问渠哪得清如许？为有源头活水来。 
——南宋 · 朱熹 
与拉普拉斯变换在连续时间信号分析中的地位和作用类似，z 变换在离散时间信号和 
系统分析中也处于核心地位。拉普拉斯变换是连续时间傅里叶变换（CTFT）在复频域的拓 
展，而 z 变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）在复频域的拓展，它们显著地扩大了分析 
对象及频域的覆盖范围。z 变换可以将卷积运算转换为乘法运算，将差分方程转换为代数方 
程，为离散时间的信号分析和系统设计提供了快捷的工具。本章将重点讨论 DTFT 和 z 变 
换的内在联系、序列的 z 变换及有理系统函数、典型序列的 z 变换及收敛域、z 反变换的 
计算方法、z 变换的主要性质等内容。 
5.1 z 变换及其收敛性 
5.1.1 DTFT 和 z 变换 
当序列 x[n] 满足绝对值可求和的条件时，其离散时间傅里叶变换（DTFT）定义为 
X(ejω) = F{x[n]} = 
∞X n=.∞
x[n]e.jωn (5-1) 
因此，序列 x[n]r.n (r > 0) 的傅里叶变换可以表示为 
∞X n=.∞..x[n]r.n
· e.jωn = 
∞X n=.∞
x[n](rejω).n (5-2) 
令 z = rejω 并代入式 (5-2)，可以得到 x[n] 的 z 变换定义式 
X(z) = 
∞X n=.∞
x[n]z.n = Z{x[n]} (5-3)
通常式 (5-3) 是复变量 z 的无穷幂级数或无限项求和，它将离散的信号 x[n] 转换为连续的 
函数 X(z)。x[n] 和 X(z) 之间的可逆变换关系记作 
x[n] Z ←→ X(z) (5-4) 
根据式 (5-2) 和式 (5-3)，可以将序列 x[n] 的 z 变换看作 x[n] 与 r.n 的乘积 x[n]r.n 
的离散时间傅里叶变换。虽然某个序列 x[n] 可能不满足绝对值可求和条件（如单位阶跃序 
列 u[n]），即不存在离散时间傅里叶变换，但是由于引入了衰减序列 r.n (r > 0)，可以使 
x[n] 存在 z 变换，即 z 变换扩大了可变换序列的覆盖范围。 
与此同时，如果令 z = ejω（r = 1），则根据式 (5-1) 和式 (5-2)，x[n] 的 z 变换 X(z) 
退化成它的离散时间傅里叶变换 X(ejω)，即 
X(z)|z=ejω = 
∞X n=.∞
x[n]z.n
z=ejω 
= X(ejω) (5-5) 
图 5-1 复数的 z 平面和单位圆 
由于 X(z) 是复变量 z 的函数，因此 
在 z 的复平面（简称 z 平面）上描述 X(z) 
更加方便。z 平面的实轴和虚轴分别对应 
着 z 的实部 Re(z) 和虚部 Im(z)。特别地， 
z = ejω 在 z 平面上的轮廓是以单位值 1 
为半径的圆形（即单位圆 |z| = 1），如图 
5-1 所示。如果将 ω 表示为向量 z = ejω 
与实轴之间的角度（ejω 的辐角），则单位 
圆表示当 0 . ω . 2π（或 .π . ω . π） 
时 z 平面上所有点 z = ejω 的集合。根 
据式 (5-5) 和图 5-1 可知，X(ejω) 反映 
X(z) 在单位圆上的情况，即傅里叶变换 
对应于单位圆上的 z 变换。 
在 z 平面上计算傅里叶变换 X(ejω) 时，如果沿着单位圆从 z = 1（ω = 0）到 z = j 
（ω = π/2）再到 z = .1（ω = π），则可以得到当 0 . ω . π 时的傅里叶变换 X(ejω)；如 
果继续沿着单位圆前进，从 z = .1（ω = π）到 z = .j（ω = 3π/2）再到 z = 1（ω = 2π）， 
则可以得到当 π . ω . 2π 时的傅里叶变换 X(ejω)。因此在单位圆上 ω 连续地变化 2π 弧 
度，对应着 ejω 遍历单位圆一周并返回到初始位置，即 X(ejω) 具有以 2π 弧度为周期的固 
有特性。 
5.1.2 z 变换的收敛性 
根据第 3 章可知，由幂级数表示的离散时间傅里叶变换，不是对所有的序列 x[n] 都收 
敛，即无限项的求和结果可能不是有限值，也就是不满足条件 |X(ejω)| < ∞。同理，序列 
95
的 z 变换定义复变量 z 的幂级数形式为 
X(z) = 
∞X n=.∞
x[n]z.n (5-6) 
也不是对所有的序列 x[n] 或所有的 z 值都收敛，即不满足条件 |X(z)| < ∞。使式 (5-6) 收 
敛的所有 z 值的集合，称为 z 变换的收敛域（Region of Convergence，ROC）。 
根据式 (5-6) 可知，如果序列 x[n] 存在着 z 变换，则必须满足条件 
|X(z)| =
∞X n=.∞
x[n]z.n
. 
