ(ω-19000π)］ 由傅里叶反变换，可得残留边带信号的时域表达式为 sVSB(t)= 38 Acos(2.1×104πt)+ 18Acos (1.9×104πt) 频谱如图题解317(a)所示。 (2) 由傅里叶变换可知 A［cos(1000πt)+cos(6000πt)］ πA［δ(ω+1000π)+ δ (ω-1000π)+δ(ω+6000π)+δ(ω-6000π)］ 信号经10kHz载频调制后，频谱为 πA2［δ(ω+21000π)+ δ(ω+19000π)+δ(ω-19000π)+ δ(ω-21000π)+δ(ω+26000π)+δ(ω+14000π)+ δ(ω-14000π)+δ(ω-260000π)］ 所得频谱与残留边带滤波器H(f)相乘，即为残留边带信号的频谱，可得 SVSB(ω)= 3πA8 ［δ(ω+21000π)+δ(ω-21000π)］+ πA8 ［δ(ω+19000π)+δ(ω-19000π)］+ πA2 ［δ(ω+26000π)+δ(ω-26000π)］ 由傅里叶反变换，可得残留边带信号的时域表达式为 sVSB(t)= 38 Acos(2.1×104πt)+ 18 Acos(1.9×104πt)+ 12 Acos(2.6×104πt) 频谱如图题解317(b)所示。 (3) 由傅里叶变换可知 Acos(1000πt)·cos (2000πt) πA2 ［δ(ω+3000π)+ δ(ω-1000π)+ δ(ω+1000π)+δ(ω-3000π)］ 信号经10kHz载频调制后，频谱为 πA4 ［δ(ω+23000π)+δ(ω-17000π)+ δ(ω+19000π)+ δ(ω-21000π)+δ(ω+21000π)+δ(ω-19000π)+ δ(ω+17000π)+δ(ω-23000π)］ 所得频谱与残留边带滤波器H(f)相乘，即为残留边带信号的频谱，可得 SVSB(ω)= 3πA16 ［δ(ω+21000π)+δ(ω-21000π)］+ πA16 ［δ(ω+19000π)+δ(ω-19000π)］+ πA4 ［δ(ω+23000π)+δ(ω-23000π)］ 由傅里叶反变换，可得残留边带信号的时域表达式为 sVSB(t)= 316Acos(2.1×104πt)+ 116Acos (1.9×104πt)+ 14Acos(2.3×104πt) 频谱如图题解317(c)所示。 3.18证明常规调幅采用相干解调时信噪比增益与式(378)相同。 证明常规调幅采用相干解调时，解调器的输入为常规调幅信号，即 si(t)= ［A0+f(t)］cosωct 式中，f(t)为调制信号，A0为载波幅度。设f(t)是均值为0的信号，输入已调信号的平均功率为 Si= s2i(t)= 12A20+ 12 E［f2(t)］ 常规调幅信号的带宽为BAM,调制信号带宽为W，因此有 BAM=2W，这样，输入噪声的平均功率为 Ni=n0BAM= 2n0W 解调器输入信噪比为 SiNi= A20+E［f2(t)］4n0W 解调器的输入和相干载波相乘后，得 ［si(t)+ni(t)］cosωct= si(t)cosωct+ ni(t)cosωct =［A0+f(t)］cosωct· cosωct+ ［nI(t)cosωct- nQ(t)sinωct］cosωct =12 ［A0+f(t)］+12［A0+f(t)］cos2ωct+ 12 nI(t)+ 12 nI(t)cos2ωct- 12nQ (t)sin2ωct 经LPF后输出为 so(t)+ no(t)= 12 f(t)+ 12nI(t) 输出有用信号的平均功率为 So= s2o(t)= 14 E［f2(t)］ 输出噪声的平均功率为 No= 14 E［n2I(t)］= 14 n0BAM= 12 n0W 所以输出信噪比为 SoNo= E［f2(t)］2n0W 信噪比增益为 G= So/NoSi/Ni= 2E［f2(t)］A20+E［f2(t)］ 此结论与主教材式(378)相同，得证。 3.19在双边带抑制载波调制和单边带调制中，消息信号均为3kHz限带低频信号，载频为1MHz，接收信号功率为1mW，信道噪声双边功率谱密度为10-3μW/Hz。接收信号经带通滤波器后，进行相干解调。 (1) 比较解调器输入信噪比； (2) 比较解调器输出信噪比。 解单边带信号的输入信噪比和输出信噪比分别为 SiNi= Sin0BSSB= 1×10-32×1×10-3×10-6×3×103= 5003 SoNo= GSSB SiNi= SiNi= 5003 双边带信号的输入信噪比和输出信噪比分别为 SiNi= Sin0BDSB= 1×10-32×1×10-3×10-6×2×3×103= 5006 SoNo= GDSB SiNi= 2×SiNi= 5003 输入信噪比的比较为 (Si/Ni)DSB∶ (Si/Ni)SSB=1∶2 输出信噪比的比较为 (So/No)DSB∶ (So/No)SSB=1∶1 3.20采用包络检波的常规调幅系统中，若噪声单边功率谱密度为 5×10-8W/Hz，单频正弦波调制时载波功率为100mW，边带功率为每边带10mW，接收机带通滤波器带宽为8kHz。 (1) 求解调输出信噪比； (2) 若采用抑制载波双边带系统，其性能优于常规调幅多少分贝？ 