第5章 CHAPTER 5 数字频带传输系统 在实际通信应用中，大多数信道因具有带通特性而不能直接传送基带信号，这是因为基带信号中包含丰富的低频分量。为了使数字信号在带通信道中传输，必须用数字基带信号对载波进行调制，以使信号与信道的特性相匹配。这种用数字基带信号控制载波，把数字基带信号变换为数字带通信号，也就是形成数字频带信号的过程称为数字调制； 在接收端，通过解调器把数字频带信号还原成数字基带信号的过程称为数字解调。 数字调制与模拟调制的基本原理相同，但是数字信号有离散取值的特点，因此，数字调制技术通常有两种实现方法，一是利用模拟调制的方法去实现数字式调制，即把数字调制看成是模拟调制的特例，把数字基带信号当作模拟信号的特殊情况进行处理； 二是利用数字信号的离散取值特点，通过开关键控载波，从而实现数字调制。后一种方法通常称为键控法，是数字调制技术的主用方法。针对载波幅度、频率和相位等参数，数字调制方式主要包括幅移键控(ASK)、频移键控(FSK)和相移键控(PSK或DPSK)等； 针对调制信号的进制不同，数字调制方式又可以分为二进制数字调制和多进制数字调制。 本章着重讨论二进制数字调制系统的基本原理和实现方法，以及它们的抗噪声性能，并简要介绍多进制数字调制技术。 5.1二进制数字幅移键控 二进制幅移键控(2 Amplitude Shift Keying，2ASK)也 称为开关键控或者通断键控(On Off Keying，OOK)，是一种古老的数字调制方式。由于2ASK抗干扰性能差，因此，已逐渐被2FSK和2PSK所代替。但是，随着对信息传输速率要求的提高，多进制数字幅度调制(MASK)已受到人们的关注。 5.1.1基本原理 2ASK是利用代表数字信息“0”或“1”的基带矩形脉冲去键控一个连续的载波，使载波时断时续地输出，有载波输出时表示发送“1”，无载波输出时表示发送“0”。借助模拟幅度调制的原理，2ASK信号可表示为 s2ASK(t)=s(t)cosωct(51) 式中，ωc为载波角频率，s(t) 为单极性NRZ信号，表达式为 s(t)= ∑nang(t-nTb) (52) 其中， g(t)是持续时间为Tb、幅度为1的矩形脉冲，或称为门函数； an为二进制数字，即 an=1，概率为P 0，概率为(1-P)(53) 2ASK信号的产生方法或者调制方法有两种，如图51所示，图51(a)是一般的模拟幅度调制方法，不过这里的s(t)由式(52)规定； 图51(b)是一种键控方法，这里的开关电路受s(t)控制。图51(c)给出了s(t)及s2ASK(t)的波形示例。 图512ASK信号产生方法及波形示例 在接收端，2ASK信号解调的常用方法主要有包络检波法和相干检测法两种。 包络检波法的原理框图如图52所示。带通滤波器(BPF)使2ASK信号完整地通过，同时滤除带外噪声。经包络检测后，输出其包络，其中，低通滤波器(LPF)的作用是滤除高频杂波，使基带信号(包络)通过。抽样判决器完成抽样、判决及码元形成功能，恢复出数字序列{an}。这里的位同步信号的重复周期为码元的宽度。 图522ASK信号的包络解调 相干检测法原理框图如图53所示。相干检测也就是同步解调，要求接收机产生一个与发送载波同频同相的本地载波信号，称其为同步载波或相干载波。利用此载波与收到的已调信号相乘，其输出为 z(t)=y(t)cosωct=s(t)cos2ωct=12s(t)(1+cos2ωct) =12s(t)+12s(t)cos2ωct (54) 经低通滤波(LPF)滤除第二项高频分量后，即可输出s(t)信号，抽样判决后恢复出数字序列 {an} 。由于在2ASK相干解调法中需要在接收端产生本地载波，会给接收设备增加复杂性，因此，实际应用中很少采用相干解调法来解调2ASK信号。 图532ASK信号的相干解调 5.1.2信号的功率谱及带宽 式(51)给出了2ASK信号描述，也就是时域表达式，其中，s(t)代表信息的随机单极性矩形脉冲序列。设s(t)的功率谱密度为Ps(f)，s2ASK(t)的功率谱密度为Pe(f)，则可以得到 Pe(f)= 14 ［Ps(f+fc)+Ps(f-fc)］ (55) 式中，Ps(f)可按照4.1节中介绍的方法直接推导出。对于单极性NRZ码，引用例4.1的结果式(45)，则有 Ps(f)= 14 TbSa2(πfTb)+ 14 δ(f) (56) 代入式(55)，便可得2ASK信号功率谱密度为 Pe(f)= Tb16 {Sa2［π(f+fc)Tb］+Sa2［π(f-fc)Tb］}+ 116 ［δ(f+fc)+δ(f-fc)］ (57) 因此，2ASK信号的功率谱如图54所示。 图542ASK信号的功率谱示意图 (1) 2ASK信号的功率谱由连续谱和离散谱两部分组成，其中，连续谱取决于数字基带信号 s(t)经线性调制后的双边带谱，而离散谱则由载波分量确定。 (2) 类似于模拟调制中的DSB，2ASK信号的带宽B2ASK是数字基带信号带宽的两倍，即 B2ASK=2fb(58) (3) 因为系统的传码率RB=1/Tb(Baud)，故2ASK系统的频带利用率为 η=1/Tb2/Tb=RB2fb=12Baud/Hz(59) 这意味着用2ASK信号的传输带宽至少为码元速率的两倍。 例5.1设电话信道具有理想的带通特性，频率范围为300~3400Hz，试问该信道在传输2ASK信号时最大的传码率为多少。 解： 电话信道带宽B=3400-300=3100Hz。该信道在传送2ASK信号时，根据式(58)可知 fb=1Tb= B2ASK2=1550Hz 则知最大的传码率为1550B。 5.1.3系统的抗噪声性能 通信系统的抗噪声性能是指系统克服加性噪声的能力，它与系统的可靠性密切相关，因此 通常采用误码率进行衡量。图55所示为2ASK抗噪声性能分析模型，为了简化分析，这里的信道加性噪声既包括实际信道中的噪声，也包括接收设备噪声折算到信道中的等效噪声。 图552ASK抗噪声性能分析模型 根据图55给出2ASK抗噪声性能分析模型，进行如下假设。 (1) 信道特性为恒参信道，信道噪声n(t)为加性高斯白噪声，其双边功率谱密度为n0/2； (2) 发射的2ASK信号为 s2ASK(t)=Acosωct,发“1” 0,发“0” (510) 通过信道并经过接收端BPF后，仅考虑幅度衰减，即幅度由A变为a。 (3) BPF传递函数是幅度为1、宽度为2fb、中心频率为fc的矩形，它恰好让信号无失真地通过，并抑制带外噪声进入。 (4) LPF传递函数是幅度为1、宽度为fb的矩形，它让基带信号主瓣的能量通过。 (5) 抽样、判决的同步时钟CP准确，判决门限为Ud。 根据图55中解调器的类型不同，可将2ASK信号解调划分为包络检测和相干解调两类。 1. 包络检测的系统性能 对于图52所示的包络检测接收系统，其接收带通滤波器BPF的输出为 y(t)=acosωct+ni(t)，发“1” ni(t)，发“0” =acosωct+nc(t)cosωct-ns(t)sinωct，发 “1” nc(t)cosωct-ns(t)sinωct，发“0” (511) 其中，ni(t)=nc(t)cosωct-ns(t)sinωct 为高斯白噪声n(t) 经BPF限带后的窄带高斯噪声。经包络检波器检测，输出包络信号为 x(t)=a+nc(t)2+n2s(t)，发 “1” n2c(t)+n2s(t)，发“0”(512) 图56包络检波时误码率的几何表示 由式(511)可知，发“1”时，接收带通滤波器BPF的输出y(t)为正弦信号加窄带高斯噪声形式； 发“0”时，接收带通滤波器BPF的输出y(t)为窄带高斯噪声形式。于是，根据2.5节中的知识可知，发“1”时，BPF输出包络x(t)的抽样值x的概率密度函数f1(x)服从莱斯分布； 发“0”时，BPF输出包络x(t)的抽样值x的概率密度函数f0(x)服从瑞利分布，如图56所示。 x(t)为抽样判决器输入信号，对其进行抽样判决后即可确定接收码元是“1”还是“0”。若 x(t) 的抽样值x>Ud ，则判为“是1码”； 若x≤Ud ，判为“是0码”。因此，存在两种错误判决的可能性，一是发送的码元为“1”，错判为“0”，其概率记为P(0/1)； 二是发送的码元为“0”，错判为“1”，其概率记为P(1/0)。由图56可知 P(1/0)=P(x>Ud)=∫∞Udf0(x)dx(513) P(0/1)=P(x≤Ud)=∫Ud0f1(x)dx(514) 式(513)和式(514)中，P(0/1)和P(1/0)分别为图56所示阴影面积。假设发送端发送“1”码的概率为P(1)，发送“0”码的概率为P(0)，则系统的平均误码率Pe为 Pe=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0) (515) 当P(1)=P(0)=1/2，即等概率时 Pe=12P(0/1)+P(1/0)(516) 也就是说，Pe就是图56中两块阴影面积之和的一半。