∞X n=.∞
|x[n]||z|.n < ∞ (5-7) 
式 (5-7) 表明，|z| 的取值范围确定了 X(z) 的收敛特性。 
将 z = rejω（|z| = r > 0）代入式 (5-7)，可以得到 

X(rejω)
=
∞X n=.∞
x[n]r.ne.jωn
. 
∞X n=.∞
|x[n]r.n| < ∞ (5-8) 
由于 x[n] 与 r.n 进行了乘法运算，对傅里叶变换（r = 1）无法收敛的序列，对 z 变换可能 
是收敛的序列。虽然单位阶跃序列 x[n] = u[n] 不是绝对可求和的，即傅里叶变换不存在，但 
是当 r > 1 时，u[n]r.n 是绝对可求和的，即 u[n] 的 z 变换存在，它的收敛域是 |z| = r > 1。 
如果某个复数值 z = z0 位于收敛域内，则由 |z| = |z0| 确定的圆形上的所有 z 值都在 
收敛域内，因此 z 变换的收敛域（假定存在）是以原点为中心的环型区域，如图 5-2（a）所 
示。对于特定的序列 x[n]，圆环的外边界可能向外延伸至无穷远，如图 5-2（b）所示；或 
者圆环的内边界可能向内压缩至原点，如图 5-2（c）所示。特别地，如果 z 变换的收敛域 
包含了单位圆，如图 5-2（d）所示，则意味着当 |z| = 1 时 z 变换收敛，即傅里叶变换存 
在；反之，如果收敛域内不包含单位圆，则傅里叶变换不存在。根据 z 变换的收敛域是否 
包含单位圆可以判定傅里叶变换是否存在，这在离散时间系统分析中有着广泛的应用。 
5.1.3 有理函数及零极点图 
如果式 (5-6) 所示的无限项求和结果可以表示为封闭的数学形式（简单的数学表达式）， 
则 X(z) 在收敛域内是有理函数，即 
X(z) = 
P(z.1) 
Q(z.1) 
= 
MPk=0 
bkz.k 
NPk=0 
akz.k 
(5-9) 
其中：分子 P(z.1) 是关于 z.1 的 M 阶多项式，{bk|k = 0, 1, · · · ,M} 是分子多项式的系 
数；分母 Q(z.1) 是关于 z.1 的 N 阶多项式à，{ak|k = 0, 1, · · · ,N} 是分母多项式的系数。 
à 用 z.1 代替 z 作为自变量，可以使分析过程更加简便。 
96
图 5-2 z 变换的收敛域 
通常，称使 X(z) = 0 的 z 值为零点，即分子多项式 P(z.1) 的根；称使 X(z) = ∞ 的 
z 值为极点，即分母多项式 Q(z.1) 的根。因此，在数学上用零极点形式等价地描述式 (5-9) 
为 
X(z) = 
b0 
a0 · 
MQk=1
(1 . ckz.1) 
NQk=1
(1 . dkz.1) 
(5-10) 
其中：b0 和 a0 是非零的常数，ck 是零点 (k = 1, 2, · · · ,M)，dk 是极点 (k = 1, 2, · · · ,N)。 
如果 X(z) 存在着共轭的极点（或零点），则它们一定成对地出现。特别地，极点 dk (k = 
1, 2, · · · ,N) 对 X(z) 的收敛域有着直接的影响。 
根据式 (5-10) 中分子多项式的第 k 项（k = 1, 2, · · · ,M）可以得到 
1 . ckz.1 = 
z . ck 
z 
它为 X(z) 同时贡献了一个零点 zk = ck 和一个极点 pk = 0。同理，根据式 (5-10) 中分母 
多项式的第 k 项（k = 1, 2, · · · ,N）可以得到 
1 . dkz.1 = 
z . dk 
z 
97
它为 X(z) 同时贡献了一个零点 zk = 0 和一个极点 pk = dk。由此可知，式 (5-10) 中分子 
（或分母）的每一项都贡献一个零点和一个极点，且所有的零点和极点都在有限的 z 平面上， 
因此 X(z) 的零点数目和极点数目总是相等的。 
在计算软件 MATLAB 的数字信号处理工具箱中，为绘制 X(z) 的零极点图形（简称零 
极点图）提供了 zplane() 函数，它有两种使用方法：.1 输入是系数向量形式 zplane(B,A)， 
其中 B 和 A 分别是式 (5-9) 中分子多项式系数和分母多项式系数按照 z 的降幂形式构成 
的向量。.2 输入是零点-极点形式 zplane(Z,P)，其中 Z 和 P 分别是式 (5-10) 中所有零 
点和所有极点构成的向量。当使用 zplane() 绘制零极点图时，“.”表示零点，“×”表示极 
点，单位圆作为参考圆。特别地，如果某个零点或极点的阶数是二阶及以上时，则在“.” 