解(1) 由题目条件可知常规调幅信号的带宽 BAM=8kHz，其调制效率和解调信噪比增益分别为 ηAM= PfPAM= PfPc+Pf= 10×210×2+100= 16 GAM=2ηAM= 13 输入信噪比为 SiNi= 120×10-35×10-8×8×103=300 输出信噪比为 SoNo= GAM SiNi= 13 ×300=100 (2) 如果改为抑制载波双边带信号，为了在对等的条件下进行比较，其功率应与常规调幅信号功率相同，即 Si=120mW 因两种信号的带宽相同，所以输入噪声功率也相同。双边带信号的输入信噪比同样为 SiNi= 120×10-35×10-8×8×103= 300 输出信噪比为 SoNo= GDSB SiNi=2×300=600 设DSB信号的性能优于AM信号的分贝数为Γ，可计算出 Γ=10lg(So/No)DSB(So/No)AM=10lg600100=10lg6=7.78(dB) 3.21当某接收机的输出噪声功率是1×10-9W时，该机的输出信噪比为20dB。从发射机到接收机所经路径的总损耗是100dB。 (1) 双边带发射机输出功率应为多少？ (2) 单边带发射机的输出功率应为多少？ 解(1) 本题的示意图见图题解321。由主教材式(351)可知,双边带接收机的输出噪声功率 No=12 n0W 由主教材式(354)可知，双边带接收机的输入噪声功率为 Ni=2n0W 图题解321 用输出噪声功率表示输入噪声功率，即 Ni=2n0W=4No 设路径的总损耗是α，已知路径损耗是100dB，即 α=1×10-10 双边带发射机输出功率为 SDSB= SoNo 1GDSB 1αNi= SoNo 1GDSB 1α×4No 代入具体数据得 SDSB=102×12×1010×4×10-9=2000(W) (2) 由主教材式(360)可知，单边带接收机的输出噪声功率为 No= 14 n0W 由主教材式(364)可知，单边带接收机的输入噪声功率为 Ni=n0W 用输出噪声功率表示输入噪声功率，即 Ni=n0W=4No 单边带发射机输出功率为 SSSB= SoNo 1GSSB 1αNi= SoNo 1GSSB 1α×4No 代入具体数据中得 SSSB=102×1×1010×4×10-9=4000(W) 3.22一个100%单频调制的标准调幅信号和一个单边带信号分别用包络检波器和相干解调器来接收。假定单边带信号的输入功率为1mW，那么在保证获得同样输出信号功率的条件下，标准调幅信号的输入功率应为多大？ 解由主教材式(363)可知，单边带接收机的输入功率为 Si= 14 E［f2(t)］ 由主教材式(359)可知，单边带接收机的输出功率为 So= 116 E［f2(t)］ 单边带信号的输入功率为1mW，输出功率为 So=116E［f2(t)］=14Si=14mW 由主教材式(379)可知，标准调幅信号包络检波的信噪比增益的表达式为 GAM= 2β2AM2+ β2AM 把已知条件βAM=1代入上式中，可得 GAM= 2β2AM2+ β2AM= 23 由主教材式(367)可知，标准调幅信号的输入噪声功率 Ni=2n0W= n0BAM 由主教材式(376)可知，标准调幅信号包络检波的输出噪声功率 No=2n0W= n0BAM 所以，标准调幅信号包络检波的信噪比增益还可表示为 GAM= So/NoSi/Ni= SoSi= 23 在保证获得同样输出信号功率的条件下，标准调幅信号的输入功率应为 Si=32So=32×14=0.375(mW) 3.23已知角调制信号为s(t)=cos（ωct+100cosωmt）。 (1) 如果它是调相信号，并且KPM=2，试求调制信号f(t)； (2) 如果它是调频信号，并且KFM=2，试求调制信号f(t)； (3) 以上两种已调信号的最大频偏为多少？ 解(1) 如果角调制信号是调相信号，由主教材式(387)可知 KPMf(t)= 100cosωmt 将相移常数KPM=2代入，可求出调制信号 f(t)=50cosωmt (2) 如果角调制信号是调频信号，由主教材式(393)可知 KFM∫ f(t)dt=100 cosωmt 将频偏常数KFM=2代入，可求出调制信号 f(t)=ddt100cosωmtKFM=-100ωm2sinωmt=-50ωmsinωmt (3) 对于调相信号，由主教材式(389)可求出调相信号的最大频偏 Δfmax=12π KPMdf(t)dtmax =12π-2×50ωmsinωmtmax =12π|-100ωmsinωmt |max=50ωmπ 对于调频信号，由主教材式(391)可求出调频信号的最大频偏 Δfmax=12π KFMf(t)max =12π-2×50ωmsinωmtmax =12π|-100ωmsinωmt |max=50ωmπ 3.24已知调频信号 sFM(t)= 10cos ［106πt+8cos(103πt)］ 调制器的频偏常数KFM=200Hz/V，试求： (1) 载频fc； (2) 调频指数； (3) 最大频偏； (4) 调制信号f(t)。 解(1) 由主教材式(396)可列出载频 fc= 106π2π=5× 105(Hz) (2) 由主教材式(396)可列出调频指数 βFM=8 (3) 由主教材式(397)可列出调频指数的关系式 βFM= Δωmaxωm=8 已知ωm=103π，可求出最大频偏 Δfmax= 12π βFMωm= 8×103π2π=4×103(Hz) (4) 由主教材式(393)可列出相位偏移为 KFM∫ f(t)dt=8cos(103πt) 已知KFM=200Hz/V，所以可得调制信号f(t)为 f(t)=ddt8cos(103πt)KFM =-8×103π200×2πsin(103πt) =-20sin(103πt) 3.25幅度为3V的1MHz载波受幅度为1V、频率为500Hz的正弦信号调制，最大频偏为1kHz。