不难看出，当 Ud=U*d=a/2 时，该阴影面积之和最小，即误码率Pe最低。称此使误码率获最小值的门限 U*d 为最佳门限。采用包络检波的接收系统时，可以证明系统的误码率近似为 Pe=14erfc(r/4)+12e-r/4(517) 当大信噪比的情况下，系统的误码率近似为 Pe=12e-r/4(518) 式中，r=a2/(2σ2n)，为包络检波器输入信噪比，也就是发送“1”码时的信噪比。由此可见，包络解调2ASK系统的误码率随输入信噪比r 的增大近似地按指数规律下降。必须指出，式(517)是在等概率、最佳门限 的情况下推导得出的； 式(518)的适用条件是等概率、大信噪比、最佳门限，因此，使用公式时应注意适用的条件。 2. 相干解调的系统性能 对于图55所示的接收系统，其解调器为相干解调器，BPF的输出如式(511)所示，为了便于处理，取本地载波为 2cosωct ，参考图53，可得乘法器输出为 z(t)=2y(t)cosωct(519) 将式(511)代入，并经低通滤波器滤除高频分量，可在抽样判决器输入端得到 x(t)=a+nc(t)，发“1” nc(t)，发“0”(520) 根据前面的知识可知，nc(t)服从正态分布，因此，无论是发送“1”还是“0”，x(t)瞬时值x的一维概率密度函数f1(x)和f0(x)都是方差为σ2n的正态分布函数，只是前者均值为a，后者均值为0，即 f1(x)=12πσnexp -(x-a)22σ2n(521) f0(x)=12πσnexp-x22σ2n(522) 式中，σ2n也就是带通滤波器输出噪声的平均功率，可以表示为 σ2n=n0 B2ASK=2nfb (523) 它们的一维概率分布曲线如图57所示。 图57同步检测时误码率的几何表示 类似于包络检波器的分析，不难看出，若仍令判决门限电平为Ud，则将“0”错判为“1”的概率 为P(1/0)，将“1”错判为“0”的概率P为(0/1)，分别为 P(1/0)=P(x>Ud)=∫∞Udf0(x)dx(524) P(0/1)=P(x≤Ud)=∫Ud-∞f1(x)dx(525) 式中，P(0/1)和P(1/0)分别为图57所示的阴影面积。假设P(0)=P(1)，则系统平均误码率Pe可以写为 Pe=12P(0/1)+P(1/0)(526) 借鉴基带传输系统性能的分析计算方法，不难看出最佳门限 U*d=a/2 。综合式(521)到式(526)，可以证明，这时系统的误码率为 Pe=12erfc(r/4)(527) 式中，r=a2/(2σ2n) 为解调器输入信噪比。当大信噪比时，式(527)可以近似为 Pe≈1πre-r/4(528) 式(528)表明，随着输入信噪比的增加，系统的误码率将更迅速地按指数规律下降。必须注意，式(527)的适用条件是等概率、最佳门限； 式(528)的适用条件是等概率、大信噪比、最佳门限。 比较式(528)和式(518)可以看出，在相同信噪比的情况下，2ASK信号相干解调时的误码率总是低于包络检波时的误码率，即相干解调2ASK系统的抗噪声性能优于非相干解调系统，但两者相差并不太大。然而，包络检波解调不需要稳定的本地相干载波，故在电路上要比相干解调简单得多。但是，包络检波法存在门限效应， 相干解调法无门限效应。所以，一般而言，对2ASK系统，大信噪比条件下使用包络检测，即非相干解调，而小信噪比条件下使用相干解调。 例5.2设某2ASK信号的码元速率 RB=4.8×106Baud，接收端输入信号的幅度A=1mV，信道中加性高斯白噪声的单边功率谱密度 n0=2×10-15W/Hz。 (1) 试求包络检波法解调时系统的误码率。 (2) 试求同步检测法解调时系统的误码率。 解： (1) 由码元速率RB=4.8×106Baud可以确定，码元重复频率fb=4.8×106 Hz，则接收端带通滤波器带宽为 B=2fb=9.6×106Hz 带通滤波器输出噪声的平均功率为 σ2n=n0B=1.92×10-8W 解调器输入信噪比 r=A22σ2n= 10-6 2×1.92×10-8≈261 于是，根据式(518)可得包络检波法解调时系统的误码率为 Pe=12e-r/4=12e-6.5=7.5×10-4 (2) 同理，根据式(528)可得同步检测法解调时系统的误码率为 Pe= 1πr e-r/4=1.67×10-4 5.2二进制数字频率调制 二进制数字频率调制又称为频移健控(2 Freguency Shift Keying，2FSK)，它是一种出现较早的数字调制方式，由于2FSK调制幅度不变，因此，它的抗衰落和抗噪声性能均优于2ASK，被广泛应用于中、低速数字传输系统中。根据相邻两个码元调制载波的相位是否连续，可进一步将FSK分为相位连续和相位不连续的FSK，并分别记为CPFSK及DPFSK。目前FSK技术已经有了相当大的发展，出现了多进制频移键控(MFSK)、最小频移键控(MSK)以及正交频分复用(OFDM)等技术，并以良好的性能在无线通信中得到广泛的应用。 5.2.1基本原理 2FSK是用载波的频率来传送数字消息，即用所传送的数字消息来控制载波的频率。例如，将符号“1”对应于载频 f1 ，将符号“0”对应于载频f2 ，而且f1 与f2 之间的改变是瞬间完成的。因此，2FSK信号可以表示为 s2FSK(t)=Acos(ω1t+φ1)，发“1” Acos(ω2t+φ2)，发“0”(529) 式中，φ1和φ2表示初始相位，ω1和ω2分别为码元“1”和码元“0”对应的角频率； A为常数，表示载波幅度。 从原理上讲，数字调频可用模拟调频法来实现，也可用键控法来实现。模拟调频法是利用一个矩形脉冲序列对一个载波进行调频，如图58(a)所示。2FSK键控法利用受矩形脉冲序列控制的开关电路对两个不同的独立频率源进行选通，如图58(b)所示。键控法的特点是转换速度快、波形好、稳定度高且易于实现，故应用广泛。2FSK信号波形如图58(c)所示。图中s(t)为代表信息的二进制矩形脉冲序列，s2FSK(t)是2FSK信号。 图582FSK信号产生方法及波形示例 根据图58(b)所示的2FSK信号产生原理，已调信号的表达式还可以写为 s2FSK(t)=s(t)cos(ω1t+φ1)+s(t)cos(ω2t+φ2)(530) 其中，s(t) 为单极性NRZ矩形脉冲序列，表达式为 s(t)=∑nang(t-nTb)(531) an= 1，概率为P 0，概率为(1-P) (532) 式（532）中，g(t) 是持续时间为Tb、高度为1的门函数； s(t) 为对s(t) 逐码元取反而形成的脉冲序列，表达式为 s(t)= ∑n a-ng(t-nTb) (533) a-n是an的反码，即若an=0，则a-n=1； 若an=1，则a-n=0，于是 a-n= 0，概率为P 1，概率为(1-P) (534) φ1和φ2分别是第n 个信号码元的初始相位。一般说来，键控法得到的φ1和φ2与序号 n无关，反映在s2FSK(t)上，仅表现出当 ω1 与ω2改变时其相位是否连续。 进一步分析式(530)可以看出，一个2FSK信号可视为两路2ASK信号的合成，其中一路以 s(t)为基带信号、ω1 为载频，另一路以s(t) 为基带信号、ω2 为载频。图59所示是用键控法实现2FSK信号的电路框图，两个独立的载波发生器的输出受控于输入的二进制信号，按“1”或“0”分别选择一个载波作为输出。 图59数字键控法实现2FSK信号的电路框图 5.2.2信号的解调 2FSK信号的解调方法很多，如鉴频法、包络检波法、相干检测法、过零检测法、差分检测法等。 鉴频法的原理已在模拟调制部分介绍过，这里仅对后4种方法进行介绍。 1. 包络检波法 2FSK信号的包络检波法解调原理框图如图510所示，它可视为由两路2ASK解调电路组成。 图5102FSK信号包络检波框图 图510中，带通滤波器BPF1和BPF2的带宽相同，皆为相应的2ASK信号带宽(2fb)，但它们的中心频率不同，分别为f1和f2，因此，可以中心频率分开上、下支路的ASK信号。其中上支路对应y1(t)=s(t)cos(ω1t+φ1)，下支路对应y2(t)=s(t)cos(ω2t+φ2)，经包络检波后分别取出它们的包络 。抽样判决器起到比较器的作用，把两路包络信号同时送到抽样判决器进行比较，从而判决输出基带数字信号。若上、下支路 的抽样值分别用v1、v2表示，则抽样判决器的判决准则为 v1>v2，判为“1” v10时，x(t)<0，则判断输出为“0”； 当Δω≤0时，x(t)≥0，则判断输出为“1”。当然也可以取ωcτ=3π/2，此时需要改变判决规则。 差分检波法是基于输入信号与其延迟τ的信号相干处理，由于信道上的失真将同时影响这两路信号，因此，相干处理能够消除这种失真，保证了最终鉴频结果正准。