或“×”的旁边用数字标识出它们的阶数。 
例 5.1 绘制有理函数的零极点图：确定有理函数 
X1(z) = 
1 + 
1
3
z.1 
1 . 
3
4
z.1 + 
1
8
z.2 
和 X2(z) = 1 + 
2
3
z.12 
1 . 
4√2 
5 
z.1 + 
16 
25
z.2 
的极点和零点，并用 MATLAB 软件中的函数 zplane() 绘制 X1(z) 和 X2(z) 的零极点图。 
解 将 X1(z) 的分子和分母分别乘上 z2，可以得到 
X1(z) = 
1 + 
1
3
z.1 
1 . 
1
4
z.1 + 
1
8
z.2 · 
z2 
z2 = 
z2 + 
1
3
z 
z2 . 
3
4
z + 
1
8 
= 
z z + 
1
3 
z . 
1
2z . 
1
4 
因此，X1(z) 的零点 z1 = 0 和 z2 = .
1
3
，且都是一阶零点；X1(z) 的极点 p1 = 
1
2 
和 p2 = 
1
4
， 
且都是一阶极点。将系数向量 B = 1, 
1
3T 
和 A = 1,.
3
4
, 
1
8T 
代入 MATLAB 函数 
zplane()，可以得到 X1(z) 的零极点图，如图 5-3（a）所示。 
图 5-3 X1(z) 和 X2(z) 的零极点图 
98
将 X2(z) 表示为式 (5-9) 和式 (5-10) 所示的规范形式，可以得到 
X2(z) = 
1 + 
4
3
z.1 + 
4
9
z.2 
1 . 
4√2 
5 
z.1 + 
16 
25
z.2 
= 1 + 
2
3
z.11 + 
2
3
z.1 
"1 . 
4
5  √2 
2 
+ j
√2 
2 !z.1#"1 . 
4
5  √2 
2 . j
√2 
2 !z.1# 
因此，X2(z) 的二阶零点 z1,2 = .
2
3
，X2(z) 的一阶共轭极点 p1,2 = 
4
5  √2 
2 ± j
√2 
2 !。将系 
数向量 B = 1, 
4
3
, 
4
9T 
和 A = "1, . 