当调制信号幅度增加为5V且频率增至2kHz时，写出新调频波的表达式。 解由题目条件可列出载波的幅度和频率分别为 A=3V，fc=1×106Hz 由题目条件，可列出调制信号的幅度和频率分别为 Am=1V， fm=500Hz 最大频偏Δfmax=1kHz，由主教材式(397)可列出调制器的频偏常数 KFM= ΔωmaxAm= 1×103×2π1= 2×103π(rad/（V·s）） 当调制信号幅度增加为5V且频率增至2kHz时，由主教材式(397)可求出调频指数 βFM= KFMAmωm= 2×103π×52×103×2π=2.5 调制信号的表达式为 f(t)=5sin(4×103πt) 由主教材式(393)，可写出新调频波的表达式为 sFM(t)=Acos ωct+KFM∫f(t)dt =3cos 2×106πt+2×103π×∫5sin(4×103πt)dt =3cos［2×106πt-2.5cos(4×103πt)］ 3.26设有1GHz的载波，受10kHz正弦信号调频，最大频偏10kHz，试求: (1) FM信号的近似带宽； (2) 调制信号幅度加倍时的带宽； (3) 调制信号频率加倍时的带宽； (4) 调制信号的幅度和频率都加倍时的带宽； (5) 若最大频偏减为1kHz，重复(1)，(2)，(3)，(4)项。 解(1) 由题目条件可知，载波频率、调制信号频率和最大频偏分别为 fc=1GHz， fm=10kHz， Δfmax=10kHz 由主教材式(3115)可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm+ 2Δfmax=2×10+2×10= 40(kHz) (2) 调制信号幅度加倍时，最大频偏Δfmax加倍，这时的最大频偏 Δfmax1= 2Δfmax=2×10=20(kHz) 可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm+2 Δfmax1=2×10+2×20= 60(kHz) (3) 调制信号频率fm加倍时，这时的调制信号频率 fm1=2fm=2×10=20(kHz) 可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm1+2 Δfmax=2×20+2×10= 60(kHz) (4) 调制信号的幅度和频率都加倍时，这时的最大频偏 Δfmax1和频率 fm1都是原来的2倍，即都由10kHz增大为20kHz，可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm1+ 2Δfmax1=2×20+2×20=80 (kHz) (5) 若最大频偏Δfmax减为1kHz，可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm+2Δfmax =2×10+2×1=22(kHz) 调制信号幅度加倍时，这时的最大频偏 Δfmax2加倍，即由1kHz增大为2kHz，可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm+2Δfmax2=2×10+2×2=24(kHz) 调制信号频率加倍时，这时的调制信号频率fm2由10kHz增大为20kHz，可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm2+2 Δfmax=2×20+2×1=42(kHz) 调制信号的幅度和频率都加倍时，这时的最大频偏 Δfmax2和调制信号频率fm2都是原来的2倍，可求出调频信号的带宽为 BFM=2fm2+2 Δfmax2=2×20+2×2=44(kHz) 3.27设调制信号f(t)=cos4000πt，对载波 c(t)=2cos(2×106πt)分别进行常规调幅和窄带调频。频偏常数KFM=300Hz/V。 (1) 写出已调信号的时域和频域表示式； (2) 画出频谱图； (3) 讨论两种调制方式的主要异同点。 解(1) 由主教材式(31)可写出常规调幅的时域表达式为 sAM(t）= ［2+cos(4×103πt)］cos (2×106πt) 也可表示为 sAM(t)=2cos (2×106πt)+cos (4×103πt)cos (2×106πt) 使用积化和差公式，可进一步表示为 sAM(t)=2cos(2×106πt) +12 ［cos(2×106πt+4×103πt)+ cos (2×106πt-4×103πt)］ 由上式可写出调幅信号的频域表示式为 SAM(ω)=2π ［δ(ω-2×106πt)+δ(ω+2×106πt)］+ 12π ［δ(ω-2×106πt-4×103πt)+ δ(ω+2×106 πt+4×103πt)］+ 12π ［δ(ω-2×106πt+4×103πt)+ δ(ω+2×106 πt-4×103πt)］ 在窄带调频信号中，当KFM=300Hz/V时可求出 AKFM∫f(t)dt=2×300×2π×∫cos (4×103πt)dt =2×300×2π4×103πsin (4×103πt) =0.3sin(4×103πt) 由主教材式(3100)，窄带调频信号的时域表达式可表示为 