实践表明，当延迟失真较小时，这种方法的检测性能不如普通鉴频法； 但当信道有较严重 的延迟失真时，其检测性能优于其他解调方法。 5.2.3信号的功率谱及带宽 从式(530)可以看到，一个2FSK信号可视为两个2ASK信号的合成，因此，2FSK信号的功率谱亦为两个2ASK功率谱之和。根据2ASK信号功率谱的表示式，并考虑到式(531)~式(534)关于 s(t) 、s(t) 的描述，可以得到这种2FSK信号功率谱的表示式为 Pe(f)= 14 ［Ps(f+f1)+Ps(f-f1)］+ 14 ［Ps(f+f2)+Ps(f-f2)］ (539) 其中，Ps(f) 为基带信号s(t) 的功率谱。当s(t) 是单极性NRZ波形，且“0”和“1”等概率出现时，引用4.1节的计算结果，则有 Ps(f)= 14 TbSa2(πfTb)+ 14δ(f) (540) 代入式(539)，可得2FSK信号的功率谱为 Pe(f)= Tb16 {Sa2［π(f+f1)Tb］+Sa2［π(f-f1)Tb］ +Sa2［π(f+f2)Tb］+ Sa2［π(f-f2)Tb］} +116 ［δ(f+f1)+δ(f-f1)+δ(f+f2)+δ(f-f2)］ (541) 其功率谱曲线如图514所示。 图5142FSK信号的功率谱 (1) 2FSK信号的功率谱由离散谱和连续谱两部分组成。其中，连续谱由两个双边谱叠加而成，离散谱出现在两个载频位置上，这表明2FSK信号中含有载波f1、f2的分量。 (2) 连续谱的形状随|f2-f1| 的大小而变化，将出现双峰、马鞍和单峰等形状。 (3) 2FSK信号的频带宽度为 B2FSK= |f2-f1|+2fb =2(fD+fb)=(2+D)fb (542) 式中，fb=1/Tb 是基带信号的带宽； fD=|f1-f2|/2 为频偏； D=|f2-f1|/fb 为偏移率(或频移指数)。 (4) 因为系统的传码率RB=1/Tb (Baud)，故2FSK系统的频带利用率为 η=RB|f1-f2|+2fb(Baud/Hz)(543) 综上可见，当码元速率RB 一定时，2FSK信号的带宽比2ASK信号的带宽要宽 2fD 。通常为了便于接收端检测，又使带宽不致过宽，选取 fD=fb ，此时B2FSK=4fb ，2FSK信号带宽是2ASK的2倍，相应地，系统频带利用率只有2ASK系统的1/2。 5.2.4系统的抗噪声性能 虽然2FSK信号有多种解调方式，这里仅就相干检测法和包络检波法两种情况进行分析。 1. 相干检测法 考虑信道和加性噪声的影响，按照图511所示的2FSK信号相干检测框图，可以得到2FSK信号相干检测法性能分析模型，如图515所示。 图5152FSK信号相干检测法性能分析模型 对于图515所示的模型，假设系统中信号、噪声和相关滤波器满足如下条件。 (1) 在一个码元持续时间(0，Tb )内，发送端产生的2FSK信号可表示为 sT(t)= s2FSK(t)= Acosω1t，发“1” Acosω2t，发“0” (544) (2) 信道特性为恒参信道，信道噪声n(t) 为加性高斯白噪声，其双边功率谱密度为n02。 (3) BPF1传递函数是幅度为1、宽度为2fb、中心频率为f1的矩形，它恰好让频率为f1对应的上支路的2ASK信号无失真地通过，并抑制带外噪声进入。 (4) BPF2传递函数是幅度为1、宽度为2fb、中心频率为f2的矩形，它恰好让频率为f2对应的上支路的2ASK信号无失真地通过，并抑制带外噪声进入。 (5) LPF传递函数是幅度为1、宽度为fb的矩形，它让基带信号主瓣的能量通过。 (6) 抽样、判决的同步时钟准确。 基于上述假设条件，同时仅考虑到达接收端的信号只有幅度衰减，幅度由A变为a，则接收机输入端合成波形为 yi(t)= acosω1t+n(t)，发“1” acosω2t+n(t)，发“0” (545) 接收端上支路带通滤波器BPF1的输出波形为 y1(t)= acosω1t+n1(t)，发“1” n1(t)，发“0” (546) 下支路带通滤波器BPF2的输出波形为 y2(t)= acosω2t+n2(t)，发“0” n2(t)，发“1” (547) 其中，n1(t)、n2(t)为对应于带通滤波器BPF1和BPF2的窄带高斯噪声，可分别表示为 n1(t)=n1c(t)cosω1t-n1s(t)sinω1t n2(t)=n2c(t)cosω2t-n2s(t)sinω2t (548) 式中，n1c(t) 、n1s(t) 分别为n1(t) 的同相分量和正交分量； n2c(t) 、n2s(t) 分别为n2(t)的同相分量和正交分量。 将式(548)分别代入式(546)和式(547)，则有 y1(t)= ［a+n1c(t)］cosω1t-n1s(t)sinω1t，发“1” n1c(t)cosω1t-n1s(t)sinω1t，发“0” (549) y2(t)= n2c(t)cosω2t-n2s(t)sinω2t，发“1” ［a+n2c(t)］cosω2t-n2s(t)sinω2t，发“0” (550) 假设在(0，Tb)内发送“1”符号，则上、下支路带通滤波器的输出波形分别为 y1(t)=［a+n1c(t)］cosω1t-n1s(t)sinω1t y2(t)=n2c(t)cosω2t-n2s(t)sinω2t 与各自的相干载波相乘后，得 z1(t)=2y1(t)cosω1t =［a+n1c(t)］+［a+n1c(t)］cos 2ω1t-n1s(t)sin2ω1t(551) z2(t)=2y2(t)cosω2t =n2c(t)+n2c(t)cos 2ω2t-n2s(t)sin2ω2t (552) 分别通过上、下支路低通滤波器，输出为 v1(t)=a+n1c(t)(553) v2(t)=n2c(t)(554) 因为n1c(t) 和n2c(t) 均为服从正态分布，故v1(t)的抽样值v1=a+n1c是均值为a、 方差为σ2n 的高斯随机变量，v2(t)的抽样值v2=n2c是均值为0、方差为 σ2n 的高斯随机变量。当出现v1v2)=12erfcr2 于是可得2FSK信号采用相干检测法解调时系统的误码率为 Pe= P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0)= 12 erfc r2 ［P(1)+P(0)］ =12erfc(r/2)(557) 在大信噪比条件下，即r1 时，式(557)可近似表示为 Pe≈12πre-r/2(558) 2. 包络检波法 2FSK信号包络检波解调模型与图515所示的2FSK信号相干检测法性能分析模型类似， 不同之处仅在解调器部分，具体情况见图517所示。 图5172FSK信号包络检波法性能分析模型 由于系统中信号、噪声和相关滤波器的假设条件与同步检测法解调完全相同，借鉴式(549)和式(550)，包络检测法接收端上、下支路两个带通滤波器的输出波形 y1(t) 和y2(t)在(0，Tb )期间发送“1”时可以分别表示为 y1(t)=［a+n1c(t)］cosω1t-n1s(t)sinω1t =［a+n1c(t)］2+n21s(t)cos［ω1t+φ1(t)］ =v1(t)cos［ω1t+φ1(t)］(559) y2(t)=n2c(t)cosω2t-n2s(t)sinω2t =n22c(t)+n22s(t)cos［ω2t+φ2(t)］ =v2(t)cos［ω2t+φ2(t)］ (560) 由于y1(t) 实际上是正弦波加窄带噪声的形式，故其包络v1(t) 抽样值的一维概率密度函数呈莱斯分布； y2(t) 为窄带噪声，故其包络v2(t) 抽样值的一维概率密度函数呈瑞利分布。显然，当v1v2 的概率，经过计算，得 P(1/0)=P(v1>v2)= 12 e-r2 (562) 于是可得2FSK信号采用包络检波法解调时系统的误码率为 Pe=P(1)P(0/1)+P(1)P(1/0)= 12e-r2 ［P(1)+P(0)］ =12e-r/2(563) 由(563)式可见，包络解调时2FSK系统的误码率将随输入信噪比的增加而呈指数规律下降。将相干解调与 包络检波解调的系统误码率做以比较可以发现， 在输入信号信噪比r 一定时，相干解调的误码率小于包络检波解调的误码率； 当系统的误码率一定时，相干解调比包络检波解调对输入信号的信噪比要求低。所以相干解调2FSK系统的抗噪声性能优于非相干的包络检测。但是，当输入信号的信噪比r 很大时，两者的相对差别不很明显。 相干解调时，需要插入两个与发送端载波同频同相的本地载波(相干载波)，对系统要求较高。包络检测无须本地载波。一般而言，大信噪比时常用包络检测法，小信噪比时才用相干解调法，这与2ASK信号的情况相同。 例5.3采用二进制频移键控方式在有效带宽为1800Hz的传输信道上传送二进制数字信息。