4√2 
5 
, 
16 
25#T 
代入 MATLAB 函数 zplane()，可以 
得到 X2(z) 的零极点图，如图 5-3（b）所示。 
5.2 典型序列的 z 变换 
计算 z 变换的直接方法是利用 z 变换的定义式 
X(z) = 
∞X n=.∞
x[n]z.n (5-11) 
只有式 (5-11) 所示的幂级数收敛时，X(z) 才有实际意义。x[n] 的特性不同导致 X(z) 的收 
敛域不同，下面讨论有限长序列、右边序列、左边序列和双边序列的 z 变换及其收敛域。 
5.2.1 有限长序列 
有限长序列是当 N1 . n . N2 时 x[n] 有实际值的序列，它的 z 变换可以表示成有限 
项之和的形式 
X(z) = 
N2 Xn=N1 
x[n]z.n (5-12) 
由于当 N1 . n . N2 时 x[n] 有界，且当 0 < |z| < ∞ 时 |z.n| < ∞，即求和公式一定收敛， 
且收敛域是除了 z = 0 和 z = ∞ 之外的开区域 (0,∞)，又称作“有限 z 平面”，因此有限 
长序列 x[n] 的 z 变换及其收敛域为 
X(z) = 
N2 Xn=N1 
x[n]z.n, 0 < |z| < ∞ (5-13) 
当 N1 和 N2 取特殊值时，可能扩大式 (5-13) 的收敛域，使收敛域包含 z = 0 或 z = ∞： 
.1 当 N1 . 0 时，式 (5-13) 仅包含 z 的负幂次项，收敛域是 0 < |z| . ∞；.2 当 N2 < 0 时， 
式 (5-13) 仅包含 z 的正幂次项，收敛域是 0 . |z| < ∞。 
99
例 5.2 计算单位脉冲序列 δ[n] 的 z 变换。 
解 可以将单位脉冲序列 δ[n] 看作当 N1 = N2 = 0 时的特殊有限长序列 
δ[n] =8<:
1, n = 0 
0, n .= 0 
它的 z 变换可以表示为 
X(z) = 
∞X n=.∞
δ[n]z.n = 1, 0 . |z| . ∞ 
即 X(z) 的收敛域是整个 z 平面（闭合平面）。 
例 5.3 计算矩形序列 RN[n] 的 z 变换。 
解 可以将矩形序列 RN[n] 看作是 N1 = 0 且 N2 = N . 1 时的特殊序列 
RN[n] =8<:
1, 0 . n . N . 1 
0, 其他 
它的 z 变换可以表示为 
X(z) = 
∞X n=.∞
RN[n]z.n = 
N.1 Xn=0 
z.n 
利用等比数列的求和公式（公比是 z.1），可以得到 
X(z) = 
1 . z.N 
1 . z.1 = 
1 
zN.1 · 
zN . 1 
z . 1 
, |z| > 0 
即 X(z) 的收敛域是不包含 z = 0 的整个 z 平面（0 < |z| . ∞）。X(z) 的 N 个零点均匀 
地分布在单位圆上，N . 1 个极点在 z = 0 位置形成 N . 1 阶极点，特别地，在 z = 1 位 
置一阶零点与一阶极点相互抵消。当 N = 8 时，RN[n] 及其收敛域如图 5-4 所示。 
图 5-4 矩形序列及其收敛域 (N = 8) 
100
5.2.2 右边序列 
右边序列是当 n . N1 时 x[n] 有实际值，且当 n < N1 时 x[n] = 0 的序列（N1 是整 
数），它的 z 变换可以表示为 
X(z) = 
∞Xn=N1 
x[n]z.n = 
.1 Xn=N1 
x[n]z.n + 
∞Xn=0 
x[n]z.n (5-14) 
其中：第一项是有限长序列的 z 变换，它的收敛域是包括 z = 0 的有限 z 平面，即 0 . 
|z| < ∞；第二项是 z 的负幂级数，根据级数收敛的阿贝尔 (N.Abel) 定理可知，它收敛域 
是以原点为中心、以 Rx. 为半径的圆周外部，即 Rx. < |z| . ∞。取上述收敛域的重合部 
分（交集），可以得到 X(z) 的收敛域 Rx. < |z| < ∞，因此右边序列 x[n] 的 z 变换及其收 
敛域为 
X(z) = 
∞Xn=N1 
x[n]z.n, Rx. < |z| < ∞ (5-15) 
其中：Rx. 是收敛域的最小半径。 
特别地，当 N1 = 0 时，右边序列退化为因果序列，即当 n . 0 时 x[n] 有实际值且当 
n < 0 时 x[n] = 0 的右边序列。由于因果序列的 z 变换只包含 z 的零次幂项和负次幂项， 
即式 (5-14) 的第二项，因此它的收敛域是以 Rx. 为半径的圆周外部，即 Rx. < |z| . ∞。 
因果序列 x[n] 的 z 变换及其收敛域可以表示为 
X(z) = 
∞Xn=0 
x[n]z.n, Rx. < |z| . ∞ (5-16) 
当 N1 > 0 时，右边序列是当 n . N1 时 x[n] 有值且当 n < N1 时 x[n] = 0 的序列，此 