sNBFM(t)≈Acosωct- AKFM∫f(t)dtsinωct =2cos(2×106πt)-0.3sin(4×103πt)sin (2×106πt) 使用积化和差公式，可进一步表示为 sNBFM(t)≈2cos(2×106πt)+0.15［cos(2×106πt+4×103πt)- cos(2×106πt-4×103πt)］ 由上式可写出窄带调频信号的频域表达式 SNBFM(ω)= 2π［δ(ω-2×106πt)+δ(ω+2×106πt)］+ 0.15π［δ(ω-2×106πt-4×103πt)+ δ(ω+2×106πt+4×103πt)］- 0.15π［δ(ω-2×106πt+4×103πt)+ δ(ω+2×106πt-4×103πt)］ (2) 常规调幅信号和窄带调频信号的频谱示意图如图题解327所示。 图题解327 (3) 两种调制方式的相同点： ① 两种信号在±ωc处有载波分量。 ② 两种信号在载波两侧有两个频率相同的边频。 ③ 两种信号的带宽相同，都是基带信号带宽的2倍。 两种调制方式的不同点： ① 常规调幅信号的频谱是基带信号频谱的线性搬移，窄带调频信号的频谱不是基带信号频谱的线性搬移。 ② 常规调幅信号的正频率分量和负频率分量极性相同，窄带调频信号的正频率分量和负频率分量极性相反。 ③ 常规调幅信号的边频幅度与基带信号的频率无关，当基带信号频率变化时，常规调幅信号的频谱还是基带信号频谱的线性搬移。窄带调频信号的边频幅度与基带信号的频率有关，当基带信号频率变化时，窄带调频信号的频谱有频率加权。 3.28频率为fm的正弦波同时作常规调幅和频率调制，设未调载波功率相等，调频波的频偏为调幅波带宽的4倍，且距载频±fm的边频分量在两种调制中有相等的幅度。试求： (1) 调频波的调频指数； (2) 常规调幅信号的调幅指数。 解(1) 由题目条件可知正弦波频率为fm，常规调幅波带宽为 BAM=2fm 调频波的频偏为常规调幅波带宽的4倍，即 Δfmax=4BAM=4× 2fm=8fm 调频波的调频指数为 βFM= Δfmaxfm= 8fmfm=8 (2) 未调载波功率相等，则调频波的未调载波幅度和常规调幅波的载波幅度相等。设调频波的未调载波幅度为A，查主教材附录表C1可知调频波的第1边频幅度为 A1=J1A=0.23A 由题目条件可知，常规调幅信号的边频幅度与调频波的第1边频幅度相同，即 Am2=0.23A 常规调幅波的载波幅度也为A，所以常规调幅信号的调幅指数为 βAM=AmA=0.46 3.29用正弦信号 f(t)=10cos(500πt)V进行调频，调频指数为5，在50Ω上未调载波功率为10W，求： (1) 频偏常数； (2) 已调信号的载波功率； (3) 一次与二次边频分量所占总功率的百分比； (4) 如输入正弦信号幅度降为5V，带宽有何变化？ 解(1) 由题目条件可知调制信号频率 ωm=500π，调制信号幅度 Am=10V，调频指数 βFM=5。由主教材式(397)可知频偏常数 KFM= βFMωmAm= 5×500π10=250 π(rad/（V·s）) (2) 因为βFM=5，查主教材附录表C1可知贝塞尔函数值为 J0(βFM)=J0(5)=-0.18 由题目条件可知，在50Ω上未调载波功率P为10W。设调制后载波分量功率为Pc，可求出 Pc= PJ20 （βFM)= PJ20(5) =10× (-0.18)2= 0.324(W) (3) 设一次与二次边频分量所占总功率的百分比为η，有 η=2×［J21(5)+J22(5)］ = 2×［(-0.33)2+(-0.05)2］ =22.28% (4) 由主教材式(3115)可计算原信号的带宽为 BFM=2（1+βFM）fm =2× (1+5)×250=3000(Hz) 如输入正弦信号幅度降为5V，即幅度降为原来的一半，由主教材式(397)可知这时的调频指数βFM1是原调频指数βFM的一半，即 βFM1= 12 βFM= 12×5=2.5 这时的带宽为 BFM1=2(1+βFM1)fm =2×(1+2.5)× 250=1750(Hz) 带宽减小量为 ΔB=BFM- BFM1=3000-1750=1250(Hz) 3.30某FM发射机用正弦信号调制，未调制时，在50Ω的电阻性负载上输出功率为100W。发射机的峰值频偏由零起逐渐增加，直到输出的第一个边频的幅度为零。试求： (1) 载波的平均功率； (2) 全部剩余边频的平均功率； (3) 调频波的幅度。 解(1) 由题目条件出发，先查主教材图334，再核对主教材附录表C1，可判断此调频信号的调频指数为 βFM≈3.8 由主教材附录表C1可查出贝塞尔函数值为 J0（βFM)= J0（3.8)=-0.40 设未调载波平均功率为P，调制后载波分量平均功率为Pc，可求出 Pc=PJ20(βFM)=P J20(3.8)=100×(-0.40)2=16(W) (2) 调频波的平均功率和未调载波平均功率P相同，设全部剩余边频的平均功率为Pf，可求出 Pf=P-Pc=100-16=84(W) (3) 设调频波的幅度为A，与未调载波平均功率P的关系为 P= A22R 由此可求出调频波的幅度为 A= 2RP= 2×50×100=100(V) 3.31某发射机由放大器、倍频器和混频器组成，如图题331所示。已知输入的调频信号其载波频率为2MHz，调制信号频率为10kHz，最大频偏为300kHz，试求两个放大器的中心频率和要求的通带宽度各为多少(混频后取和频)？ 