已知2FSK信号的两个载频 f1=1800Hz、f2 =2500Hz，码元速率RB =300Baud，传输信道输出信噪比rc= 6dB。 (1) 试求2FSK信号的带宽。 (2) 试求同步检测法解调时系统的误码率。 (3) 试求包络检波法解调时系统的误码率。 解 (1) 根据式(542)，可得该2FSK信号的带宽为 B2FSK≈|f2-f1|+2fb=|f2-f1|+2RB=1300Hz (2) 由于RB =300B，故接收系统上、下支路带通滤波器BPF1和BPF2的带宽为 B=2Tb=2fb=600Hz 又因为信道的有效带宽为1800Hz，它是支路带通滤波器带宽的3倍，所以支路带通滤波器的输出信噪比r 比输入信噪比rc 提高了3倍。又由于rc=6dB(即4倍)，故带通滤波器输出信噪比应为 r=4×3=12 根据式(557)，可得同步检测法解调时系统的误码率为 Pe=12 erfcr2= 12erfc 6=2.66×10-4 (3) 同理，根据式(563)，可得包络检波法解调时系统的误码率为 Pe=12e-r/2=12e-6=1.24×10-3 5.3二进制数字相位调制 二进制数字相位调制也称 二进制相移键控(2 Phase Shift Keying，2PSK)是利用载波相位的变化来传送数字信息的。根据载波相位表示数字信息的方式不同，数字调相又可以进一步分为绝对相移键控(PSK)和相对相移键控(DPSK)两种。由于相移键控在抗干扰性能与频带利用等方面具有明显的优势，因此，在中、高速数字传输系统中应用广泛。 5.3.1基本原理 1. 二进制绝对相移键控(2PSK) 绝对相移键控是利用载波的相位(指初相)直接表示数字信号的相移键控方式。二进制相移键控中，通常用相位0和π来分别表示“0”或“1”。因此，2PSK已调信号的时域表达式为 s2PSK(t)=Acos(ωct+π)发“1” Acosωct发“0”(564) 或者 s2PSK(t)=-Acosωct发“1” Acosωct发“0”(565) 由式(565)可以看出，2PSK已调信号的时域表达式可以进一步表示为 s2PSK(t)=s(t) cosωct (566) 这里，s(t)与2ASK信号不同，为双极性数字基带信号，即 s(t)=∑nang(t-nTb)(567) 式中，g(t)是高度为1、宽度为Tb的门函数，且 an= +1，概率为P -1,概率为（1-P） (568) 因此，2PSK信号的典型波形如图518所示。 2PSK信号的调制框图如图519所示，其中图519(a)所示是产生2PSK信号的模拟调制法框图； 图519(b)所示是产生2PSK信号的键控法框图。 图5182PSK信号的典型波形 图5192PSK调制器框图 以模拟调制法为例，与产生2ASK信号的方法比较，它们只是对s(t)要求不同，因此，2PSK信号可以看作是双极性基带信号作用下的调幅信号。键控法用数字基带信号s(t)控制开关电路，选择不同相位的载波输出，这时s(t)为单极性NRZ或双极性NRZ脉冲序列信号均可。 由于2PSK信号是用载波相位来表示数字信息，因此，只能采用相干解调的方法，框图如图520所示。 图5202PSK信号接收系统框图 在不考虑噪声时，带通滤波器的输出可表示为 y(t)=cos(ωct+φn)(569) 式中，φn为2PSK信号某一码元的初相。φn=0时，代表传输数字“0”； φn=π时，代表传输数字“1”。式(569)与同步载波cosωct 相乘后，输出为 z(t)=cos(ωct+φn)cos ωct=12cosφn+ 12cos(2ωct+φn) (570) 低通滤波器输出(即解调器输出)为 x(t)=12cosφn= 1/2，φn=0时 -1/2，φn=π时 (571) 根据发送端产生2PSK信号时φn(0或π )代表数字信息(“0”或“1”)的规定，以及接收端x(t) 与φn的关系特性，抽样判决器的判决准则为 x>0，判为“0” x<0，判为“1” (572) 其中x 为x(t) 在抽样时刻的值。2PSK接收系统各点信号波形如图521(a)所示。 由于2PSK信号实际上是以一个固定初相的末调载波为参考，因此，解调时必须有与此同频同相的本地载波(同步载波)。如果本地载波的相位发生变化，如0相位变为π相位或π相位变为0相位，则恢复的数字信息就会发生“0”变“1”或“1”变“0”，从而造成错误的解调。这种因为本地参考载波倒相，而在接收端发生错误恢复的现象称为“倒π”现象或“反向工作”现象，如图521(b)所示。绝对移相的主要缺点是容易产生相位模糊，造成反向工作。这也是它在实际中应用较少的主要原因。 图5212PSK信号解调各点波形 2. 二进制相对相移键控(2DPSK) 由图521所示波形可以看出，2PSK信号容易产生相位模糊现象，为此提出了二进制差分相移键控技术，这种技术也简称为二进制相对调相，记作2DPSK。2DPSK不是利用载波相位的绝对数值传送数字信息，而是用前后码元的相对载波相位值传送数字信息。所谓相对载波相位，是指本码元对应的载波相位与前一码元对应载波相位之差。 假设相对载波相位值用相位偏移Δφ 表示，并规定数字信息序列与Δφ 之间的关系为 Δφ= 0，数字信息“0” π，数字信息“1” (573) 则2DPSK已调信号的时域表达式为 s2DPSK(t)= cos(ωct+φ+Δφ) (574) 式中，φ表示前一码元对应载波的相位。 以基带信号111001101为例，2DPSK信号的相位对应关系如表51所示。 表512DPSK信号的相位对应关系示例 基带信号1 1 1 0 0 1 1 0 11 1 1 0 0 1 1 0 1 Δφπ π π 0 0 π π 0 ππ π π 0 0 π π 0 π 初始相位φ0π 2DPSK信号相位(Δφ+φ)π 0 π π π 0 π π 00π 0 0 0 π 0 0 π 为了便于说明概念，可以把每个码元用一个如图522所示的矢量图来表示。 图522二相调制相移信号矢量图 如图522所示，虚线的矢量位置称为基准相位。在绝对相移键控(2PSK)中，它是未调制载波的相位； 在相对相移 键控(2DPSK)中，它是前一码元对应载波的相位。假设每个码元中包含整数个载波周期，那么两相邻码元载波的相位差既表示调制引起的相位变化，也是两码元交界点载波相位的瞬时跳变量。 根据ITUT的建议，图522(a)所示的相移方式称为A方式。在这种方式中，每个码元的载波相位相对于基准相位可取0或π，因此，在相对相移时，若后一码元的载波相位相对于基准相位为0，则前后两码元载波的相位就是连续的； 否则载波相位在两码元之间要发生突跳。图522(b)所示的相移方式称为B方式。在这种方式中，每个码元的载波相位相对于基准相位可取±π/2。因而，在相对相移时，相邻码元之间必然发生载波相位的跳变，这也为位同步的提取提供了可能。 图523所示为A方式下2DPSK信号的波形。这里仅给出了一种初始参考相位的情况，为便于比较，图中还给出了2PSK信号的波形。 单从图523所示的波形上看，2DPSK信号与2PSK信号是无法分辨的，比如2DPSK信号也可以是另一符号序列 {bn}经绝对相移而形成的，这说明，只有已知相移键控方式是绝对的还是相对的，才能正确判定原信息； 同时 ，相对相移信号可以看作是把数字信息序列{an}(绝对码)变换成相对码{bn}，再根据相对码进行绝对相移而形成 的。这里的相对码实际上就是第4章中介绍的差分码，它是按相邻符号不变表示原数字信息“0”、相邻符号改变表示原数字信息“1”的规律由绝对码变换而来的。 在2DPSK系统中，发送端将绝对码{an}转换成相对码{bn}的过程称为编码过程，如式(575)所示； 在接收端将相对码{bn}转换成绝对码{an}的过程称为译码过程，如式(576)所示。 bn=anbn-1(575) an=bnbn-1 (576) 这里， 符号表示“模2加”或者“异或”运算，实现原理如图524所示。其中，图524(a)所示是把绝对码变成相对码的方法，称 为差分编码器； 图524(b)所示是把相对码变为绝对码的方法，称为差分译码器。 图5232PSK和2DPSK信号的波形(A方式) 图524绝对码与相对码的互相转换 由以上讨论可知，相对相移本质上就是对由绝对码转换而来的差分码的绝对相移。那么，2DPSK信号的表达式与2PSK的形式 完全相同，所不同的只是此时式中的s(t) 表示的是差分码数字序列，即 s2DPSK(t)=s(t)cosωct (577) 这里 s(t)=∑nbng(t-nTb) (578) bn与an的关系由式(575)确定。 实现相对调相的最常用方法正是基于上述讨论而建立的，如图525所示，首先对数字信号进行差分编码，即由绝对码表示变为相对码(差分码)表示，然后再进行2PSK调制。