时它的 z 变换及其收敛域可以表示为 
X(z) = 
∞Xn=N1 
x[n]z.n, Rx. < |z| . ∞ 
它的收敛域形式与因果序列相同。 
例 5.4 计算右边序列 x[n] = anu[n] 的 z 变换。 
解 将因果序列 x[n] = anu[n] 代入 z 变换的定义式，可以得到 
X(z) = 
∞X n=.∞
(anu[n])z.n = 
∞Xn=0 
anz.n = 
∞Xn=0
(az.1).n 
如果 |az.1| < 1，即 |z| > |a|，则可以得到 
X(z) = 
1 
1 . az.1 = 
z 
z . a
, |z| > |a| (5-17) 
101
因此，X(z) 的收敛域是以原点为中心、以 |a| 为半径的圆周外部。当 a = 0.8 时，x[n] 及 
其收敛域分别如图 5-5 所示。 
图 5-5 因果序列及其收敛域 
5.2.3 左边序列 
左边序列是当 n . N2 时 x[n] 有实际值，且当 n > N2 时 x[n] = 0 的序列（N2 是整 
数），它的 z 变换可以表示为 
X(z) = 
N2 X n=.∞
x[n]z.n = 
.1 X n=.∞
x[n]z.n + 
N2 Xn=0 
x[n]z.n (5-18) 
其中：第一项是 z 的正幂级数，根据级数收敛的阿贝尔 (N.Abel) 定理可知，它的收敛域是 
以原点为中心，以 Rx+ 为半径的圆周内部，即 0 . |z| < Rx+；第二项是有限长序列的 z 变 
换，它的收敛域是不包含 z = 0 的 z 平面，即 0 < |z| . ∞。取上述收敛域的重合部分（交 
集），可以得到 X(z) 的收敛域 0 < |z| < Rx+，因此左边序列 x[n] 的 z 变换及其收敛域为 
X(z) = 
N2 X n=.∞
x[n]z.n, 0 < |z| < Rx+ (5-19) 
其中：Rx+ 是收敛域的最大半径。 
特别地，当 N2 = .1 时，左边序列转化成反因果序列，即当 n . .1 时 x[n] 有值，且 
当 n . 0 时 x[n] = 0 的左边序列。由于反因果序列的 z 变换只包含 z 的正次幂项，即式 
(5-18) 的第一项，因此它的收敛域是以 Rx+ 为半径的圆周内部，即 0 . |z| < Rx+。因此， 
反因果序列 x[n] 的 z 变换及其收敛域可以表示为 
X(z) = 
.1 X n=.∞
x[n]z.n, 0 . |z| < Rx+ (5-20) 
当 N2 < .1 时，左边序列是当 n . N2 时 x[n] 有值，且当 n > N2 时 x[n] = 0 的序 
列，此时它的 z 变换及其收敛域可以表示为 
102
X(z) = 
N2 X n=.∞
x[n]z.n, 0 . |z| < Rx+ 
它的收敛域形式与反因果序列相同。 
例 5.5 计算左边序列 x[n] = .anu[.n . 1] 的 z 变换。 
解 将非因果序列 x[n] = .anu[.n . 1] 代入 z 变换的定义式，可以得到 
X(z) = 
∞X n=.∞
(.anu[.n . 1])z.n = . 
.1 X n=.∞
anz.n = . 
∞Xn=1 
a.nzn 
如果 |a.1z| < 1，即 |z| < |a|，则利用等比序列求和公式可以得到 
X(z) = . 
a.1z 
1 . a.1z 
= 
1 
1 . az.1 = 
z 
z . a
, |z| < |a| (5-21) 
X(z) 的收敛域是以原点为中心、以 |a| 为半径的圆周内部（|z| < |a|）。当 a = 0.8 时，x[n] 
及其收敛域分别如图 5-6 所示。注意：虽然式 (5-17) 和式 (5-21) 的数学形式相同，但是由 
于它们的收敛域不同，因此对应着不同的原始序列。 
图 5-6 非因果序列及其收敛域 (a = 0.8) 
5.2.4 双边序列 
双边序列是当 n 取任意值（正整数、负整数和零）时 x[n] 都有实际值的序列，它的 z 
变换可以表示为 
X(z) = 
∞X n=.∞
x[n]z.n = 
.1 X n=.∞
x[n]z.n + 
∞Xn=0 
x[n]z.n (5-22) 
其中：第一项是 z 的正幂级数，它的收敛域是以原点为中心、以 Rx+ 为半径的圆周内部， 
即 0 . |z| < Rx+；第二项是 z 的负幂级数和零幂次项，它的收敛域是以原点为中心、以 
Rx. 为半径的圆周外部，即 Rx. < |z| . ∞。如果 Rx. > Rx+，则上述收敛域不存在重合 
部分（公共收敛域），即 X(z) 不收敛；如果 Rx. < Rx+，则上述收敛域存在公共收敛区域， 
即：满足 Rx. < |z| < Rx+ 的圆环区域。 
103