图题331 解由题目条件可知,调制信号频率 fm=10kHz，输入调频信号的最大频偏 Δfmax=300kHz，输入调频信号的带宽为 BFM= 2fm+2Δfmax =2×10+2×300= 620(kHz) 设放大器1的中心频率为f01，输入的调频信号的载波频率为 fc1，由图题331可知放大器1的中心频率为 f01=fc1=2MHz 放大器1的带宽B01即输入的调频信号带宽BFM，即 B01=BFM=620kHz 调频信号经8倍频和6倍频后，调频信号的最大频偏为 Δfmax2=8×6×Δfmax=48Δfmax 倍频后的调频信号再与100MHz的参考信号混频，混频后取和频，所以放大器2的中心频率f02为 f02=8×6fc1+100 =8×6×2+100=196(MHz) 放大器2的带宽B02为 B02=2fm+2Δfmax2 =2fm +2×48Δfmax =2×10+2×48×300 =28820(kHz)=28.82(MHz) 3.32用1kHz正弦信号对200kHz载波进行调频，峰值频偏为150Hz，求： (1) 调频波带宽； (2) 上述调频信号经16倍频后的带宽； (3) 再经过16倍频后，调频信号中的最高边频数。 解(1) 由题目条件可知载波频率 fc=200kHz，调制信号频率fm=1kHz，峰值频偏 Δfmax1=150Hz。由主教材式(3115)可求出调频信号的带宽为 BFM1=2fm+2Δfmax1 =2×1+2×0.15=2.3(kHz) (2) 上述调频信号经16倍频，倍频后峰值频偏 Δfmax2是倍频前峰值频偏 Δfmax1的16倍，即 Δfmax2=16Δfmax1 这时调频信号的带宽为 BFM2=2fm+2Δfmax2 =2×1+2×16×0.15=6.8(kHz) (3) 再经过16倍频，倍频后峰值频偏 Δfmax3是倍频前峰值频偏Δfmax2的16倍，即 Δfmax3=16Δfmax2=16× 16Δfmax1 =256×0.15=38.4(kHz) 这时调频信号中的调频指数为 βFM3= Δfmax3fm= 38.41=38.4 调频信号中的最高边频数为 nmax=βFM3+1=38.4+1=39.4 取整后的最高边频数为 nmax=40 3.33用鉴频器来接收调频信号，调制信号频率为15kHz，幅度为 1V，最大频偏为75kHz，信道噪声单边功率谱密度n0=10-10W/Hz，希望得到40dB输出信噪比，试求调频信号的幅度。 解由题目条件可知，调制信号幅度 Am=1V，调制信号频率fm=15kHz，峰值频偏 Δfmax=75kHz。由主教材式(397)可计算出调频信号的调频指数为 βFM= Δfmaxfm= 7515=5 由主教材式(3156)可求出调频信号的信噪比增益为 GFM=3β2FM(1+βFM) =3×52×(5+1)=450 调频信号的带宽 BFM=2fm+ 2Δfmax=2×15+2×75=180(kHz) 调频信号的输入功率为 Si= SoNo 1GFMNi= SoNo 1GFMn0 BFM 代入具体数据中，得 Si=104× 1450×10-10×180×103 =4×10-4(W) 调频信号的输入功率与幅度的关系为 Si= A22 调频信号的幅度为 A=2Si= 2×4×10-4 =2.8×10-2(V) 3.34假定解调器输入端的信号功率比发送端的功率低100dB，信道噪声单边功率谱密度n0=10-10W/Hz，调制频率为10kHz，输出信噪比要求26dB，试求在下列不同情况下的发送功率。 (1) 10%和100%的标准调幅； (2) 单边带调幅； (3) 最大频偏为25kHz的调频。 解(1) 本题示意图见图题解334。由题目条件可知调制频率 fm=10kHz，可求出标准调幅信号带宽为 BAM=2fm=2×10= 20(kHz) 图题解334 10%的标准调幅时，调幅指数 βAM=0.1，由主教材式(379)可求出标准调幅信号的信噪比增益为 GAM=2β2AM 2+β2AM= 2×0.122+0.12=9.95×10-3 输出信噪比要求26dB，输出信噪比为 SoNo= 102610=3.98×102 由题目条件可知，解调器输入端的信号功率比发送端的功率低100dB，即信道衰耗α为 α=1×10-10 标准调幅信号的发送功率为 SAM= SoNo 1GAM 1αNi= SoNo 1GAM 1α n0BAM 代入具体数据后，得 SAM= 3.98×102× 19.95×10-3× 110-10× 10-10×20×103 =8×108(W) 100%的标准调幅时，调幅指数βAM=1，标准调幅信号的信噪比增益为 GAM= 2β2AM2+ β2AM= 2×122+12=23 标准调幅信号的发送功率为 SAM=3.98×102× 32×110-10×10 -10×20×103 =1.19×107(W) (2) 单边带调幅时，单边带信号的带宽为 BSSB=fm=10kHz 由主教材式(365)可知，单边带信号的信噪比增益为 GSSB=1 单边带信号的发送功率为 SSSB=SoNo 1GSSB 1αNi= SoNo 1GSSB 1α n0BSSB 代入具体数据，得 SSSB=3.98×102×1× 110-10×10-10×10×103 = 3.98×106(W) (3) 最大频偏为25kHz的调频时，由主教材式(3115)可计算出调频信号的带宽为 BFM=2fm+ 2Δfmax=2×10+2×25=70 (kHz) 由主教材式(397)可计算出调频信号的调频指数为 βFM= Δfmaxfm= 2510=2.5 由主教材式(3156)可求出调频信号的信噪比增益为 GFM=3β2FM(1+βFM)=3×2.52×(2.5+1)=65.63 调频信号的发送功率为 SFM= SoNo 1GFM 1αNi= SoNo 1GFM 1α n0BFM 代入具体数据，得 SFM=3.98×102× 165.63× 110-10×10-10×70×103 =4.25 ×105(W) 3.35给定接收机的输出信噪比为50dB，信道中n0=10-10W/Hz，单频调制信号频率为10kHz，试求: (1) 在90%调幅时，需要调幅波的输入信噪比和载波幅度为多少？ (2) 在最大频偏为75kHz时，需要调频波的输入信噪比和幅度为多少？ 解(1) 由题目条件可知调制信号频率 fm=10kHz，标准调幅信号带宽 BAM=2fm=2×10=20(kHz) 90%的标准调幅时，调幅指数βAM=0.9，由 主教材式(379)可求出标准调幅信号的信噪比增益为 GAM= 2β2AM 2+β2AM= 2×0.922+0.92=0.58 输出信噪比要求50dB，输出信噪比为 SoNo= 105010=1×105 输入信噪比为 SiNi= SoNo 1GAM= 1×105× 10.58=1.72×105 输入信噪比的分贝值为 SiNidB=10lg(1.72×105)=52.36(dB) 调幅信号的发送功率 SAM= SoNo 1GAMNi= SoNo 1GAMn0 BAM 代入具体数据，得 SAM= 1×105×10.58× 10-10×20×103 =3.45×10-1 (W) 由主教材式(379)和主教材式(38)可求出标准调幅信号的调制效率为 ηAM= 12 GAM= 12 ×0.58=0.29 而调幅信号的载波功率为 Pc=(1-ηAM)PAM 调幅信号的载波功率和载波幅度之间的关系为 Pc= A202 可求出载波幅度为 A0= 2Pc= 2(1-ηAM)PAM = 2×(1-0.29)×3.45×10-1 =2×0.71×3.45×10-1 =0.49=0.7(V) (2) 在最大频偏为75kHz时，由主教材式(3115)可计算出调频信号的带宽为 BFM=2fm+ 2Δfmax=2×10+2×75=170(kHz) 由主教材式(397)可计算出调频信号的调频指数 βFM= Δfmaxfm= 7510=7.5 由主教材式(3156)可计算出调频信号的信噪比增益为 GFM=3β2FM(1+βFM) =3×7.52 ×(7.5+1)=1.43×103 输出信噪比要求50dB，输出信噪比为 SoNo= 105010=1×105 输入信噪比为 SiNi= SoNo 1GAM= 1×105× 11.43×103=69.93 输入信噪比的分贝值为 SiNidB=10lg(69.93)=18.44(dB) 调频信号的输入功率为 SFM= SoNo 1GFMNi= SoNo 1GFMn0BFM 代入具体数据，得 SFM=1×105× 11.43×103× 10-10×170×103 =1.19×10-3(W) 调频信号的功率和幅度之间的关系为 SFM= A22 可求出调频信号的幅度为 A= 2SFM= 2×1.19×10-3=48.79(mV) 3.36已知某单频调制的调频波的调频指数为10，输出信噪比为50dB，信道噪声双边功率谱密度为 n0/2=10-12W/Hz，如果发端平均发射功率为10W，当达到输出信噪比要求时所允许的信道衰减为多少分贝？设调制信号频率 fm=2kHz。 解本题的示意图见图题解336。由题目条件可知调制信号频率 fm=2kHz，调频信号的调频指数 βFM=10，由主教材式(3156)可计算出调频信号的信噪比增益为 GFM=3β2FM(1+ βFM) =3×102× (10+1)=3300 图题解336 由主教材式(3115)可计算出调频信号的带宽为 BFM=2(1+βFM)fm =2× (1+10)×2=44(kHz) 调频信号的输入功率为 Si=SoNo 1GFMNi= SoNo 1GFMn0BFM 代入具体数据，得 Si= 1×105× 13300×2×10-12×44× 103 ≈2.67×10-6(W) 由题目条件可知，调频信号的发射功率 SFM=10W，设允许的信道衰减为α，其分贝值为 -10lgα=10lgSFMSi =10lg102.67×10-6 =65.74(dB) 3.37设信道引入的加性白噪声双边功率谱密度为n0/2=0.25×10-14W/Hz，路径衰耗为100dB，调制信号为10kHz单频正弦波。若要求解调输出信噪比为40dB，求下列情况发送端最小功率。 (1) 常规调幅，包络检波，βAM=0.707； (2) 调频，鉴频器解调，最大频偏Δf=10kHz； (3) 单边带调幅，相干解调。 解(1) 由题目条件可知，调制信号频率 fm=10kHz，常规调幅信号的带宽 BAM=2fm=2×10=20(kHz) 题目条件还给出调幅指数βAM=0.707，常规调幅信号包络检波的信噪比增益为 GAM= 2β2AM2+β2AM= 2×0.70722+0.7072≈0.40 路径衰耗α为100dB，即 α= 10-10010=1× 10-10 要求输出信噪比为40dB，输出信噪比为 SoNo= 104010=1× 104 常规调幅信号的发送功率为 SAM= SoNo 1GAM 1αNi= SoNo 1GAM 1α n0BAM 代入具体数据，得 SAM=1×104× 10.4× 110-10 ×2×0.25×10-14×20×103 =2.5×104(W) (2) 由题目条件可知，调频信号的最大频偏 Δfmax=10kHz。