2PSK调制器可用前述的模拟调制法，也可用键控法。 图5252DPSK调制器框图 3. 2DPSK信号的解调 2DPSK信号的解调有两种方式，一种是相干解调码变换法，又称为极性比较码变换法； 另一种是差分相干解调。 (1) 相干解调码变换法。 这种方法就是采用2PSK解调加差分译码的结构，其框图如图526所示。2PSK解调器将输入的2DPSK信号还原成相对码 {bn}，再由差分译码器(码反变换器)把相对码转换成绝对码，输出{an} 。 图526相干解调码变换法解调2DPSK信号框图 例5.4请证明图526所示框图中，当2PSK解调出现“反向工作”现象时，经码反变换器处理后仍然能够恢复出{an}。 解： 当2PSK解调出现“反向工作”现象时，抽样判决器输出的序列将变为 {b-n}，码反变换器结构如图524(b)所示，则有 b-nb-n-1=bn1bn-11=bnbn-111 =bnbn-1=an 其中，b-n=bn1，b-n-1=bn-11，11=0，bnbn-10=bnbn-1。 证毕。 (2) 差分相干解调法。 它是直接比较前后码元的相位差而构成的，故也称为相位比较法解调，其原理框图如图527(a)所示，解调过程的各点波形如图527(b)所示。 图5272DPSK信号差分相干法解调框图及各点波形 若不考虑噪声，设接收到的2DPSK信号为acos(ωct+φn)，其中φn表示第n个码元的初相位，则 有 y1(t)=acos(ωct+φn) y2(t)=acosωc(t-Tb)+φn-1 式中，φn-1表示前一码元对应载波的相位，Tb为码元周期，则乘法器输出为 z(t)=y1(t)·y2(t) =acos(ωct+φn)·acosωc(t-Tb)+φn-1 =a22cos(2ωct-ωcTb+φn+φn-1)+cos(ωcTb+φn-φn-1) 经LPF滤除高频分量，可得 x=a22cos(ωcTb+φn-φn-1)=a22cos(ωcTb+Δφ) 式中，Δφ=(φn-φn-1)，为前后相邻码元的相对相位。 通常码元周期是载波周期的整数倍，即k=Tb/Tc，其中k为整数，则 ωcTb=2πTcTb=2kπ 此时，有 x=a22cosΔφ=a2/2，当Δφ=0时 -a2/2，当Δφ=π时 这样，差分相干解调法就将Δφ=(φn-φn-1)与基带信号建立了联系。根据发送端编码确定的Δφ与数字信息的关系，就可以对x(t)进行抽样判决，即抽样值x>0，判为“0”码； 抽样值x≤0，判为“1”码。 差分相干解调法不需要码变换器，也不需要专门的本地载波发生器，因此，设备比较简单、实用，图527所示结构中Tb延时电路的输出起着参考载波的作用，乘法器起着相位比较(鉴相)的作用。 5.3.2信号的功率谱及带宽 比较式(566)和式(51)可知，它们在形式上是完全相同的，所不同的只是an 的取值，因此，求2PSK信号的功率谱密度时，也可采用与求2ASK信号功率谱密度相同的方法。 2PSK信号的功率谱密度Pe(f) 可以写成 Pe(f)=14 ［Ps(f+fc)+Ps(f-fc)］(579) 其中基带数字信号s(t) 的功率谱密度Ps(f) 可按照4.1节中介绍的方法直接推出。对于双极性NRZ码，引用4.1节的结果，则有 Ps(f)=TbSa2(πfTb) (580) 需要注意的是，该式是在双极性基带信号“0”和“1”等概率出现的条件下获得的。但是一般情况下，当不等概率时， Ps(f) 中将含有直流分量。 将上式代入式(579)，得 Pe(f)= Tb4 {Sa2［π(f+fc)Tb］+Sa2［π(f-fc)Tb］} (581) 2PSK信号功率谱示意图如图528所示。 图5282PSK信号的功率谱 由前述讨论可知，无论是2PSK还是2DPSK信号，就波形本身而言，它们都可以等效成双极性基带信号作用下的调幅信号 ，因此2DPSK和2PSK信号具有相同形式的表达式； 所不同的是数字基带信号表示的码序不同，2DPSK 信号表达式是数字基带信号变换而来的差分码。因此，由图528可以得到以下结论。 (1) 当双极性基带信号以相等的概率出现时，2PSK和2DPSK信号的功率谱仅由连续谱组成。 (2) 2PSK和2DPSK的连续谱部分与2ASK信号的连续谱基本相同，因此2PSK和2DPSK的带宽、频带利用率也与2ASK信号相同 B2DPSK=B2PSK=B2ASK=2Tb=2fb(582) η2DPSK=η2PSK=η2ASK=12 Baud/Hz(583) 上述分析表明，在数字调制中，2PSK和2DPSK的频谱特性与2ASK十分相似。 相位调制和频率调制一样，本质上是一种非线性调制，但在数字调相中，由于表征信息的相位变化为有限的离散值，因此 可以把它归结为幅度变化。这样一来，数字调相同线性调制的数字调幅就联系起来了，可以把数字调相信号当作线性调制信号来处理。 5.3.3系统的抗噪声性能 1. 2PSK信号相干解调系统 2PSK信号相干解调系统性能分析模型如图529所示。 图5292PSK信号相干解调系统性能分析模型 假定信道特性为恒参信道，信道噪声n(t) 为加性高斯白噪声，其双边功率谱密度为n0/2，则发射端发送的2PSK信号为 sT(t)= -Acosωct，发“1” Acosωct，发“0” (584) 则经信道传输后，当仅考虑信道传输固定衰耗a=kA时，接收端输入信号为 yi(t)= -acosωct+n(t)，发“1” acosωct+n(t)，发“0” (585) 经带通滤波器后输出信号为 y(t)=-acosωct+nc(t)cosωct-ns(t)sinωct，发“1” acosωct+nc(t)cosωct-ns(t)sinωct，发“0”(586) 其中，ni(t)=nc(t)cosωct-ns(t)sinωct， 为高斯白噪声n(t) 经BPF限带后的窄带高斯白噪声。为方便计算，取本地载波为 2cosωct ，则乘法器输出 z(t)=2y(t)cosωct 将式(586)代入，并经低通滤波器滤除高频分量，在抽样判决器输入端得到的信号为 x(t)= -a+nc(t)，发“1” a+nc(t)，发“0” (587) 由于nc(t)服从正态分布，因此，无论是发送“1”还是“0”， x(t) 瞬时值x 的一维概率密度函数f1(x) 、f0(x) 都是方差为σ2n 的正态分布函数，只是前者均值为-a，后者均值为a，即 f1(x)= 12πσnexp - (x+a)22σ2n ，发“1”(588) f0(x)= 12πσnexp - (x-a)22σ2n ，发“0” (589) 式中，σ2n也就是带通滤波器输出噪声的平均功率，可以表示为 σ2n=n0B2PSK=2n0fb(590) 其曲线如图530所示。 图5302PSK信号概率分布曲线 之后的分析完全类似于2ASK时的分析方法。可以证明当P（1）=P（0）=1/2 时，2PSK系统的最佳判决门限电平为 U*d=0(591) 在最佳门限时，2PSK系统的误码率为 Pe= P(0)P(1/0)+P(1)P(0/1)=P(0) ∫0-∞f0(x)dx+P(1) ∫∞0f1(x)dx =∫∞0f1(x)dx［P(0)+P(1)］=∫∞0f1(x)dx =12erfc(r) (592) 式中，r=a22σ2n， 为接收端带通滤波器输出信噪比。 在大信噪比情况下，式（592）可得成 Pe≈12 πr e-r (593) 2. 2DPSK相干解调码变换系统 图526给出了2DPSK信号相干解调码变换法解调原理框图，为了分析该解调系统的性能， 可将图529给定的模型简化成如图531所示的形式，码反变换器输入端的误码率Pe就是相干解调2PSK系统的误码率，由式(592)或式(593)决定。于是，要求最终的2DPSK系统误码率P′e，只需在此基础上考虑码反变换器引起的误码率即可。 图5312DPSK信号相干解调码变换法解调系统性能分析模型 为了分析码反变换器对误码率的影响，这里以{bn}=0110111001为例，根据码反变换器公式 an=bnbn-1 ，码反变换器输入的相对码序列{bn}与输出的绝对码序列{an}之间的误码关系可用图532进行展示。 图532码反变换器对误码率的影响 (1) 若相对码信号序列中有1个码元错误，则在码反变换器输出的绝对码信号序列中将引起两个码元错误，如图532(b)所示。图中，带“×”的码元为错码。 (2) 若相对码信号序列中有连续两个码元错误，则在码反变换器输出的绝对码信号序列中也会引起两个码元错误，如图532(c)所示。 (3) 若相对码信号序列中出现一长串连续错码，则在码反变换器输出的绝对码信号序列中只会仍引起两个码元错误，如图532(d)所示。 按此规律能够证明2DPSK系统误码率P′e可以表示为 P′e=2（1-Pe）Pe (594) 当相对码的误码率Pe1 时，式(594)可近似表示为 P′e≈2Pe= erfc(r) (595) 由此可见，码反变换器总是使系统误码率增加，通常认为增加一倍，这与 如图532(b)所示 随机出现误码的情况相吻合，在实际工程当中，这一情况出现的概率要远大于如图532(c)、(d)所示突发出现误码的情况。 3. 2DPSK信号差分相干解调 2DPSK信号差分相干解调系统性能分析模型如图533所示。 图5332DPSK信号差分相干解调框图 由图533所示框图可知， 由于存在着带通滤波器输出信号 y1(t) 与其延迟Tb的信号y2(t) 相乘的问题，因此需要同时考虑两个相邻码元的对应关系， 对2DPSK差分相干解调系统误码率的 分析过程较为复杂。这里不进行详尽的分析，仅给出如下结论。 差分相干解调时2DPSK系统的最佳判决门限电平为 U*b=0(596) 差分相干解调时2DPSK系统的误码率为 Pe=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0)= 12 e-r (597) 式中，r= a22σ2n，为接收端带通滤波器输出信噪比。 式(597)表明，差分相干解调时2DPSK系统的误码率随输入信噪比的增加呈指数规律下降。 4. 2PSK与2DPSK系统的比较 (1) 2PSK与2DPSK信号带宽均为2fb。 (2) 解调器输入信噪比r增大，误码率均下降。 (3) 检测这两种信号时判决器均可工作在最佳判决门限电平(零电平)。 (4) 2DPSK系统的抗噪声性能不及2PSK系统。 (5) 2PSK系统存在“反向工作”问题，而2DPSK系统不存在。 因此在实际应用中，真正作为传输用的数字调相信号几乎都是DPSK信号。 例5.5用2DPSK在某微波线路上传送二进制数字信息，已知传码率为106Baud，接收机输入端高斯白噪声的双边功率谱密度为 n0/2=10-10W/Hz，要求误码率 Pe≤10-4。 (1) 采用相干解调码变换法接收时，求接收机输入端的最小信号功率。 (2) 采用差分相干解调法接收时，求接收机输入端的最小信号功率。 解： (1) 由于是相干解调码变换法，应用式(595)可知 Pe= erfcr=1-erfr 有 erfr=1- Pe≥0.9999 查erf(x) 函数表，可得r≥ 2.75，所以r≥7.5625。 因为 σ2n=n0B= n0×2fb=2×10-10×2×106=4×10-4W r=a22σ2n≥7.5625 所以，接收机输入端信号功率为 P=a22≥ rσ2n=7.5626×4×10-4=3.025×10-3W=4.81dBm (2) 采用差分相干解调时，因为 Pe=12 e-r≤10-4 所以 r=a22σ2n≥8.5172 P=a22≥rσ2n=8.5172×4×10-4 =3.407×10-3W=5.32dBm 由该例可见，同样要求达到Pe≤10-4 ，用相干解调码变换法解调只比差分相干解调要求的输入功率低0.51dBm左右，但差分相干法电路要简单得多，所以DPSK解调大多采用差分相干解调法接收。 5.4二进制数字调制系统的性能比较 前文章节对二进制数字调制系统的 相关理论进行了研究，本节将对各种二进制数字调制系统的性能进行总结、比较，包括系统的频带宽度 、频带利用率、误码率、对信道特性变化的敏感性等。 1. 传输带宽 (1) 2ASK系统和2PSK(2DPSK)系统信号传输带宽相同，均为2fb。 (2) 2FSK系统信号传输宽度频带宽为 |f2-f1|+2fb ，大于2ASK系统和2PSK(2DPSK)系统的频带宽度。 2. 频带利用率 频带利用率是数字传输系统的有效性指标，定义为 η=RBBBaud/Hz 式中，RB=1/Tb， 2ASK系统和2PSK(2DPSK)系统频带利用率均为1/2Baud/Hz； 2FSK系统频带利用率为 η=RBB=fb2fb+|f1-f2|Baud/Hz 3. 误码率 在数字通信中，误码率是衡量数字通信系统可靠性的性能指标。表52列出了各种二进制数字调制系统误码率求解公式。 表52二进制数字调制系统误码率求解公式 调制方式误码率公式r1备注 2ASK 2FSK 2PSK 2DPSK 相干Pe= 12erfcr/4 Pe= 1πr e-r/4 非相干 Pe=12 e-r/4同左 相干Pe= 12erfcr/2 Pe= 12πr e-r/2 非相干 Pe=12 e-r/2同左 相干Pe= 12erfcr Pe= 12πr e-r 极性比较 Pe≈ erfcr Pe= 1πr e-r 差分相干Pe=12e-r同左 r=a22σ2n， 其中，a2/2 表示已知信号的功率，σ2n 是噪声功率。当P=0.5时，2ASK的判决门限为 U*d=a/2 ，2PSK、2DPSK和2FSK的判决门限为 U*d=0。 应用表52给出的这些公式时，需要注意三个条件，一是接收机输入端出现的噪声是均值为0的高斯白噪声； 二是 不考虑码间串扰的影响，采用瞬时抽样判决； 三是所有计算误码率的公式都仅是 r的函数。其中，r=a2/2σ2n是解调器 的输入信噪比，2ASK系统误码率公式中的r=a2/2σ2n表示发“1”时的信噪比，在2FSK、2PSK和2DPSK系统中发送“0”和“1”的信噪比相同，因此它也是平均信噪比。 通过对表52进行分析，能够对二进制数字调制系统的抗噪声性能做如下两个方面的比较。 (1) 同一调制方式不同解调方法的比较 可以看出，同一调制方式不同解调方法的情况下，相干解调的抗噪声性能优于非相干解调。但是，随着信噪比r 的增大，相干与非相干误码性能的相对差别会变得越来越不明显。 (2) 同一解调方法不同调制方式的比较 相干解调时，在相同误码率条件下，对信噪比r 的要求是2PSK比2FSK小3dB，2FSK比2ASK小3dB； 非相干解调时，在相同误码率条件下，对信噪比r 的要求是2DPSK比2FSK小3dB，2FSK比2ASK小3dB。反过来，若信噪比r 一定，2PSK系统的误码率低于2FSK系统，2FSK系统的误码率低于2ASK系统。因此，从抗加性白噪声性能方面讲，相干2PSK最好，2FSK次之，2ASK最差。图534所示为不同二进制数字调制系统误码率曲线示意图。 图534各种二进制数字调制系统误码率曲线示意图 4. 对信道特性变化的敏感性 对信道特性变化的灵敏度对最佳判决门限有一定的影响。假设P(0)=P(1)=1/2，在2FSK系统中是 通过比较两路解调输出的大小来做出判决，不需人为设置判决门限。在2PSK系统中，判决器的最佳判决门限为0，与接收机输入信号的幅度无关，因此判决门限不随信道特性的变化而变化，接收机总能工作在最佳判决门限状态。对于2ASK系统，判决器的最佳判决门限为a/2 ，它与接收机输入信号的幅度a 有关，当信道特性发生变化时，接收机输入信号的幅度将随之发生变化，从而 会导致最佳判决门限随之而变，这时接收机不容易保持在最佳判决门限状态，误码率将会增大。因此，从对信道特性变化的敏感程度方面看，2ASK调制系统最差。 当信道有严重衰落时，通常采用非相干解调或差分相干解调，因为这时在接收端不易得到相干解调所需的相干参考信号。当发射机有严格的功率限制时，则可考虑采用相干解调，因为在给定传码率及误码率的情况下，相干解调所要求的信噪比比非相干解调小。 5.5多进制数字调制 多进制数字调制就是利用多进制数字基带信号去调制高频载波的某个参量，如幅度、频率或相位的过程。根据被调参量的不同，多进制数字调制可分为多进制幅度键控(MASK)、多进制频移键控(MFSK)以及多进制相移键控(MPSK或MDPSK)。 由于多进制数字已调信号的被调参数在一个码元间隔内有多个取值，因此，与二进制数字调制相比，多进制数字调制有以下特点。 (1) 在码元速率(传码率)相同的条件下，提高信息速率(传信率)，可以使系统频带利用率增大。码元速率相同时，M进制数字传输系统的信息速率是二进制的log2M倍。 (2) 在信息速率相同的条件下，降低码元速率，可以提高传输的可靠性，减小码间串扰的影响等。 正是基于这些特点，多进制数字调制方式得到了广泛的使用。不过，获得上述好处的代价就是信号功率需求增加，系统实现复杂程度加大。 5.5.1多进制幅移键控 1. 基本原理 多进制幅移键控(MASK)又称为多进制数字幅度调制，它是二进制数字幅度调制方式的扩展。M进制幅度调制信号的载波振幅有M种取值，在一个码元期间Tb内发送其中一种幅度的载波信号。因此，MASK已调信号的表达式为 sMASK(t)= s(t)cosωct (598) 这里，s(t) 为M进制数字基带信号，表达式为 s(t)= ∑∞n=-∞ ang(t-nTb) (599) 式中，g(t) 是幅度为1、宽度为Tb的门函数； an 有M种取值可能，为 an= 0，概率为P0 1，概率为P1 2，概率为P2  M-1,概率为PM-1 (5100) 且P0+P1+P2+…+PM-1=1。 