由主教材式 (397)可计算出调频信号的调频指数为 βFM= Δfmaxfm= 1010=1 由主教材式(3156)可计算出调频信号鉴频器解调时的信噪比增益为 GFM=3β2FM(1+βFM)=3×12×(1+1)=6 由主教材式(3115)可计算出调频信号的带宽为 BFM=2fm+2Δfmax =2×10+2×10=40(kHz) 调频信号的发送功率为 SFM= SoNo 1GFM 1αNi= SoNo 1GFM 1α n0BFM 代入具体数据，得 SFM=1×104× 16× 110-10×2×0.25×10-14×40×103 =3.33×103(W) (3) 由题目条件可知，调制信号频率fm=10kHz，单边带信号的带宽为 BSSB=fm=10kHz 由主教材式(365)可知，单边带信号相干解调时的信噪比增益为 GSSB=1 单边带信号的发送功率为 SSSB= SoNo 1GSSB 1αNi= SoNo 1GSSB 1α n0BSSB 代入具体数据，得 SSSB=1×104×1× 110-10×2×0.25×10-14×10 ×103 =5×103(W) 3.38某通信信道分配100~150kHz的频率范围用于传输调频波，已知调制信号f(t)=Amcos(104πt)，信道衰减为60dB，信道噪声功率谱密度为n0=10-10W/Hz。 (1) 调频波有效带宽为多少？载频应是多少？ (2) 求出适当的调频指数βFM和最大频偏； (3) 设接收机门限信噪比为10dB，如果要求接收机正常解调(输入信噪比应大于门限信噪比)，试计算发端的载波幅度； (4) 写出发送端已调波表达式。 解(1) 由题目条件可知，信道分配100~150kHz的频率范围用于传输调频波，调频波的有效带宽 BFM为 BFM=150-100=50（kHz) 载频fc应取频率范围的中心频率，即 fc= 100+1502=125(kHz) (2) 题目条件给出调制信号 f(t)=Amcos(104πt)，调制信号频率fm为 fm= 104π2π =5(kHz) 由主教材式(3115)可知，调频指数βFM和带宽的关系为 BFM=2(1+βFM)fm=2× (1+βFM)×5=50(kHz) 由此可求得调频指数βFM为 βFM=4 由主教材式(397)可求出最大频偏 Δfmax为 Δfmax=βFMfm= 4×5=20(kHz) (3) 当接收机门限信噪比为10dB时，输入信噪比的分贝值为 SiNidB=10lg SiNi=10 dB 可求得输入信噪比为 SiNi=10 路径衰耗α为60dB，即 α=1×10-6 调频信号的发射功率为 SFM= SiNi 1αNi= SiNi 1α n0BFM 代入具体数据，得 SFM=10× 11×10-6×1×10-10 ×50×103=50(W) 调频信号的功率和载波幅度的关系为 SFM= A22 可求出载波信号的幅度为 A=2SFM= 2×50=10（V） (4) 已知调制信号f(t)=Amcos(104πt)，由主教材式(396)可写出发送端已调波表达式为 SFM(t)=Acos (ωct+βFMsinωmt) 代入具体数据，发送端已调波表达式为 SFM(t)=10cos2.5×105πt+4sin( 104πt) 3.39发射端已调波为sFM(t)=10cos［107πt+4cos(2π×103t)］，信道噪声功率谱密度为n0=5×10-10W/Hz，试求每千米信道衰减量为多大时，接收机在正常工作时最大传输距离是150km。设接收机门限信噪比为10dB。 解由题目条件可知，调制信号频率 fm= 2π×1032π=1(kHz) 调频指数βFM=4，由主教材式(3115)可计算出调频信号的带宽为 BFM=2（1+βFM）×fm=2× (1+4)×1=10(kHz) 接收机门限信噪比为10dB，即输入信噪比的分贝值为 SiNidB=10lg SiNi=10dB 可求得输入信噪比为 SiNi=10 调频信号的输入功率为 Si=10Ni=10n0B 设调频信号的发射功率为SFM，发射功率与载波幅度的关系为 SFM= A22 设信道衰减量为α，分贝值可表示为 -10lgα=10lgSFMSi =10lgA22×10Ni =10lg1022×10×5×10-10×10×103 = 10lg106=60（dB) 接收机在正常工作时最大传输距离是150km，设每千米信道衰减量的 分贝值为β，可表示为 β= 60150=0.4(dB/km) 3.40有10路具有3kHz最高频率的信号进行多路复用，采用SSB/FM复合调制，假定不考虑邻路防护频带，调频指数采用5，试求第二次调制前后的信号频带宽度各为多少？ 解由题目条件可知，调制信号频率fm=3kHz，第一次调制为单边带调制，第一次调制后的信号带宽为 BSSB=10fm=10×3=30 (kHz) 第一次调制后的信号作为第二次调制的输入信号，所以第二次调制前的信号带宽即为30kHz。 第二次调制为调频指数βFM=5的频率调制，第二次调制后的信号带宽为 BFM=2(1+βFM)× BSSB=2×(1+5)×30=360(kHz) 3.41设有一个13kHz正弦信号，要在加性白噪声情况下用FM传输，假定要求在解调器输出端有20.33dB(108倍)的信噪比改善。 (1) 求不采用加重技术时所要求的最大频偏； (2) 采用加重技术时所要求的最大频偏是增大还是减小？ 解 (1) 解调器输出端有20.33dB(108倍)的信噪比改善，即 10lgGFM=20.33(dB) 信噪比增益为 GFM=3β2FM(1+βFM)=108 由上式可求出调频指数为 βFM=3 调频指数和最大频偏的关系为 βFM= Δfmaxfm 不采用加重技术时所要求的最大频偏Δfmax为 Δfmax=fmβFM=3×13=39(kHz) (2) 采用加重技术时，预加重网络的作用是提升调制信号的高频分量，这时调频后所要求的最大频偏要增大。 3.42设有一个60路模拟话音信号的频分复用系统，每路话音信号的频率范围为0～4kHz。副载波调制用SSB，主载波调制用FM。 (1) 求副载波调制后的信号带宽； (2) 如果最大频偏为800kHz，试求信道传输带宽。 解(1) 副载波调制用SSB，信号带宽为 BSSB=60fm=60×4=240(kHz) (2) 主载波调制用FM，如果最大频偏为800kHz，信道传输带宽为 BFM=2fm+2Δfmax= 2×240+2×800=2080(kHz) 3.43根据FM信号和PM信号的一般表达式，完成表题343。 解 表题343 FM PM 表达式 sFM(t)=Acosωct+KFM∫f(t)dt sPM(t)=Acosωct+KPMf(t) 瞬时相位 θ(t)=∫ω(t)dt=ωct+KFM∫f(t)dt θ(t)=ωct+KPMf(t) 瞬时相位偏移 φ(t)=KFM∫f(t)dt φ(t)=KPMf(t) 最大相偏 φ(t)max=KFM∫f(t)dtmax φ(t)max=KPMf(t)max 续表 FM PM 瞬时频率 ω(t)=ωc+KFMf(t) ω(t)=ωc+KPMdf(t)dt 瞬时频率偏移 Δω(t)=dφ(t)dt=KFMf(t) Δω(t)=KPMdf(t)dt 最大频偏 Δω(t)max=KFMf(t)max Δω(t)max=KPMdf(t)dtmax MATLAB仿真题： 试用MATLAB编写SSB调制和解调程序，并画出输入信号、已调信号和解调输出信号的波形。其中调制信号m(t)=cos(1000πt)，fc=20kHz。 分析： SSB信号表达式为 s(t)=m(t)cos（2πfct）± m^(t)sin（2πfct） 其中的“+”和“-”分别对应SSB下边带和上边带，m^(t)是m(t)的希尔伯特变换，其频谱M^(f)与m(t)的频谱M(f)的关系为 M^(f)=-jsign(f)M(f) 根据以上公式可编写出SSB上边带调制信号程序。 解： 根据SSB调制原理，可编写上边带SSB调制程序如下： fs=800;% 采样频率 T=200; %信号截短时间 N=T*fs; %采样点数 dt=1/fs; t=［-T/2:dt:T/2-dt］; df=1/T; f=［-fs/2:df:fs/2-df］; % 调制 fm=0.5; %单位kHz，调制信号最高频率 fc=20; %单位kHz，载波信号频率 m=cos(2*pi*fm*t); % 调制信号时域波形 temp1=fft(m)/fs; % 对m(t)做FFT temp2=N*ifft(m)/fs; M(1:N/2)= temp2(N/2+1: -1: 2); M(N/2+1:N)=temp1(1: N/2); M=M.*exp(j*pi*f*T); MH=-j*sign(f).*M; % 在频域进行希尔伯特变换 temp3=fft(MH)/T; temp4=N*ifft(MH)/T; mh(1:N/2)=temp3(N/2+1:-1:2); mh(N/2+1:N)=temp4(1:N/2); mh=mh.*exp(-j*pi*t*fs); mh=real(mh); %希尔伯特变换后的信号 s=m.*cos(2*pi*fc*t)-mh.*sin(2*pi*fc*t); % SSB上边带时域信号 figure(1) plot(t, s) %画出已调信号的时域波形 axis(［0, 1, -1.2, 1.2］); % 解调 N0=1e-3; %设置白噪声的单边功率谱密度 noise= sqrt(N0*fs/2)*randn(1,N); %高斯白噪声 y1=s+noise; %将噪声叠加到已调信号,模拟传输过程 y2=s.*cos(2*pi*fc*t)*2; %乘以相干载波进行解调 y3=LPF(df,dt,y2,fm,fs)*N/50; %经过低通滤波器 figure(2) plot(t, ［m; y3］,'*') %画出输入信号和解调输出信号波形 axis(［0, 4, -2.5, 2.5］); grid on 其中需要用到低通滤波器LPF，对应的MATLAB程序如下： function［st］=LPF(df,dt,st,fm,fs) T=1/df; B=2*fm; ssf=fftshift(fft(st))/fs; hf=zeros(1,length(ssf)); bf=［-floor(B/df/2):floor(B/df/2)］+floor(length(ssf)/2); hf(bf)=1; yf=hf.*ssf; sff=fftshift(yf); st=real(ifft(sff)); 程序运行结果如图仿真题31所示。 图仿真题31SSB调制和解调 图仿真题31（续）