图535所示为四进制数字基带信号s(t) 和已调信号sMASK(t)的波形图。 不难看出，图535(b)的波形可以等效为图536所示，多个波形的叠加。 图535多进制数字幅度调制波形 图536多进制数字幅度调制波形 图536中各个波形的表达式为 e0(t)=∑nc0g(t-nTb)cosωct e1(t)=∑nc1g(t-nTb)cosωct e2(t)=∑nc2g(t-nTb)cosωct  eM-1(t)=∑ncM-1g(t-nTb)cosωct (5101) 式中， c0=0，概率为1 c1= 1，概率为P1 0，概率为（1-P1） c2= 2，概率为P2 0，概率为（1-P2）  cM-1= M-1，概率为PM-1 0，概率为（1-PM-1） (5102) 因此，e0(t)、…、eM-1(t) 均可以认为是2ASK信号，但它们幅度互不相等，时间上互不重叠，其中e0(t)=0 ，可以不考虑。这样看来，sMASK(t) 可以看作是由时间上互不重叠的M-1 个不同幅度的2ASK信号叠加而成，即 sMASK(t)=∑M-1i=1ei(t)(5103) 2. 信号的功率谱及带宽 由式(5103)可知，MASK信号的功率谱是这M-1个2ASK信号的功率谱之和，因而具有与2ASK功率谱相似的形式。显然，就MASK信号的带宽而言，由其分解的任一个2ASK信号的带宽是相同的，可表示为 BMASK=2fb(5104) 其中fb=1/Tb 是多进制码元出现频率，Tb为多进制码元周期。 与2ASK信号相比较，当两者码元速率相等时，记二进制码元出现频率为f′b，则fb=f′b，因此两者带宽相等，即 BMASK= B2ASK(B2ASK=2f′b) (5105) 当两者的信息速率相等时，则其码元出现频率的关系为 fb= f′bk或 f′b=kfb(5106) 其中k=log2M ，则 BMASK= 1k B2ASK (5107) 可见，当信息速率相等时，MASK信号的带宽只是2ASK信号带宽的1/k 。如果以信息速率来考虑频带利用率η，按定义有 η=kfbBMASK= kfb2fb= k2 b/(s·Hz)(5108) 它是2ASK系统频带利用率的k 倍。这说明MASK系统的频带利用率高于2ASK系统的频带利用率。 3. 信号的调制与解调 实现M电平调制的原理框图如图537所示，它与2ASK系统非常相似。不同的只是基带信号由二电平变为了多电平。为此，发送端增加了“2-M”电平变换器，将二进制信息序列每k 个分为一组(k=log2M)，变换为M电平基带信号，再送入调制器。相应地，在接收端增加“M-2”电平变换器。多进制数字幅度调制信号的解调可以采用相干解调方式，也可以采用包络检波方式，原理与2ASK的完全相同。 图537M进制幅度调制系统原理框图 4. 系统的抗噪声性能 若M个幅值的出现概率相等，并采用相关解调法和最佳判决门限电平，可以证明其误码率为 Pe= M-1M erfc 3rM2-1 (5109) 容易看出，为了得到相同的误码率Pe ，所需的信噪比r 随电平数M增加而增大。例如，四电平系统比二电平系统信噪比需要增大约7dB(5倍)。 由于MASK信号是用信号振幅传递信息的，信号振幅在传输时受信道衰落的影响大，故在远距离传输的衰落信道中应用较少。 5.5.2多进制频移键控 1. 基本原理 多进制频移键控(MFSK)又称为多进制数字频率调制，是2FSK方式的扩展，它是用M个不同的载波频率代表M种数字信息，其中M=2k。MFSK系统的组成框图如图538所示，其发送端采用键控选频的调制方式，接收端采用非相干解调方式。 图538多进制数字频率调制系统的组成框图 在图538所示框图中，串/并变换器和逻辑电路1将输入的二进制码对应地转换成有M种状态的多进制码，分别对应M个不同的载波频率(f1、f2、…、fM)。当某组k位二进制码到来时，逻辑电路1的输出一方面接通某个门电路，让相应的载频发送出去，另一方面同时关闭其余所有门电路，经相加器组合输出的便是一个MFSK波形。 MFSK的解调部分由M个带通滤波器、包络检波器及一个抽样判决器和逻辑电路2组成。各带通滤波器的中心频率分别对应发送端的各个载频，因而，当某一已调载频信号到来时，在任一码元持续时间内，只有与发送端频率相应的 带通滤波器才能收到信号，其他带通滤波器只有噪声通过。抽样判决器的任务是比较所有包络检波器的输出电压，并选出最大者作为输出，这个输出是与发送端载频相应的M进制数。逻辑电路2把这个M进制数译成k位二进制并行码，并进一步做并/串变换恢复二进制信息并输出，进而完成数字信号的传输。 2. 信号的功率谱及带宽 键控法产生的MFSK信号可以看作由M个幅度相同、载频不同、时间上互不重叠的2ASK信号叠加的结果。 设MFSK信号码元的宽度为Tb，即传输速率fb=1/Tb，则M频制信号的带宽为 BMFSK=|fM-f1|+2fb(5110) 式中，fM为最高选用载频，f1为最低选用载频。 MFSK信号功率谱P(f)如图539所示。 图539MFSK信号的功率谱 若相邻载频之差等于2fb，即相邻频率的功率谱主瓣刚好互不重叠，则这时的MFSK信号的带宽及频带利用率分别为 BMFSK=2Mfb(5111) ηMFSK= kfbBMFSK= k2M= log2M2M (5112) 可见，MFSK信号的带宽随频率数M增大而线性增宽，频带利用率明显下降。与MASK的频带利用率比较， 它们的关系为 ηMFSKηMASK= k/2Mk/2= 1M (5113) 这说明MFSK的频带利用率总是低于MASK的频带利用率。 3. 系统的抗噪声性能 可以证明，MFSK信号采用非相干解调时系统的误码率为 Pe≈M-12e-r/2(5114) 采用相干解调时系统的误码率为 Pe≈M-12erfc(r/2)(5115) 从式(5114)和式(5115)可以看出， MFSK系统误码率随M增大而增加，但与MASK系统相比增加的速度要小得多。同时，MFSK系统的主要缺点是信号频带宽，频带利用率低，但是其抗衰落和时延变化特性好，因此，MFSK多用于调制速率较低及多径延时比较严重的信道，如短波信道等。 5.5.3多进制绝对相移键控 1. 基本原理 多进制绝对相移键控(MPSK)又称多进制数字相位调制，是2PSK的扩展，是利用载波的多种不同相位状态来表征数字信息的调制方式。 设载波为cosωct ，则MPSK信号可表示为 sMPSK(t)=∑ng(t-nTb)cos (ωct+φn) =cosωct∑n cosφng(t-nTb)-sinωct∑nsin φng(t-nTb) (5116) 式中，g(t)是幅度为1、宽度为Tb的门函数； Tb为M进制码元的持续时间，亦就是 k 比特二进制码元的持续时间(k=log2M)； φn为第n个码元对应的相位，共有M种不同取值可能，可以表示为 φn= θ0，概率为P0 θ1，概率为P1  θM-1，概率为PM-1 (5117) 且P0+P1+…+PM-1=1。 为了使平均错误概率降到最小，一般在(0,2π)范围内等间隔划分相位，因此相邻相移的差值为 Δθ=2πM(5118) 令 an=cosφn bn=sinφn ，这样式(5116)变为 sMPSK(t)= ∑nang(t-nTb) cosωct- ∑nbng(t-nTb)sinωct =I(t)cosωct-Q(t)sinωct (5119) 这里 I(t)=∑nang(t-nTb) Q(t)=∑nbng(t-nTb) (5120) 常把式(5119)中的I(t)称为同相分量，Q(t)称为正交分量。可见MPSK信号可以看成是两个正交载波分别进行多进制幅移键控，也就是两个载波相互正交的MASK信号的叠加。这样，就为MPSK信号的产生提供了依据，这也就是利用正交调制的方法产生MPSK信号。 MPSK信号通常用矢量图来描述，图540所示为2相制、4相制、8相制三种情况下的矢量图。与图522类似，将矢量图配置为两种相位形式，根据ITUT的建议，图540(a)所示的相移方式 称为A方式； 图540(b)所示的相移方式称为B方式。图中注明了各相位状态及其所代表的k比特码元。 以A方式的4PSK信号为例，载波相位有0、π/2、π和3π/2四种，分别对应信息码元“00”“10”“11”和“01”，虚线为参考相位。对MPSK而言，参考相位为载波初始相位。各相位值都是对参考相位而言的，正为超前，负为滞后。 图540相位配置矢量图 2. 信号的功率谱及带宽 MPSK信号可以看成是载波互为正交的两路MASK信号的叠加，因此，MPSK信号的频带宽度应与MASK信号相同，即 BMPSK=BMASK=2fb(5121) 其中，fb=1/Tb是M 进制码元传输频率。此时信息速率与MASK相同，是2ASK及2PSK的k=log2M倍。也就是说，MPSK系统的频带利用率是2PSK的k倍。 3. 信号的产生 为了帮助读者更加明确MPSK信号的产生过程，这里以4PSK为例进行说明 信号的产生原理。4PSK利用载波的4种不同相位来表征数字信息，由于每一种载波相位代表两个比特信息，故每个四进制码元又称为双比特码元，习惯上把双比特的前一位用a代表，后一位用b代表。4PSK信号常用的产生方法有两种，即相位选择法及直接调相法。 (1) 相位选择法 由式(5116)可以看出，在一个码元持续时间Tb内，4PSK信号为载波4个相位中的某一个，因此，可以用相位选择法产生B方式4PSK信号，其原理如图541所示。 在图541中，四相载波发生器产生4PSK信号所需的4种不同相位的载波，输入的二进制数码经串/并变换器输出双比特码元，按照输入的双比特码元的不同，逻辑选相电路输出相应相位的载波。例如，当双比特码元 ab 为11时，输出相位为45°的载波； 双比特码元ab为01时，输出相位为135°的载波等。 图541所示结构产生的是B方式的4PSK信号，要想形成A方式的4PSK信号，只需调整四相载波发生器输出的载波相位即可。 图541相位选择法产生4PSK信号(B方式)原理框图 (2) 直接调相法 由式(5119)可以看出，4PSK信号也可以采用正交调制的方式产生，因此，4PSK也常称为正交相移键控(QPSK)。B方式实现QPSK调制的原理框图如图542(a)所示，它可以看成由两个载波正交的2PSK调制器构成，分别形成图542(b) 所示的虚线矢量，再经加法器合成后得图542(b)中的实线矢量图。 图542直接调相法产生4PSK信号框图 4. 信号的解调 由于QPSK信号可以看作是两个载波正交的2PSK信号的合成，因此，对QPSK信号的解调可以采用与2PSK信号类似的解调方法。图543所示是B方式QPSK信号相干解调器的组成框图。图中两个相互正交的相干载波分别 解调出两个分量a和b，然后经并/串变换器还原成二进制双比特串行数字信号， 进而实现二进制信息的恢复。此法也称为极性比较法。 图543QPSK信号的相干解调 在2PSK信号相干解调的过程中会产生“倒π”（即“180°相位模糊”）现象，同样，QPSK信号相干解调也会产生相位模糊问题，并且是0°、90°、180°和270°四个相位模糊。因此，在实际工程中常用的是四相相对相移调制，即QDPSK。 5.5.4多进制差分相移键控 1. 基本原理 在多进制相移键控体制中也存在多进制差分相移键控(MDPSK)。MPSK信号可以用式(5116)和式(5119)来表示，也可以用图540来定义其矢量图，上述描述对于MDPSK信号仍然适用， 只需要把φn作为第n 个码元对应前一码元载波相位变化即可， 在矢量图当中参考相位则选择前一码元所对应载波相位。为了便于分析和比较，这里仍以4DPSK(也就是QDPSK)为例进行讨论。A方式QDPSK信号的编码规则如表53所示。 表53QDPSK信号编码规则 ab Δφn A方式 000° 1090° 11180° 01270° 2. 信号的产生 与2DPSK信号的产生相类似，在QPSK的基础上加码变换器，就可形成QDPSK信号。图544 所示为A方式QDPSK信号产生原理框图。 图544QDPSK信号产生原理框图 为了对应图540给出的A方式信号矢量图，设单/双极性变换的规律为0→+1、1→-1，码变换器将并行绝对码 a、b 转换为并行相对码c、d，其转换逻辑如表54所示。在表54中， θk=θk-1+Δθk ，ck和dk的取值由θk确定。 表54QDPSK码变换关系 当前输入的一对码元及要求的相对相移前一时刻经过变换后的一对码元及产生的相移当前时刻应当给出的变换后的一对码元和相位 akbkΔθk ck-1dk-1θk-1 ckdkθk 000°00 10 11 010° 90° 180° 270°00 10 11 010° 90° 180° 270° 1090°00 10 11 010° 90° 180° 270°10 11 01 0090° 180° 270° 0° 11180°00 10 11 010° 90° 180° 270°11 01 00 10180° 270° 0° 90° 续表 当前输入的一对码元及要求的相对相移前一时刻经过变换后的一对码元及产生的相移当前时刻应当给出的变换后的一对码元和相位 akbkΔθk ck-1dk-1θk-1 ckdkθk 01270°00 10 11 010° 90° 180° 270°01 00 10 11270° 0° 90° 180° 3. 信号的解调 QDPSK信号的解调可以采用相干解调码反变换法(极性比较法)，也可采用差分相干解调法(相位比较法)。 1) 相干解调码反变换法 A方式QDPSK信号相干解调码反变换法解调原理框图如图545所示，与QPSK信号相干解调 的不同之处在于串/并变换之前需要加入码反变换器。 图545QDPSK信号的相干解调码反变换法解调 2) 差分相干解调法 A方式QDPSK信号差分相干解调原理框图如图546所示，与 相干解调码反变换法相比，主要区别在于它利用延迟电路将前一码元信号延迟一码元时间后， 分别作为上、下支路的相干载波； 另外，它不需要采用码反变换器，这是因为QDPSK信号的信息包含在前后码元相位差中，而差分相干解调法的原理就是直接比较前后码元的相位。 图5464DPSK信号的差分相干解调原理框图 4. 系统的抗噪声性能 可以证明QPSK信号采用相干解调时系统的误码率为 Pe≈ erfcrsin π4 (5122) QDPSK信号采用相干解调时系统的误码率为 Pe≈erfc 2rsin π8 (5123) 式中，r为信噪比。 综上讨论可以看出，多进制相移键控是一种频带利用率较高的传输方式，再加之有较好的抗噪声性能，因而得到了广泛的应用，其中MDPSK比MPSK用得更广泛一些。 *5.6现代数字调制技术 二进制和多进制数字调制方式是数字调制的理论基础，在此基础上，人们又发展和提出了许多性能优异的新型调制技术，对这些调制技术的研究，主要是围绕寻找频带利用率高、抗干扰能力强的调制方式而展开的。 5.6.1正交振幅调制 2ASK系统频带利用率是1/2(b/(s/Hz))。若利用正交载波技术传输ASK信号，可使频带利用率提高一倍。如果再把多进制与正交载波技术结合起来，还可进一步提高频带利用率，这就是正交振幅调制 (Quadrature Amolitude Modulation，QAM)。 1. 基本原理 QAM用两路独立的基带信号对两个相互正交的同频载波进行抑制载波双边带调幅， 进而实现两路并行的数字信息的传输。如果某一方向载波可以用电平数 m进行调制，则相互正交的两个载波能够表示信号的M个状态，这里M=m2，因此 QAM调制方式通常可以表示为二进制QAM(4QAM)、四进制QAM(16QAM)、八进制QAM(64QAM)等，图547 所示为4QAM、16QAM、64QAM对应的星座图。对于4QAM，当两路信号幅度相等时，其产生、解调、性能及相位矢量均与4PSK相同。 图547QAM星座图 2. 信号的产生 QAM信号的同相和正交分量可以分别以ASK方式传输数字信号，如果两通道的基带信号分别为x(t)和y(t)，则QAM信号可表示为 sQAM(t)=x(t)cosωct+y(t)sinωct (5124) 式中， x(t)=∑∞k=-∞xkg(t-kTb) y(t)=∑∞k=-∞ykg(t-kTb) (5125) 其中，Tb为多进制码元周期，为了传输和解调方便，xk和yk一般为双极性M进制码元，例如取为 ±1、±3、…、±(M-1)等。图548所示为产生多进制QAM信号的数学模型。 图548QAM信号产生模型 3. 信号的解调 QAM信号采取正交相干解调的方法解调，其数学模型如图549所示。 图549QAM信号解调 解调器首先对收到的QAM信号进行正交相干解调。低通滤波器(LPF)滤除乘法器产生的高频分量，经抽样判决 后即可恢复出M电平信号x(t)和y(t)。因为xk和yk取值一般为±1、±3、…、±(M-1)，所以判决电平应设在信号电平间隔的中点，即Ud=0、±2、±4、…、±(M-2)。根据多进制码元与二进制码元之间的关系，经M-2转换，即可将M电平信号转换为二进制基带信号x′(t) 和y′(t)。 4. 系统的抗噪声性能 对于相同状态数的多进值数字调制，QAM系统抗噪性能优于PSK。这里对16QAM和16PSK 的性能进行比较，图550所示为这两种信号的星座图。 图55016QAM和16PSK信号星座图 设16QAM和16PSK信号的最大振幅为A，则相邻矢量端点的距离分别为 d16PSK=2A·sin π16≈0.39A d16QAM= 2A3≈0.47A (5126) 相邻矢量端点的距离越大，其抗干扰能力越强。从式(5126)可以看出， d16PSK